Soient $k$ un corps de caractéristique nulle et $G$ un $k$-groupe algébrique linéaire. Il est bien connu que si $G$ est abélien, les torseurs sous $G_(X)$ sur un $k$-schéma $\pi:X\rightarrow \textup(Spec)\;k$ fournissent une obstruction à l'existence de points $k$-rationnels sur $X$, puisque la suite spectrale de Leray donne dans les bons cas (\textit(e.g.) $X$ propre) une suite exacte de groupes sur laquelle on peut directement lire l'obstruction à ce qu'un $\bar(G)_(X)$-torseur $\bar(P)\rightarrow\bar(X)$ de corps des modules $k$ soit défini sur $k$, \textit(i.e.) qu'il provienne par extension des scalaires à la cl(ô)ture algébrique $\bar(k)$ de $k$ d'un $G_(X)$-torseur $P\rightarrow X$. Le point crucial est que cette obstruction est mesurée par une gerbe, qui est neutre lorsque $X$ possède un point $k$-rationnel. On essaye ici d'étendre ce résultat au cas non-commutatif, et on en déduit (sous certaines conditions) des obstructions cohomologiques non-abéliennes à l'existence de points $k$-rationnels sur $X$, et des résultats sur la descente des torseurs.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Mathématiques pures : Lille 1 : 2004. / N° d'ordre (Lille 1) : 3543. Textes en anglais et en français. Résumé en français et en anglais. Titre provenant de la page de titre du document numérisé. Bibliogr. p. 136-138.

Depuis les 50 dernières années, de nombreux progrès ont été faits dans la compréhension du comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés algébriques. Des conjectures précises ont été avancées par Baryrev, Manin et Peyre quant à la formule asymptotique attendue pour une variété générale.En 1962, à l'aide d'arguments issus de la méthode du cercle de Hardy et Littlewood, B. Birch a donné une estimation précise du nombre de points à coordonnées entières bornées dans une hypersurface définie par une équation homogène. Ceci revient à démontrer la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre pour les hypersurfaces de l'espace projectif. Plus récemment, V. Blomer et J. Brüdern ont élaboré des techniques leur permettant d'établir une formule pour le comportement asymptotique du nombre de points de hauteur bornée pour des hypersurfaces d'espaces multiprojectifs définies par des équations multihomogènes diagonales. Parallèlement, D. Schindler a démontré la conjecture pour des hypersurfaces générales d'espaces biprojectifs, à l'aide de développements de la méthode de Birch.L'objet de cette thèse a été d'utiliser et de généraliser les techniques de Schindler, Blomer et Brüdern afin de démontrer la validité de la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre pour le cas d'hypersurfaces de variétés toriques plus générales.Ce travail est composé de trois parties. La première partie concerne le cas particulier des hypersurfaces de tridegré (1,1,1) d'un espace triprojectif. Ce cas particulier constitue une première extension des techniques de Schindler à des variétés toriques dont le rang du groupe de Picard est 3. La deuxième partie est consacrée à l'étude des hypersurfaces d'une famille de variétés toriques dont le rang du groupe de Picard est 2 et contenant la famille des espaces biprojectifs. Il s'agit en effet d'étendre la méthode de Schindler afin d'obtenir une formule asymptotique pour le nombre de points de hauteur bornée sur ces variétés. Enfin, dans la dernière partie, nous généralisons les méthodes développées dans les deux parties précédentes à des hypersurfaces des variétés toriques complètes lisses de rang de groupe dont le cône effectif est supposé simplicial, ce qui nous permet de démontrer la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre pour ces variétés. / For the last 50 years, many progresses have been made in the understanding of the asymptotic behaviour of the number of rational points of bouded height on algebraic varieties. Some precise conjectures have been advanced by Batyrev, Manin, and Peyre for the expected asymptotic formula for a general variety.In 1962, using some arguments of the Hardy-Littlewood circle method, B. Birch gave a precise estimate for the number of integral points whose coordinates are bounded on an hypersurface defined by an homogeneous equation. This amounts to demonstrating the Batyrev-Manin-Peyre conjecture for hypersurfaces of projective spaces. More recently, V. Blomer and J. Brüdern developed some methods permitting to establish a formula for the asymptotic growth of the number of points of bounded height on hypersurfaces of multiprojective spaces defined by multihomogeneous diagonal equations. In the same time, D. Schindler proved the conjecture for general hypersurfaces of biprojective spaces by using some developements of the method of Birch.The aim of this thesis was to use and generalize the methods of Schindler, blomer, and Brüdern in order to prove the Batyrev-Manin-Peyre conjecture in the case of hypersurfaces of some general toric varieties.This work contain three parts. The first one deals with the particular case of hypersurfaces of tridegree (1,1,1) of triprojective spaces. This particular case is a first extension of the method of Schindler to some toric varieties whose rank of the Picard group is 3. The second part deals with the study of hypersurfaces of a class of toric varieties whose rank of the Picard group is 2 and containing biprojective spaces. We establish a generalization of the method of Schindler method in order to find an asymptotic formula for the number of points of bounded height on these vrieties. Finally, in the last part, we generalize the methods developed in the last two part to treat the case of hypersurfaces of complete non-singular toric vareties whose effective cone is simplicial. This permits to prove the conjecture of batyrev-Manin-Peyre for these varieties.

L'étude de la distribution des points rationnels sur les variétés algébriques est un sujet classique de la géométrie diophantienne. Le programme proposé par V. Batyrev et Y. Manin dans des années 90 donne une prédiction sur l'ordre de croissance tandis que sa version ultérieure dûe à E. Peyre conjecture l'existence d'une distribution globale. Dans cette thèse nous nous proposons une étude de la distribution locale des points rationnels de hauteur bornée sur les variétés algébriques. Ceci envisage une description plus fine que celle globale en dénombrant les points le plus proche d'un point fixé. Nous nous plaçons sur le cadre récent du travail de D. McKinnon et M. Roth qui met en évidence que la géométrie de la variété gouverne l'approximation diophantienne sur elle et nous reprenons les résultats de S. Pagelot. L'ordre de croissance espéré et l'existence d'une mesure asymptotique sur certaines surfaces toriques sont démontrés, alors que démontrons-nous un résultat totalement différent pour une autre surface sur laquelle il n'y pas de mesure asymptotique et les meilleurs approximants génériques s'obtiennent sur des courbes rationnelles nodales. Ces deux phénomènes sont de nature radicalement différente au point de vu de l'approximation diophantienne. / The study of the distribution of rational points on algebraic varieties is a classic subject of Diophantine geometry. The program proposed by V. Batyrev and Y. Manin in the 1990s gives a prediction on the order of growth whereas its later version due to E. Peyre conjectures the existence of a global distribution. In this thesis we propose a study of the local distribution of rational points of bounded height on algebraic manifolds. This aims at giving a description finer than the global one by counting the points closest to a fixed point. We set ourselves on the recent framework of the work of D. McKinnon and M. Roth who prefers that the geometry of the variety governs the Diophantine approximation on it and we take up the results of S. Pagelot. The expected order of growth and the existence of an asymptotic measure on some toric surfaces are demonstrated, while we demonstrate a totally different result for another surface on which there is no asymptotic measure and the best generic approximates are obtained on nodal rational curves. These two phenomena are of a radically different nature from the point of view of the Diophantine approximation.

Dans cette thèse nous étudions deux aspects distincts des variétés toriques, l'un purement géométrique, sur C, et l'autre de nature arithmétique, sur des corps quasi algébriquement clos (corps C1). Les courbes extrémales qui engendrent le cône de Mori d'une variété torique projective sont des courbes primitives (V. Batyrev). En 2009, D. Cox et C. von Renesse ont conjecturé que les courbes primitives engendrent le cône de Mori de toute variété torique dont l'éventail est à support convexe, de dimension maximale. Nous présentons une famille de contre-exemples à cette conjecture et en proposons une nouvelle formulation basée sur la notion de contractibilité locale, généralisant la notion de contractibilité de C. Casagrande. Grâce aux couloirs, outils combinatoires que nous introduisons, nous montrons comment écrire une classe de 1-cycle donnée comme combinaison linéaire à coefficients entiers de classes de courbes toriques. Les couloirs nous permettent de donner une décomposition explicite de toute classe qui n'est pas contractible (couloirs droits) ainsi que de certaines classes contractibles (couloirs circulaires). Les corps C1 sont les corps sur lesquels l'existence de points rationnels dans une variété Y est assurée par le plongement en petit degré de Y dans un espace projectif (par définition) ou dans un espace projectif pondéré (d'après un théorème facile de Kollar). Pour un diviseur ample dans une variété torique dont l'éventail est simplicial et complet, nous montrons qu'il existe encore une notion de petit degré qui assure l'existence de points rationnels. Ceci nous permet notamment de montrer l'existence de points rationnels sur une large classe de variétés rationnellement connexes.

L'étude de la répartition des points rationnels ou algébriques d'une variété algébrique selon leur hauteur est un problème classique de géométrie diophantienne. Dans cette thèse, nous nous intéresserons au cardinal asymptotique de l'ensemble des points algébriques de degré fixé et de hauteur bornée d'une variété lisse de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque la borne sur la hauteur tend vers l'infini. En particulier nous montrerons que cette question peut-être reliée à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre, c'est-à-dire le cas des points rationnels, sur un schéma de Hilbert ponctuel. Nous en déduisons ainsi la distribution des points algébriques de degré fixé d'une courbe rationnelle. Lorsque la variété de départ est une surface lisse de Fano, notre étude montre que les schémas de Hilbert associés fournissent, sous certaines conditions, de nouveaux contre-exemples à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. Néanmoins, pour deux surfaces que nous étudions en détail, les schémas de Hilbert associés vérifient une version légèrement affaiblie de la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. / The study of the distribution of rational or algebraic points of an algebraic variety according to their height is a classic problem in Diophantine geometry. In this thesis, we will be interested in the asymptotic cardinality of the set of algebraic points of fixed degree and bounded height of a smooth Fano variety defined over a number field, when the bound on the height tends to infinity. In particular, we show that this can be connected to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture, i.e. the case of rational points, on some ponctual Hilbert scheme. We thus deduce the distribution of algebraic points of fixed degree on a rational curve. When the variety is a smooth Fano surface, our study shows that the associated Hilbert schemes provide, under certain conditions, new counterexamples to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture. However, in two cases detailed in this thesis, the associated Hilbert schemes satisfie a slightly weaker version of the Batyrev-Manin-Peyre conjecture.

Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'une conjecture de Lang et Silverman de minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Le premier chapitre décrit le matériel nécessaire à l'étude des chapitres suivants et fixe les notations et normalisations. On montre dans le second chapitre que la conjecture est vraie pour certaines classes de variétés abéliennes de dimension 2, en particulier pour les jacobiennes ayant potentiellement bonne réduction et restant loin des produits de courbes elliptiques dans l'espace de modules. Le second chapitre renferme aussi des corollaires allant dans la direction de la conjecture de borne uniforme sur la torsion et de majoration uniforme du nombre de points rationnels d'une courbe de genre 2. Le troisième chapitre généralise les résultats de minoration du second chapitre aux jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre g supérieur ou égal à 2. Le quatrième chapitre contient une étude de la restriction des scalaires à la Weil et une étude asymptotique de la hauteur des points de Heegner sur les jacobiennes de courbes modulaires. Le cinquième chapitre est une annexe contenant des formules explicites utiles pour la dimension 2 et un paragraphe sur un raisonnement par isogénies.

Nous nous intéressons au nombre de points rationnels des variétés algébriques projectives sur un corps fini. Nous déterminons notamment la fonction zêta (et plus précisément les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur les espaces de cohomologie étale l-adique) des courbes algébriques projectives sans autre hypothèse de lissité ou d'irréductibilité. Nous montrons la divisibilité de ces polynômes dans un revêtement plat de courbes connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Nous obtenons des bornes sur le nombre de points rationnels sur un corps fini dans un revêtement plat entre courbes algébriques projectives connexes, généralisant les bornes connues et notamment celle de Weil. Nous nous sommes également intéressé au problème du nombre de classes dans les corps de fonctions à une variable sur un corps fini. Nous avons établi un théorème de finitude en ce qui concerne les extensions totalement imaginaires d'extensions totalement réelles dont le nombre de classes d'idéaux du corps imaginaire est fixé . Dans le cas où ces extensions sont quadratiques, nous donnons une formule du nombre de classes relatif en terme de fonction L, ainsi qu'une formule liant cette fonction L à une somme de caractères de type Legendre dans le cas du nombre de classe 1. Si l'on suppose de plus que le groupe de Galois d'une telle extension est isomorphe au groupe de Klein, via la théorie du corps de classes ainsi que des factorisations de fonctions zêta et des estimations de régulateurs, nous déterminons ces corps via les extensions d'Artin-Schreier et les jacobiennes.

Dans cette thèse, nous appliquons des outils issus de la théorie d’Arakelov à l’étude de problèmes de géométrie diophantienne. Une notion centrale dans notre étude est la théorie des pentes des fibrés vectoriels hermitiens, introduite par Bost dans les années 90. Nous travaillons plus précisément avec sa généralisation dans le cadre adélique, inspirée par Zhang et développée par Gaudron. Ce mémoire s’articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste en l’étude d’un remarquable théorème de géométrie diophantienne dû à Faltings etWüstholz, qui généralise le théorème du sous-espace de Schmidt. Nous commencerons par retranscrire la démonstration de Faltings et Wüstholz dans le langage de la théorie des pentes. Dans un second temps, nous établirons des variantes effectives de ce théorème, que nous appliquerons pour démontrer une généralisation effective du théorème de Liouville valable pour les points fermés d’une variété projective fixée. Ce résultat fournit en particulier une majoration explicite de la hauteur des points satisfaisant une inégalité analogue à celle du théorème de Liouville classique. Dans la seconde partie de cette thèse, nous établirons de nouvelles mesures d’indépendance linéaire de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif, dans le cas dit rationnel.Notre approche utilise les arguments de la méthode de Baker revisitée par Philippon et Waldschmidt, combinés avec des outils de la théorie des pentes. Nous y intégrons un nouvel argument, inspiré par des travaux antérieurs de Bertrand et Philippon, nous permettant de contourner les difficultés introduites par le cas périodique. Cette approche évite le recours à une extrapolation sur les dérivations à la manière de Philippon et Waldschmidt. Nous parvenons ainsi à supprimer une hypothèse technique contraignante dans plusieurs théorèmes de Gaudron, tout en précisant les mesures obtenues. / In this thesis, we study diophantine geometry problems on projective varieties and commutative algebraic groups, by means of tools from Arakelov theory. A central notion in this work is the slope theory for hermitian vector bundles, introduced by Bost in the 1990s. More precisely, we work with its generalization in an adelic setting, inspired by Zhang and developed by Gaudron. This dissertation contains two major lines. The first one is devoted to the study of a remarkable theorem due to Faltings and Wüstholz, which generalizes Schmidt’s subspace theorem. We first reformulate the proof of Faltings and Wüstholz using the formalism of adelic vector bundles and the adelic slope method. We then establish some effective variants of the theorem, and we deduce an effective generalization of Liouville’s theorem for closed points on a projective variety defined over a number field. In particular, we give an explicit upper bound for the height of the points satisying a Liouville-type inequality. In the second part, we establish new measures of linear independence of logarithms over a commutative algebraic group. We focus our study on the rational case. Our approach combines Baker’s method (revisited by Philippon and Waldschmidt) with arguments from the slope theory. More importantly, we introduce a new argument to deal with the periodic case, inspired by previous works of Bertrand and Philippon. This method does not require the use of an extrapolation on derivations in the sense of Philippon-Waldschmidt. In this way, we are able to remove an important hypothesis in several theorems of Gaudron establishing lower bounds for linear forms in logarithms.