Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers. Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and subsequently use this tool to prove the claimed results.

Ce mémoire s’applique à étudier d’abord, dans la première partie, la mesure de Mahler des polynômes à une seule variable. Il commence en donnant des définitions et quelques résultats pertinents pour le calcul de telle hauteur. Il aborde aussi le sujet de la question de Lehmer, la conjecture la plus célèbre dans le domaine, donne quelques exemples et résultats ayant pour but de résoudre la question. Ensuite, il y a l’extension de la mesure de Mahler sur les polynômes à plusieurs variables, une démarche semblable au premier cas de la mesure de Mahler, et le sujet des points limites avec quelques exemples. Dans la seconde partie, on commence par donner des définitions concernant un ordre supérieur de la mesure de Mahler, et des généralisations en passant des polynômes simples aux polynômes à plusieurs variables. La question de Lehmer existe aussi dans le domaine de la mesure de Mahler supérieure, mais avec des réponses totalement différentes. À la fin, on arrive à notre objectif, qui sera la démonstration de la généralisation d’un théorème de Boyd-Lawton, ce dernier met en évidence une relation entre la mesure de Mahler des polynômes à plusieurs variables avec la limite de la mesure de Mahler des polynômes à une seule variable. Ce résultat a des conséquences en termes de la conjecture de Lehmer et sert à clarifier la relation entre les valeurs de la mesure de Mahler des polynômes à une variable et celles des polynômes à plusieurs variables, qui, en effet, sont très différentes en nature. / This thesis applies to study first, in part 1, the Mahler measure of polynomials in one variable. It starts by giving some definitions and results that are important for calculating this height. It also addresses the topic of Lehmer’s question, an interesting conjecture in the field, and it gives some examples and results aimed at resolving the issue. The extension of the Mahler measure to several variable polynomials is then considered including the subject of limit points with some examples. In the second part, we first give definitions of a higher order for the Mahler measure, and generalize from single variable polynomials to multivariable polynomials. Lehmer’s question has a counterpart in the area of the higher Mahler measure, but with totally different answers. At the end, we reach our goal, where we will demonstrate the generalization of a theorem of Boyd-Lawton. This theorem shows a relation between the limit of Mahler measure of multivariable polynomials with Mahler measure of polynomials in one variable. This result has implications in terms of Lehmer's conjecture and serves to clarify the relationship between the Mahler measure of one variable polynomials, and the Mahler measure of multivariable polynomials, which are very different.

Cette thèse s'intéresse à l'étude des propriétés et applications de quatre familles des fonctions spéciales associées aux groupes de Weyl et dénotées $C$, $S$, $S^s$ et $S^l$. Ces fonctions peuvent être vues comme des généralisations des polynômes de Tchebyshev. Elles sont en lien avec des polynômes orthogonaux à plusieurs variables associés aux algèbres de Lie simples, par exemple les polynômes de Jacobi et de Macdonald. Elles ont plusieurs propriétés remarquables, dont l'orthogonalité continue et discrète. En particulier, il est prouvé dans la présente thèse que les fonctions $S^s$ et $S^l$ caractérisées par certains paramètres sont mutuellement orthogonales par rapport à une mesure discrète. Leur orthogonalité discrète permet de déduire deux types de transformées discrètes analogues aux transformées de Fourier pour chaque algèbre de Lie simple avec racines des longueurs différentes. Comme les polynômes de Tchebyshev, ces quatre familles des fonctions ont des applications en analyse numérique. On obtient dans cette thèse quelques formules de <<cubature>>, pour des fonctions de plusieurs variables, en liaison avec les fonctions $C$, $S^s$ et $S^l$. On fournit également une description complète des transformées en cosinus discrètes de types V--VIII à $n$ dimensions en employant les fonctions spéciales associées aux algèbres de Lie simples $B_n$ et $C_n$, appelées cosinus antisymétriques et symétriques. Enfin, on étudie quatre familles de polynômes orthogonaux à plusieurs variables, analogues aux polynômes de Tchebyshev, introduits en utilisant les cosinus (anti)symétriques. / This thesis presents several properties and applications of four families of Weyl group orbit functions called $C$-, $S$-, $S^s$- and $S^l$-functions. These functions may be viewed as generalizations of the well-known Chebyshev polynomials. They are related to orthogonal polynomials associated with simple Lie algebras, e.g. the multivariate Jacobi and Macdonald polynomials. They have numerous remarkable properties such as continuous and discrete orthogonality. In particular, it is shown that the $S^s$- and $S^l$-functions characterized by certain parameters are mutually orthogonal with respect to a discrete measure. Their discrete orthogonality allows to deduce two types of Fourier-like discrete transforms for each simple Lie algebra with two different lengths of roots. Similarly to the Chebyshev polynomials, these four families of functions have applications in numerical integration. We obtain in this thesis various cubature formulas, for functions of several variables, arising from $C$-, $S^s$- and $S^l$-functions. We also provide a~complete description of discrete multivariate cosine transforms of types V--VIII involving the Weyl group orbit functions arising from simple Lie algebras $C_n$ and $B_n$, called antisymmetric and symmetric cosine functions. Furthermore, we study four families of multivariate Chebyshev-like orthogonal polynomials introduced via (anti)symmetric cosine functions.

La plupart des modèles en statistique classique repose sur une hypothèse sur la distribution des données ou sur une distribution sous-jacente aux données. La validité de cette hypothèse permet de faire de l’inférence, de construire des intervalles de confiance ou encore de tester la fiabilité du modèle. La problématique des tests d’ajustement vise à s’assurer de la conformité ou de la cohérence de l’hypothèse avec les données disponibles. Dans la présente thèse, nous proposons des tests d’ajustement à la loi normale dans le cadre des séries chronologiques univariées et vectorielles. Nous nous sommes limités à une classe de séries chronologiques linéaires, à savoir les modèles autorégressifs à moyenne mobile (ARMA ou VARMA dans le cas vectoriel). Dans un premier temps, au cas univarié, nous proposons une généralisation du travail de Ducharme et Lafaye de Micheaux (2004) dans le cas où la moyenne est inconnue et estimée. Nous avons estimé les paramètres par une méthode rarement utilisée dans la littérature et pourtant asymptotiquement efficace. En effet, nous avons rigoureusement montré que l’estimateur proposé par Brockwell et Davis (1991, section 10.8) converge presque sûrement vers la vraie valeur inconnue du paramètre. De plus, nous fournissons une preuve rigoureuse de l’inversibilité de la matrice des variances et des covariances de la statistique de test à partir de certaines propriétés d’algèbre linéaire. Le résultat s’applique aussi au cas où la moyenne est supposée connue et égale à zéro. Enfin, nous proposons une méthode de sélection de la dimension de la famille d’alternatives de type AIC, et nous étudions les propriétés asymptotiques de cette méthode. L’outil proposé ici est basé sur une famille spécifique de polynômes orthogonaux, à savoir les polynômes de Legendre. Dans un second temps, dans le cas vectoriel, nous proposons un test d’ajustement pour les modèles autorégressifs à moyenne mobile avec une paramétrisation structurée. La paramétrisation structurée permet de réduire le nombre élevé de paramètres dans ces modèles ou encore de tenir compte de certaines contraintes particulières. Ce projet inclut le cas standard d’absence de paramétrisation. Le test que nous proposons s’applique à une famille quelconque de fonctions orthogonales. Nous illustrons cela dans le cas particulier des polynômes de Legendre et d’Hermite. Dans le cas particulier des polynômes d’Hermite, nous montrons que le test obtenu est invariant aux transformations affines et qu’il est en fait une généralisation de nombreux tests existants dans la littérature. Ce projet peut être vu comme une généralisation du premier dans trois directions, notamment le passage de l’univarié au multivarié ; le choix d’une famille quelconque de fonctions orthogonales ; et enfin la possibilité de spécifier des relations ou des contraintes dans la formulation VARMA. Nous avons procédé dans chacun des projets à une étude de simulation afin d’évaluer le niveau et la puissance des tests proposés ainsi que de les comparer aux tests existants. De plus des applications aux données réelles sont fournies. Nous avons appliqué les tests à la prévision de la température moyenne annuelle du globe terrestre (univarié), ainsi qu’aux données relatives au marché du travail canadien (bivarié). Ces travaux ont été exposés à plusieurs congrès (voir par exemple Tagne, Duchesne et Lafaye de Micheaux (2013a, 2013b, 2014) pour plus de détails). Un article basé sur le premier projet est également soumis dans une revue avec comité de lecture (Voir Duchesne, Lafaye de Micheaux et Tagne (2016)). / Several phenomena from natural and social sciences rely on distribution’s assumption among which the normal distribution is the most popular. The validity of that assumption is useful to setting up forecast intervals or for checking model adequacy of the underlying model. The goodness-of-fit procedures are tools to assess the adequacy of the data’s underlying assumptions. Autoregressive and moving average time series models are often used to find the mathematical behavior of these phenomena from natural and social sciences, and especially in the finance area. These models are based on some assumptions including normality distribution for the innovations. Normality assumption may be helpful for some testing procedures. Furthermore, stronger conclusions can be drawn from the adjusted model if the white noise can be assumed Gaussian. In this work, goodness-of-fit tests for checking normality for the innovations from autoregressive moving average time series models are proposed for both univariate and multivariate cases (ARMA and VARMA models). In our first project, a smooth test of normality for ARMA time series models with unknown mean based on a least square type estimator is proposed. We derive the asymptotic null distribution of the test statistic. The result here is an extension of the paper of Ducharme et Lafaye de Micheaux (2004), where they supposed the mean known and equal to zero. We use the least square type estimator proposed by Brockwell et Davis (1991, section 10.8) and we provide a rigorous proof that it is almost surely convergent. We show that the covariance matrix of the test is nonsingular regardless if the mean is known. We have also studied a data driven approach for the choice of the dimension of the family and we gave a finite sample approximation of the null distribution. Finally, the finite and asymptotic sample properties of the proposed test statistic are studied via a small simulation study. In the second project, goodness-of-fit tests for checking multivariate normality for the innovations from vector autoregressive moving average time series models are proposed. Since these time series models may rely on a large number of parameters, structured parameterization of the functional form is allowed. The methodology also relies on the smooth test paradigm and on families of orthonormal functions with respect to the multivariate normal density. It is shown that the smooth tests converge to convenient chi-square distributions asymptotically. An important special case makes use of Hermite polynomials, and in that situation we demonstrate that the tests are invariant under linear transformations. We observed that the test is not invariant under linear transformations with Legendre polynomials. A consistent data driven method is discussed to choose the family order from the data. In a simulation study, exact levels are studied and the empirical powers of the smooth tests are compared to those of other methods. Finally, an application to real data is provided, specifically on Canadian labour market data and annual global temperature. These works were exposed at several meeting (see for example Tagne, Duchesne and Lafaye de Micheaux (2013a, 2013b, 2014) for more details). A paper based on the first project is submitted in a refereed journal (see Duchesne, Lafaye de Micheaux et Tagne (2016)).

Dans cette thèse nous étudions la caractérisation et l'énumération de polyominos définis par des contraintes de convexité et ou d'évitement de motifs. Nous nous intéressons à l'énumération des polyominos k-convexes selon le semi périmètre, qui n'était connue que pour k=1,2. Nous énumérons une sous classe, les polyominos k-parallélogrammes, grâce à une décomposition récursive dont nous déduisons la fonction génératrice qui est rationnelle. Cette fonction génératrice s'exprime à l'aide des polynômes de Fibonacci, ce qui nous permet d'en déduire une bijection avec les arbres planaires ayant une hauteur inférieure ou égale à k+2. Dans la deuxième partie, nous examinons la notion d'évitement de motif, qui a été essentiellement étudiée pour les permutations. Nous introduisons ce concept dans le contexte de matrices de permutations et de polyominos. Nous donnons des définitions analogues à celles données pour les permutations et nous explorons ses propriétés ainsi que celles du poste associé. Ces deux approches peuvent être utilisées pour traiter des problèmes ouverts sur les polyominos ou sur d'autres objets combinatoires. / In this thesis, we consider the problem of characterising and enumerating sets of polyominoes described in terms of some constraints, defined either by convexity or by pattern containment. We are interested in a well-known subclass of convex polyominoes, the k-convex polyominoes for which the enumeration according to the semi-perimeter is known only for k=1,2. We obtain, from recursive decomposition, the generating function of the class of k-convex parallelogram polyominoes, which turns out to be rational. Noting that this generating function can be expressed in terms of the Fibonacci polynomials, we describe a bijection between the class of k-parallelogram polyominoes and the class of planted planar trees having height less than k+3. In the second part of the thesis we examine the notion of pattern avoidance, which has been extensively studied for permutations. We introduce the concept of pattern avoidance in the context of matrices, more precisely permutation matrices and polyomino matrices. We present definitions analogous to those given for permutations and in particular we define polyomino classes, i.e. sets downward closed with respect to the containment relation. So, the study of the old and new properties of the redefined sets of objects has not only become interesting, but it has also suggested the study of the associated poset. In both approaches our results can be used to treat open problems related to polyominoes as well as other combinatorial objects.

Cette thèse se situe au carrefour de la combinatoire énumérative, algébrique et bijective. Elle se consacre d’une part à traduire des problèmes algébriques en des problèmes combinatoires, et inversement, utilise le formalisme algébrique pour traiter des questions combinatoires.Après un rappel des notions classiques de combinatoire et de structures algébriques, nous abordons l’étude des tableaux de dominos décalés, qui sont des objets combinatoires définis dans le but de mieux comprendre la combinatoire des fonctions symétriques P et Q de Schur. Nous donnons la définition de ces tableaux et nous démontrons qu'ils sont en bijection avec les paires de tableaux de Young décalés. Cette bijection nous permet de voir ces objets comme des éléments du super monoïde plaxique décalé, qui est l'analogue décalé du super monoïde plaxique de Carré et Leclerc. Nous montrons aussi que ces tableaux décrivent un produit de deux fonctions P de Schur et en prenant un autre type de tableaux de dominos décalés, nous décrivons un produit de deux fonctions Q de Schur. Nous proposons aussi deux algorithmes d'insertion pour les tableaux de dominos décalés, analogues aux algorithmes d'insertion mixte et d'insertion gauche-droit de Haiman. Toujours dans le domaine de la combinatoire bijective, nous nous intéressons dans la deuxième partie de notre travail à des bijections en lien avec des statistiques sur les permutations et les nombres eulériens.Dans cette deuxième partie de thèse, nous introduisons l'unimodalité des suites finies associées aux différentes directions dans le triangle eulérien. Nous donnons dans un premier temps une interprétation combinatoire ainsi que la relation de récurrence des suites associées à la direction (1,t) dans le triangle eulérien, où t≥1. Ces suites sont les coefficients de polynômes appelés les polynômes eulériens avec succession d'ordre t, qui généralisent les polynômes eulériens. Nous démontrons par une bijection entre les permutations et des chemins nord-est étiquetés que ces suites sont log-concaves et donc unimodales. Puis nous prouvons que les suites associées aux directions (r,q), où r est un entier positif et q est un entier, tel que r+q≥0, sont aussi log-concaves et donc unimodales / This thesis is at the crossroads of enumerative, algebraic and bijective combinatorics. It studies some algebraic problems from a combinatorial point of view, and conversely, uses algebraic formalism to deal with combinatorial questions.After a reminder about classical notions of combinatoics and algebraic structures, We introduce new combinatorial objects called the shifted domino tableaux, these objects can be seen as a shifted analog of domino tableaux or as an extension of shifted Young tableaux. We prove that these objects are in bijection with pairs of shifted Young tableaux. This bijection shows that shifted domino tableaux can be seen as elements of the super shifted plactic monoid, which is the shifted analog of the super plactic monoid. We also show that the sum over all shifted domino tableaux of a fixed shape describe a product of two P-Schur functions, and by taking a different kind of shifted domino tableaux we describe a product of two Q-Schur functions. We also propose two insertion algorithms for shifted domino tablaux, analogous to Haiman's left-right and mixed insertion algorithms. Still in the field of bijective combinatorics, we are interested in the second part of our work with bijections related to statistics on permutations and Eulerian numbers.In this second part of this thesis, we introduce the unimodality of finite sequences associated to different directions in the Eulerian triangle. We first give a combinatorial interpretations as well as recurrence relations of sequences associated with the direction (1, t) in the Eulerian triangle, where t≥1. These sequences are the coefficients of polynomials called the t-successive eulerian polynomials, which generalize the eulerian polynomials. We prove using a bijection between premutations and north-east lattice paths that those sequences are unomodal. Then we prove that the sequences associated with the directions (r, q), where r is a positive integer and q is an integer such that r + q ≥ 0, are also log-concave and therefore unimodal

Dans cette thèse, nous proposons une méthodologie de conception d’architectures de communication dédiées aux réseaux de capteurs basées sur la technique de radio impulsionnelle pour les transmissions ultralarge bande (ULB). La technique impulsionnelle proposée ici repose sur la modulation de forme d’impulsion. L’approche de conception architecturale présentée dans cette thèse se focalise plus particulièrement sur la forme des impulsions et leur génération, qui revêt un intérêt majeur puisqu’elle constitue le support de l’information échangée. L’étude sur le choix de la forme d’impulsion nous a conduit à proposer deux architectures différentes. Une première architecture repose sur les polynômes orthogonaux, et plus particulièrement sur les polynômes d’Hermite, pour la génération des impulsions, et sur une architecture de corrélation pour la détection et la reconnaissance des trains d’impulsions transmis. La deuxième architecture est basée sur la transformée en paquets d’ondelettes discrète et peut être exploitée selon deux modes d’utilisation différents, mono et multiutilisateurs. L’utilisation d’une architecture de synthèse à l’émission et d’analyse à la réception ouvre une nouvelle orientation pour les communications numériques, permettant à la transformée en ondelettes d’assurer à la fois la génération des impulsions à l’émission et leur reconnaissance à la réception. Un intérêt immédiat de la technique proposée permet notamment de faciliter l’accès multiutilisateurs au canal ultralarge bande, et d’autoriser des communications simultanées (Many-to-one, des nœuds vers le puits) ou du broadcast (One-to-many, du puits vers les nœuds) sans surcharger la couche MAC. L’architecture proposée s’inscrit donc à l’interface des couches PHY et MAC et permet de relâcher les contraintes de conception spécifiques à ces couches / In this thesis, we propose a design methodology for communication architectures dedicated to wireless sensor network based on impulse radio techniques for UWB communications. The impulse technique proposed in this work relies on pulse shape modulation. The architecture design approach proposed in this thesis focuses on pulses shape and their generation, which is of major interest as it constitutes the carrier of the information exchanged. The study on the choice of pulse shape led us to propose two different architectures. The first one is based on orthogonal polynomials, more especially on the Hermite polynomials, for impulse generation, and on a correlation architecture for detection and recognition of transmitted impulses. The second architecture is based on discrete wavelet packet transform and can be used according two different modes, mono and multi-users. The use of both synthesis and analysis architectures for emitter and receiver, respectively, offers a new way for digital communications and allows the wavelet transform to ensure the impulses generation on the transmitter and their recognition on the receiver. A major interest point of the proposed technique is to facilitate the multi-users access to the ultra-wideband channel and to allow simultaneous communications (many-to-one, from the sensors to the sink) or broadcast (one-to-many, from the coordinator to the nodes) but without overloading the MAC layer. Hence, the proposed architecture is part of the interface between both PHY and MAC layers, and allows to release their specific design constraints

Cette thèse se divise en deux grandes parties, la première traite la combinatoire associée à l’ordre normal des opérateurs non-commutatifs et la seconde aborde des distributions symétriques du nombre de croisements et du nombre d’emboîtements, respectivement k-croisements et k-emboîtements, dans des structures combinatoires (partitions, permutations, permutations colorées, …). La première partie étudie l’ordre normal des opérateurs en termes de placements de tours. Nous étudions la forme de l’ordre normal en connectant deux opérateurs non-commutatifs D et U, et des polynômes orthogonaux spéciaux, et établissons des bijonctions entre les coefficients de (D+U)n et le nombre de placements de tours sur un diagramme de Ferrers. Nous donnons également des preuves combinatoires à des conjectures quantiques posées par des physiciens. Dans la seconde partie, nous définissons des statistiques, comme emboîtements et k-emboîtements, sur l’ensemble des permutations du groupe de Coxeter de type B. Nous donnons également des extensions au type B des résultats sur les croisements et les emboîtements, respectivement k-croisements et k-emboîtements dans les permutations de type A, en termes de distributions symétriques. De plus, nous étudions le lien entre les opérateurs non-commutatifs et ces statistiques. D’autres extensions de la distribution de ces statistiques sur les ensembles de partitions colorées et de permutations colorées de types A et B sont ainsi établies / This thesis is divided into two parts, the first deals with the combinatorics associated to the normal ordering form of noncommutative operators and the second addresses the symmetric distributions of the crossing numbers and nesting numbers, respectively k-crossings and k-nestings, in combinatorial structures (partitions, permutations, colored permutations, …). The first part studies the normal order of operators in terms of rook placements. We study the normal ordering form connecting two noncommutative operators D and U, and some special orthogonal polynomials, and establish bijonctions between coefficients of (D+U)n and rook placements in Ferrers diagrams. We also give combinatorial proofs and alternatives to some quantum conjectures posed by physicists. In the second part, we define the notions of statistics, nestings and k-nestings, on the sets of permutations of the Coxeter group of type B. We also give extensions to type B of the results of the crossings and nestings, respectivelu k-crossings and K-nestings in the set of permutations of type A, in terms of symmetric distributions. Likewise, we study the link between non-commutative operators and these statistics. Other extensions of the distribution of these statistics on the sets of colored partitions and colored permutations of type A and B are established

Les précipitations et les débits des cours d'eau constituent les deux variables hydrométéorologiques les plus importantes pour l'analyse des bassins versants. Ils fournissent des informations fondamentales pour la gestion intégrée des ressources en eau, telles que l’approvisionnement en eau potable, l'hydroélectricité, les prévisions d'inondations ou de sécheresses ou les systèmes d'irrigation.Dans cette thèse de doctorat sont abordés deux problèmes distincts. Le premier prend sa source dans l’étude des débits des cours d’eau. Dans le but de bien caractériser le comportement global d'un bassin versant, de longues séries temporelles de débit couvrant plusieurs dizaines d'années sont nécessaires. Cependant les données manquantes constatées dans les séries représentent une perte d'information et de fiabilité, et peuvent entraîner une interprétation erronée des caractéristiques statistiques des données. La méthode que nous proposons pour aborder le problème de l'imputation des débits se base sur des modèles de régression dynamique (DRM), plus spécifiquement, une régression linéaire multiple couplée à une modélisation des résidus de type ARIMA. Contrairement aux études antérieures portant sur l'inclusion de variables explicatives multiples ou la modélisation des résidus à partir d'une régression linéaire simple, l'utilisation des DRMs permet de prendre en compte les deux aspects. Nous appliquons cette méthode pour reconstruire les données journalières de débit à huit stations situées dans le bassin versant de la Durance (France), sur une période de 107 ans. En appliquant la méthode proposée, nous parvenons à reconstituer les débits sans utiliser d'autres variables explicatives. Nous comparons les résultats de notre modèle avec ceux obtenus à partir d'un modèle complexe basé sur les analogues et la modélisation hydrologique et d'une approche basée sur le plus proche voisin. Dans la majorité des cas, les DRMs montrent une meilleure performance lors de la reconstitution de périodes de données manquantes de tailles différentes, dans certains cas pouvant allant jusqu'à 20 ans.Le deuxième problème que nous considérons dans cette thèse concerne la modélisation statistique des quantités de précipitations. La recherche dans ce domaine est actuellement très active car la distribution des précipitations exhibe une queue supérieure lourde et, au début de cette thèse, il n'existait aucune méthode satisfaisante permettant de modéliser toute la gamme des précipitations. Récemment, une nouvelle classe de distribution paramétrique, appelée distribution généralisée de Pareto étendue (EGPD), a été développée dans ce but. Cette distribution exhibe une meilleure performance, mais elle manque de flexibilité pour modéliser la partie centrale de la distribution. Dans le but d’améliorer la flexibilité, nous développons, deux nouveaux modèles reposant sur des méthodes semiparamétriques.Le premier estimateur développé transforme d'abord les données avec la distribution cumulative EGPD puis estime la densité des données transformées en appliquant un estimateur nonparamétrique par noyau. Nous comparons les résultats de la méthode proposée avec ceux obtenus en appliquant la distribution EGPD paramétrique sur plusieurs simulations, ainsi que sur deux séries de précipitations au sud-est de la France. Les résultats montrent que la méthode proposée se comporte mieux que l'EGPD, l’erreur absolue moyenne intégrée (MIAE) de la densité étant dans tous les cas presque deux fois inférieure.Le deuxième modèle considère une distribution EGPD semiparamétrique basée sur les polynômes de Bernstein. Plus précisément, nous utilisons un mélange creuse de densités béta. De même, nous comparons nos résultats avec ceux obtenus par la distribution EGPD paramétrique sur des jeux de données simulés et réels. Comme précédemment, le MIAE de la densité est considérablement réduit, cet effet étant encore plus évident à mesure que la taille de l'échantillon augmente. / Precipitation and streamflow are the two most important meteorological and hydrological variables when analyzing river watersheds. They provide fundamental insights for water resources management, design, or planning, such as urban water supplies, hydropower, forecast of flood or droughts events, or irrigation systems for agriculture.In this PhD thesis we approach two different problems. The first one originates from the study of observed streamflow data. In order to properly characterize the overall behavior of a watershed, long datasets spanning tens of years are needed. However, the quality of the measurement dataset decreases the further we go back in time, and blocks of data of different lengths are missing from the dataset. These missing intervals represent a loss of information and can cause erroneous summary data interpretation or unreliable scientific analysis.The method that we propose for approaching the problem of streamflow imputation is based on dynamic regression models (DRMs), more specifically, a multiple linear regression with ARIMA residual modeling. Unlike previous studies that address either the inclusion of multiple explanatory variables or the modeling of the residuals from a simple linear regression, the use of DRMs allows to take into account both aspects. We apply this method for reconstructing the data of eight stations situated in the Durance watershed in the south-east of France, each containing daily streamflow measurements over a period of 107 years. By applying the proposed method, we manage to reconstruct the data without making use of additional variables, like other models require. We compare the results of our model with the ones obtained from a complex approach based on analogs coupled to a hydrological model and a nearest-neighbor approach, respectively. In the majority of cases, DRMs show an increased performance when reconstructing missing values blocks of various lengths, in some of the cases ranging up to 20 years.The second problem that we approach in this PhD thesis addresses the statistical modeling of precipitation amounts. The research area regarding this topic is currently very active as the distribution of precipitation is a heavy-tailed one, and at the moment, there is no general method for modeling the entire range of data with high performance. Recently, in order to propose a method that models the full-range precipitation amounts, a new class of distribution called extended generalized Pareto distribution (EGPD) was introduced, specifically with focus on the EGPD models based on parametric families. These models provide an improved performance when compared to previously proposed distributions, however, they lack flexibility in modeling the bulk of the distribution. We want to improve, through, this aspect by proposing in the second part of the thesis, two new models relying on semiparametric methods.The first method that we develop is the transformed kernel estimator based on the EGPD transformation. That is, we propose an estimator obtained by, first, transforming the data with the EGPD cdf, and then, estimating the density of the transformed data by applying a nonparametric kernel density estimator. We compare the results of the proposed method with the ones obtained by applying EGPD on several simulated scenarios, as well as on two precipitation datasets from south-east of France. The results show that the proposed method behaves better than parametric EGPD, the MIAE of the density being in all the cases almost twice as small.A second approach consists of a new model from the general EGPD class, i.e., we consider a semiparametric EGPD based on Bernstein polynomials, more specifically, we use a sparse mixture of beta densities. Once again, we compare our results with the ones obtained by EGPD on both simulated and real datasets. As before, the MIAE of the density is considerably reduced, this effect being even more obvious as the sample size increases.

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de méthodes numériques pour les systèmes de réaction-diffusion. Tout d'abord, on étudie le schéma par régularisation du résidu et ses extrapolations; ce schéma introduit un préconditionneur en espace lors de la discrétisation en temps. On prouve la stabilité en norme usuelle et la convergence en norme d'énergie de cette méthode et on l'applique au préconditionnement de méthodes spectrales par des méthodes d'éléments finis. Cette application nécessite le calcul d'asymptotiques précises des polynômes de Legendre et de leurs extrema. On prouve aussi la convergence et l'ordre deux d'une méthode de splitting semi-discrétisée en temps pour les systèmes de réaction-diffusion, l'approximation de Peaceman-Rachford. Enfin, on applique ces méthodes à la simulation d'une équation parabolique non linéaire pour modéliser la croissance de grains et à une équation parabolique non locale venant de la mécanique statistique et modélisant les systèmes autogravitants de fermions.