Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels. / This thesis is divided into five parts concerned with the following topics: the physical and algebraic interpretation of families of multivariate orthogonal functions and their applications, the study of superintegrable quantum systems in two and three dimensions involving reflection operators, the characterization of families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito scheme and the study of the algebraic structures associated to them, the investigation of the relationship between the recoupling of irreducible representations of algebras and superalgebras and superintegrable systems, as well as the algebraic interpretation of families of matrix multi-orthogonal polynomials. In the first part, we develop the physical and algebraic interpretation of the Krawtchouk, Meixner and Charlier families of multivariate orthogonal polynomials as matrix elements of unitary representations of the SO(d + 1), SO(d, 1) and E(d) groups on oscillator states. We determine the transition amplitudes between the states of the singular oscillator associated to the Cartesian and polyspherical bases in terms of the multivariate Hahn polynomials. We examine the 9j coefficients of su(1,1) through the generic superintegrable system on the 3-sphere. We characterize the q-Krawtchouk polynomials as matrix elements of "q-rotations" of U_q(sl_2). We show how to design a two-dimensional spin network that allows perfect state transfer using the two-variable Krawtchouk polynomials and we construct a discrete model of the two-dimensional quantum oscillator using the two-variable Meixner polynomials. In the second part, we study superintegrable systems of Dunkl type, which involve reflections. We examine the Dunkl oscillator in two and three dimensions, the singular Dunkl oscillator in the plane and the generic system on the 2-sphere with reflections. We show that each of these systems is superintegrable. We obtain their constants of motion, we find their symmetry algebras as well as their representations, we give their exact solutions and we exhibit their relationship with the orthogonal polynomials of the Bannai-Ito scheme. In the third part, we characterize two families of polynomials belonging to the Bannai-Ito scheme: the complementary Bannai-Ito polynomials and the Chihara polynomials. We also show that the Bannai–Ito polynomials arise as Racah coefficients for the osp(1,2) superalgebra. We determine the symmetry algebra associated with the dual − 1 Hahn polynomials in the context of the Clebsch-Gordan problem for osp(1,2). We introduce a q -generalization of the Bannai-Ito polynomials by examining the Racah problem for the quantum superalgebra osp_q(1,2). Finally, we show that the q-deformed Bannai-Ito algebra serves as a covariance algebra for osp_q(1,2). In the fourth part, we determine the relationship between the recoupling of representations of the su(1,1) and osp(1,2) algebras and second-order superintegrable systems with or without reflections. We also study representations of Racah–Wilson and Bannai-Ito algebras. Moreover, we show that the Racah Wilson algebra serves as a quadratic covariance algebra for sl(2). In the fifth part, we explicitly construct two families of d-orthogonal polynomials based on su(2). We investigate the squeezed/coherent states of the finite oscillator and we characterize a family of matrix multi-orthogonal polynomials.

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires / This thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies problems related to three orders on permutations: the two said weak orders (right and left) and the strong order or Bruhat order.We first look at the action of the symmetric group on multivariate polynomials. By using the emph{divided differences} operators, one can obtain some generalisations of the Schur function and form bases of non symmetric multivariate polynomials. This construction is similar to the one of Schur functions and also allows for geometric interpretations. We study more specifically the Grothendieck polynomials which were introduced by Lascoux and Schützenberger. Lascoux proved that a product of these polynomials can be interpreted in terms of a product of divided differences. By developing this product, we reobtain a result of Lenart and Postnikov and also prove that it can be interpreted as a sum over an interval of the Bruhat order. We also present our implementation of multivariate polynomials in Sage. This program allows for formal computation on different bases and also implements many changes of bases. It is based on the action of the divided differences operators. The bases include Schubert polynomials, Grothendieck polynomials and Key polynomials. In a second part, we study the emph{Tamari lattice} on binary trees. This lattice can be obtained as a quotient of the weak order. Each tree is associated with the interval of its linear extensions. We introduce a new object called, emph{interval-posets} of Tamari and show that they are in bijection with the intervals of the Tamari lattice. Using these objects, we give the recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given tree. We also give a new proof that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies some functional equation given by Chapoton. Our final contributions deals with the $m$-Tamari lattices. This family of lattices is a generalization of the classical Tamari lattice. It was introduced by Bergeron and Préville-Ratelle and was only known in terms of paths. We give the description of this order in terms of some family of binary trees, in bijection with $m+1$-ary trees. Thus, we generalize our previous results and obtain a recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given one and a new proof of the functional equation. We finish with the description of some new $"m"$ Hopf algebras which are generalizations of the known $FQSym$ on permutations and $PBT$ on binary trees

Le sujet porte sur une classe de codes correcteurs d erreurs dits codes cycliques tordus, et ses applications a l'Informatique quantique et aux codes quasi-cycliques. Les codes cycliques classiques ont une structure d'idéaux dans un anneau de polynômes. Ulmer a introduit en 2008 une généralisation aux anneaux dits de polynômes tordus, une classe d'anneaux non commutatifs introduits par Ore en 1933. Dans cette thèse on explore le cas du corps a quatre éléments et de l'anneau produit de deux copies du corps a deux éléments. / The topic of the thesis is the study of skew cyclic codes, with application to Quantum Computing and quasi-cyclic codes. Classical cyclic codes have a natural structure of ideals in a polynomial ring. This was generalized by Ulmer in 2008 to skew polynomial rings, a class of non commutative rings introduced by Ore in 1933. The latter codes are not classically cyclic if the alphabet ring admits a non trivial automorphism. In this work is explored the cases of the finite field of order four and of a product ring of two copies of the finite field of order two.

L’objectif de cette thèse est de construire des estimateurs non-paramétriques d’une fonction de distribution, d’une densité de probabilité et d’une fonction de régression en utilisant les méthodes d’approximation stochastiques afin de corriger l’effet du bord créé par les estimateurs à noyaux continus classiques. Dans le premier chapitre, on donne quelques propriétés asymptotiques des estimateurs continus à noyaux. Puis, on présente l’algorithme stochastique de Robbins-Monro qui permet d’introduire les estimateurs récursifs. Enfin, on rappelle les méthodes utilisées par Vitale, Leblanc et Kakizawa pour définir des estimateurs d’une fonction de distribution et d’une densité de probabilité en se basant sur les polynômes de Bernstein.Dans le deuxième chapitre, on a introduit un estimateur récursif d’une fonction de distribution en se basant sur l’approche de Vitale. On a étudié les propriétés de cet estimateur : biais, variance, erreur quadratique intégré (MISE) et on a établi sa convergence ponctuelle faible. On a comparé la performance de notre estimateur avec celle de Vitale et on a montré qu’avec le bon choix du pas et de l’ordre qui lui correspond notre estimateur domine en terme de MISE. On a confirmé ces résultatsthéoriques à l’aide des simulations. Pour la recherche pratique de l’ordre optimal, on a utilisé la méthode de validation croisée. Enfin, on a confirmé les meilleures qualités de notre estimateur à l’aide des données réelles. Dans le troisième chapitre, on a estimé une densité de probabilité d’une manière récursive en utilisant toujours les polynômes de Bernstein. On a donné les caractéristiques de cet estimateur et on les a comparées avec celles de l’estimateur de Vitale, de Leblanc et l’estimateur donné par Kakizawa en utilisant la méthode multiplicative de correction du biais. On a appliqué notre estimateur sur des données réelles. Dans le quatrième chapitre, on a introduit un estimateur récursif et non récursif d’une fonction de régression en utilisant les polynômes de Bernstein. On a donné les caractéristiques de cet estimateur et on les a comparées avec celles de l’estimateur à noyau classique. Ensuite, on a utilisé notre estimateur pour interpréter des données réelles. / The aim of this thesis is to construct nonparametric estimators of distribution, density and regression functions using stochastic approximation methods in order to correct the edge effect created by kernels estimators. In the first chapter, we givesome asymptotic properties of kernel estimators. Then, we introduce the Robbins-Monro stochastic algorithm which creates the recursive estimators. Finally, we recall the methods used by Vitale, Leblanc and Kakizawa to define estimators of distribution and density functions based on Bernstein polynomials. In the second chapter, we introduced a recursive estimator of a distribution function based on Vitale’s approach. We studied the properties of this estimator : bias, variance, mean integratedsquared error (MISE) and we established a weak pointwise convergence. We compared the performance of our estimator with that of Vitale and we showed that, with the right choice of the stepsize and its corresponding order, our estimator dominatesin terms of MISE. These theoretical results were confirmed using simulations. We used the cross-validation method to search the optimal order. Finally, we applied our estimator to interpret real dataset. In the third chapter, we introduced a recursive estimator of a density function using Bernstein polynomials. We established the characteristics of this estimator and we compared them with those of the estimators of Vitale, Leblanc and Kakizawa. To highlight our proposed estimator, we used real dataset. In the fourth chapter, we introduced a recursive and non-recursive estimator of a regression function using Bernstein polynomials. We studied the characteristics of this estimator. Then, we compared our proposed estimator with the classical kernel estimator using real dataset.

Une Fonction Latticielle Polynômiale (FLP) sur un treillis L est une fonction p : Ln → L, qui peut être exprimée à partir de variables, de constantes et des opérateurs de treillis ∧ et ∨ . Dans les cas où L est distributif et borné, les FLP incluent les intégrales de Sugeno. Celles-ci sont des fonctions d'agrégation qui permettent de fusionner des valeurs sur des échelles ordinales non numériques, et qui sont utilisées notamment dans l'approche qualitative de l'Aide à la Décision Multi Critères en tant qu'alternatives ordinales aux intégrales de Choquet. Dans une première partie, nous traitons la tâche d'interpolation par des FLP, c'est à dire : pour un treillis L, un sous-ensemble fini D de Ln et une fonction f : D → L, retourner une FLP p : Ln → L telle que p(x) = f(x) pour tout x ∊ D (si une telle FLP existe). Nous traitons successivement le cas où L est un treillis fini et le cas où L est une treillis distributif borné. Dans les deux cas, nous donnons des algorithmes qui résolvent ce problème en temps polynomial. Dans une seconde partie, nous abordons les généralisations des intégrales de Sugeno appelées Fonctions d'Utilité de Sugeno (FUS), qui permettent la fusion de valeurs appartenant à des échelles ordinales différentes, ainsi que leur application à la tâche de classification monotone. Nous introduisons un modèle composé de plusieurs FUS, ainsi qu'un algorithme d'apprentissage d'un tel modèle. Nous comparons ce modèle aux ensembles de règles de décision appris par VC-DomLEM, et étudions le nombre de FUS nécessaires afin de modéliser des données empiriques / A Lattice Polynomial Function (LPF) over a lattice L is a map p : Ln → L that can be defined by an expression involving variables, constants and the lattice operators ∧ and ∨. If L is a distributive lattice, these maps include the so-called Sugeno integrals that are aggregation functions capable of merging ordinal values, not necessarily numerical. They are widely used in the qualitative approach to Multiple Criteria Decision Aiding (MCDA), and they can be thought of as the ordinal counterparts of Choquet integrals. In the first part of this thesis, we tackle the task of interpolating a partial function by an LPF, stated as follows: for a lattice L, a finite subset D of Ln, and a function f : D → L, return an LPF p : Ln → L such that p(x) = f(x) for all x ∊ D (if such an LPF exists). We treat the cases where L is a finite lattice, and then the cases where L is a bounded distributive lattice. In both cases, we provide algorithms that solve this problem in polynomial time. In the second part, we consider generalizations of Sugeno integrals in the multi-attribute setting, in particular, the Sugeno Utility Functions (SUFs), that are able to merge values coming from different ordinal scales. We consider the their use in monotonic classification tasks. We present a model based on a set of SUFs and an algorithm for learning such model from data. We compare this model to the sets of monotonic decision rules learned by VC-DomLEM, and study the number of SUFs that are required in order to model empirical data

L’intérêt des modèles non-linéaires réside, d’une part, dans une meilleure prise en compte des non-linéaritéscaractérisant les séries macroéconomiques et financières et, d’autre part, dans une prévision plus riche en information.A ce niveau, l’originalité des intervalles (asymétriques et/ou discontinus) et des densités de prévision (asymétriqueset/ou multimodales) offerts par cette nouvelle forme de modélisation suggère qu’une amélioration de la prévisionrelativement aux modèles linéaires est alors possible et qu’il faut disposer de tests d’évaluation assez puissants pourvérifier cette éventuelle amélioration. Ces tests reviennent généralement à vérifier des hypothèses distributionnellessur les processus des violations et des transformées probabilistes associés respectivement à chacune de ces formes deprévision. Dans cette thèse, nous avons adapté le cadre GMM fondé sur les polynômes orthonormaux conçu parBontemps et Meddahi (2005, 2012) pour tester l’adéquation à certaines lois de probabilité, une approche déjà initiéepar Candelon et al. (2011) dans le cadre de l’évaluation de la Value-at-Risk. Outre la simplicité et la robustesse de laméthode, les tests développés présentent de bonnes propriétés en termes de tailles et de puissances. L’utilisation denotre nouvelle approche dans la comparaison de modèles linéaires et de modèles non-linéaires lors d’une analyseempirique a confirmé l’idée selon laquelle les premiers sont préférés si l’objectif est le calcul de simples prévisionsponctuelles tandis que les derniers sont les plus appropriés pour rendre compte de l'incertitude autour de celles-ci. / The interest of non-linear models is, on the one hand, to better take into account non-linearities characterizing themacroeconomic and financial series and, on the other hand, to get richer information in forecast. At this level,originality intervals (asymmetric and / or discontinuous) and forecasts densities (asymmetric and / or multimodal)offered by this new modelling form suggests that improving forecasts according to linear models is possible and thatwe should have enough powerful tests of evaluation to check this possible improvement. Such tests usually meanchecking distributional assumptions on violations and probability integral transform processes respectively associatedto each of these forms of forecast. In this thesis, we have adapted the GMM framework based on orthonormalpolynomials designed by Bontemps and Meddahi (2005, 2012) to test for some probability distributions, an approachalready adopted by Candelon et al. (2011) in the context of backtesting Value-at-Risk. In addition to the simplicity androbustness of the method, the tests we have developed have good properties in terms of size and power. The use of ournew approach in comparison of linear and non-linear models in an empirical analysis confirmed the idea according towhich the former are preferred if the goal is the calculation of simple point forecasts while the latter are moreappropriated to report the uncertainty around them.

Dans cette thèse, j’étudie trois sujets reliés : les modèles de tenseurs, les nombres de Hurwitz et les polynômes de Macdonald-Koornwinder. Les modèles de tenseurs généralisent les modèles de matrices en tant qu’une approche à la gravité quantique en dimension arbitraire (les modèles de matrices donnent une version bidimensionnelle). J’étudie un modèle particulier qui s’appelle le modèle quartique mélonique. Sa spécialité est qu’il s’écrit en termes d’un modèle de matrices qui est lui-même aussi intéressant. En utilisant les outils bien établis, je calcule les deux premiers ordres de leur 1=N expansion. Parmi plusieurs interprétations, les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés de surfaces de Riemann. Ils sont connectés avec de nombreux sujets en mathématiques contemporaines telles que les modèles de matrices, les équations intégrables et les espaces de modules. Ma contribution principale est une formule explicite pour les nombres doubles avec 3-cycles complétées d’une part. Cette formule me permet de prouver plusieurs propriétés intéressantes de ces nombres. Le dernier sujet de mon étude est les polynôme de Macdonald et Koornwinder, plus précisément les identités de Littlewood. Ces polynômes forment les bases importantes de l’algèbre des polynômes symétriques. Un des problèmes intrinsèques dans la théorie des fonctions symétriques est la décomposition d’un polynôme symétrique dans la base de Macdonald. La décomposition obtenue (notamment si les coefficients sont raisonnablement explicites et compacts) est nommée une identité de Littlewood. Dans cette thèse, j’étudie les identités démontrées récemment par Rains et Warnaar. Mes contributions incluent une preuve d’une extension d’une telle identité et quelques progrès partiels vers la généralisation d’une autre. / In this thesis, I study three related subjects: tensor models, Hurwitz numbers and Macdonald-Koornwinder polynomials. Tensor models are generalizations of matrix models as an approach to quantum gravity in arbitrary dimensions (matrix models give a 2D version). I study a specific model called the quartic melonic tensor model. Its specialty is that it can be transformed into a multi-matrix model which is very interesting by itself. With the help of well-established tools, I am able to compute the first two leading orders of their 1=N expansion. Among many interpretations, Hurwitz numbers count the number of weighted ramified coverings of Riemann surfaces. They are connected to many subjects of contemporary mathematics such as matrix models, integrable equations and moduli spaces of complex curves. My main contribution is an explicit formula for one-part double Hurwitz numbers with completed 3-cycles. This explicit formula also allows me to prove many interesting properties of these numbers. The final subject of my study is Macdonald-Koornwinder polynomials, in particular their Littlewood identities. These polynomials form important bases of the algebra of symmetric polynomials. One of the most important problems in symmetric function theory is to decompose a symmetric polynomial into the Macdonald basis. The obtained decomposition (in particular, if the coefficients are explicit and reasonably compact) is called a Littlewood identity. In this thesis, I study many recent Littlewood identities of Rains and Warnaar. My own contributions include a proof of an extension of one of their identities and partial progress towards generalization of one another.

Ce travail de recherche a été réalisé au sein du Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes de l’École Centrale de Lyon (FRANCE) en cotutelle avec l’Unité de Mécanique, Modélisation et Productique (U2MP) à l’École Nationale d’Ingénieurs de Sfax (TUNISIE) dans le cadre du projet européen "Mid-Frequency". La prédiction du comportement dynamique des structures est une tâche importante dans la phase de conception de tout produit mécanique. Le choix de l’outil ou de la méthode utilisée dépend de plusieurs facteurs. Pour un système dynamique, la bande de fréquence d’étude est l’un des paramètres essentiels étant donné qu’il existe des approches appropriées pour chaque domaine fréquentiel. Ces derniers seront rapidement inapplicables en changeant le domaine d’application. Par exemple, les méthodes dites hautes fréquences ou globales sont très limitées dans la partie basse du spectre. De même, les méthodes dites basses fréquences deviennent, numériquement, très lourdes et peu performantes si l’on monte en fréquence. Les moyennes fréquences représentent alors les hautes fréquences pour les méthodes globales et les basses fréquences pour les méthodes locales. Comme les incertitudes jouent un rôle important dans les comportements vibratoires en moyennes fréquences, le travail présenté de ce mémoire est une contribution à la recherche d’une approche peu coûteuse en temps de calcul permettant l’extension d’une méthode locale : la méthode des éléments finis ondulatoires, à cette bande de fréquence pour les systèmes à caractère non déterministe. Cette contribution consiste à tenir compte des incertitudes présentes dans le système étudié pour évaluer la dispersion des différents paramètres (spectraux, de diffusion, dynamiques, etc.) et leurs effets sur la réponse globale (cinématique et énergétique) de la structure. Le travail présenté peut être partagé en deux parties. La première concerne le développement des formulations explicites et directes des dispersions des différents paramètres. Cette partie se base sur l’utilisation de la méthode de perturbation à l’ordre un. La deuxième partie est une généralisation de la première. En effet, l’utilisant de la projection des variables aléatoires sur la base des polynômes de chaos permet une évaluation plus générale des effets des incertitudes sur la dynamique des structures périodiques en moyennes fréquences. / The prediction of dynamic behavior of structures is an important task in the design step of any mechanical product. There are many factors affecting the choice of the used methods. For a dynamic system, the frequency band under study is one of the important parameters since for each frequency range exists its appropriate approach which can be quickly inapplicable in other domains. For example, the high frequency methods are very limited in the lower part of the spectrum. Similarly, the so-called low-frequency methods become numerically inefficient if it goes up in frequency range. The mid-frequencies then represent the high-frequencies for global and low frequencies for local methods. Knowing that uncertainties play an important role on the vibro-acoustics behavior in mid-frequencies, the presented work is a contribution to the research approach, with inexpensive computing time, allowing the extension of a local method, called ’the wave finite element method’, in this frequency band. These contributions consist in taking into account uncertainties in the studied system to evaluate the dispersion of all parameters (spectral, diffusion, dynamics, etc.) and their effects on the global response (kinematic and energetic) of the structure. The presented work can be divided into two main parts. The first one involves the development of an explicit and direct formulation describing the dispersion of different parameters; this part is based on the first-order perturbation method. The second part is a generalization of the first one; indeed, using the chaos polynomial projection of all random variables allows a more general assessment of the effects of uncertainties on the dynamics of periodic structure in mid-frequency range.

Le véhicule est un système dynamique complexe, composé de différents sous-systèmes de nature différente (moteur, système de freinage, suspension ...). Chaque sous-système est décrit par un modèle mathématique dépendant d’un nombre important de paramètres, très souvent incertains (méconnaissance, manque de mesures,…). L’incertitude sur les paramètres se propage à travers le modèle et se retrouve sur la sortie. Cette dernière représente les forces et moments mis en jeu dans le véhicule. L’incertitude sur la sortie n’est pas toujours tolérable pour des raisons de sécurité, précision,…Situé dans ce contexte, les travaux de la thèse consistent à proposer des méthodes d’analyse de sensibilité permettant de déterminer les paramètres dont les incertitudes ont un effet significatif sur le comportement d’un système donné, en particulier le véhicule. Dans une première partie, le cas des modèles à paramètres dépendants et suivant une distribution arbitraire est étudié. Une méthode, basée sur la décorrélation des paramètres par la décomposition de Cholesky, a été proposée. Pour résoudre le problème de la distribution arbitraire, l’approximation par polynôme du chaos arbitraire est adoptée, en construisant une base orthonormale en termes de moments statistiques non centrés des paramètres. Les indices de sensibilité, permettant de quantifier la contribution de chaque paramètre à la variance de la sortie, sont obtenus directement à partir des coefficients des polynômes du chaos ainsi obtenus. La méthode proposée est appliquée et validée sur un modèle de pneumatique. Dans la deuxième partie, le cas des modèles dynamiques est traité. Une méthode basée sur les dérivées partielles est explorée, puis une approche alternative est proposée. Elle utilise de façon originale des outils de l’Automatique, les grammiens d’atteignabilité et d’observabilité. L’influence des paramètres sur l’énergie consommée en entrée et restituée par le système en sortie est ainsi déterminée. L’avantage de cette technique est que les paramètres peuvent être classifiés selon leurs influences sur l’énergie consommée ou restituée, tout au long de la dynamique du système. D’autre part, l’étude de la sensibilité des paramètres sur les échanges de l’énergie, permet de déterminer un placement optimal des paramètres pour une optimisation de l’énergie consommée et restituée en sortie. Les deux méthodes proposées sont appliquées et validées sur un modèle bicyclette décrivant le comportement dynamique d’un véhicule. Dans la dernière partie, des tests sur véhicule d’essais ont été réalisés sur circuit. Les différentes approches d’analyse de sensibilité ont été appliquées sur les résultats d’essais, afin de recaler des modèles de pneumatique. / The vehicle is a complex dynamic system, composed of various subsystems of different kind (engine, braking system, suspension, etc.). Each subsystem is described by a mathematical model depending on a significant number of parameters, very often uncertain (unknown, lack of measures, etc.). The uncertainty on the parameters is propagated through the model and takes place on the model output. The model output represents the forces and moments involved in the vehicle. The uncertainty on the model output is not always tolerable for safety reasons, precision, etc. In this context, the aim of the thesis is to propose sensitivity analysis methods allowing to determine parameters whose uncertainties have a significant effect on the behavior of a given system. In the first part, the case of models with dependent parameters which follow an arbitrary distribution is studied. A method based on the decorrelation of the parameters using the decomposition of Cholesky, is proposed. To solve the problem of the arbitrary distribution, an approximation using arbitrary polynomial chaos is adopted and an orthonormal data basis is constructed in terms of non central statistical moments of parameters. Sensitivity indices, allowing to quantify the contribution of every parameter to the model output variance, is directly obtained from the polynomial chaos coefficients.The proposed method is applied and validated on a tyre model. In the second part, the case of the dynamic models is studied. A method based on partial derivative is explored. Then a new alternative approach is proposed. This method uses in an original way the control theory tools, the reachability and observability Gramians. The influence of the parameters is formulated in terms the energy consumed and restored by the system. The advantage of this technique is that the parameters can be classified according to their influences on the consumed or restored energy throughout the system dynamics. On the other hand, the study of the parameters sensitivity based on ratio energy exchanged, allows to determine an optimal placement of the parameters for an optimization of consumed and/or restored energy. Both proposed methods are applied and validated using bicycle model describing vehicle dynamic behavior. Finally, the various sensitivity approaches are applied to adjust tyre model parameters using vehicle measurements acquired during a steady-state maneuver.

La positivité gamma d’une suite combinatoire unifie à la fois l’unimodalité et la symétrie de cette suite. Trouver des nouvelles familles d’objets dont les polynômes énumératives ont une positivité gamma est un défi et un sujet important en combinatoire et géométrie. Il a attiré beaucoup d’attention ces derniers temps en raison de la conjecture de Gal, qui affirme que le gamma-vecteur a des coefficients positifs pour n’importe quel polytope simple. Souvent, le h-polynôme pour les polytopes simpliciaux de signification combinatoire peut être donné en tant que fonction génératrice sur un ensemble d’objets combinatoires apparentés par rapport à une statistique telle que le nombre des descentes, dont les polynômes énumératifs sur les permutations sont des polynômes Eulériens. Ce travail traite des propriétés gamma de plusieurs polynômes énumératifs de permutations tels que les polynômes Eulériens et les polynômes de Narayana. Cette thèse contient cinq chapitres / The gamma positivity of a combinatorial sequence unifies both unimodality and symmetry. Finding new family of objets whose enumerative sequences have gamma positivity is a challenge and important topic in recent years. it has received considerable attention in recent times because of Gal’s conjecture, which asserts that the gamma-vector has nonnegative entries for any flag simple polytope. Often times, the h-polynomial for simplicial polytopes of combinatorial signification can be given as a generating function over a related set of combinatorial objects with respect to some statistic like the descent numbers, whose enumerative polynomials on permutations are Eulerian polynomials.This work deals with the gamma properties of several enumerative polynomials of permutation such as Eulerian polynomials and Narayana polynomials. This thesis contains five chapters