En considérant les polynômes sur le corps fini de Galois à deux éléments, notre intention porte sur la divisibilité des trinômes x^am+x^bs+1, pour m>s≥1, par un polynôme irréductible de degré r, pour cela, nous avons réalisé le résultat :S'il existe m, s des entiers positifs tels que le trinôme x^am+x^bs+1 soit divisible par un polynôme irréductible de degré r sur F2, alors a et b ne sont pas divisibles par (2r- 1). Pour ce type de trinômes nous conjecturons que le rapport πM(a,b)/ πM(1,1) tend vers une limite finie (dépendant de a et b) quand M tend vers l'infini. Notre recherche porte ensuite sur les codes cycliques de rendement 1/2 sur les deux corps finis F3 et F5 et nous accentuons notre recherche sur ceux iso duaux. Le problème central dans la théorie du codage est trouver la plus grande distance minimum dq pour laquelle un code de paramètres [n, q, d] sur Fq existe. Dans ce contexte nous avons réussi à optimiser cette distance pour les codes cycliques de taux 1/2 sur F3 et F5 en allant jusqu’à la longueur 74 pour les codes ternaires et 42 pour ceux sur F5. Nous avons aussi réussi à construire sept classes de codes cycliques iso-duaux sur le corps fini à 3 éléments et trois classes de codes cycliques iso-duaux sur le corps fini à 5 éléments. / Considering polynomials over the Galois finite fields for two elements, our intention stand over the divisibility of the trinomials x^am+x^bs+1, for m>s ≥ 1, by an irreducible polynomial of degree r, for this, we contribute to the result :If there exist positive integers m, s such that the trinomial x^am+x^bs+1 is divisible by an irreducible polynomial of degree r over F2, then a and b are not divisible by (2^r- 1). For this type of trinomials we conjectured that the ratios πM(a,b)/ πM(1,1) tend to a finite limit (dependently of a and b) when M tend to infinity. Our research stand at sequel on the cyclic codes of rate 1/2 over the two finite fields F3 and F5 and we check our research over whose are isodual. The so-called fundamental problem in coding theory is finding the largest value of dq for which a code of parameters [n, q, d] over Fq exists. In this context we have successfully optimize this distance for the cyclic codes of rate 1/2 over F3 and F5 up to length 74 for the ternary cyclic codes and 42 for whose over F5. We have also successful to construct seven classes of isodual cyclic codes over the field of 3 elements and three classes over the field of 5 elements.

En hydrologie, l'étude statistique de débits est souvent concentrée sur l'analyse des valeurs extrêmes (crues et étiages). Cette étude porte sur l'analyse des crues, en considérant l'existence de la crue maximale probable (CMP), comme la limite physique supérieure du phénomène. Un appel à la fonction Bêta a été requis, étant donné que cette courbe analytique peut représenter une fonction de densité de probabilité, ayant la particularité d'avoir deux bornes, ainsi qu'en possèdent grand nombre de phénomènes naturels. Cette étude délimite les formes possibles de la fonction Bêta à partir des caractéristiques propres de l'échantillon et des limites supérieure et inférieure du phénomène. L'emploi d'une série de polynômes orthogonaux, de type Jacobi, a permis d'augmenter le degré de convergence vers la vraie fonction de densité de probabilité du phénomène. De cette façon, une amélioration dans les prévisions des crues de rivières peut ainsi être atteinte par l'utilisation de cette nouvelle méthode. En effet, pour la validation du modèle, une série de mille données aléatoires suivant une loi Bêta [0;1000] a été générée, et l'application de cette nouvelle méthode a permis un ajustement très satisfaisant. De plus, une analyse de sensibilité de la fonction Bêta-Jacobi par rapport au nombre optimum des moments à utiliser a démontré que le degré de la fonction à employer se situe entre quatre et six. Il faut cependant souligner que la grandeur de l'échantillon joue un rôle primordial dans l'accroissement de la précision du modèle Bêta - Jacobi. D'autre part, afin de rendre la méthode efficace, précise et facile à utiliser, un logiciel de ce modèle mathématique a été conçu et écrit en langage turbo Pascal (version quatre) pour microordinateur. Finalement, quelques applications pratiques ont été réalisées sur des rivières importantes de la province de Québec, au Canada; ces applications ont révélé un très bon degré d'ajustement entre la fonction de distribution expérimentale et la fonction Bêta-Jacobi. De tels résultats justifient l'applicabilité du nouveau modèle mathématique ici proposé, pour l'analyse d'événements extrêmes en hydrologie, notamment dans l'analyse des crues des rivières. / Québec Université Laval, Bibliothèque 2014

Ce mémoire fait état des résultats obtenus concernant les vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme dans le secteur de Ramond. Une formule explicite exprimant ces vecteurs singuliers a été obtenue en termes de superpolynômes de Jack via la représentation de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes symétriques. On présente d’abord les partitions d’entiers et les fonctions symétriques standards. Ceci permet d’introduire les fonctions propres du modèle Calogero-Sutherland (CS) en termes de polynômes de Jack qui se révèlent être une représentation efficace des vecteurs singuliers de l’algèbre conforme. Suivant cette piste, on procède à la supersymétrisation du modèle CS ce qui permet de générer les superpolynômes de Jack, polynômes symétriques dans le superespace. On présente finalement la formule explicite des vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes de Jack. / This mémoire presents results concerning the Ramond singular vectors of the superconformal algebra. An explicit formula has been obtained for the Ramond singular vectors of the superconformal algebra via its superpolynomial representation and the formula is given here in terms of Jack superpolynomials. We first present some basic elements of the integer partition and symmetric functions theories. This leads us to consider the eigenfunctions of the Calogero-Sutherland (CS) model, the Jack polynomials. These happen to be the singular vectors of the conformal algebra when represented in terms of symmetric polynomials. Given those results, we extend the CS model to the supersymmetric case and interpret its eigenfunctions as the Jack superpolynomials which are symmetric functions in superspace. We then display the explicit formula of the Ramond singular vectors of the superconformal algebra which has been obtained in terms of Jack superpolynomials.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2008-2009 / Les polynômes de Jack sont des polynômes symétriques qui constituent les fonctions propres de l'hamiltonien du problème à N corps complètement intégrable de Calogero- Moser-Sutherland (CMS). Ces polynômes sont bien connus en physique et en mathématiques et plusieurs de leurs propriétés ont été obtenues. Entre autres, il existe des règles, nommées formules de Pieri, qui permettent de développer un produit de deux polynômes de Jack dans une combinaison linéaire de polynômes de Jack. Ces formules ont mené à l'obtention d'opérateurs différentiels analogues à des opérateurs de création qui permettent de générer ces polynômes sans avoir à diagonaliser explicitement l'hamiltonien. Dans le cadre de ce mémoire, on s'intéresse au modèle CMS supersymétrique et plus particulièrement aux généralisations des formules de Pieri. On introduit aussi quelques propriétés des superpolynômes de Jack qui seront utiles pour prouver les formules de Pieri obtenues dans le cas supersymétrique.

Ce mémoire est composé de deux articles qui ont pour but commun de lever le voile et de compléter le schéma d’Askey des q–polynômes orthogonaux dans la limite q = −1. L’objectif est donc de trouver toutes les familles de polynômes orthogonaux dans la limite −1, de caractériser ces familles et de les connecter aux autres familles de polynômes orthogonaux −1 déjà introduites. Dans le premier article, une méthode basée sur la prise de limites dans les relations de récurrence est présentée. En utilisant cette méthode, plusieurs nouvelles familles de polynômes orthogonaux sur des intervals continus sont introduites et un schéma est construit reliant toutes ces familles de polynômes −1. Dans le second article, un ensemble de polynômes, orthogonaux sur l’agencement de quatre grilles linéaires, nommé les polynômes de para-Bannai-Ito est introduit. Cette famille de polynômes complète ainsi la liste des parapolynômes. / This master thesis contains two articles with the common goal of unveiling and completing the Askey scheme of q–orthogonal polynomials in the q = −1 limit. The main objective is to find and characterize new families of -1 orthogonal polynomials and connect them to other already known families. In the first article, a method based on applying limits in recurrence relations is presented. This method is used to find many new families of polynomials orthogonal with respect to continuous measure. A −1 scheme containing them is constructed and a compendium containing the properties of all such families is included. In the second article, a new set of polynomials named the para–Bannai–Ito polynomials is introduced. This new set, orthogonal on a linear quadri–lattice, completes the list of parapolynomials, but it is also a step toward the finalization of the -1 scheme of polynomials orthogonal on finite grids.

En 2010 Chung, Graham et Knuth ont démontré une remarquable identité symétrique sur les nombres eulériens et posé le problème de trouver un q-analogue de leur identité. En utilisant les q-polynômes eulériens introduits par Shareshian-Wachs, nous avons pu obtenir une telle q-identité. La preuve bijective que nous avons imaginée, nous a permis ensuite de démontrer d'autres q-identités symétriques, en utilisant un modèle combinatoire dû à Foata-Han. Entre temps, Hyatt a introduit les fonctions quasisymétriques eulériennes colorées afin d'étudier la distribution conjointe du nombre d'excédances et de l'indice majeur sur les permutations colorées. En appliquant le Decrease Value Theorem de Foata-Han, nous donnons d'abord une nouvelle preuve de sa formule principale sur la fonction génératrice des fonctions quasisymétriques eulériennes colorées, puis généralisons certaines identités eulériennes symétriques, en les exprimant comme des identités sur les fonctions quasisymétriques eulériennes colorées. D'autre part, en prolongeant les travaux récents de Savage-Visontai et Bec-raun, nous considérons plusieurs q-polynômes de descente des mots signés. Leurs fonctions génératrices factorielles et multivariées sont explicitement calculées. Par ailleurs, nous montrons que certains de ces polynômes n'ont que des zéros réels. Enfin, nous étudions la fonction génératrice diagonale des nombres de Jacobi Stirling de deuxième espèce, en généralisant des résultats analogues pour les nombres de Stirling et Legendre-Stirling de deuxième espèce. Il s'avère que cette fonction génératrice est une série rationnelle dont le numérateur est un polynôme à coefficients entiers positifs. En appliquant la théorie des P-partitions de Stanley nous trouvons des interprétations combinatoires de ces coefficients / In 2010 Chung-Graham-Knuth proved an interesting symmetric identity for the Eulerian numbers and asked for a q-analog version. Using the q-Eulerian polynomials introduced by Shareshian-Wachs we find such a q-identity. Moreover, we provide a bijective proof that we further generalize to prove other symmetric qidentities using a combinatorial model due to Foata-Han. Meanwhile, Hyatt has introduced the colored Eulerian quasisymmetric functions to study the joint distribution of the excedance number and major index on colored permutations. Using the Decrease Value Theorem of Foata-Han we give a new proof of his main generating function formula for the colored Eulerian quasisymmetric functions. Furthermore, certain symmetric q-Eulerian identities are generalized and expressed as identities involving the colored Eulerian quasisymmetric functions. Next, generalizing the recent works of Savage-Visontai and Beck-Braun we investigate some q-descent polynomials of general signed multipermutations. The factorial and multivariate generating functions for these q-descent polynomials are obtained and the real rootedness results of some of these polynomials are given. Finally, we study the diagonal generating function of the Jacobi-Stirling numbers of the second kind by generalizing the analogous results for the Stirling and Legendre-Stirling numbers of the second kind. It turns out that the generating function is a rational function, whose numerator is a polynomial with nonnegative integral coefficients. By applying Stanley’s theory of P-partitions we find combinatorial interpretations of those coefficients

Cette thèse a pour contexte la combinatoire énumérative et décrit la construction de plusieurs bijections entre modèles combinatoires connus ou nouveaux de suites d'entiers et polynômes, plus particulièrement celle des nombres de Genocchi (et de leurs extensions, les polynômes de Gandhi) qui interviennent dans diverses branches des mathématiques et dont les propriétés combinatoires sont de ce fait activement étudiées, et celles de polynômes q-eulériens associés aux quatre statistiques fondamentales de MacMahon sur les permutations ainsi qu'à des statistiques analogues. On commence par définir les permutations de Dumont normalisées, un modèle combinatoire des nombres de Genocchi médians normalisés q-étendus, notés ¯cn(q) et définis par Han et Zeng, puis l'on construit une première bijection entre ce modèle et l'ensemble des configurations de Dellac, autre interprétation combinatoire de ¯cn(q) mise en évidence par Feigin dans le contexte de la géométrie des grassmanniennes de carquois. En s'appuyant sur la théorie des fractions continues de Flajolet, on en construit finalement un troisième modèle combinatoire à travers les histoires de Dellac, que l'on relie aux premiers modèles sus-cités au moyen d'une seconde bijection. On s'intéresse ensuite à la classe combinatoire des k-formes irréductibles définies par Hivert et Mallet dans l'étude des k-fonctions de Schur, et qui faisaient l'objet d'une conjecture supposant que les polynômes de Gandhi sont générés par les k-formes irréductibles selon la statistique des k-sites libres. On construit une bijection entre les k-formes irréductibles et les pistolets surjectifs de hauteur k − 1 (connus pour générer les polynômes de Gandhi selon la statistique des points fixes) envoyant les k-sites libres des premières sur les points fixes des seconds, démontrant de ce fait la conjecture. Enfin, on établit une nouvelle identité combinatoire entre deux polynômes q-eulériens définis par des statistiques eulériennes et mahoniennes sur l'ensemble des permutations d'un ensemble fini, au moyen d'une dernière bijection sur les permutations, qui envoie une suite finie de statistiques sur une autre / This work is set in the context of enumerative combinatorics and constructs several statistic-preserving bijections between known or new combinatorial models of sequences of integers or polynomials, espacially the sequence of Genocchi numbers (and their extensions, the Gandhi polynomials) which appear in numerous mathematical theories and whose combinatorial properties are consequently intensively studied, and two sequences of q-Eulerian polynomials associated with the four fundamental statistics on permutations studied by MacMahon, and with analog statistics. First of all, we define normalized Dumont permutations, a combinatorial model of the q-extended normalized median Genocchi numbers ¯cn(q) introduced by Han and Zeng, and we build a bijection between the latter model and the set of Dellac configurations, which have been proved by Feigin to generate ¯cn(q) by using the geometry of quiver Grassmannians. Then, in order to answer a question raised by the theory of continued fractions of Flajolet, we define a new combinatorial model of ¯cn(q), the set of Dellac histories, and we relate them with the previous combinatorial models through a second statistic-preserving bijection. Afterwards, we study the set of irreducible k-shapes defined by Hivert and Mallet in the topic of k-Schur functions, which have been conjectured to generate the Gandhi polynomials with respect to the statistic of free ksites. We construct a statistic-preserving bijection between the irreducible k-shapes and the surjective pistols of height k−1 (well-known combinatorial interpretation of the Gandhi polynomials with respect to the fixed points statistic) mapping the free k-sites to the fixed points, thence proving the conjecture. Finally, we prove a new combinatorial identity between two eulerian polynomials defined on the set of permutations thanks to Eulerian and Mahonian statistics, by constructing a bijection on the permutations, which maps a finite sequence of statistics on another

Cette thèse d'habilitation contient un traitement systématique des algorithmes d'élimination pour décomposer des systèmes arbitraires de polynômes à plusieurs variables en systèmes triangulaires de différentes sortes (réguliers, simples, irréductibles, ou munis de propriétés de projection), en fournissant les décompositions des ensembles des zéros associés. Beaucoup de ces algorithmes et les théories sous-jacentes sont proposés et développés par l'auteur sur la base des travaux de J.F. Ritt, W.-t. Wu, A. Seidenberg et J.M. Thomas. Certains algorithmes pertinents comme ceux fondés sur les résultants ou les bases de Groebner sont passés en revue. Des applications de ces méthodes d'élimination sont présentées, concernant des aspects algorithmiques en géométrie algébrique, la théorie des idéaux de polynômes, la résolution des systèmes algébriques, la démonstration automatique en géométrie, etc.

Cette thèse regroupe plusieurs travaux de combinatoire énumérative sur les permutations et permutations d'ensemble. Elle comporte 4 parties.Dans la première partie, nous répondons aux conjectures de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble. Plus précisément, nous montrons que les statistiques de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble ont la distribution euler-mahonienne. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions une nouvelle classe de statistiques sur les mots : les statistiques "maj-inv". Ces dernières sont des interpolations graphiques des célèbres statistiques "indice majeur" et "nombre d'inversions". Dans la troisième partie, nous montrons que la distribution conjointe des statistiques"nombre de croisements" et "nombre d'imbrications" sur les partitions d'ensemble est symétrique. Nous étendrons aussi ce dernier résultat dans le cadre beaucoup plus large des 01-remplissages de "polyominoes lunaires".La quatrième et dernière partie est consacrée à l'étude combinatoire des q-polynômes de Laguerre d'Al-Salam-Chihara. Nous donnerons une interprétation combinatoire de la suite de moments et des coefficients de linéarisations de ces polynômes.

Les schémas de subdivision et les schémas de subdivision inverse sont largement utilisés en informatiquegraphique; les uns pour lisser des objets 3D, et les autres pour minimiser le coût d'encodagede l'information. Ce sont les deux aspects abordés dans cette thèse.Les travaux présentés dans le cadre de la subdivision décrivent l'études et la construction d'un nouveautype de schémas de subdivision. Celui-ci unifie deux schémas de subdivision de type géométriquesdifférents. Cela permet de modéliser des objets 3D composés de zones issues de l'applicationd'un schéma approximant et de zones issues de l'application d'un schéma interpolant. Dans le cadrede la subdivision inverse, Nous présentons une méthode de construction des schémas de subdivisionbi-réguliers inverses (quadrilatères et triangles)