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This thesis develops theoretical and computational methods for the robustness analysis of uncertain systems. The considered systems are linearized and depend rationally on random parameters with an associated probability distribution. The uncertainty is tackled by applying a polynomial chaos expansion (PCE), a series expansion for random variables similar to the well-known Fourier series for periodic time signals. We consider the linear perturbations around a system's operating point, i.e., reference trajectory, both from a probabilistic and worst-case point of view. A chief contribution is the polynomial chaos series expansion of uncertain linear systems in linear fractional representation (LFR). This leads to significant computational benefits when analyzing the probabilistic perturbations around a system's reference trajectory. The series expansion of uncertain interconnections in LFR further delivers important theoretical insights. For instance, it is shown that the PCE of rational parameter-dependent linear systems in LFR is equivalent to applying Gaussian quadrature for numerical integration. We further approximate the worst-case performance of uncertain linear systems with respect to quadratic performance metrics. This is achieved by approximately solving the underlying parametric Riccati differential equation after applying a polynomial chaos series expansion. The utility of the proposed probabilistic robustness analysis is demonstrated on the example of an industry-sized autolanding system for an Airbus A330 aircraft. Mean and standard deviation of the stochastic perturbations are quantified efficiently by applying a PCE to a linearization of the system along the nominal approach trajectory. Random uncertainty in the aerodynamic coefficients and mass parameters are considered, as well as atmospheric turbulence and static wind shear. The approximate worst-case analysis is compared with Monte Carlo simulations of the complete nonlinear model. The methods proposed throughout the thesis rapidly provide analysis results in good agreement with the Monte Carlo benchmark, at reduced computational cost.

Due to advances in digital computing much of the baseband signal processing of a communication system has moved into the digital domain from the analog domain. Within the domain of digital communication systems, Software Defined Radios (SDRs) allow for majority of the signal processing tasks to be implemented in reconfigurable digital hardware. However this comes at a cost of higher power and resource requirements. Therefore, highly efficient custom hardware implementations for SDRs are needed to make SDRs feasible for practical use. Efficient custom hardware motivates the use of fixed point arithmetic in the implementation of Digital Signal Processing (DSP) algorithms. This conversion to finite precision arithmetic introduces quantization noise in the system, which significantly affects the performance metrics of the system. As a result, characterizing quantization noise and its effects within a DSP system is an important challenge that needs to be addressed. Current models to do so significantly over-estimate the quantization effects, resulting in an over-allocation of hardware resources to implement a system. Polynomial Chaos Expansion (PCE) is a method that is currently gaining attention in modelling uncertainty in engineering systems. Although it has been used to analyze quantization effects in DSP systems, previous investigations have been limited to simple examples. The purpose of this thesis is to therefore introduce new techniques that allow the application of PCE to be scaled up to larger DSP blocks with many noise sources. Additionally, the thesis introduces design space exploration algorithms that leverage the accuracy of PCE simulations to estimate bitwidths for fixed point implementations of DSP systems. The advantages of using PCE over current modelling techniques will be presented though its application to case studies relevant to practice. These case studies include Sine Generators, Infinite Impulse Response (IIR) filters, Finite Impulse Response (FIR) filters, FM demodulators and Phase Locked Loops (PLLs). / Thesis / Master of Applied Science (MASc)

This dissertation investigates uncertainty quantification in dynamic problems. The Advanced Mean Value (AMV) method is used to calculate probabilistic sound power and the sensitivity of elastically supported panels with small uncertainty (coefficient of variation). Sound power calculations are done using Finite Element Method (FEM) and Boundary Element Method (BEM). The sensitivities of the sound power are calculated through direct differentiation of the FEM/BEM/AMV equations. The results are compared with Monte Carlo simulation (MCS). An improved method is developed using AMV, metamodel, and MCS. This new technique is applied to calculate sound power of a composite panel using FEM and Rayleigh Integral. The proposed methodology shows considerable improvement both in terms of accuracy and computational efficiency. In systems with large uncertainties, the above approach does not work. Two Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) algorithms are developed to solve stochastic eigenvalue problems using Polynomial chaos. Presently, the approaches are restricted to problems with real and distinct eigenvalues. In both the approaches, the system uncertainties are modeled by Wiener-Askey orthogonal polynomial functions. Galerkin projection is applied in the probability space to minimize the weighted residual of the error of the governing equation. First algorithm is based on inverse iteration method. A modification is suggested to calculate higher eigenvalues and eigenvectors. The above algorithm is applied to both discrete and continuous systems. In continuous systems, the uncertainties are modeled as Gaussian processes using Karhunen-Loeve (KL) expansion. Second algorithm is based on implicit polynomial iteration method. This algorithm is found to be more efficient when applied to discrete systems. However, the application of the algorithm to continuous systems results in ill-conditioned system matrices, which seriously limit its application. Lastly, an algorithm to find the basis random variables of KL expansion for non-Gaussian processes, is developed. The basis random variables are obtained via nonlinear transformation of marginal cumulative distribution function using standard deviation. Results are obtained for three known skewed distributions, Log-Normal, Beta, and Exponential. In all the cases, it is found that the proposed algorithm matches very well with the known solutions and can be applied to solve non-Gaussian process using SSFEM. / Ph. D.

Cette thèse traite de l’analyse robuste du comportement dynamique des systèmes frottants. Ces derniers constituent une classe particulière des systèmes non linéaires et sont caractérisés par des comportements dynamiques très sensibles aux variations des paramètres de conception en particulier aux dispersions des lois de frottement. Cette sensibilité se traduit par des variations qualitatives importantes du comportement dynamique (stabilité, niveaux vibratoire) qui peuvent alors affecter négativement les performances des systèmes frottants. Il est ainsi important, voire indispensable, de pouvoir tenir compte de la dispersion des lois de frottement dans l’étude et l’analyse du comportement dynamique des systèmes frottants afin d’en garantir la robustesse et, dans une perspective plus générale, d’asseoir une démarche de conception robuste des systèmes frottants. Des méthodes spectrales basées sur le concept du chaos polynomial sont proposées dans cette thèse pour traiter de l’analyse robuste du comportement dynamique des systèmes frottants. Pouvant modéliser les fonctions et processus stochastiques, ces méthodes sont adaptées au problème en particulier à l’analyse de la stabilité et à la prédiction des niveaux vibratoires en tenant compte de la dispersion des lois de frottement. Différentes procédures sont proposées et développées pour traiter de ces deux questions. Une efficacité importante a été illustrée à travers l’évaluation des différentes méthodes proposées (chaos polynomial généralisé, chaos polynomial multi-éléments, chaos de Wiener-Haar) en les appliquant sur un exemple de système frottant. En effet, il est montré que ces méthodes offrent une alternative très intéressante à la méthode prohibitive, mais référentielle, de Monte Carlo puisque, pour des niveaux de précision et de confiance similaires, le coût en nombre, en volume et nécessairement en temps de calcul occasionné par les méthodes spectrales sur les différentes analyses (de la stabilité et des niveaux vibratoire) est largement inférieur à celui requis par la technique de Monte Carlo. / This thesis deals with the robust analysis of the dynamic behaviour of dry friction systems. These are a special class of nonlinear systems and are characterized by dynamic behaviors very sensitive to changes in design parameters in particular to dispersions of friction laws. This sensitivity results in important qualitative changes (stability, vibration levels) that can adversely affect the performances of friction systems. It is thus important, even essential, to take account of the dispersion laws of friction in the study and analysis of the dynamic behavior of friction systems in order to ensure robustness and, in a more general perspective, to establish a robust design approach for friction systems. Spectral methods based on the concept of polynomial chaos are proposed in this thesis to address these problems. The spectral methods can model random functions and stochastic processes so they have been adapted to deal with the robust analysis of the dynamic behavior of frictions systems subjected to random friction coefficient. Different procedures are proposed and developed to, analyze with robustness the stability of friction system in a first step and to predict and estimate the vibratory levels of the same systems. High efficiency is demonstrated by evaluating the various proposed methods (generalized polynomial chaos, multi-element polynomial chaos, Wiener-Haar chaos) on the two issues considered. Indeed, it is shown that these methods offer an attractive alternative to the prohibitive, but referential, Monte Carlo method since, for similar levels of accuracy and confidence, the cost in terms of number and volume of calculus and thus in time of computing occasioned by the spectral methods on the different problems (robust stability and vibration levels analysis) is well lower than the one occasioned by the Monte Carlo technique.

Dans ce mémoire, nous étudions l’exposition aux ondes électromagnétiques l’échelle d’une population. Cette étude est réalisée pour une exposition à une onde plane orientée frontalement sur des modèles anatomiques du corps humains (fantômes) avec une puissance incidente de 1W/m2 et une fréquence de 2.1 GHz. Pour ce faire, l’idée est de construire un modèle du WBSAR (Whole Body averaged Specific Absorption Rate) en fonction de lamorphologie. Les facteurs morphologiques influençant le WBSAR ont été identifiés à l’aide des fantômes existant dont le nombre se limite à 18 et des modèles de régressions. Cette analyse préliminaire montre que les facteurs morphologiques externes (taille, poids ...) seuls ne suffisent pas pour construire un tel modèle, mais l’introduction des facteurs morphologiques internes (muscles, graisse ...) est nécessaire. L’absence de données statistiques sur les facteurs morphologiques internes de populations nous a conduits à intégrer des connaissances apriori sur ces facteursafin d’étudier l’exposition d’une population donnée. Des lois paramétriques usuelles et des mélanges de gaussiennes sont utilisés pour modéliser ces facteurs internes afin d’étudier leur influence sur le quantile du WBSAR à 95 %.L’utilisation des fantômes homogènes où le fantôme homogène est obtenu en remplaçant tous les tissus internes par un unique tissu équivalent. Ces fantômes homogènes permettent de s’affranchir de l’influence de la morphologie interne dans un modèle du WBSAR et facilitent également leur déformation par une technique de morphing. Ainsi nous avons pu enrichir la base de fantômes existant. Pour donner une estimation du quantile du WBSAR à 95 %, nous avons mis en place un plan d’expériences séquentiel qui repose sur un modèle paramétrique du WBSAR et l’inférence bayésienne et qui permet de raffiner la région à 95 %. Cette approche nous a permis de trouver le quantile à 95 % pour une population et un exemple de fantôme correspondant. Cependant, cette approche ne permet pas d’obtenir une estimation de toute la distribution du WBSAR. Afin d’obtenir une estimation de toute cette distribution, nous avons construit une surface de réponse en utilisant les polynômes de chaos. Dans l’objectif d’obtenirdes résultats cohérents nous avons effectué un changement de variables permettant de traduire les connaissances physiques dans cette surface de réponse. / In this report, a study of the exposure to electromagnetic waves at the level of population is proposed. This study is conducted in the case of a plane wave oriented frontally on anatomical models (phantoms) with an incident power of 1W/m2 and at the frequency of 2.1 GHz. For this purpose, the idea is to build a surrogate model of the WBSAR (Whole Body averaged Specific Absorption Rate) as a function of morphology. An identificationof morphological factor is performed using the limited number of phantoms (18phantoms)and different regressions. This analysis shows that to use only external morphological factors (height, weight ...) is not sufficient to build such surrogate model and that internal morphological factors (muscles, fat ...) are also important. The absence of statistical data on internal morphology conducts us to introduce some prior knowledge on these internal factors to study the exposure for a given population. Some parametric laws and Gaussian mixture are used to study their influence on the quantile of the WBSAR at 95 The lack of data on internal morphology led us to consider homogeneous phantoms instead of the heterogeneous one. In homogeneous phantoms, all the internal tissues are substituted by an equivalent tissue. These homogeneous phantoms allow us to overcome the influence of internal morphology for a WBSAR model and to use a morphing technique to increase the database of phantoms. To give an estimation of the WBSAR quantile at 95 %, a sequential experiment design is used. This approach is based on a parametric model and Bayesian inference. This experiment design allows us to estimate the quantile at 95 for a given population and an example of one corresponding phantom. Nevertheless, this approach does not allow one to estimate the whole distribution of the WBSAR for a given population. To give an estimate of this distribution a surface of response is established using polynomial chaos. This approach gives incoherent results with the physical phenomenon. To obtain coherent results, physical knowledge is introduced by variables changing in this responsesurface.

Ces travaux de thèse portent sur l'étude expérimentale et numérique de structures mécaniques non-linéaires soumises à des vibrations sinusoïdales et aléatoires. L'étude prend en compte l'existence d'incertitudes au sein du protocole expérimentale et de la modélisation. Les études expérimentales menées au CEA/CESTA montrent que la réponse des structures assemblées à des sollicitations vibratoires est fortement dépendante du niveau d'excitation d'une part, et que la réponse obtenue possède une variabilité, parfois importante. Ces résultats expérimentaux ne peuvent pas être reproduits en simulation avec la méthode de simulation vibratoire linéaire déterministe classique.L'objectif de ces travaux est de proposer et de mettre en place des méthodes numériques pour étudier ces réponses non-linéaires, et de quantifier et propager les incertitudes pertinentes au sein des calculs. Cet objectif passe par l'étude de maquettes d'essai de complexité croissante et sujettes aux mêmes phénomènes vibratoires que les objets d'étude industriels du CEA/CESTA. Les méthodes de simulation vibratoire non-linéaires et les techniques numériques développées dans le monde académique sont adaptées et utilisées dans le contexte industriel du CEA/CESTA.Le premier objet d'étude est une poutre métallique bi-encastrée, dont la non-linéarité est d'origine géométrique. Le modèle associé à cette poutre est un oscillateur de Duffing à un degré de liberté très détaillé dans la littérature scientifique, et qui permet de valider les développements numériques effectués, sur les aspects de l'excitation aléatoire et de la propagation d'incertitudes. Dans un premier temps, les méthodes de tir et d'équilibrage harmonique sont étendues au cas de l'excitation aléatoire et validées sur cette structure académique par comparaison à l'expérience. Dans un second temps, une méthode de propagation d'incertitude non-intrusive est implémentée pour prendre en compte les incertitudes de modélisation identifiées.Le second objet d'étude est une maquette comportant un plot élastomère reliant une masselotte à un bâti. Le comportement non-linéaire de l'élastomère est au c\oe ur de ces travaux de thèse. De nombreux essais vibratoires sont réalisés dans un premier temps pour identifier un modèle non-linéaire de l'élastomère juste suffisant. Dans un second temps, le modèle développé est validé par comparaison aux essais en utilisant et adaptant les méthodes étendues lors de l'étude de la poutre bi-encastrée.Enfin, une maquette d'étude se rapprochant d'un cas d'application industriel est étudiée : la maquette Harmonie-Gamma. Elle compte des interfaces frottantes et des liaisons élastomères. Les essais vibratoires réalisés permettent d'identifier le comportement dynamique linéaire et non-linéaire du système et d'étudier l'évolution de la réponse en fonction du niveau d'excitation. Un modèle numérique est réalisé par éléments finis puis réduit par une méthode de sous-structuration. Les relations non-linéaires sont introduites au niveau des liaisons frottantes et élastomères. La réponse vibratoire de la structure est simulée par la méthode d'équilibrage harmonique couplée à un algorithme de continuation. Les comparaisons essais / calculs sont menées pour les excitations de type sinus balayé et aléatoire, et permettent d'analyser l'apport de chaque non-linéarité dans la réponse de la structure. / This PhD work focuses on the experimental and numerical study of nonlinear structures subjected to both harmonic and random vibrations, in the presence of modeling and experimental uncertainties. Experimental studies undertaken at the CEA / CESTA show a strong dependence of the jointed structures towards the excitation level, as well as a variability in the response for a given excitation level. These experimental results cannot be simulated using the classical determinist linear vibration simulation method.The objective of this work is to propose and set up numerical methods to study these nonlinear responses, while quantifying and propagating the relevant uncertainties in the simulations. This objective involves the study of structural assemblies of increasing complexity and subjected to the same vibratory phenomena as CEA / CESTA industrial structures. Advanced nonlinear numerical methods developed in academia are applied in the CEA / CESTA industrial context.The first test structure is a clamped-clamped steel beam that has a geometrical nonlinearity. The beam is modeled by a Duffing oscillator which is a widely studied model in the field of nonlinear dynamics. This allows for a validation of the numerical developments proposed in this work, first on the issue of random vibrations, and second on the issue of the propagation of uncertainties. The simulations are based on two techniques of reference (shooting method and harmonic balance method). Firstly, the simulation results are validated by comparison with the experimental results for random vibrations. Secondly, the harmonic balance method is used in adequation with a non-intrusive polynomial chaos in order to take into accounts the modeling uncertainties.The second test structure is a mass linked to a solid casing via a vibration-absorbing elastomeric material of biconical shape surrounded by a cage of aluminum. The nonlinear behavior of the elastomer is at the heart of this work. Various vibration tests were performed on this structure in order to identify the simplest nonlinear model possible to answer our queries. The identified model is validated through comparisons between the simulation results and the experimental results for both sine-swept and random vibrations.The central assembly of this work is an industrial assembly with friction joints and vibration-absorbing elastomeric joints, named Harmonie-Gamma. The vibration tests performed exhibit resonance modes as well as a strong dependency of the response with the excitation level. A numerical finite element model is developed and reduced with a substructuration technique. The resulting nonlinear reduced model is simulated using an harmonic balance method with a continuation method. The simulated responses are compared with the experiments and allow for an analysis of coupled nonlinearities in the CEA / CESTA industrial context.

Le crissement de frein est une nuisance sonore qui représente des coûts importants pour l'industrie automobile. Il tire son origine dans des phénomènes complexes à l'interface frottante entre les plaquettes de frein et le disque. L'analyse de stabilité reste aujourd'hui la méthode privilégiée dans l'industrie pour prédire la stabilité d'un système de frein malgré ses aspects sur- et sous-prédictifs.Afin de construire un système de frein robuste, il est nécessaire de trouver la technologie qui permette de limiter les instabilités malgré certains paramètres incertains présents dans le système. Ainsi, l'un des objectifs de la thèse est de développer une méthode permettant de traiter et de propager l'incertitude et la variabilité de certains paramètres dans le modèle éléments finis de frein avec des coûts numériques abordables.Dans un premier temps, l'influence d'un premier groupe de paramètres correspondant à des contacts internes au système a été étudiée afin de mieux comprendre les phénomènes physiques mis en jeu et leurs impacts sur le phénomène de crissement. Une approche basée sur l'utilisation d'un algorithme génétique a été également mise en place afin d'identifier le jeu de paramètres le plus défavorable en terme de propension au crissement sur le système.Dans un second temps, différentes méthodes de méta-modélisation ont été proposées afin de prédire la stabilité du système de frein en fonction de différents paramètres qui peuvent être des paramètres de conception ou des paramètres incertains liés à l'environnement du système.Dans un troisième temps, une méthode d'analyse non-linéaire complémentaire de l'analyse de stabilité a été proposée et développée. Elle se base sur le suivi de la stabilité d'une solution vibratoire approchée et permet d'identifier les modes instables présents dans la réponse dynamique du système. Cette méthode a été appliquée sur un modèle simple avant d'illustrer sa faisabilité sur le modèle éléments finis de frein complet. / Brake squeal is a noise nuisance that represents significant costs for the automotive industry. It originates from complex phenomena at the frictional interface between the brake pads and the disc. The stability analysis remains the preferred method in the industry today to predict the stability of a brake system despite its over- and under-predictive aspects.In order to build a robust brake system, it is necessary to find the technology that limits instabilities despite some uncertain parameters present in the system. Thus, one of the main objectives of the PhD thesis is to develop a method to treat and propagate the uncertainty and variability of some parameters in the finite element brake model with reasonable numerical costs.First, the influence of a first group of parameters corresponding to contacts within the system was studied in order to better understand the physical phenomena involved and their impacts on the squealing phenomenon. An approach based on the use of a genetic algorithm has also been implemented to identify the most unfavourable set of parameters in terms of squeal propensity on the brake system.In a second step, different meta-modelling methods were proposed to predict the stability of the brake system with respect to different parameters that may be design parameters or uncertain parameters related to the environment of the brake system.In a third step, a non-linear analysis method complementary to the stability analysis was proposed and developed. It is based on the tracking of the stability of an approximate vibrational solution and allows the identification of unstable modes present in the dynamic response of the system. This method was applied to a simple academic model before demonstrating its feasibility on the complete industrial brake finite element model under study.

Les réseaux de distribution d’eau consistent en de grandes infrastructures réparties dans l’espace qui assurent la distribution d’eau potable en quantité et en qualité suffisantes. Les modèles mathématiques de ces systèmes sont caractérisés par un grand nombre de variables d’état et de paramètres dont la plupart sont incertains. Les temps de calcul peuvent s’avérer conséquents pour les réseaux de taille importante et la propagation d’incertitude par des méthodes de Monte Carlo. Par conséquent, les deux principaux objectifs de cette thèse sont l’étude des techniques de modélisation à ordre réduit par projection ainsi que la propagation spectrale des incertitudes des paramètres. La thèse donne tout d’abord un aperçu des méthodes mathématiques utilisées. Ensuite, les équations permanentes des réseaux hydrauliques sont présentées et une nouvelle méthode de calcul des sensibilités est dérivée sur la base de la méthode adjointe. Les objectifs spécifiques du développement de modèles d’ordre réduit sont l’application de méthodes basées sur la projection, le développement de stratégies d’échantillonnage adaptatives plus efficaces et l’utilisation de méthodes d’hyper-réduction pour l’évaluation rapide des termes résiduels non linéaires. Pour la propagation des incertitudes, des méthodes spectrales sont introduites dans le modèle hydraulique et un modèle hydraulique intrusif est formulé. Dans le but d’une analyse plus efficace des incertitudes des paramètres, la propagation spectrale est ensuite évaluée sur la base du modèle réduit. Les résultats montrent que les modèles d’ordre réduit basés sur des projections offrent un avantage considérable par rapport à l’effort de calcul. Bien que l’utilisation de l’échantillonnage adaptatif permette une utilisation plus efficace des états système pré-calculés, l’utilisation de méthodes d’hyper-réduction n’a pas permis d’améliorer la charge de calcul. La propagation des incertitudes des paramètres sur la base des méthodes spectrales est comparable aux simulations de Monte Carlo en termes de précision, tout en réduisant considérablement l’effort de calcul. / Water distribution systems are large, spatially distributed infrastructures that ensure the distribution of potable water of sufficient quantity and quality. Mathematical models of these systems are characterized by a large number of state variables and parameter. Two major challenges are given by the time constraints for the solution and the uncertain character of the model parameters. The main objectives of this thesis are thus the investigation of projection based reduced order modelling techniques for the time efficient solution of the hydraulic system as well as the spectral propagation of parameter uncertainties for the improved quantification of uncertainties. The thesis gives an overview of the mathematical methods that are being used. This is followed by the definition and discussion of the hydraulic network model, for which a new method for the derivation of the sensitivities is presented based on the adjoint method. The specific objectives for the development of reduced order models are the application of projection based methods, the development of more efficient adaptive sampling strategies and the use of hyper-reduction methods for the fast evaluation of non-linear residual terms. For the propagation of uncertainties spectral methods are introduced to the hydraulic model and an intrusive hydraulic model is formulated. With the objective of a more efficient analysis of the parameter uncertainties, the spectral propagation is then evaluated on the basis of the reduced model. The results show that projection based reduced order models give a considerable benefit with respect to the computational effort. While the use of adaptive sampling resulted in a more efficient use of pre-calculated system states, the use of hyper-reduction methods could not improve the computational burden and has to be explored further. The propagation of the parameter uncertainties on the basis of the spectral methods is shown to be comparable to Monte Carlo simulations in accuracy, while significantly reducing the computational effort.