El tema principal de esta tesis es estudiar la dinámica de poblaciones basados en procesos de ramificación discretos, en particular se estudiaron los procesos de Bienaymé-Galton-Watson (BGW). El problema de extinción o crecimiento a infinito de la población se analizó condicionando a las trayectorias no extintas, lo que en el límite genera distribuciones cuasi-estacionarias, los límites de Yaglom y la construcción del Q-proceso. Se estudió la descomposición teórica de la población, entre partículas que se extinguen casi-seguramente y partículas con línea de descendencia infinita, encontrándose una fuerte relación analítica entre las distribuciones de ambos tipos. Posteriormente, para dar una interpretación probabilista de esta descomposición, se construyó una simulación de la dinámica mortal-inmortal, basados en los procesos de ramificación multi-tipos y se encontraron condiciones para su convergencia.

Magíster en Ciencias, Mención Física / El objetivo principal de esta tesis fue estudiar el efecto del ruido interno en el límite de baja intensidad sobre patrones y paredes de dominio entre estados simétricos, particularmente analizando como afecta el ruido a modos críticos como el de traslación. Se utilizaron modelos prototipo y universales, caracterizando la dinámica de sus soluciones mediante el uso de herramientas de la física no lineal, procesos estocásticos y simulaciones numéricas. A su vez, los resultados obtenidos han sido contrastados con diferentes experimentos. En el caso de estructuras disipativas, se caracterizó la bifurcación precursor-patrón, encontrando una fórmula para describir la dispersión de fase cerca de la inestabilidad, y una ecuación de Langevin para la dinámica de fase. Mediante esta ecuación se muestra como al incluir los efectos de tamaño se induce una transición de bloqueo de fase. Se contrastaron los resultados con datos experimentales obtenidos de patrones en una película de cristal liquido con retro-inyección óptica. Para el caso de frentes entre estados simétricos, o kinks, el ruido induce un movimiento Browniano de su posición. La consideración del tamaño del sistema induce la aparición de fuerzas de atracción hacia los bordes. En el caso de kinks espacialmente no monótonos, la dinámica de la posición del kink se caracteriza por fluctuaciones en torno a equilibrios y saltos abruptos a equilibrios adyacentes. Esta dinámica también es observada en el caso en que, en lugar de bordes, se consideren inhomogeneidades en los parámetros. Adicionalmente, se estudió el efecto del ruido en la transición de Ising-Bloch. Para todos los casos, se dedujo una ecuación para la posición de la pared, que da cuenta de la dinámica observada. Finalmente, cabe destacar que las simulaciones numéricas se realizaron usando una librería propia para la resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de uso general desarrollada en el contexto la tesis.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En el presente trabajo se busca extender un resultado del tipo ley de grandes números para la medida empírica reescalada asociada a un modelo estocástico basado en agentes, previamente introducido en la literatura, a una clase de modelo más general. Específicamente la extensión considerada toma en cuenta dos nuevos mecanismos de evolución aparte de los ya considerados anteriormente. De esta forma los agentes, quienes están caracterizados por su tipo, aleatoriamente pueden interactuar, cambiar su tipo, morir y producir nuevos agentes. Se comienza construyendo el proceso de medida empírica a partir de su generador infinitesimal, lo cual permite obtener un proceso de Markov con saltos a valores en medidas. Posteriormente se obtienen algunas propiedades sobre él, en particular, se obtiene una representación trayectorial del proceso mediante medidas puntuales de Poisson. Esta representación trayectorial permite obtener una propiedad de martingala asociada, la cual nos entrega una idea sobre cómo luce cierto sistema de ecuaciones que debería satisfacer la medida límite. Una vez hecho esto se procede de acuerdo a un esquema clásico para probar este tipo de resultados. Se comienza probando que el sistema propuesto tiene una única solución, luego se muestra que la secuencia de leyes asociada a la secuencia de procesos de medidas empíricas reescaladas es una familia tensa de medidas, para posteriormente probar que cada punto límite de las leyes satisface el sistema. Como consecuencia, gracias a la unicidad de este último, se concluye la convergencia en distribución, al tomar límite en el reescalamiento, del proceso de medida empírica reescalada a un proceso determinista solución del sistema. Por último se muestran aplicaciones del resultado obtenido sobre tres modelos propuestos y se concluye discutiendo la posibilidad de tener un teorema central del límite para este tipo de modelo.

Presenta los modelos estocásticos de los problemas resultantes del tratamiento estadístico dado a los coeficientes, así como algunos métodos de resolución utilizados para calcular los momentos estadísticos de las soluciones. Presenta la discretización de las ecuaciones de las realizaciones en el contexto de Monte Carlo. Realiza simulaciones numéricas.

We proposed a novel inpainting method where we use a multi-scale approach to speed up the well-known Markov Random Field (MRF) based inpainting method. MRF based inpainting methods are slow when compared with other exemplar-based methods, because its computational complexity is O(jLj2) (L feasible solutions’ labels). Our multi-scale approach seeks to reduces the number of the L (feasible) labels by an appropiate selection of the labels using the information of the previous (low resolution) scale. For the initial label selection we use local statistics; moreover, to compensate the loss of information in low resolution levels we use features related to the original image gradient. Our computational results show that our approach is competitive, in terms reconstruction quality, when compare to the original MRF based inpainting, as well as other exemplarbased inpaiting algorithms, while being at least one order of magnitude faster than the original MRF based inpainting and competitive with exemplar-based inpaiting. / Tesis

En el presente trabajo presentamos una construcción del movimiento browniano para lo cual probaremos en forma detallada los teoremas de extensión de Kolmogorov y el de Kolmogorov-Censot, luego hacemos una construcción detallada y autocontenida de la integral estocástica en la que los integradores son martingalas continuas cuadrado integrables. Esta es una posible extensión a la clásica integral de Itô en la cual el integrador es un movimiento browniano. En este contexto de integración estocástica enunciaremos y probaremos la fórmula de Itô y algunas de sus consecuencias. Finalmente trabajaremos con el tiempo local, la fórmula de Tanaka y estudiaremos una particular prueba. / In this investigation we show a construction of the Brownian motion, which includes detailed proofs of the Kolmogorov's extension theorem and Kolmogorov-Censot theorem. In addition, we will show a detailed construction and self-contained of the stochastic integral in wich integrators are continuous square integrable martingales. This is one of the possible extensions to classical Itô's integral in which the integrator is a Brownian motion. In this context of stochastic integration we prove an Itô's formula version. Finally, we study a relationship between local time and Tanaka's formula. / Tesis

Los modelos de colas tradicionales se concentran en el comportamiento de los clientes, desde que arriban al sistema, esperan ser atendidos, se atienden y salen del sistema. Los clientes entran y esperan a ser atendidos en una fila de espera (cola), cuando el servidor está ocupado. Siempre se asume que el servidor que se desocupa está disponible para atender al primero de la fila de espera. El presente trabajo se basa en los estudios de Kella et al. (2010) y de Wu et al. (2015), centrándose en el estudio de la carga de trabajo en el servidor, considerando llegadas, salidas, fallas y vacancias en el servidor. Esta forma de estudiar el comportamiento de la carga de trabajo en el servidor hace que el modelo aplicado se ajuste mejor a la realidad. La tesis se encuentra dividida en cinco capítulos. En el segundo capítulo, denominado Preliminares, se describe un proceso básico de colas para definir los elementos que lo componen, la terminología y la notación que usamos en un sistema de colas, luego bajo el modelo de nacimiento y muerte se desarrolla el modelo M/M/1/K, que nos muestra en forma estable e ideal las cantidades fundamentales de un sistema de colas. Finalmente, se definen las interrupciones del servicio por fallas y vacancias en el servidor. En el tercer capítulo, denominado Procesos de Lévy, se presenta la teoría de procesos estocásticos, procesos de Lévy, procesos de Lévy espectralmente positivos y colas con entradas de Lévy, las definiciones y teoremas nos permiten modelar posteriormente. En el cuarto capítulo, es donde se formula el modelo, se desarrolla el estudio de la distribución de estado estacionario, la distribución transitoria y la descomposición estocástica. En el quinto capítulo, denominado Simulación, se ilustra la simulación de la carga de trabajo basado en un proceso de Lévy de incrementos dados por una distribución gamma, la tasa de servicio permanece constante, las fallas y vacancias son procesos de renovación. En este capítulo también se muestra la caracterización del modelo, así como su respectiva media y varianza. El sexto y último capítulo presenta las conclusiones y las futuras investigaciones que se podrían realizar a partir del presente trabajo. / Tesis

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Ingeniero Civil Industrial / El objetivo de esta memoria es modelar y analizar el precio del cobre en conjunto de su riesgo a largo plazo. Además se considera el efecto que puede tener los precios modelados y su volatilidad en las inversiones de Codelco. Se implementaron tres modelos, los cuales fueron el Movimiento Browniano Geométrico (MGB), el Proceso de Ornstein Uhlenbeck (POU) y el Proceso Generalizado Autoregresivo con Heterocedasticidad Condicional (GARCH). Los datos para obtención de parámetros fueron los precios promedios mensuales desde enero de 1973 hasta septiembre de 2013. Los modelos fueron probados con diferentes tests para observar el cumplimiento de las hipótesis de los modelos, como la normalidad, independencia y varianza constante en los retornos. Además se realizó un test de reversión a la media. Para las tres primeras los tests presentaron rechazos de las hipótesis, mientras que para la última se demostró que existe una reversión a la media a largo plazo. Luego de obtener los parámetros y las simulaciones, y con el objetivo de representar una estimación del precio y su riesgo en el futuro se realizó un pronóstico paramétrico para los próximos 10 años. Además para probar cuál modelo presenta una mejor precisión se realizaron diferentes simulación \textit{in sample} para los periodos 2012-2013, 2008-2013, 2003-2013 y 1993-2013. La medición de precisión por medio del indicador MAPE determinó que el modelo GARCH presenta un mejor rendimiento en nivel general. Por último, se realizó un análisis de riesgo en relación a las inversiones de Codelco. En este sentido, se implementó la metodología VaR a un proyecto tipo de Codelco con los diferentes precios obtenidos en los modelos expuestos, evaluando un VAN esperado y un VAN seguro. En base a los indicadores VaR obtenidos se concluye que el modelo MBG sobreestima la evaluación VAN con un mayor riesgo incluido, el POU subestima la evaluación VAN con un riesgo bajo, mientras que el modelo GARCH presenta un VAN más equilibrado con un riesgo relativamente bajo. Finalmente, en base al rendimiento en precisión por medio del MAPE y en base a una evaluación de riesgo en un proyecto inversional, se concluye que el modelo GARCH es el que tiene un mejor rendimiento entre los modelos presentados.

Magíster en Gestión de Operaciones / Ingeniero Civil Industrial / Muchos problemas de optimización consideran al precio del cobre como uno de los input más relevantes. A pesar de que los precios son altamente volátiles y nadie puede predecir con certeza cual será su valor, éstos pueden ser estimados y árboles de escenarios pueden ser construidos para manejar la incertidumbre asociada. En este trabajo se presenta una nueva metodología para el modelamiento y estimación de los precios del cobre, basada en dos ideas centrales. La primera radica en realizar una distinción entre el corto y el largo plazo (o también referidos como procesos transiente y estacionario), debido a que la evidencia muestra que en el corto plazo los precios son altamente volátiles moviéndose en torno a una tendencia, mientras que en el largo plazo los precios muestran reversión a la media tal como lo sugiere la teoría microeconómica. El segundo aporte central de este trabajo es la combinación de la información de mercado junto a la información histórica para la estimación de la tendencia de los precios en el corto plazo. El uso de la información de mercado resulta relevante ya que permite incorporar toda la información presente en el mercado (inventarios, expectativas, etc...) en la estimación del \drift del proceso transiente, ayudando de esta forma a un mejor pronóstico. Sumado a lo anterior, se presenta una extensión del modelo propuesto para incorporar más de un factor en la estimación de los precios del cobre. Así, se introduce un modelo multi-dimensional (no lineal), se derivan soluciones explícitas y se implementa un mecanismo para la estimación de sus parámetros. Finalmente, se presenta una nueva metodología para la generación de árboles de escenarios partiendo de las funciones de probabilidad acumulada y densidad, y esta se aplica para la generación de árboles de escenarios para los precios del cobre.