Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2012-2013. / Cette thèse a pour but d'élaborer et d'étudier des modèles mathématiques reproduisant le comportement de systèmes composés de plusieurs éléments dont les interactions forment un réseau complexe. Le corps du document est découpé en trois parties ; un chapitre introductif et une conclusion récapitulative complétent la thèse. La partie I s'intéresse à une dynamique spécifique (propagation de type susceptibleinfectieux- retiré, SIR) sur une classe de réseaux également spécifique (modèle de configuration). Ce problème a entre autres déjà été étudié comme un processus de branchement dans la limite où la taille du système est infinie, fournissant une solution probabiliste pour l'état final de ce processus stochastique. La principale contribution originale de la partie I consiste à modifier ce modèle afin d'introduire des éffets dûs à la taille finie du système et de permettre l'étude de son évolution temporelle (temps discret) tout en préservant la nature probabiliste de la solution. La partie II, contenant les principales contributions originales de cette thèse, s'intéresse aux processus stochastiques sur réseaux complexes en général. L'état du système (incluant la structure d'interaction) est partiellement représenté à l'aide de motifs, et l'évolution temporelle (temps continu) est étudiée à l'aide d'un processus de Markov. Malgré que l'état ne soit que partiellement représenté, des résultats satisfaisants sont souvent possibles. Dans le cas particulier du problème étudié en partie I, les résultats sont exacts. L'approche se révèle très générale, et de simples méthodes d'approximation permettent d'obtenir une solution pour des cas d'une complexité appréciable. La partie III cherche une solution analytique exacte sous forme fermée au modèle développé en partie II pour le problème initialement étudié en partie I. Le système est réexprimé en terme d'opérateurs et différentes relations sont utilisées afinn de tenter de le résoudre. Malgré l'échec de cette entreprise, certains résultats méritent mention, notamment une généralisation de la relation de Sack, un cas particulier de la relation de Zassenhaus. / The goal of this thesis is to develop and study mathematical models reproducing the behaviour of systems composed of numerous elements whose interactions make a complex network structure. The body of the document is divided in three parts; an introductory chapter and a recapitulative conclusion complete the thesis. Part I pertains to a specific dynamics (susceptible-infectious-removed propagation, SIR) on a class of networks that is also specific (configuration model). This problem has already been studied, among other ways, as a branching process in the infinite system size limit, providing a probabilistic solution for the final state of this stochastic process. The principal original contribution of part I consists of modifying this model in order to introduce finite-size effects and to allow the study of its (discrete) time evolution while preserving the probabilistic nature of the solution. Part II, containing the principal contributions of this thesis, is interested in the general problem of stochastic processes on complex networks. The state of the system (including the interaction structure) is partially represented through motifs, then the (continuous) time evolution is studied with a Markov process. Although the state is only partially represented, satisfactory results are often possible. In the particular case of the problem studied in part I, the results are exact. The approach turns out to be very general, and simple approximation methods allow one to obtain a solution for cases of considerable complexity. Part III searches for a closed form exact analytical solution to the the model developed in part II for the problem initially studied in part I. The system is re-expressed in terms of operators and different relations are used in an attempt to solve it. Despite the failure of this enterprise, some results deserve mention, notably a generalization of Sack's relationship, a special case of the Zassenhaus relationship.

Comprend un sommaire et un résumé en français. / « La thèse présente le développement, la validation et l'application en gestion des inventaires d'une approche à la génération de bornes pour des prévisions obtenues à l'aide du filtre AEP de Carbone et Longini. L'approche s'appuie sur un algorithme d'estimation des paramètres d'un modèle de prévision AEP qui pénalise les sur-prévisions ou les sous-prévisions. La pénalité imposée est déterminée par une heuristique non-paramétrique. L'approche est validée à l'aide d'une expérience de Monte-Carlo et d'une expérimentation sur des séries réelles. L'intégration de règles de gestion des inventaires dans l'approche est par la suite analysée lorsque divers critères de gestion sont utilisés. La thèse se termine sur un aperçu des extensions envisagées de l'approche à d'autres méthodes et modèles de prévision. »--Page xiv

Le sujet de cette thèse de doctorat est l'étude de divers aspects liés à l'approche markovienne dans le cadre des études de fiabilité.<p><p>La première partie de cette thèse concerne Ia modélisation d'installations industrielles et la construction de la matrice de transition. Le but poursuivi est le développement d'un code markovien permettant une description réaliste et aisée du système. Le système est décrit en termes de composants multiétats :pompes, vannes .<p>La définition d'une série de règles types permet l'introduction de dépendances entre composants. Grâce à la modélisation standardisée du système, un algorithme permettant la construction automatique de la matrice de transition est développé. L'introduction d'opérations de maintenance ou d'information est également présentée.<p><p>La seconde partie s'intéresse aux techniques de réduction de la taille de la matrice, afin de rendre possible le traitement de grosses installations. En effet, le nombre d'états croit exponentiellement avec le nombre de composants, ce qui limite habituellement les installations analysables à une dizaine de composants. Les techniques classiques de réduction sont passées en revue :<p>accessibilité des états,<p>séparation des groupes de composants indépendants,<p>symétrie et agrégation exacte des états (cfr Papazoglou). Il faut adapter la notion de symétrie des composants en tenant compte des dépendances pouvant exister entre composants.<p><p>Une méthode d'agrégation approchée pour le calcul de la fiabilité et de la disponibilité de groupes de composants à deux états est développée.<p><p>La troisième partie de la thèse contient une approche originale pour l'utilisation de la méthode markovienne. Il s'agit du développement d'une technique de réduction basée sur le graphe d'influence des composants. Un graphe d'influence des composants est construit à partir des dépendances existant entre composants. Sur base de ce graphe, un système markovien non homogène est construit, décrivant de manière approchée le comportement du système exact. Les résultats obtenus sur divers exemples sont très bons.<p><p>Une quatrième partie de cette thèse s'intéresse aux problèmes numériques liés à l'intégration du système différentiel du problème markovien. Ces problèmes résultent principalement du caractère stiff du système. Différentes méthodes classiques sont implantées pour l'intégration du système différentiel. Elles sont testées sur un exemple type de problème de fiabilité.<p><p>Pour finir, on trouve la présentation du code CAMERA dans lequel ont été implantées les différentes techniques présentées ci-dessus.<p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce travail de thèse comporte deux parties largement indépendantes, qui s'intéressent chacune à un aspect de la physique<br />des systèmes hors d'équilibre. Dans la première partie, nous étudions la statistique des évènements persistants, qui<br />permettent de caractériser le comportement temporel de nombreux systèmes, en particulier les systèmes de marche vers<br />l'ordre par croissance de domaines. Notre axe d'étude consiste à reformuler le problème en termes de probabilités de<br />premier retour et de distributions du temps d'occupation de processus stochastiques. Nous obtenons des résultats exacts<br />pour une classe de processus gaussiens markoviens, ainsi que pour une particule soumise à une accélération aléatoire. <br /><br />La généralisation de ces questions à des systèmes avec des contraintes géométriques ou cinétiques nous permet ensuite<br />d'aborder la seconde partie. Celle-ci est consacrée à l'étude des états métastables dans différents modèles<br />unidimensionnels de spins d'Ising à température nulle. Nous comparons la structure de l'ensemble des configurations<br />gelées atteintes dynamiquement depuis une condition initiale désordonnée avec celle de l'ensemble 'thermodynamique' à<br />la Edwards associé.

Cette thèse porte sur deux aspects de la dépendance entre actifs financiers. La première partie concerne la dépendance entre vecteurs aléatoires. Le premier chapitre consiste en une comparaison d'algorithmes calculant l'application de transport optimal pour le coût quadratique entre deux probabilités sur R^n, éventuellement continues. Ces algorithmes permettent de calculer des couplages ayant une propriété de dépendance extrême, dits couplage de corrélation maximale, qui apparaissent naturellement dans la définition de mesures de risque multivariées. Le second chapitre propose une définition de la dépendance extrême entre vecteurs aléatoires s'appuyant sur la notion de covariogramme ; les couplages extrêmes sont caractérisés comme des couplages de corrélation maximale à modification linéaire d'une des marginales multivariées près. Une méthode numérique permettant de calculer ces couplages est fournie, et des applications au stress-test de dépendance pour l'allocation de portefeuille et la valorisation d'options européennes sur plusieurs sous-jacents sont détaillées. La dernière partie décrit la dépendance spatiale entre deux diffusions markoviennes, couplées à l'aide d'une fonction de corrélation dépendant de l'état des deux diffusions. Une EDP de Kolmogorov forward intégrée fait le lien entre la famille de copules spatiales de la diffusion et la fonction de corrélation. On étudie ensuite le problème de la dépendance spatiale atteignable par deux mouvements Browniens, et nos résultats montrent que certaines copules classiques ne permettent pas de décrire la dépendance stationnaire entre des mouvements Browniens couplés.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

Ce travail est consacré à certaines classes de systèmes dynamiques ergodiques, munis d'une mesure invariante infinie, telles que des applications de l'intervalle avec un point fixe neutre ou des marches aléatoires. Le comportement asymptotique des sommes de Birkhoff d'observables d'intégrale non nulle est assez bien connu, pour peu que le système ait une certaine forme d'hyperbolicité. Une situation particulièrement intéressante est celle des tours au-dessus d'une application Gibbs-Markov. Nous cherchons dans ce contexte à étudier le cas d'observables d'intégrale nulle. Nous obtenons ainsi une forme de théorème central limite pour des systèmes dynamiques munis d'une mesure infinie. Après avoir introduit l'ensemble des notions nécessaires, nous adaptons des résultats de E. Csáki et A. Földes sur les marches aléatoires au cas des applications Gibbs-Markov. Les théorèmes d'indépendance asymptotique qui en découlent forment le cœur de cette thèse, et permettent de démontrer un théorème central limite généralisé. Quelques variations sur l'énoncé de ce théorème sont obtenues. Ensuite, nous abordons les processus en temps continu, tels que des semi-flots et des flots. Un premier travail consiste à étudier les propriété en temps grand du temps de premier retour et du temps local pour des extensions de systèmes dynamiques, ce qui se fait par des méthodes spectrales. Enfin, par réductions successives, nous pouvons obtenir une version du théorème central limite pour des flots périodiques, et en particulier le flot géodésique sur le fibré tangent unitaire de certaines variétés périodiques hyperboliques. / This work is focused on some classes of ergodic dynamical systems endowed with an infinite invariant measure, such as transformations of the interval with a neutral fixed point or random walks. The asymptotic behavior of the Birkhoff sums of observables with a non-zero integral is well known, as long as the system shows some kind of hyperbolicity. The towers over a Gibbs-Markov map are especially interesting. In this context, we aim to study the case of observables whose integral is zero. We get the equivalent of a central limit theorem for some dynamical systems endowed with an infinite measure. After we introduce the necessary definitions, we adapt some results by E. Csáki and A. Földes on random walks to the case of Gibbs-Markov maps. We derive a theorem on the asymptotic independence of Birhoff sums, which is the core of this thesis, and from this point we work out a generalised central limit theorem. We also prove a few variations on this generalised central limit theorem. Then, we study dynamical systems in continuous time, such as semi-flows and flows. We first work on the asymptotic properties of the first return time and the local time for extensions of dynamical systems; this is done by spectral methods. Finally, step by step, we extend our generalised central limit theorem to cover some periodic flows, and in particular the geodesic flow on the unitary tangent bundle of some hyperbolic periodic manifolds.

Nous étudions la dynamique d'un traceur soumis à une force extérieure dans un bain de particules. Nous proposons un modèle qui prend en compte explicitement la dynamique du bain, et qui décrit les corrélations entre la dynamique du traceur et la réponse du bain. Nous considérons un traceur biaisé dans un gaz de coeurs durs sur réseau : le traceur réalise une marche aléatoire biaisée tandis que les particules du bain réalisent des marches aléatoires symétriques. Nous étudions plus particulièrement les fluctuations de la position du traceur. Dans la limite de haute densité, nous obtenons des résultats exacts à l'ordre dominant en la densité de lacunes. En géométrie confinée, un calcul analytique des fluctuations de la position du traceur prévoit un long régime superdiffusif, et une transition vers un régime diffusif final. Nous proposons une description simplifiée du système qui révèle le mécanisme physique à l'origine de ce comportement anormal. Nous montrons l'existence d'une anomalie de la vitesse du traceur dans les systèmes quasi-1D. Nous étudions également le cas général d'une densité arbitraire de particules sur un réseau en contact avec un réservoir. Cette situation constitue un problème à N corps décrit par une équation maîtresse, qui ne peut être résolue qu'en recourant à une approximation de type champ moyen consistant en le découplage de certaines fonctions de corrélation. Il est alors possible de déterminer des valeurs approchées de la vitesse, de coefficient de diffusion du traceur ainsi que de la distribution de position du traceur. Nous montrons enfin que l'approximation de découplage est exacte dans les limites de basse et de haute densité. / We study the dynamics of a tracer submitted to an external force in a bath of particles. We propose a model which takes explicitly into account the dynamics of the bath, and which describes the correlations between the dynamics of the tracer and the response of the bath. We consider a biased tracer in a lattice gas of hardcore particles: the tracer performs a biased random walk whereas the bath particles perform symmetric random walks. We study in particular the fluctuations of the position of the tracer. In the high-density limit, we obtain exact results at leading order in the density of vacancies. In confined geometries, an analytical calculation of the fluctuations of tracer position predicts a long superdiffusive regime, and a crossover to an ultimate diffusive regime. We give a simplified description of the system that unveils the physical mechanism explaining this anomalous behavior. We show the existence of a velocity anomaly in quasi-1D systems.We also study the general case of an arbitrary density of particles on a lattice in contact with a reservoir. This situation is a N-body problem described by a master equation, that can be solved by resorting to a mean-field-type approximation, which consists in the decoupling of relevant correlation functions. It is then possible to determine approximate values of the velocity, the diffusion coefficient and the distribution of the position of the tracer. We finally show that the decoupling approximation is exact in the high-density and low-density limits.

Nous déterminons d’abord l’impact d’un plan infini réfléchissant sur l’espace occupé par une marche brownienne bidimensionnelle à un temps fixé, que nous caractérisons par le périmètre moyen de son enveloppe convexe (plus petit polygone convexe contenant toute la trajectoire). Nous déterminons également la longueur moyenne de la portion du plan visitée par le marcheur, et la probabilité de survie d’un marcheur brownien dans un secteur angulaire absorbant.Nous étudions ensuite le temps mis par un marcheur sur réseau pour visiter tous les sites d’un volume, ou une partie d’entre eux. Nous calculons la moyenne de ce temps, dit de couverture, à une dimension pour une marche aléatoire persistante. Nous déterminons également la distribution du temps de couverture et d’autres observables assimilées pour la classe des processus non compacts, qui décrivent un large spectre de recherches aléatoires.Dans un troisième temps, nous calculons et analysons la probabilité de sortie conditionnelle d’un marcheur brownien évoluant dans un intervalle se dilatant ou se contractant à vitesse constante.Enfin, nous étudions plusieurs aspects du modèle du marcheur aléatoire “affamé”, qui meurt si les visites de nouveaux sites, grâce auxquelles il engrange des ressources, ne sont pas suffisamment regulières. Nous en proposons un traitement de type champ moyen à deux dimensions, puis nous déterminons l’impact de la régénération des ressources sur les propriétés de survie du marcheur. Nous considérons finalement un modèle d’exploitation de parcelles de nourriture prenant explicitement en compte le mouvement du marcheur, qui se ramène de manière naturelle au modèle du marcheur aléatoire affamé. / We first determine the impact of an infinite reflecting wall on the space occupied by a planar Brownian motion at a fixed observation time. We characterize it by the mean perimeter of its convex hull, defined as the minimal convex polygon enclosing the whole trajectory. We also determine the mean length of the visited portion of the wall, and the survival probability of a Brownian walker in an absorbing wedge.We then study the time needed for a lattice random walker to visit every site of a confined volume, or a fraction of them. We calculate the mean value of this so-called cover time in one dimension for a persistant random walk. We also determine the distribution of the cover time and related observables for the class of non compact processes, which describes a wide range of random searches.After that, we calculate and analyze the splitting probability of a one-dimensional Brownian walker evolving in an expanding or contracting interval.Last, we study several aspects of the model of starving random walk, where the walker starves if its visits to new sites, from which it collects resources, are not regular enough. We develop a mean-field treatment of this model in two dimensions, then determine the impact of regeneration of resources on the survival properties of the walker. We finally consider a model of exploitation of food patches taking explicitly into account the displacement of the walker in the patches, which can be mapped onto the starving random walk model.

Cette thèse concerne les stratégies de recherches de cible dites intermittentes, qui alternent des phases lentes permettant la détection de la cible, et des phases rapides sans détection. Un exemple à l'échelle macroscopique est celui d'animaux en quête de nourriture. Nous en proposons un modèle, alternatif aux célèbres stratégies de Lévy, et montrons analytiquement que le temps moyen de recherche peut être minimisé en fonction des durées moyennes de chaque phase. Un premier exemple à l'échelle microscopique est celui de la recherche par des protéines de cibles sur l'ADN. Nous calculons analytiquement la distribution de la distance parcourue le long de l'ADN lors d'une excursion 3D, l'adaptons à une expérience de molécule unique et montrons que les trajectoires observées combinent des diffusions 1D et 3D. Un autre exemple cellulaire concerne le transport actif de vésicules, qui diffusent ou se lient à des moteurs assurant un déplacement balistique. Nous optimisons la constante cinétique dans un modèle général de réaction limitée par ce type de transport. Finalement, ces stratégies intermittentes pourraient constituer un mécanisme de recherche générique. Nous étudions de manière systématique l'influence de la modélisation de la phase de détection et de la dimension de l'espace, et montrons que l'optimalité des stratégies intermittentes est un résultat robuste.