Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse fonctionnelle et plus précisément dans le domaine de la théorie des opérateurs dans des espaces de Hilbert. Elle consiste à étudier les applications bijectives entre des algèbres d'opérateurs, qui commutent avec la transformation de Aluthge. Dans la première partie, nous allons étudier la transformation de Aluthge, qui joue un rôle important en théorie des opérateurs. Nous allons démontrer plusieurs résultats intéressants sur cette transformation. Ces résultats seront utilisés dans la suite de ce travail. Dans la deuxième partie, nous étudierons les bijections additives qui commutent avec la transformation de Aluthge. Nous donnerons également une forme complète des applications ω-additive qui commutent avec cette transformation. Ensuite, nous considérons les applications qui commutent avec la transformation de Aluthge sous le produit usuel et le produit de Jordan. Nous démontrerons que ces applications ont une forme simple. Dans la dernière partie, nous donnerons plusieurs expressions du rayon spectral via la transformation λ-Aluthge et ses itérées. / Our aim in this thesis in function analysis is to study the bijective maps between the algebras of linear and bounded operators, which commute with the Aluthge transform in different way. In the first part, we study the Aluthge transformation which play an crucial role on operator theory in the recent years. We will establish some useful results and properties of the λ-Aluthge transform. These results are required to prove our main theorems in the next chapters. In the second part, we study the bijective and additive maps which commute with the λ-Aluthge transform. We also give a description of ω-additive commuting maps with this transformation. In the last part, we consider the problem of commuting maps with the λ-Aluthge transform, under the usual product and Jordan product, we show that these maps are a simple form. Finally, we give several expressions of the spectral radius via the λ-Aluthge transform and its iterates.

Les spectres contiennent de l'information sur la composition d'échantillons. Cette information est extraite au moyen d'une première famille d'outils chimiométriques, les étalonnages. Une deu xième famille d'outils, les prétraitements, est destinée à enlever une information spectrale nuisible. Etalonnages et prétraitements sont construits à partir de deux types d'informations: (1) les informations expérimentales basées sur l'expérience; (2) les informations expertes basées sur la connaissance a priori. L'objectif de la thèse est d'étudier les complémentarités et synergies entre ces deux types d'informations. Après une étude bibliographique, un modèle général commun aux étalonnages et prétraitements est proposé. L'information utile ou nuisible contenue dans un spectre est obtenue par projection orthogonale de ce spectre (selon un métrique Sigma) sur une matrice P dont les colonnes constituent une base de l'espace vectoriel associé à l'information utile ou nuisible. Selon les cas, l'information utile est conservée alors que l'information nuisible est éliminée. Le modèle général est ensuite implémenté par deux nouvelles méthodes. L'IDC-Improved Direct Calibration est une méthode d'étalonnage direct utilisant conjointement des informations expérimentales et expertes. Ensuite VODKA-PLSR est une généralisation de la PLSR. Un vecteur r est mis en évidence, il permet d'inclure de l'information experte dans le modèle. En conclusion ce travail permet une vision plus synthétique des modèles existants, propose deux nouveaux modèles d'étalonnage et ouvre de nombreuses possibilités pour créer de nouveaux modèles d'étalonnage et de prétraitement. / Spectra contain informations about the composition of samples. This information is obtained using calibration. Harmful spectral information can be previoulsy withdrawn using pretraitments. Both calibration and pretraitment models are based on two types of informations: (1) experimental information based on measurements onto samples; (2) expert information based on a previous knowledge. The aim of this thesis is to study the links between those two types of information. After a biography review, a general model including both calibrations and pretraitments is proposed. The usefull or harmful spectral information is obtained after spectra have been orthogonaly projected (with a Sigma metrix ) onto a P matrix whose columns define a basis of the vectorial subspace described by the usefull or harmful information. Thus usefull information is kept whereas harmful information is withdrawn. Two new methods are proposed. First IDC-Improved Direct Calibra tion is a direct calibration method using both experimental and expert informations. Then VODKA-PLSR is a generalisation of PLSR. A vector r permits the use of expert information by the regression model. To conclude, this works allows a global view of existing tools, proposes two new models and offers new possibilities for building new models.

Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche. / This thesis is formed of four chapters. The first one presents the mathematical notions and tools used in this thesis and gives a description of the main results obtained within. The second chapter presents our generalization of a result obtained by Rousselet-Chenais in 1990 which describes the sensitivity of eigensubspaces for self-adjoint compact operators. Rousselet-Chenais were limited to sensitivity for specific subspaces of dimension 1, we have extended their result to higher dimensions. We applied our results to the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the case of parametric, temporal and spatial variations (Gappy- POD). The third chapter discusses the optical flow estimate with quadratic or linear energies at infinity. Mathematical results of convergence are shown for the method Progressive Generalized Decomposition (PGD) in the case of quadratic energies. Our proof is based on the decomposition of Brézis-lieb via the convergence almost everywhere of the PGD sequence gradients. A detailed numerical study is made on different types of images : on the passive scalar transport equations, whose displacement fields are solutions of the Navier-Stokes equations. These equations present a challenge for optical flow estimates because of the presence of low gradient regions in the image. We applied our method to the MRI image sequences to estimate the movement of the abdominal organs. PGD presented a superiority in both computing time level (even in 2D) and accuracy representation of the estimated motion. The local diffusion of standard methods (Horn Schunck, for example) limits the convergence rate, in contrast to the PGD which is a more global approach by construction. The last chapter deals with the application of PGD method in the case of variational elliptic equations whose energy present all challenges to classical variational methods : lack of convexity, lack of coercivity and lack of boundedness. We prove convergence results for the weak topology, the PGD sequences converge (when they are well defined) to two extremal solutions on the Nehari manifold. Several mathematical questions about PGD remain open in this chapter. These questions are part of our research perspectives.