Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse fonctionnelle et plus précisément dans le domaine de la théorie des opérateurs dans des espaces de Hilbert. Elle consiste à étudier les applications bijectives entre des algèbres d'opérateurs, qui commutent avec la transformation de Aluthge. Dans la première partie, nous allons étudier la transformation de Aluthge, qui joue un rôle important en théorie des opérateurs. Nous allons démontrer plusieurs résultats intéressants sur cette transformation. Ces résultats seront utilisés dans la suite de ce travail. Dans la deuxième partie, nous étudierons les bijections additives qui commutent avec la transformation de Aluthge. Nous donnerons également une forme complète des applications ω-additive qui commutent avec cette transformation. Ensuite, nous considérons les applications qui commutent avec la transformation de Aluthge sous le produit usuel et le produit de Jordan. Nous démontrerons que ces applications ont une forme simple. Dans la dernière partie, nous donnerons plusieurs expressions du rayon spectral via la transformation λ-Aluthge et ses itérées. / Our aim in this thesis in function analysis is to study the bijective maps between the algebras of linear and bounded operators, which commute with the Aluthge transform in different way. In the first part, we study the Aluthge transformation which play an crucial role on operator theory in the recent years. We will establish some useful results and properties of the λ-Aluthge transform. These results are required to prove our main theorems in the next chapters. In the second part, we study the bijective and additive maps which commute with the λ-Aluthge transform. We also give a description of ω-additive commuting maps with this transformation. In the last part, we consider the problem of commuting maps with the λ-Aluthge transform, under the usual product and Jordan product, we show that these maps are a simple form. Finally, we give several expressions of the spectral radius via the λ-Aluthge transform and its iterates.

Cette thèse s'articule autour de deux thèmes : une transformation de B(H) introduite par Aluthge et la méthode d'Ansari-Enflo. La première partie fait l'objet de l'étude de la transformation d'Aluthge qui a eu un impact important ces dernières années en théorie des opérateurs. Des résultats optimaux sur la stabilité d'un certain nombre de classes d'opérateurs, telles que la classe des isométries partielles et les classes associées au comportement asymptotique d'un opérateur, sont fournis. Nous étudions également l'évolution d'invariants opératoriels, tels que le polynôme minimal, la fonction minimum, l'ascente et la descente, sous l'action de la transformation ; nous comparons plus précisément les suites des noyaux et images relatives aux itérés d'un opérateur et de sa transformée de Aluthge. La deuxième partie est l'occasion d'étudier la théorie d'Ansari-Enflo, qui a permis de gros progrès pour le problème du sous-espace hyper-invariant. Nous développons plus particulièrement la notion fondatrice de la méthode, celle de vecteur extrémal. La localisation et une nouvelle caractérisation de ces vecteurs sont données. Leur régularité et leur robustesse, au regard de différents paramètres, sont éprouvées. Enfin, nous comparons les vecteurs extrémaux d'un shift à poids et ceux associés à sa transformée d'Aluthge. Cette étude aboutit à la construction d'une suite de vecteurs extrémaux associés aux itérés de la transformation d'Aluthge, pour laquelle certaines propriétés sont mises en évidence.

Cette thèse s'articule autour de deux thèmes : une transformation de B(H) introduite par Aluthge et la méthode d'Ansari-Enflo. La première partie fait l'objet de l'étude de la transformation d’Aluthge qui a eu un impact important ces dernières années en théorie des opérateurs. Des résultats optimaux sur la stabilité d'un certain nombre de classes d'opérateurs, telles que la classe des isométries partielles et les classes associées au comportement asymptotique d'un opérateur, sont fournis. Nous étudions également l'évolution d'invariants opératoriels, tels que le polynôme minimal, la fonction minimum, l'ascente et la descente, sous l'action de la transformation ; nous comparons plus précisément les suites des noyaux et images relatives aux itérés d'un opérateur et de sa transformée de Aluthge. La deuxième partie est l'occasion d'étudier la théorie d'Ansari-Enflo, qui a permis de gros progrès pour le problème du sous-espace hyper-invariant. Nous développons plus particulièrement la notion fondatrice de la méthode, celle de vecteur extrémal. La localisation et une nouvelle caractérisation de ces vecteurs sont données. Leur régularité et leur robustesse, au regard de différents paramètres, sont éprouvées. Enfin, nous comparons les vecteurs extrémaux d'un shift à poids et ceux associés à sa transformée d’Aluthge. Cette étude aboutit à la construction d'une suite de vecteurs extrémaux associés aux itérés de la transformation d’Aluthge, pour laquelle certaines propriétés sont mises en évidence. / This thesis is based on two topics : a transformation of B(H) introduced by Aluthge and the Ansari-Enflo method. In the first part, we study the Aluthge transformation which really had an impact on operator theory in the past ten years. Some optimal results about stability for several operators classes, such as isometries class and classes of operators defined by their asymptotic behaviour, are given. We also study changes generated by Aluthge transform about some usual tools in operator theory like minimum polynomial, minimum function, ascent and descent ; precisely, we compare iterated kernels and iterated ranges sequences related to an operator and to its Aluthge transform. The second part is devoted to the study of the Ansari-Enflo theory, which allowed to make progress in the hyper-invariant subspace problem. We develop the notion of extremal vectors which is the fundamental point of the theory. We clarify their spatial localization and a new caracterisation for these vectors is given. Regularity and robustness with regard to different parameters are tried and tested. Finally, we compare extremal vectors associated with weighted shifts and the one corresponding to their Aluthge transform. This study leads to build a sequence of extremal vectors associated with the iterated Aluthge transform, for which we highlight several properties.