Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à la structure multiplicative des nombres entiers par le biais des deux fonctions arithmétiques sqk(n) :=Ypjjn<kp et powk(n) :=Ypjjnkp; nommées respectivement la partie k-libre de n et la partie k-puissante de n. DXans le premier chapitre, nous évaluons le comportement asymptotique de la sommation nx sqa k(n)powbk (n) pour k 2 fixé et avec différentes valeurs réelles de a et b. Nous obtenons par exemple que X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k tandis que X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , d'où nous pouvons conclure que la partie k-libre est fréquemment plus grande que la partie k-puissante. De plus, l'ordre de grandeur de la somme dépend généralement du maximum entre a et b. Dans le deuxième chapitre, nous obtenons divers résultats en lien avec les deux fonctions sqk(n) et powk(n) lorsque k = 2. Nous touchons en particulier à la distribution de leurs valeurs, à la densité des nombres satisfaisant pow2(n) > sq2(n), ainsi qu'à la valeur moyenne asymptotique de ces deux fonctions sur les nombres n'ayant aucun facteur premier plus grand que y, et ce pour différents ordres de grandeur de y. D'ailleurs, nous montrons que l'égalité log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA est valide uniquement lorsque y = 2 log x auquel cas nous obtenons que ces expressions sont égales à (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x lorsque x ! 1: Finalement, dans le troisième et dernier chapitre, nous généralisons les résultats du chapitre précédent aux valeurs de k supérieures à 2. / In this thesis, we study the multiplicative structure of integers by using the two arithmetical functions sqk(n) := Y pjjn <k p and powk(n) := Y pjjn k p; named respectively the k-free part of n and the k-full part of n. In the first chapter, we evaluate the asymptotic behavior of the summation X nx sqa k(n)powbk (n) for k 2 fixed and for different real values of a and b. For example, we obtain that X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k while X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , which means the k-free part is frequently greater than the k-full part. Furthermore, the order of magnitude of the sum generally depends on the maximum between a and b. In the second chapter, we get various results related to the functions sqk(n) and powk(n) when k = 2. We study in particular the distribution of their values, the density of numbers satisfying pow2(n) > sq2(n), and also the asymptotic mean value of those two functions on the numbers without any prime factor greater than y, and for different values of y. In fact, we show that the equality log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA holds only for y = 2 log x. And for this value of y, those expressions are in fact equal to (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x as x ! 1: Finally, in the third and last chapter, we generalize the results of the previous chapter to k greater than 2.

Dans ce mémoire, nous considérons l’évaluation de la somme des réclamations escomptées avec conditionnement sur l’expérience et diverses quantités reliées. Au chapitre 1, nous résumons l’historique des processus de renouvellement depuis le début de leur utilisation : processus sans escompte, avec taux d’escompte constant, avec taux d’escompte stochastique et avec dépendance. Les objectifs du mémoire y sont également aussi rendus explicites. Au chapitre 2, nous décrivons les concepts préalables à l’établissement du modèle avec conditionnement, notamment les composantes du processus de renouvellement de base, les différents résultats obtenus avec des sommes de réclamations escomptées avec force constante d’intérêt net (moments simples, moments conjoints, transformées de Laplace) et les mesures de risque qui seront étudiées. Au chapitre 3, nous présentons les principaux résultats obtenus par l’approche avec conditionnement sur l’expérience, entre autres le calcul des premiers moments des accroissements conditionnels, l’évaluation de la transformée de Laplace conditionnelle et l’obtention de la fonction de répartition conditionnelle. De plus, nous présentons par la suite nos résultats dans un contexte avec dépendance. Au chapitre 4, nous discutons des principales applications du modèle par rapport à différentes mesures de risque, au processus de réserve, et à la probabilité de ruine qui lui est reliée. Au chapitre 5, nous rappelons les principaux résultats obtenus et présentons les extensions possibles du modèle. / In this thesis, we study the behavior of the aggregate discounted claims process on multiple periods while considering all the information gathered in the previous periods. In chapter 1, we point out the history of compound renewal processes, without discount rate, with constant or stochastic discount rate and with dependency relation. The objectives of the thesis are also described. In chapter 2, we enumerate the theoretical concepts needed to understand the model we intend to consider, and we present the most important results that have been obtained for aggregate discounted claims with constant discount rate (moments, joint moments, Laplace transform) and the risk measures that we will use. In chapter 3, we present the most interesting results obtained through our theoretical model. Among others, the first conditional moments of the increments, the conditional Laplace transform, and some conditional distribution functions are obtained. We then introduce dependency in the model and show how our results are affected. In chapter 4, we discuss the main applications of our model, in relation to risk measures, reserve process and ruin probability. In chapter 5, the main results are shown again, and further avenues of research are also discussed.

Étant donné une algèbre de Lie g semi-simple de dimension finie et un élément nilpotent non nul e 2 g, on peut construire plusieurs algèbres-W associées à (g; e). Parmi eux, l’algèbre-W affine est une algèbre vertex qui peut être réalisée comme une cohomologie semi-infinie d’une sous-algèbre nilpotente de ~g, où ~g est l’algèbre de Kac-Moody associée à g. L’algèbre-W finie est l’algèbre de Zhu de l’algèbre-W affine. Dans les constructions des algèbres-W, une forme bilinéaire non dégénérée invariante et une bonne Z-graduation de g jouent des rôles essentiels. Les algèbres de courants tronqués associées à g sont des quotients de l’algèbre de courants g C[t]. On peut montrer que: (1) des formes bilinéaires non dégénérées invariantes existent sur des algèbres de courants tronqués; (2) une bonne Z-graduation de g induit des bonnes Z-graduations des algèbres de courants tronqués. Alors, les constructions des algèbres-W fonctionnent bien dans le cas des algèbres de courants tronqués. Les résultats de cette thèse sont les suivants. Premièrement, nous introduisons les algèbres-W finies et affines associées aux algèbres de courants tronqués et nous généralisons certaines propriétés des algèbres-W associées aux algèbres de Lie semi-simples. Deuxièmement, nous developpons une version ajustée de la cohomologie semi-infinie, ce qui nous permet de définir les algèbres-W affines associées à des éléments nilpotents généraux d’une façon uniforme. À la fin, nous prouvons que les algèbres de Zhu de niveaux plus hauts d’une algèbre vertex conforme sont toutes isomorphes à des sous-quotients de son algèbre enveloppante universelle. / Given a finite-dimensional semi-simple Lie algebra g and a non-zero nilpotent element e 2 g, one can construct various W-algebras associated to (g; e). Among them, the affine W-algebra is a vertex algebra which can be realized through semi-infinite cohomology, and the finite W-algebra is the Zhu algebra of the affineW-algebra. In the constructions ofW-algebras, a non-degenerate invariant bilinear form and a good Z-grading of g play essential roles. Truncated current Lie algebras associated to g are quotients of the current Lie algebra g C[t]. One can show that non-degenerate invariant bilinear forms exist on truncated current Lie algebras and a good Z-grading of g induces good Z-gradings of truncated current Lie algebras. The constructions of W-algebras can thus be adapted to the setting of truncated current Lie algebras. The main results of this thesis are as follows. First, we introduce finite and affine W-algebras associated to truncated current Lie algebras and generalize some properties of W-algebras associated to semi-simple Lie algebras. Second, we develop an adjusted version of semi-infinite cohomology, which helps us to define affine W-algebras associated to general nilpotent elements in a uniform way. Finally, we consider vertex operator algebras in general, and show that their higher level Zhu algebras are all isomorphic to subquotients of their universal enveloping algebras.

Le présent document est un compte-rendu de quatre présentations que j'ai faites au congrès de Théorie des Nombres Québec-Maine entre 2013 et 2016. Au fil des ans, j'ai effectué quelques améliorations et corrections aux documents originaux. Le contenu, l'esprit et l'organisation sont restés essentiellement inchangés. Les quatre sujets sont fondamentalement distincts tout en étant dans un même cercle d'idées. Le premier chapitre traite d'un certain nombre de sujets en relation avec le comportement moyen de certaines fonctions multiplicatives, dans un ensemble bien précis, qui partagent plusieurs propriétés avec la fonction indicatrice des nombres libres de puissance k-ième. En particulier, on y établit plusieurs estimations de la variance dans des intervalles courts et dans des progressions arithmétiques. Le deuxième chapitre étudie un problème du crible combinatoire. Il y est question d'établir une majoration analogue à la célèbre inégalité de Brun-Titchmarsh, mais pour les nombres libres de puissance k-ième. Après quelques remarques élémentaires, on établit une nouvelle inégalité en supposant une conjecture forte en lien avec la densité maximale d'une suite de nombres ayant un diviseur de la forme pk 1pk 2 où p1 et p2 sont des nombres premiers qui satisfont certaines conditions. La méthode fournit aussi une majoration effective pour le nombre de nombres libres de puissance k-ième dans un intervalle [x + 1, x + h] lorsque h est petit par rapport à x. Le troisième chapitre, écrit en collaboration avec Jean-Marie De Koninck, établit des inégalités particulières pour la fonction τ(n) qui compte le nombre de diviseurs de n. L'objectif est d'obtenir une majoration de τ(n) qui ne dépend pas des facteurs premiers de n, mais seulement du nombre de facteurs premiers distincts de n et de son ordre de grandeur, i.e. de log n. L'inégalité principale (Théorèmes 3.4 et 3.5) a nécessité un bon volume de calcul sur ordinateur, et donc beaucoup de programmation avec Maple. Finalement, le Chapitre 4 est le début d'une étude du nombre de points entiers près d'une courbe dans l'espace R3. Le problème peut aussi être vu comme celui du nombre de points entiers près de deux courbes dans le plan Euclidien simultanément. L'objectif principal est d'utiliser l'information des deux courbes de façon nontriviale, soit de faire mieux que les meilleurs résultats connus pour une seule courbe. Étant donné la complexité du problème déjà en deux dimensions et du nombre de méthodes disponibles, il nous a semblé impossible de faire un traitement complet de la question. On s'est donc concentré sur une méthode qui utilise des approximations linéaires. Cette dernière peut sans doute être substantiellement améliorée. / Résumé en anglais / Théorie analytique des nombres

Pour une fonction additive f et une fonction multiplicative g , soit E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . Dans cette thèse, nous améliorons le résultat de De Koninck, Doyon et Letendre relatif à l’ordre de grandeur de E ( ω, g ; x ) et E (Ω , g ; x ) . Nous obtenons aussi des résultats généralisant l’inégalité d’Hardy-Ramanujan et le théorème de Landau. De plus, nous appliquons la méthode de Selberg-Delange de façon à obtenir une formule relative à la fréquence des fonctions ω ( n ) et Ω( n ) en progression arithmétique. Finalement, nous trouvons une condition suffisante pour qu’une fonction arithmétique quel- conque possède une fonction de répartition et obtenons une version quantitative du théorème d’Erdős-Wintner. / For an additive function f and a multiplicative function g , let E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . In this thesis, we improve the result of De Koninck, Doyon and Letendre regarding the order of magnitude of E ( ω, g ; x ) and E (Ω , g ; x ) . We also obtain results which generalise the Hardy-Ramanujan inequalities and the Landau theorem. Moreover, we use the Selberg-Delange method in order to obtain a formula on the frequency of the fonctions ω ( n ) and Ω( n ) in arithmetic progression. Finaly, we find a sufficient condition for an arithmetical function to possess a distribution function and obtain a quantitative version of the Erdős-Wintner theorem.

Soit F un corps de nombres non-ramifié en un nombre premier impair p. Soit F∞) la Zp-extension cyclotomique de F et Λ = Zp [[Gal(F∞ /F)]] l’algèbre d’Iwasawa de Gal (F∞ /F) (signe de asymptotiquement égal) Zp sur Zp. Généralisant les groupes de Selmer plus et moins de Kobayashi, Büyükboduk et Lei ont défini des groupes de Selmer signés sur F∞ pour certaines représentations galoisiennes. En particulier, leurs constructions s’appliquent aux cas des variétés abéliennes définies sur F ayant bonne réduction supersingulière en chaque premier de F divisant p. Ces groupes de Selmer signés ont naturellement une structure de Λ -modules de type fini. Nous commençons par prouver une équation fonctionnelle pour ces groupes de Selmer signés qui relie les groupes de Selmer signés d’une telle représentation aux groupes de Selmer signés du dual de Tate de la représentation. Puis, nous étudions la structure de Λ -module des groupes de Selmer signés. Sous l’hypothèse qu’ils sont des Λ-modules de cotorsion, nous montrons qu’ils ne possèdent pas de sous- Λ -module propre d’indice fini. Nous déduisons de ce résultat quelques applications arithmétiques. Nous calculons le Λ-corang du groupe de Selmer de Bloch- Kato sur F∞ associé à la représentation, et, en étudiant la caractéristique d’Euler- Poincaré de ces groupes de Selmer signés, nous obtenons une formule explicite de la taille du groupe de Selmer de Bloch-Kato sur F. De plus, pour deux telles représentations isomorphes modulo p, nous comparons les invariants d’Iwasawa de leurs groupes de Selmer signés. Finalement, en supposant que les groupes de Selmer signés associés à une variété abélienne supersingulière sont des Λ -modules de cotorsion, nous montrons que le rang des groupes de Mordell-Weil de la varitété abélienne est borné le long de l’extension cyclotomique. / Let F be a number field unramified at an odd rational prime p. Let F∞ be the Zp-cyclotomic extension of F and Λ = Zp[[Gal(F∞/F)]] be the Iwasawa algebra of Gal (F∞/F) (signe de asymptotiquement égal) Zp over Zp. Generalizing Kobayashi’s plus and minus Selmer groups, Büyükboduk and Lei have defined signed Selmer groups over F∞ for some non-ordinary Galois representations. In particular, their construction applies to abelian varieties defined over F with good supersingular reduction at primes of F dividing p. These signed Selmer groups have a natural structure of finitely generated Λ-modules. We first prove a functional equation for these signed Selmer groups, relating the signed Selmer groups of such a representation to the signed Selmer groups of Tate dual of the representation. Second, we study the structure of Λ-module of the signed Selmer groups. Assuming that they are cotorsion Λ-modules, we show that they have no proper sub-Λ-module of finite index. We deduce from this a number of arithmetic applications. We compute the Λ-corank of the Bloch-Kato Selmer group attached to the representation over F∞, and, on studying the Euler-Poincaré characteristic of these signed Selmer groups, we obtain an explicit formula on the size of the Bloch-Kato Selmer group over F. Furthermore, for two such representations that are isomorphic modulo p, we compare the Iwasawa-invariants of their signed Selmer groups. Finally, under the hypothesis that the signed Selmer groups associated to a supersingular abelian variety are cotorsion Λ-modules, we show that the rank of Mordell-Weil groups of the abelian variety is bounded along the cyclotomic extension.

Introduit par Dodge and Romig [1959] et rendu populaire par Valadez [1991]), le Lot Quality Assurance Sampling (LQAS) est une méthode beaucoup utilisée par les organismes dans le suivi de leurs activités (Robertson and Valadez [2006]). Le LQAS est utilisé dans le contexte comme une approche simple et peu coûteuse pour prendre rapidement des décisions par rapport à l’allocation des ressources. L’approche proposée par Valadez consiste à réaliser le test usuel de la binomiale exacte sur une proportion où on contrôle à la fois les erreurs a et b pour choisir une taille n et un seuil critique c. Pour rendre accessible son utilisation, Valadez et al. [2002] ont développé un manuel des praticiens qui présente une méthodologie d’utilisation du LQAS plus complexe que l’approche proposée par Valadez. Plusieurs problèmes liés à l’utilisation du LQAS en pratique sont identifiés et nous avons évalué leurs impact sur les erreurs de type I et II. Nous avons proposé d’autres solutions comme le test exact de Fisher, le test exact de Barnard, un test basé sur l’approximation par la loi normale avec et sans transformation arcsin( p x) en contrôlant pour chacun de ces tests a et b. Nous avons aussi soulevé le problème de la comparaison multiple et nous avons proposé une correction, celle de Bonferroni. Au terme de l’étude, nous avons développé une application Shiny sur R (https://lqasdesign. shinyapps.io/app1/) pour faciliter la conception et l’analyse selon le LQAS. / Introduced by Dodge and Romig [1959] and popularized by Valadez [1991], Lot Quality Assurance Sampling (LQAS) is a method widely used by tremendous organizations to tracking their activities (Robertson and Valadez [2006]). It is a simple and economical approach which allow them to make quick decisions about resource allocation. The approach proposed by Valadez consists in carrying out the usual exact binomial test on a proportion where we control both the a and b errors to choose a n size and a critical c threshold. In this study, several issues related to the use of LQAS in practice have been identified and we assessed their impact on Type I and Type II errors. Then, we proposed several solutions such as Fisher’s exact test, Barnard’s exact test, as well as a test based on the normal approximation with and without transformation arcsin( p x) by checking for each of them a and b. We also raised the problem of multiple comparison and proposed a correction using the Bonferroni framework. Finally, we developed a Shiny application on R (https://lqasdesign.shinyapps.io/app1/) to facilitate the practical implementation of each these methods.

Estimer l’effet d’une exposition variant dans le temps à l’aide de modèles de régression ordinaires peut entraîner un biais si des variables confondantes variant dans le temps sont un effet des expositions passées. Les modèles structurels marginaux (MSMs) sont une solution à ce problème qui est de plus en plus utilisée, notamment dans les études en santé. L’une des hypothèses principales des MSMs est que la relation entre l’issue et les expositions antérieures est bien spécifiée. Ainsi, nous avons développé un test statistique de cette hypothèse. Différentes pondérations peuvent être utilisées pour estimer les paramètres du MSM et celles-ci devraient produire des estimations similaires lorsque le modèle est correctement spécifié. Un test statistique vérifiant si les différences observées sont au-delà de celles attendues permet donc de tester que le modèle est correct. La performance du test est étudiée à l’aide d’une étude de simulations sur des données synthétiques, où différentes véritables relations entre les expositions et l’issue, ainsi que différentes tailles d’échantillons étaient considérées. L’étude de simulation démontre une bonne performance du test : les taux de rejet de modèles corrects sont faibles alors que ceux de modèles incorrects sont généralement élevés, surtout pour des tailles d’échantillons élevées. Cependant, il existe des situations où le test est incapable de détecter des erreurs de spécification. Le test est appliqué pour étudier l’effet d’une exposition répétée au stress au travail sur une période de 5 ans sur la pression artérielle ambulatoire dans une cohorte de 1576 travailleurs cols-blancs. / Estimating the effect of a time-varying exposure using ordinary regression models may lead to bias if time-varying confounding variables are an effect of past exposures. Marginal structural models (MSMs) are a solution to this problem that is increasingly used, especially in health studies. One of the main assumptions of MSMs is that the relationship between outcome and past exposures is well specified. Thus, we developed a statistical test of this hypothesis. Different weights can be used to estimate MSM parameters and these should produce similar estimates when the model is correctly specified. A statistical test verifying if the differences observed are beyond those expected makes it possible to test that the model is correct. The performance of the test is investigated using a synthetic data simulation study, where different true relationships between exposures and outcome, as well as different sample sizes were considered. The simulation study demonstrates good test performance: rejection rates for correct models are low, while rejection rates for incorrect models are generally high, especially for large sample sizes. However, there are situations where the test is unable to detect specification errors. The test is applied to study the effect of repeated psychosocial work stressor exposure over a 5-year period on ambulatory blood pressure in a cohort of 1576 white-collar workers.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019. / Dans cette thèse, nous présentons une classe très large de processus de dénombrement, incluant le processus de renouvellement et le processus de Poisson non-homogène, à laquelle s’ajouteront des taux d’escompte stochastiques afin de modéliser les coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Ainsi, dans l’introduction, nous présentons certaines caractéristiques importantes du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Au chapitre 1, nous présentons des concepts théoriques préalables à l’élaboration et l’application du modèle mathématique qui sera proposé au chapitre 4. Au chapitre 2, nous présentons des résultats liés aux processus de Poisson non-homogène composé et de Cox composé, avec escompte. En particulier, nous y présentons des expressions analytiques pour les fonctions génératrices des moments qui seront inversées numériquement en utilisant la transformée de Fourier afin d’obtenir une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 3, nous considérons une classe de processus qui généralise celle étudiée au chapitre 2 : les processus de renouvellement composés, avec effet de tendance et escompte. Pour cette nouvelle classe, nous obtenons des formules récursives pour le calcul des moments ainsi que des expressions analytiques pour la fonction génératrice des moments, fonction qui peut être inversée analytiquement ou numériquement dans plusieurs cas particuliers afin d’obtenir une expression exacte ou une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 4, nous présentons les hypothèses du modèle stochastique qui servira à évaluer le risque du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé, ce dernier généralisant la classe de modèles considérée au chapitre 3. Au chapitre 5, nous calibrons le modèle proposé au chapitre 4 sur la base de données des réclamations « fermées » d’une compagnie d’assurance de la Floride. Finalement, nous concluons cette thèse avec un résumé des nouveaux résultats et une discussion sur les avenues de recherches potentielles liées à la présente thèse. / In this thesis, we present a very large class of counting processes including the renewal process and the non-homogeneous Poisson process, to which we add stochastic discount rates, in order to model the aggregate cost related to medical malpractice insurance. In the introduction, we present some important characteristics related to the cost process of medical malpractice insurance. In Chapter 1, we present some theoretical concepts that will be used to build the aggregate cost process related to the medical malpractice insurance model that is proposed in Chapter 4. In Chapter 2, we present some results related to the compound non-homogeneous Poisson and compound Cox processes with a discount factor. In particular, we derive an analytic expression for the moment generating functions that will be inverted numerically using Fourier transforms in order to obtain an approximation of the probability distribution function. In Chapter 3, we study a class of models that generalizes the class of models studied in Chapter 2 : the compound trend renewal process with discount factor. For this new class of processes, we obtain recursive formulas for the moment calculations and an analytic expression for the moment generating function. The moment generating function can be inverted analytically or numerically for many particular cases in order to obtain an exact expression or an approximation of the probability distribution function. In Chapter 4, we present the stochastic model that will be used to measure the risk of an agregate cost related to medical malpractice insurance, which also generalizes the class of models considered in Chapter 3. In Chapter 5, we calibrate the model proposed in Chapter 4 on the closed claims database of Florida. The conclusion follows with a short summary of the results and an outline of some extensions for future research.

Le domaine de l’assurance est basé sur la loi des grands nombres, un théorème stipulant que les caractéristiques statistiques d’un échantillon aléatoire suffisamment grand convergent vers les caractéristiques de la population complète. Les compagnies d’assurance se basent sur ce principe afin d’évaluer le risque associé aux évènements assurés. Cependant, l’introduction d’une relation de dépendance entre les éléments de l’échantillon aléatoire peut changer drastiquement le profil de risque d’un échantillon par rapport à la population entière. Il est donc crucial de considérer l’effet de la dépendance lorsqu’on agrège des risques d’assurance, d’où l’intérêt porté à la modélisation de la dépendance en science actuarielle. Dans ce mémoire, on s’intéresse à la modélisation de la dépendance à l’intérieur d’un portefeuille de risques dans le cas où une variable aléatoire (v.a.) mélange introduit de la dépendance entre les différents risques. Après avoir introduit l’utilisation des mélanges exponentiels dans la modélisation du risque en actuariat, on démontre comment cette construction par mélange nous permet de définir les copules Archimédiennes, un outil puissant pour la modélisation de la dépendance. Dans un premier temps, on démontre comment il est possible d’approximer une copule Archimédienne construite par mélange continu par une copule construite par mélange discret. Puis, nous dérivons des expressions explicites pour certaines mesures d’intérêt du risque agrégé. Nous développons une méthode de calcul analytique pour évaluer la distribution d’une somme de risques aléatoires d’un portefeuille sujet à une telle structure de dépendance. On applique enfin ces résultats à des problèmes d’agrégation, d’allocation du capital et de théorie de la ruine. Finalement, une extension est faite aux copules Archimédiennes hiérarchiques, une généralisation de la dépendance par mélange commun où il existe de la dépendance entre les risques à plus d’un niveau. / The law of large numbers, which states that statistical characteristics of a random sample will converge to the characteristics of the whole population, is the foundation of the insurance industry. Insurance companies rely on this principle to evaluate the risk of insured events. However, when we introduce dependencies between each component of the random sample, it may drastically affect the overall risk profile of the sample in comparison to the whole population. This is why it is essential to consider the effect of dependency when aggregating insurance risks from which stems the interest given to dependence modeling in actuarial science. In this thesis, we study dependence modeling in a portfolio of risks for which a mixture random variable (rv) introduces dependency. After introducing the use of exponential mixtures in actuarial risk modeling, we show how this mixture construction can define Archimedean copulas, a powerful tool for dependence modeling. First, we demonstrate how an Archimedean copula constructed via a continuous mixture can be approximated with a copula constructed by discrete mixture. Then, we derive explicit expressions for a few quantities related to the aggregated risk. The common mixture representation of Archimedean copulas is then at the basis of a computational strategy proposed to compute the distribution of the sum of risks in a general setup. Such results are then used to investigate risk models with respect to aggregation, capital allocation and ruin problems. Finally, we discuss an extension to nested Archimedean copulas, a general case of dependency via common mixture including different levels of dependency. / Résumé en espagnol