In this thesis, we investigate several topics pertaining to emergent collective quantum phenomena in the domain of correlated fermions, using the quantum Monte Carlo method. They display exotic low temperature phases as well as phase transitions which are beyond the Landau–Ginzburg theory. The interplay between three key points is crucial for us: fermion statistics, many body effects and topology. We highlight the following several achievements: 1. Successful modeling of continuum field theories with lattice Hamiltonians, 2. their sign-problem-free Monte Carlo simulations of these models, 3. and numerical results beyond mean field descriptions. First, we consider a model of Dirac fermions with a spin rotational invariant inter- action term that dynamically generates a quantum spin Hall insulator. Surprisingly, an s-wave superconducting phase emerges due to the condensation of topological de- fects of the spin Hall order parameter. When particle-hole symmetry is present, the phase transition between the topological insulator and the superconducting phase is an example of a deconfined quantum critical point(DQCP). Although its low energy effec- tive field theory is purely bosonic, the exact conservation law of the skyrmion number operator rules out the possibility of realizing this critical point in lattice boson models. This work is published in Ref. [1]. Second, we dope the dynamically generated quantum spin Hall insulator mentioned above. Hence it is described by a field theory without Lorentz invariance due to the lack of particle-hole symmetry. This sheds light on the extremely hot topic of twisted bilayergraphene: Why is superconductivity generated when the repulsive Coulomb interaction is much stronger than the electron-phonon coupling energy scale? In our case, Cooper pairs come from the topological skyrmion defects of the spin current order parameter, which are charged. Remarkably, the nature of the phase transition is highly non-mean-field-like: one is not allowed to simply view pairs of electrons as single bosons in a superfluid-Mott insulator transition, since the spin-current order parameter can not be ignored. Again, due to the aforementioned skyrmions, the two order parameters are intertwined: One phase transition occurs between the two symmetry breaking states. This work is summarized in Ref. [2]. Third, we investigate the 2 + 1 dimensional O(5) nonlinear sigma model with a topological Wess-Zumino-Witten term. Remarkably, we are able to perform Monte Carlo calculations with a UV cutoff given by the Dirac Landau level quantization. It is a successful example of simulating a continuous field theory without lattice regularization which leads to an additional symmetry breaking. The Dirac background and the five anti-commuting Dirac mass terms naturally introduce the picture of a non-trivial Berry phase contribution in the parameter space of the five component order parameter. Using the finite size scaling method given by the flux quantization, we find a stable critical phase in the low stiffness region of the sigma model. This is a candidate ground state of DQCP when the O(5) symmetry breaking terms are irrelevant at the critical point. Again, it has a bosonic low energy field theory which is seemingly unable to be realized in pure boson Hamiltonians. This work is summarized in Ref. [3]. / In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Themen über emergente kollektive Quan- tenphänomene im Bereich der korrelierten Fermionen unter Verwendung der Quanten- Monte-Carlo-Methode. Sie zeigen sowohl exotische Tieftemperaturphasen als auch Phasenübergänge, die jenseits der Landau-Ginzburg-Theorie liegen. Das Zusammen- spiel von drei Schlüsselpunkten ist für uns entscheidend: Fermionenstatistik, Vielteilch- eneffekte und Topologie. Es sind bemerkenswerte Erfolge erzielt worden: 1. Erfolgre- iche Modellierung mehrerer kontinuierlicher Feldtheorien über Gitter-Hamiltonians. 2. Vorzeichenproblem-freie Monte-Carlo-Simulation von ihnen. 3. Numerische Ergebnisse jenseits des Molekularfeld-Verständnisses. Zunächst betrachten wir ein Modell von Dirac-Fermionen mit einem spinrotations- invarianten Wechselwirkungsterm, der dynamisch einen Quanten-Spin-Hall-Zustand erzeugt. Überraschenderweise entsteht eine s-Wellen-supraleitende Phase durch die Kondensation von topologischen Defekten des Spin-Hall-Ordnungsparameters. Wenn Teilchen-Loch-Symmetrie vorhanden ist, ist dieser Phasenübergang zwischen topologis- chem Isolator und Supraleiter ein Beispiel für einen dekondefinierten quantenkritischen Punkt (DQCP). Obwohl seine niedrigenergetische effektive Feldtheorie rein bosonisch ist, schließt der exakte Erhaltungssatz des Skyrmionenzahloperators die Möglichkeit aus, diesen kritischen Punkt in Gitter-Boson-Modellen zu realisieren. Diese Arbeit ist veröffentlicht in Ref. [1]. Zweitens dotieren wir den dynamisch erzeugten Quanten-Spin-Hall-Isolator von oben. Er wird aufgrund der fehlenden Teilchen-Loch-Symmetrie durch eine Feldtheorie ohne Lorenzt-Invarianz beschrieben. Dies wirft ein Licht auf das extrem heiße Thema des verdrehten Doppelschichtgraphens: Warum wird Supraleitung erzeugt, wenn die ab- stoßende Coulombwechselwirkung viel stärker ist als die Elektron-Phonon Kopplungsen- ergie? In unserem Fall kommen Kupferpaare aus den topologischen Skyrmiondefekten der Parameter der Spinstromordnung, die geladen sind. Bemerkenswerterweise ist die Art des Phasenübergangs in hohem Maße nicht molekularfeldartig: Es ist nicht erlaubt, ein Elektronenpaar einfach als einzelnes Boson in einem Superfluid-Mott- Isolator-Übergang zu betrachten, da der Parameter der Spin-Strom-Ordnung nicht ignoriert werden kann. Wiederum aufgrund der oben erwähnten Skyrimionen, sind zwei Ordnungsparameter miteinander verbunden: ein Phasenübergang findet zwischen den beiden Zuständen mit gebrochener Symmetrie statt. Diese Arbeit ist in Ref. [2]. Drittens untersuchten wir das 2 + 1-dimensionale nichtlineare O(5)-Sigma-Modell mit einem topologischen Wess-Zumino-Witten-Term. Bemerkenswerterweise sind wir in der Lage, Monte-Carlo-Berechnungen durchzuführen, mit UV-Cutoff gegeben durch die Quantifizierung der Dirac-Landau-Ebenen. Es ist ein erfolgreiches Beispiel für die Simulation einer kontinuierlichen Feldtheorie ohne Gitterregularisierung, die zu zusätzlichen Symmetriebrechungen führt. Der Dirac-Hintergrund und die 5 antikom- mutiernenden Dirac-Massenterme führen natürlich das Bild eines nicht-trivialen Berryphasen Beitrags im Parameterraum des Ordnungsparameters mit fünf Komponenten ein. Unter Verwendung der Methode der endlichen Größenskalierung, die durch Flussquantisierung gegeben ist, fanden wir eine stabile kritische Phase im Bereich der niedrigen Steifigkeit des Sigma-Modells. Dies ist ein Kandidat für den Grundzustand des DQCP, wenn die O(5)-Symmetrie brechenden Terme am kritischen Punkt irrelevant sind. Auch hier handelt es sich um eine niedrigenergetische bosonische Feldtheorie, die scheinbar durch reine Boson-Hamiltonians nicht realisiert werden kann. Diese Arbeit ist in Ref. [3].

By numerical methods, two models of anisotropic mixed quantum spin chains, consisting of spins of two different sizes, Sa = 1/2 and Sb = 1 as well as Sb = 3/2, are studied with respect to their critical properties at quantum phase transitions in a selected region of parameter space. The quantum spin chains are made up of basecells of four spins, according to the structure Sa − Sa − Sb − Sb. They are described by the XXZ Hamiltonian, that extends the quantum Heisenberg model by a variable anisotropic exchange interaction. As additional control parameter, an alternating exchange constant between nearest-neighbour spins is introduced. Insight gained by complementary application of exact diagonalization and quantum Monte Carlo simulations, as well as appropriate methods of analysis, is embedded in the broad existing knowledge on homogeneous quantum spin chains. In anisotropic homogeneous quantum spin chains, there exist phase boundaries with continuously varying critical exponents, the Gaussian critical lines, along which, in addition to standard scaling relations, further extended scaling relations hold. Reweighting methods, also applied to improved quantum Monte Carlo estimators, and finite-size scaling analysis of simulation data deliver a wealth of numerical results confirming the existence of a Gaussian critical line also in the mixed spin models considered. Extrapolation of exact data offers, apart from confirmation of simulation data, furthermore, insight into the conformal operator content of the model with Sb = 1. / Mittels numerischer Methoden werden zwei Modelle anisotroper gemischter Quantenspinketten, bestehend aus Spins zweier unterschiedlicher Größen, Sa = 1/2 und Sb = 1 sowie Sb = 3/2, hinsichtlich ihrer kritischen Eigenschaften an Quanten-Phasenübergängen in einem ausgewählten Parameterbereich untersucht. Die Quantenspinketten sind aus Basiszellen zu vier Spins, gemäß der Struktur Sa − Sa − Sb − Sb, aufgebaut. Sie werden durch den XXZ Hamiltonoperator beschrieben, der das isotrope Quanten-Heisenberg Modell um eine variable anistrope Austauschwechselwirkung erweitert. Als zusätzlicher Kontrollparameter wird eine alterniernde Kopplungskonstante zwischen unmittelbar benachbarten Spins eingeführt. Die durch komplementäre Anwendung exakter Diagonalisierung und Quanten-Monte-Carlo Simulationen, sowie entsprechender Analyseverfahren, gewonnenen Erkenntnisse werden in das umfangreiche existierende Wissen über homogene Quantenspinketten eingebettet. Im Speziellen treten in anisotropen homogenen Quantenspinketten Phasengrenzen mit kontinuierlich variierenden kritischen Exponenten auf, die Gaußschen kritischen Linien, auf denen neben den herkömmlichen auch erweiterte Skalenrelationen Gültigkeit besitzen. Umgewichtungsmethoden, speziell auch angewandt auf verbesserte Quanten-Monte-Carlo Schätzer, und Endlichkeitsskalenanalyse von Simulationsdaten liefern eine Fülle von numerischen Ergebnissen, die das Auftreten der Gaußschen kritischen Linie auch in den untersuchten gemischten Quantenspinketten bestätigen. Die Extrapolation exakter Daten bietet, neben der Bestätigung der Simulationsdaten, darüber hinaus Einblick in einen Teil des konformen Operatorinhalts des Modells mit Sb = 1.

By numerical methods, two models of anisotropic mixed quantum spin chains, consisting of spins of two different sizes, Sa = 1/2 and Sb = 1 as well as Sb = 3/2, are studied with respect to their critical properties at quantum phase transitions in a selected region of parameter space. The quantum spin chains are made up of basecells of four spins, according to the structure Sa − Sa − Sb − Sb. They are described by the XXZ Hamiltonian, that extends the quantum Heisenberg model by a variable anisotropic exchange interaction. As additional control parameter, an alternating exchange constant between nearest-neighbour spins is introduced. Insight gained by complementary application of exact diagonalization and quantum Monte Carlo simulations, as well as appropriate methods of analysis, is embedded in the broad existing knowledge on homogeneous quantum spin chains. In anisotropic homogeneous quantum spin chains, there exist phase boundaries with continuously varying critical exponents, the Gaussian critical lines, along which, in addition to standard scaling relations, further extended scaling relations hold. Reweighting methods, also applied to improved quantum Monte Carlo estimators, and finite-size scaling analysis of simulation data deliver a wealth of numerical results confirming the existence of a Gaussian critical line also in the mixed spin models considered. Extrapolation of exact data offers, apart from confirmation of simulation data, furthermore, insight into the conformal operator content of the model with Sb = 1. / Mittels numerischer Methoden werden zwei Modelle anisotroper gemischter Quantenspinketten, bestehend aus Spins zweier unterschiedlicher Größen, Sa = 1/2 und Sb = 1 sowie Sb = 3/2, hinsichtlich ihrer kritischen Eigenschaften an Quanten-Phasenübergängen in einem ausgewählten Parameterbereich untersucht. Die Quantenspinketten sind aus Basiszellen zu vier Spins, gemäß der Struktur Sa − Sa − Sb − Sb, aufgebaut. Sie werden durch den XXZ Hamiltonoperator beschrieben, der das isotrope Quanten-Heisenberg Modell um eine variable anistrope Austauschwechselwirkung erweitert. Als zusätzlicher Kontrollparameter wird eine alterniernde Kopplungskonstante zwischen unmittelbar benachbarten Spins eingeführt. Die durch komplementäre Anwendung exakter Diagonalisierung und Quanten-Monte-Carlo Simulationen, sowie entsprechender Analyseverfahren, gewonnenen Erkenntnisse werden in das umfangreiche existierende Wissen über homogene Quantenspinketten eingebettet. Im Speziellen treten in anisotropen homogenen Quantenspinketten Phasengrenzen mit kontinuierlich variierenden kritischen Exponenten auf, die Gaußschen kritischen Linien, auf denen neben den herkömmlichen auch erweiterte Skalenrelationen Gültigkeit besitzen. Umgewichtungsmethoden, speziell auch angewandt auf verbesserte Quanten-Monte-Carlo Schätzer, und Endlichkeitsskalenanalyse von Simulationsdaten liefern eine Fülle von numerischen Ergebnissen, die das Auftreten der Gaußschen kritischen Linie auch in den untersuchten gemischten Quantenspinketten bestätigen. Die Extrapolation exakter Daten bietet, neben der Bestätigung der Simulationsdaten, darüber hinaus Einblick in einen Teil des konformen Operatorinhalts des Modells mit Sb = 1.

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