Tunneling is a central result of quantum mechanics. It allows quantum particles to enter regions which are inaccessible by classical dynamics. Consequences of the tunneling process are most relevant. For example it causes the alpha-decay of radioactive nuclei and it is argued that proton tunneling is decisive for the emergence of DNA mutations. The theoretical prediction of corresponding tunneling rates is explained in standard textbooks on quantum mechanics for regular systems. Typical physical systems such as atoms or molecules, however, also show chaotic motion. Here the calculation of tunneling rates is more demanding. In this text a selection of articles on the prediction of tunneling rates in systems which allow for regular and chaotic motion is summarized. The presented approach is then used to explain consequences of tunneling on the quantum spectrum, such as the universal power-law behavior of small energy spacings and the flooding of regular states.

Für das Verständnis einer Vielzahl von Problemen von der Himmelsmechanik bis hin zur Beschreibung von Molekülen spielen Systeme mit mehr als zwei Freiheitsgraden eine entscheidende Rolle. Aufgrund der Dimensionalität gestaltet sich ein Verständnis dieser Systeme jedoch deutlich schwieriger als bei Systemen mit zwei oder weniger Freiheitsgraden. Die vorliegende Arbeit soll zum besseren Verständnis der klassischen und quantenmechanischen Eigenschaften getriebener Systeme mit zwei Freiheitsgraden beitragen. Hierzu werden dreidimensionale Schnitte durch den Phasenraum von 4D Abbildungen betrachtet. Anhand dreier Beispiele, deren Phasenräume zunehmend kompliziert sind, werden diese 3D Schnitte vorgestellt und untersucht. In einer sich anschließenden quantenmechanischen Untersuchung gehen wir auf zwei wichtige Aspekte ein. Zum einen untersuchen wir die quantenmechanischen Signaturen des klassischen "Arnold Webs". Es wird darauf eingegangen, wie die Quantenmechanik dieses Netz im semiklassischen Limes auflösen kann. Darüberhinaus widmen wir uns dem wichtigen Aspekt quantenmechanischer Kopplungen klassisch getrennter Phasenraumgebiete anhand der Untersuchung dynamischer Tunnelraten. Für diese wenden wir sowohl den in der Literatur bekannten "fictitious integrable system approach" als auch die Theorie des resonanz-unterstützen Tunnelns auf 4D Abbildungen an. / Systems with more than two degrees of freedom are of fundamental importance for the understanding of problems ranging from celestial mechanics to molecules. Due to the dimensionality the classical phase-space structure of such systems is more difficult to understand than for systems with two or fewer degrees of freedom. This thesis aims for a better insight into the classical as well as the quantum mechanics of 4D mappings representing driven systems with two degrees of freedom. In order to analyze such systems, we introduce 3D sections through the 4D phase space which reveal the regular and chaotic structures. We introduce these concepts by means of three example mappings of increasing complexity. After a classical analysis the systems are investigated quantum mechanically. We focus especially on two important aspects: First, we address quantum mechanical consequences of the classical Arnold web and demonstrate how quantum mechanics can resolve this web in the semiclassical limit. Second, we investigate the quantum mechanical tunneling couplings between regular and chaotic regions in phase space. We determine regular-to-chaotic tunneling rates numerically and extend the fictitious integrable system approach to higher dimensions for their prediction. Finally, we study resonance-assisted tunneling in 4D maps.

Tunneling is one of the most prominent features of quantum mechanics. While the tunneling process in one-dimensional integrable systems is well understood, its quantitative prediction for systems with mixed phase space is a long-standing open challenge. In such systems regions of regular and chaotic dynamics coexist in phase space, which are classically separated but quantum mechanically coupled by the process of dynamical tunneling. We derive a prediction of dynamical tunneling rates which describe the decay of states localized inside the regular region towards the so-called chaotic sea. This approach uses a fictitious integrable system which mimics the dynamics inside the regular domain and extends it into the chaotic region. Excellent agreement with numerical data is found for kicked systems, billiards, and optical microcavities, if nonlinear resonances are negligible. Semiclassically, however, such nonlinear resonance chains dominate the tunneling process. Hence, we combine our approach with an improved resonance-assisted tunneling theory and derive a unified prediction which is valid from the quantum to the semiclassical regime. We obtain results which show a drastically improved accuracy of several orders of magnitude compared to previous studies. / Der Tunnelprozess ist einer der bedeutensten Effekte in der Quantenmechanik. Während das Tunneln in eindimensionalen integrablen Systemen gut verstanden ist, gestaltet sich dessen Beschreibung für Systeme mit gemischtem Phasenraum weitaus schwieriger. Solche Systeme besitzen Gebiete regulärer und chaotischer Bewegung, die klassisch getrennt sind, aber quantenmechanisch durch den Prozess des dynamischen Tunnelns gekoppelt werden. In dieser Arbeit wird eine theoretische Vorhersage für dynamische Tunnelraten abgeleitet, die den Zerfall von Zuständen, die im regulären Gebiet lokalisiert sind, in die sogenannte chaotische See beschreibt. Dazu wird ein fiktives integrables System konstruiert, das im regulären Bereich eine nahezu gleiche Dynamik aufweist und diese Dynamik in das chaotische Gebiet fortsetzt. Die Theorie zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit numerischen Daten für gekickte Systeme, Billards und optische Mikrokavitäten, falls nichtlineare Resonanzketten vernachlässigbar sind. Semiklassisch jedoch bestimmen diese nichtlinearen Resonanzketten den Tunnelprozess. Daher kombinieren wir unseren Zugang mit einer verbesserten Theorie des Resonanz-unterstützten Tunnelns und erhalten eine Vorhersage,die vom Quanten- bis in den semiklassischen Bereich gültig ist. Ihre Resultate zeigen eine Genauigkeit, die verglichen mit früheren Theorien um mehrere Größenordnungen verbessert wurde.

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Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, in which regular and chaotic motion coexist. In the chaotic sea the classical transport is limited by partial barriers, which allow for a flux \Phi given by the corresponding turnstile area. Quantum mechanically the transport is suppressed if Planck's constant is large compared to the classical flux, h >> \Phi, while for h << \Phi classical transport is recovered. For the transition between these limiting cases there are many open questions, in particular concerning the correct scaling parameter and the width of the transition. To investigate this transition in a controlled way, we design a kicked system with a particularly simple phase-space structure, consisting of two chaotic regions separated by one dominant partial barrier. We find a universal scaling with the single parameter \Phi/h and a transition width of almost two orders of magnitude in \Phi/h. In order to describe this transition, we consider several matrix models. While the numerical data is not well described by the random matrix model proposed by Bohigas, Tomsovic, and Ullmo, a deterministic 2x2-model, a channel coupling model, and a unitary model are presented, which describe the transitional behavior of the designed kicked system. This is also confirmed for the generic standard map, suggesting a universal scaling behavior for the quantum transition of a partial barrier. / Generische Hamilton'sche Systeme besitzen einen gemischten Phasenraum, in dem sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik vorkommen. Der klassische Transport in der chaotischen See wird durch partielle Barrieren begrenzt, die nur einen Fluss \Phi hindurch lassen. Der quantenmechanische Transport ist stark unterdrückt, wenn die Planck'sche Konstante groß gegen den klassischen Fluss ist, h >> \Phi. Ist hingegen h << \Phi folgt die Quantenmechanik der klassischen Dynamik. Für den Übergangsbereich zwischen diesen Grenzfällen gibt es noch viele offene Fragen, insbesondere bezüglich des richtigen Skalierungsparameters und der Breite des Übergangs. Um gezielt diesen Übergang zu untersuchen, haben wir ein System mit einem besonders einfachen Phasenraum entworfen. Er besteht aus zwei chaotischen Gebieten, die durch eine dominante partielle Barriere getrennt sind. Es zeigt sich, dass das universelle Verhalten durch den Parameter \Phi/h beschrieben wird und der Übergang sich über zwei Größenordnungen erstreckt. Wir betrachten verschiedene Matrixmodelle um diesen Übergang zu verstehen. Die numerischen Daten werden nicht durch das Zufallsmatrixmodell von Bohigas, Tomsovic und Ullmo beschrieben. Ein deterministisches 2x2-Modell, eine Kanalkopplung und ein unitäres Matrixmodell beschreiben hingegen den Übergang des entworfenen gekickten Systems. Die Tatsache, dass auch die generische Standardabbildung diesem Verhalten folgt, spricht für ein universelles Verhalten des Quantenübergangs einer partiellen Barriere.

xix, 171 p. : ill. (some col.) A print copy of this thesis is available through the UO Libraries. Search the library catalog for the location and call number. / The field of quantum chaos investigates the quantum mechanical behavior of classically chaotic systems. This dissertation begins by describing an experiment conducted on an apparatus constructed to represent a three dimensional analog of a classically chaotic system. Patterns of reflected light are shown to produce fractals, and the behavior of the fractal dimension D F is shown to depend on the light's ability to escape the apparatus. The classically chaotic system is then used to investigate the conductance properties of semiconductor heterostructures engineered to produce a conducting plane relatively free of impurities and defects. Introducing walls that inhibit conduction to partition off sections considerably smaller than the mean distance between impurities defines devices called 'billiards'. Cooling to low temperatures enables the electrons traveling through the billiard to maintain quantum mechanical phase. Exposure to a changing electric or magnetic field alters the electron's phase, leading to fluctuations in the conductance through the billiard. Magnetoconductance fluctuations in billiards have previously been shown to be fractal. This behavior has been charted using an empirical parameter, Q , that is a measure of the resolution of the energy levels within the billiard. The relationship with Q is shown to extend beyond the ballistic regime into the 'quasi-ballistic' and 'diffusive' regimes, characterized by having defects within the conduction plane. A model analogous to the classically chaotic system is proposed as the origin of the fractal conductance fluctuations. This model is shown to be consistent with experiment and to account for changes of fine scale features in MCF known to occur when a billiard is brought to room temperature between low temperature measurements. An experiment is conducted in which fractal conductance fluctuations (FCF) are produced by exposing a billiard to a changing electric field. Comparison of D F values of FCF produced by electric fields is made to FCF produced by magnetic fields. FCF with high D F values are shown to de-correlate at smaller increments of field than the FCF with lower D F values. This indicates that FCF may be used as a novel sensor of external fields, so the response of FCF to high bias voltages is investigated. / Adviser: Stephen Kevan, Chairperson, Physics; Richard Taylor, Advisor, Physics; Robert Zimmerman, Member, Physics; Stephen Gregory, Member, Physics; David Johnson, Outside Member, Chemistry

Tunneling is one of the most prominent features of quantum mechanics. While the tunneling process in one-dimensional integrable systems is well understood, its quantitative prediction for systems with mixed phase space is a long-standing open challenge. In such systems regions of regular and chaotic dynamics coexist in phase space, which are classically separated but quantum mechanically coupled by the process of dynamical tunneling. We derive a prediction of dynamical tunneling rates which describe the decay of states localized inside the regular region towards the so-called chaotic sea. This approach uses a fictitious integrable system which mimics the dynamics inside the regular domain and extends it into the chaotic region. Excellent agreement with numerical data is found for kicked systems, billiards, and optical microcavities, if nonlinear resonances are negligible. Semiclassically, however, such nonlinear resonance chains dominate the tunneling process. Hence, we combine our approach with an improved resonance-assisted tunneling theory and derive a unified prediction which is valid from the quantum to the semiclassical regime. We obtain results which show a drastically improved accuracy of several orders of magnitude compared to previous studies. / Der Tunnelprozess ist einer der bedeutensten Effekte in der Quantenmechanik. Während das Tunneln in eindimensionalen integrablen Systemen gut verstanden ist, gestaltet sich dessen Beschreibung für Systeme mit gemischtem Phasenraum weitaus schwieriger. Solche Systeme besitzen Gebiete regulärer und chaotischer Bewegung, die klassisch getrennt sind, aber quantenmechanisch durch den Prozess des dynamischen Tunnelns gekoppelt werden. In dieser Arbeit wird eine theoretische Vorhersage für dynamische Tunnelraten abgeleitet, die den Zerfall von Zuständen, die im regulären Gebiet lokalisiert sind, in die sogenannte chaotische See beschreibt. Dazu wird ein fiktives integrables System konstruiert, das im regulären Bereich eine nahezu gleiche Dynamik aufweist und diese Dynamik in das chaotische Gebiet fortsetzt. Die Theorie zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit numerischen Daten für gekickte Systeme, Billards und optische Mikrokavitäten, falls nichtlineare Resonanzketten vernachlässigbar sind. Semiklassisch jedoch bestimmen diese nichtlinearen Resonanzketten den Tunnelprozess. Daher kombinieren wir unseren Zugang mit einer verbesserten Theorie des Resonanz-unterstützten Tunnelns und erhalten eine Vorhersage,die vom Quanten- bis in den semiklassischen Bereich gültig ist. Ihre Resultate zeigen eine Genauigkeit, die verglichen mit früheren Theorien um mehrere Größenordnungen verbessert wurde.

We investigate systems with a mixed phase space, where regular and chaotic dynamics coexist. Classically, regions with regular motion, the regular islands, are dynamically not connected to regions with chaotic motion, the chaotic sea. Typically, this is also reflected in the quantum properties, where eigenstates either concentrate on the regular or the chaotic regions. However, it was shown that quantum mechanically, due to the tunneling process, a coupling is induced and flooding of regular islands may occur. This happens when the Heisenberg time, the time needed to resolve the discrete spectrum, is larger than the tunneling time from the regular region to the chaotic sea. In this case the regular eigenstates disappear. We study this effect by the time evolution of wave packets initially started in the chaotic sea and find increasing probability in the regular island. Using random matrix models a quantitative prediction is derived. We find excellent agreement with numerical data obtained for quantum maps and billiards systems. For open systems we investigate the phenomenon of flooding and disappearance of regular states, where the escape time occurs as an additional time scale. We discuss the reappearance of regular states in the case of strongly opened systems. This is demonstrated numerically for quantum maps and experimentally for a mushroom shaped microwave resonator. The reappearance of regular states is explained qualitatively by a matrix model. / Untersucht werden Systeme mit gemischtem Phasenraum, in denen sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik auftritt. In der klassischen Mechanik sind Gebiete regulärer Bewegung, die sogenannten regulären Inseln, dynamisch nicht mit den Gebieten chaotischer Bewegung, der chaotischen See, verbunden. Dieses Verhalten spiegelt sich typischerweise auch in den quantenmechanischen Eigenschaften wider, so dass Eigenfunktionen entweder auf chaotischen oder regulären Gebieten konzentriert sind. Es wurde jedoch gezeigt, dass aufgrund des Tunneleffektes eine Kopplung auftritt und reguläre Inseln geflutet werden können. Dies geschieht wenn die Heisenbergzeit, das heißt die Zeit die das System benötigt, um das diskrete Spektrum aufzulösen, größer als die Tunnelzeit vom Regulären ins Chaotische ist, wobei reguläre Eigenzustände verschwinden. Dieser Effekt wird über eine Zeitentwicklung von Wellenpaketen, die in der chaotischen See gestartet werden, untersucht. Es kommt zu einer ansteigenden Wahrscheinlichkeit in der regulären Insel. Mithilfe von Zufallsmatrixmodellen wird eine quantitative Vorhersage abgeleitet, welche die numerischen Daten von Quantenabbildungen und Billardsystemen hervorragend beschreibt. Der Effekt des Flutens und das Verschwinden regulärer Zustände wird ebenfalls mit offenen Systemen untersucht. Hier tritt die Fluchtzeit als zusätzliche Zeitskala auf. Das Wiederkehren regulärer Zustände im Falle stark geöffneter Systeme wird qualitativ mithilfe eines Matrixmodells erklärt und numerisch für Quantenabbildungen sowie experimentell für einen pilzförmigen Mikrowellenresonator belegt.

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, in which regular and chaotic motion coexist. In the chaotic sea the classical transport is limited by partial barriers, which allow for a flux \Phi given by the corresponding turnstile area. Quantum mechanically the transport is suppressed if Planck's constant is large compared to the classical flux, h >> \Phi, while for h << \Phi classical transport is recovered. For the transition between these limiting cases there are many open questions, in particular concerning the correct scaling parameter and the width of the transition. To investigate this transition in a controlled way, we design a kicked system with a particularly simple phase-space structure, consisting of two chaotic regions separated by one dominant partial barrier. We find a universal scaling with the single parameter \Phi/h and a transition width of almost two orders of magnitude in \Phi/h. In order to describe this transition, we consider several matrix models. While the numerical data is not well described by the random matrix model proposed by Bohigas, Tomsovic, and Ullmo, a deterministic 2x2-model, a channel coupling model, and a unitary model are presented, which describe the transitional behavior of the designed kicked system. This is also confirmed for the generic standard map, suggesting a universal scaling behavior for the quantum transition of a partial barrier. / Generische Hamilton'sche Systeme besitzen einen gemischten Phasenraum, in dem sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik vorkommen. Der klassische Transport in der chaotischen See wird durch partielle Barrieren begrenzt, die nur einen Fluss \Phi hindurch lassen. Der quantenmechanische Transport ist stark unterdrückt, wenn die Planck'sche Konstante groß gegen den klassischen Fluss ist, h >> \Phi. Ist hingegen h << \Phi folgt die Quantenmechanik der klassischen Dynamik. Für den Übergangsbereich zwischen diesen Grenzfällen gibt es noch viele offene Fragen, insbesondere bezüglich des richtigen Skalierungsparameters und der Breite des Übergangs. Um gezielt diesen Übergang zu untersuchen, haben wir ein System mit einem besonders einfachen Phasenraum entworfen. Er besteht aus zwei chaotischen Gebieten, die durch eine dominante partielle Barriere getrennt sind. Es zeigt sich, dass das universelle Verhalten durch den Parameter \Phi/h beschrieben wird und der Übergang sich über zwei Größenordnungen erstreckt. Wir betrachten verschiedene Matrixmodelle um diesen Übergang zu verstehen. Die numerischen Daten werden nicht durch das Zufallsmatrixmodell von Bohigas, Tomsovic und Ullmo beschrieben. Ein deterministisches 2x2-Modell, eine Kanalkopplung und ein unitäres Matrixmodell beschreiben hingegen den Übergang des entworfenen gekickten Systems. Die Tatsache, dass auch die generische Standardabbildung diesem Verhalten folgt, spricht für ein universelles Verhalten des Quantenübergangs einer partiellen Barriere.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第25109号 / 理博第5016号 / 新制||理||1715(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻 / (主査)教授 橋本 幸士, 教授 杉本 茂樹, 教授 田島 治 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Agricultural Science / Kyoto University / DFAM