Le résultat principal est une caractérisation homotopique des orbifolds de dimension 3 qui sont fibrés de Seifert : si O est un orbifold de dimension 3 fermé, orientable et petit dont le groupe fondamental admet un sous-groupe infini cyclique normal, alors O est de Seifert. Ce théorème généralise un résultat de Scott, Mess, Tukia, Gabai et Casson-Jungreis pour les variétés. Il repose sur une caractérisation des groupes de surfaces virtuels comme groupes quasi-isométriques à un plan riemannien complet. D'autres résultats sur les quasi-isométries entre groupes et surfaces sont obtenus.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20886号 / 理博第4338号 / 新制||理||1623(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 長谷川 真人, 教授 向井 茂, 准教授 照井 一成 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

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No presente trabalho apresentamos dois teoremas obtidos por Gorak em 2011, que são generalizações para o Teorema de Banach-Stone, envolvendo uma classe de funções não-necessariamente lineares, denominadas quasi-isometrias. / In this work we present two theorems proved by Gorak in 2011. These results are generalizations of the Banach-Stone Theorem envolving a class of not-necessarily linear functions, called quasi-isometries.

No presente trabalho apresentamos dois teoremas obtidos por Gorak em 2011, que são generalizações para o Teorema de Banach-Stone, envolvendo uma classe de funções não-necessariamente lineares, denominadas quasi-isometrias. / In this work we present two theorems proved by Gorak in 2011. These results are generalizations of the Banach-Stone Theorem envolving a class of not-necessarily linear functions, called quasi-isometries.

Ma thèse se situe à l'intersection de \textit {la théorie des groupes géométrique} et \textit{la théorie des groupes mesurée}. Une question majeure dans la théorie des groupes géométrique est d'étudier la classe de quasi-isométrie (QI) et la classe d'équivalence mesurée (ME) d'un groupe, respectivement. $L^p$-équivalence mesurée est une relation d'équivalence qui est définie en ajoutant des contraintes géométriques avec d'équivalence mesurée. En plus, QI est une condition géométrique. Il est une question naturelle, si deux groupes sont QI et ME, si elles sont $L^p$-ME pour certains $p>0$. Dans mon premier article, en collaboration avec R. Tessera, nous répondons négativement à cette question pour $p\geq 1$, montrant que l'extension centrale canonique d'un groupe surface de genre plus élevé ne sont pas $L^1$-ME pour le produit direct de ce groupe de surface avec $\mathbb{Z}$ (alors qu'ils sont à la fois quasi-isométrique et équivalente mesurée).Dans mon deuxième papier, j'ai observé un lien général entre la géométrie des expandeurs, defini comme une séquence des quotients finis ( l'espace de boîte) d'un groupe finiment engendré, et les propriétés mesurée theorique du groupe. Plus précisément, je l'ai prouvé que si deux <<espaces de boîte>> sont quasi-isométrique, les groupes correspondants doivent être <<mesurée équivalente uniformément >>, une notion qui combine à la fois QI et ME. Je prouve aussi une version de ce résultat pour le plongement grossière, ce qui permet de distinguer plusieurs classe des expandeurs. Par exemple, je montre que les expandeurs associé à $SL(m, \mathbb{Z})$ ne grossièrement plongent à les expandeurs associés à $SL_n(\mathbb{Z})$ si $m>n$. / My thesis lies at the intersection of \textit{geometric group theory} and \textit{measured group theory}. A major question in geometric group theory is to study the quasi-isometry (QI) class and the measure equivalence (ME) class of a group, respectively. $L^p$-measure equivalence is an equivalence relation which is defined by adding some geometric constraints with measure equivalence. Besides, quasi-isometry is a geometric condition. It is a natural question if two groups are QI and ME, whether they are $L^p$-ME for some $p>0$. In my first paper, together with R. Tessera, we answer this question negatively for $p\geq 1$, showing that the canonical central extension of a surface group of higher genus is not $L^1$-ME to the direct product of this surface group with $\mathbb{Z}$ (while they are both quasi-isometric and measure equivalent). In my second paper, I observed a general link between the geometry of expanders arising as a sequence of finite quotients (box space) of a finitely generated group, and the measured theoretic properties of the group. More precisely, I proved that if two box spaces' are quasi-isometric, then the corresponding groups must be `uniformly measure equivalent', a notion that combines both quasi-isometry and measure equivalence. I also prove a version of this result for coarse embedding, allowing to distinguish many classes of expanders. For instance, I show that the expanders associated to $SL(m,\mathbb{Z})$ do not coarsely embed inside the expanders associated to $SL_n(\mathbb{Z}$ if $m>n$.

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