La prédiction de mouvement de solide évoluant dans un fluide présente un réel intérêt pour des applications industrielles telle que l’accrétion de glace sur des surfaces aérodynamiques. Dans ce contexte, en considérant des systèmes de dégivrage, la prévision des trajectoire de glace est nécessaire pour éviter des risques de collision/ingestion de glace sur/dans des zones sensibles de l’avion. Ce type d’application soulève de nombreux challenges d’un point de vue numérique, en particulier concernant la génération/l’adaptation de maillage au cours du mouvement du solide dans le domaine. Pour gérer ces difficultés, dans cette étude, les solides sont définis de manière implicite via une fonction level set. Une méthode de type frontière immergée, appelée Pénalization, est utilisée pour imposer les conditions de bords. Pour améliorer la précision de l’interface, les équations sont résolues sur des maillages non structurés adaptatifs. Cela permet d’obtenir un raffinement proche des bords du solide et ainsi d’améliorer sa définition, permettant un meilleure impositions des conditions de bord. Pour économiser du temps de calcul, et éviter de coûteuses étapes de remaillage/interpolation, la stratégie adoptée pour les simulations instationnaires est d’utiliser une adaptation de maillage à connectivité constante, aussi appelée r-adaptation. / The prediction of solid motion evolving in a fluid presents a real interest for engineering application such as ice accretion on aerodynamics bodies.In this context, considering de-icing systems, the ice shedding trajectory is needed to prevent the risk of collision/ingestion of the ice in/with some sensitive part of the aircraft. This application raises many challenges from a numerical point of view, especially concerning mesh generation/adaptation as the solid moves in the computational domain. To handle this issue, in this work the solids are known implicitly on the mesh via a level set function. An immersed boundary method, called penalization, is employed to impose the wall boundary conditions. To improve the resolution of these boundaries, the equations are solved on adaptive unstructured grids. This allows to have are finement close to the solid boundary and thus increases the solid definition,leading to a more accurate imposition of the wall conditions. To save computational time, and avoid costly remeshing/interpolation steps, the strategy chosen for unsteady simulations is to use a constant connectivity mesh adaptation,also known as r-adaptation

Cette thèse a pour objectif la construction de schémas d’ordre élevé et peu diffusifs pour le transport d’un scalaire dans les écoulements à surface libre, en deux ou trois dimensions. On souhaite en particulier obtenir des schémas robustes, qui gardent au niveau discret les propriétés mathématiques de l’équation de transport avec une faible diffusion numérique, et les utiliser sur des cas industriels. Dans ce travail deux méthodes numériques sont envisagées : une méthode aux volumes finis (VF) et une méthode aux résidus distribués (RD). Dans les deux cas, l’équation de transport est résolue avec une approche découplée, qui est la solution la plus avantageuse en termes de précision et de coûts de calcul. Pour ce qui concerne la méthode aux volumes finis, les équations de Saint-Venant couplées à l’équation du transport sont d’abord résolues avec un schéma dit vertex-centred où le flux numérique est approximé avec un solveur de Riemann appelé Harten-Lax-Van Leer-Contact [135]. A partir de cette approche, une formulation découplée est proposée. Cette dernière permet de résoudre l’équation du transport avec un pas de temps plus grand que celui de la formulation couplée. Cette idée a été d’abord proposée pour d’autres schémas dans [13]. Pour augmenter l’ordre de précision en espace, la technique MUSCL [89] est utilisée en combinaison avec l’approche découplée. Finalement, la problématique des zones sèches est abordée. Dans le cas de la méthode aux résidus distribués, les équations de Saint-Venant sont résolues avec une méthode éléments finis, et la méthode RD est utilisée seulement pour discrétiser l’équation du transport, en focalisant l’attention sur les problèmes non stationnaires. L’équation de continuité du fluide discrétisée est employée pour garantir la conservation de la masse et le principe du maximum. Pour obtenir des schémas d’ordre deux dans les problèmes non stationnaires, un schéma prédicteur-correcteur [112] est utilisé, en l’adaptant au cas de concentration moyennée sur la verticale. Une version d’ordre 1 mais peu diffusive, est aussi présentée dans ce travail. De plus, un schéma localement implicite, complètement nouveau, est aussi formulé pour pouvoir traiter le problème des bancs découvrant. Les deux techniques sont validées d’abord sur des cas simples, pour évaluer l’ordre de précision des schémas et ensuite sur des cas plus complexes pour vérifier aussi les autres propriétés numériques. Les résultats montrent que les nouveaux schémas sont à la fois précis et conservatifs, tout en gardant la monotonie comme le prévoient les démonstrations. Un cas d’application industriel est aussi présenté en conclusion. Le schéma prédicteur-correcteur RD est adapté aussi au cas 3D, sans aucun problème théorique nouveau, par rapport au cas 2D. Les propriétés de base des schémas sont validées sur des cas test préliminaires / The purpose of this thesis is to build higher order and less diffusive schemes for pollutant transport in shallow water flows or 3D free surface flows. We want robust schemes which respect the main mathematical properties of the advection equation with relatively low numerical diffusion and apply them to environmental industrial applications. Two techniques are tested in this work: a classical finite volume method and a residual distribution technique combined with a finite element method. For both methods we propose a decoupled approach since it is the most advantageous in terms of accuracy and CPU time. Concerning the first technique, a vertex-centred finite volume method is used to solve the augmented shallow water system where the numerical flux is computed through an Harten-Lax-Van Leer-Contact Riemannsolver [135]. Starting from this solution, a decoupled approach is formulated and is preferred since it allows to compute with a larger time step the advection of a tracer. This idea was inspired by [13]. The Monotonic Upwind Scheme for Conservation Law [89], combined with the decoupled approach, is then used for the second order extension in space. The wetting and drying problem is also analysed and a possible solution is presented. In the second case, the shallow water system is entirely solved using the finite element technique and the residual distribution method is applied to the solution of the tracer equation, focusing on the case of time-dependent problems. However, for consistency reasons the resolution of the continuity equation must be considered in the numerical discretization of the tracer. In order to get second order schemes for unsteady cases a predictor-corrector scheme [112] is used in this work. A first order but less diffusive version of the predictor-corrector scheme is also introduced. Moreover, we also present a new locally semi-implicit version of the residual distribution method which, in addition to good properties in terms of accuracy and stability, has the advantage to cope with dry zones. The two methods are first validated on academical test cases with analytical solution in order to assess the order of the schemes. Then more complex cases are addressed to test the robustness of the schemes and their performance under different flow conditions. Finally a real test case for which real data are available is carried out. An extension of the predictor-corrector residual distribution schemes to the 3D case is presented as final contribution. Even in this case the RD technique is completely compatible with the finite element framework used for the Navier-Stokes equations, thus its extension to the 3D case does not present any extra theoretical problem. The method is tested on preliminary cases

Ce travail a pour thème la simulation numérique d’écoulements diphasiques dans un contexte industriel. En effet, la simulation d’écoulements diphasiques est un domaine qui présente de nombreux défis, en raison de phénomènes complexes qui surviennent, comme la cavitation et autres transferts entre les phases. En outre, ces écoulements se déroulent généralement dans des géométries complexes rendant difficile une résolution efficiente. Les modèles que nous considérons font partie de la catégorie des modèles à interfaces diffuses et permettent de prendre en compte aisément les différents transferts entre les phases. Cette classe de modèles inclut une hiérarchie de sous-modèles pouvant simuler plus ou moins d’interactions entre les phases. Pour mener à bien cette étude nous avons en premier lieu comparé les modèles diphasiques dits à quatre équations et six équations, en incluant les effets de transfert de masse. Nous avons ensuite choisi de nous concentrer sur le modèle à quatre équations. L’objectif majeur de notre travail a alors été d’étendre les méthodes aux résidus distribués à ce modèle. Dans le contexte des méthodes de résolution numérique, il est courant d’utiliser la forme conservative des équations de bilan. En effet, la résolution sous forme non-conservative conduit à une mauvaise résolution du problème. Cependant, résoudre les équations sous forme non-conservative peut s’avérer plus intéressant d’un point de vue industriel. Dans ce but, nous utilisons une approche développée récemment permettant d’assurer la conservation en résolvant un système sous forme non-conservative, à condition que la forme conservative soit connue. Nous validons ensuite notre méthode et l’appliquons à des problèmes en géométries complexes. Finalement, la dernière partie de notre travail est dédiée à étudier la validité des modèles à interfaces diffuses pour des applications à des problèmes industriels réels. On cherche alors, en utilisant des méthodes de quantification d’incertitude, à obtenir les paramètres rendant nos simulations les plus vraisemblables et cibler les éventuels développements pouvant rendre nos simulations plus réalistes. / The topic of this thesis is the numerical simulation of two-phase flows in an industrial framework. Two-phase flows modelling is a challenging domain to explore, mainly because of the complex phenomena involved, such as cavitation and other transfer processes between phases. Furthermore, these flows occur generally in complex geometries, which makes difficult the development of efficient resolution methods. The models that we consider belong to the class of diffuse interface models, and they allow an easy modelling of transfers between phases. The considered class of models includes a hierarchy of sub-models, which take into account different levels of interactions between phases. To pursue our studies, first we have compared the so-called four-equation and six-equation two-phase flow models, including the effects of mass transfer processes. We have then chosen to focus on the four-equation model. One of the main objective of our work has been to extend residual distribution schemes to this model. In the context of numerical solution methods, it is common to use the conservative form of the balance law. In fact, the solution of the equations under a non-conservative form may lead to a wrong solution to the problem. Nonetheless, solving the equations in non-conservative form may be more interesting from an industrial point of view. To this aim, we employ a recent approach, which allows us to ensure conservation while solving a non-conservative system, at the condition of knowing its conservative form. We then validate our method and apply it to problems with complex geometry. Finally, the last part of our work is dedicated to the evaluation of the validity of the considered diffuse interface model for applications to real industrial problems. By using uncertainty quantification methods, the objective is to get parameters that make our simulations the most plausible, and to target the possible extensions that can make our simulations more realistic.

Cette thèse présente la construction de schémas distribuant le résidu (RD) d'ordre très élevés, pour la discrétisation d'équations d'advection-diffusion multidimensionnelles et stationnaires sur maillages non structurés. Des schémas linéaires ainsi que des schémas non linéaires sont considérés. Une approximation de la solution polynomiale par morceaux et continue sur chaque élément est adoptée, de plus une procédure de reconstruction du gradient que celle de la solution numérique est utilisée afin d'avoir une représentation continue de la solution numérique et de son gradient. Il est montré que le gradient doit être reconstruit avec la même précision de la solution, sans quoi la précision formel du schéma numérique est perdue dans les cas où les effets de diffusion prévalent sur les effets d'advection, et aussi quand l'advection et la diffusion sont également importants. Ensuite, la méthode est étendue à des systèmes d'équations, en particulier aux équations de Navier-Stokes et aux équations RANS. La précision, l'efficacité et la robustesse du solveur RD implicite sont démontrées sur plusieurs cas tests.

Lors de simulations numériques d'ordre élevé, la discrétisation sous-paramétrique du domaine de calcul peut générer des erreurs dominant l'erreur liée à la discrétisation des variables. De nombreux travaux proposent d'utiliser l'analyse isogéométrique afin de mieux représenter les géométries et de résoudre ce problème. Nous présenterons dans ce travail le couplage du schéma aux résidus distribués limité et stabilisé de Lax-Frieirichs avec l'analyse isogéométrique. En particulier, nous construirons une famille de fonctions de base permettant de représenter exactement les coniques et définies tant sur les éléments triangulaires que quadrangulaires : les fonctions de base de Bernstein rationnelles. Nous nous intéresserons ensuite à la génération de maillages précis pour l'analyse isogéométrique. Notre méthode consiste à créer un maillage courbe à partir d'un maillage linéaire par morceaux de la géométrie. Le maillage obtenu en sortie de notre procédure est non-structuré, conforme et assure la continuité de nos fonctions de base sur tout le domaine. Pour finir, nous décrirons les différentes méthodes d'adaptation de maillages développées : l'élévation d'ordre et le raffinement isotrope. Bien évidemment, la géométrie exacte du maillage courbe d'entrée est préservée au cours des processus d'adaptation.

Lors de simulations numériques d’ordre élevé, la discrétisation sous-paramétrique du domaine de calcul peut générer des erreurs dominant l’erreur liée à la discrétisation des variables. De nombreux travaux proposent d’utiliser l’analyse isogéométrique afin de mieux représenter les géométries et de résoudre ce problème.Nous présenterons dans ce travail le couplage du schéma aux résidus distribués limité et stabilisé de Lax-Frieirichs avec l’analyse isogéométrique. En particulier, nous construirons une famille de fonctions de base permettant de représenter exactement les coniques et définies tant sur les éléments triangulaires que quadrangulaires : les fonctions de base de Bernstein rationnelles. Nous nous intéresserons ensuite à la génération de maillages précis pour l’analyse isogéométrique. Notre méthode consiste à créer un maillage courbe à partir d’un maillage linéaire par morceaux de la géométrie. Le maillage obtenu en sortie de notre procédure est non-structuré, conforme et assure la continuité de nos fonctions de base sur tout le domaine. Pour finir, nous décrirons les différentes méthodes d’adaptation de maillages développées : l’élévation d’ordre et le raffinement isotrope. Bien évidemment, la géométrie exacte du maillage courbe d’entrée est préservée au cours des processus d’adaptation. / During high order simulations, the approximation error may be dominated by the errors linked to the sub-parametric discretization used for the geometry representation. Many works propose to use an isogeometric analysis approach to better represent the geometry and hence solve this problem. In this work, we will present the coupling between the limited stabilized Lax-Friedrichs residual distributed scheme and the isogeometric analysis. Especially, we will build a family of basis functions defined on both triangular and quadrangular elements and allowing the exact representation of conics : the rational Bernstein basis functions. We will then focus in how to generate accurate meshes for isogeometric analysis. Our idea is to create a curved mesh from a classical piecewise-linear mesh of the geometry. We obtain a conforming unstructured mesh which ensures the continuity of the basis functions over the entire mesh. Last, we will detail the curved mesh adaptation methods developed : the order elevation and the isotropic mesh refinement. Of course, the adaptation processes preserve the exact geometry of the initial curved mesh.

Cette thèse présente la construction de schémas distribuant le résidu (RD) d'ordre très élevés, pour la discrétisation d'équations d'advection-diffusion multidimensionnelles et stationnaires sur maillages non structurés. Des schémas linéaires ainsi que des schémas non linéaires sont considérés. Une approximation de la solution polynomiale par morceaux et continue sur chaque élément est adoptée, de plus une procédure de reconstruction du gradient que celle de la solution numérique est utilisée afin d'avoir une représentation continue de la solution numérique et de son gradient. Il est montré que le gradient doit être reconstruit avec la même précision de la solution, sans quoi la précision formel du schéma numérique est perdue dans les cas où les effets de diffusion prévalent sur les effets d'advection, et aussi quand l'advection et la diffusion sont également importants. Ensuite, la méthode est étendue à des systèmes d'équations, en particulier aux équations de Navier-Stokes et aux équations RANS. La précision, l'efficacité et la robustesse du solveur RD implicite sont démontrées sur plusieurs cas tests. / The construction of compact high-order Residual Distribution schemes for the discretizationof steady multidimensional advection-diffusion problems on unstructuredgrids is presented. Linear and non-linear scheme are considered. A piecewise continuouspolynomial approximation of the solution is adopted and a gradient reconstructionprocedure is used in order to have a continuous representation of both thenumerical solution and its gradient. It is shown that the gradient must be reconstructedwith the same accuracy of the solution, otherwise the formal accuracy ofthe numerical scheme is lost in applications in which diffusive effects prevail overthe advective ones, and when advection and diffusion are equally important. Thenthe method is extended to systems of equations, with particular emphasis on theNavier-Stokes and RANS equations. The accuracy, efficiency, and robustness of theimplicit RD solver is demonstrated using a variety of challenging aerodynamic testproblems.

Cette thèse présente la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour la discrétisation des équations d’Euler ainsi qu’un schéma aux Résidus Distribués hp-adaptatif pour les équations de Navier- Stokes pénalisées. On rappelle tout d’abord les équations d’Euler et de Navier-Stokes ainsi que leurs versions non dimensionnelles. Les définitions et propriétés de base des schémas aux Résidus Distribués sont ensuite présentées. On décrit alors la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour les équations d’Euler. La construction du schéma p-adaptatif est basée sur la possibilité d’exprimer le résidu total d’un élément K de degré k (au sens où l’élément fini (K; P; Sigma ) est un élément fini de degré k) comme une somme pondérée des résidus totaux de ses sous-éléments de degré 1. La solution discrète ainsi obtenue est en général discontinue à l’interface entre un élément subdivisé et un élément non subdivisé. Ceci contredit l’hypothèse de continuité de la solution qui est utilisée pour démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret pour les schémas aux Résidus Distribués. Cependant, on montre que cette hypothèse peut être assouplie. La conséquence pratique est que si l’on emploie des quadratures particulières dans l’implémentation numérique, on peut quand même démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret, ce qui garantit la convergence du schéma numérique vers une solution faible des équations d’origine. Les formules qui permettent d’exprimer le résidu total comme une somme pondérée des résidus totaux des sous-éléments sont à la base de la méthode de p-adaptation présentée ici. Dans le cas quadratique, la formule est obtenue avec les classiques fonctions de base de Lagrange en dimension deux et avec des fonctions de base de Bézier en dimension trois. Ces deux formules sont ensuite généralisées à des degrés polynomiaux quelconques en dimension deux et trois avec des fonctions de base de Bézier. Dans la deuxième partie de la thèse, on présente l’application du schéma p-adaptatif aux équations pénalisées de Navier-Stokes avec adaptation de maillage anisotrope. . En pratique, on combine le schéma p-adaptatif avec la méthode IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes). La méthode IBM-LS-AUM permet d’imposer les conditions aux bords grâce à la méthode de pénalisation et l’adaptation anisotrope du maillage à la solution numérique et à la level-set augmente la précision de la solution et de la représentation de la surface. Une fois la méthode IBM-LS-AUM combinée avec le schéma p-adaptatif, il est alors possible d’utiliser des éléments d’ordre élevés en-dehors de la zone où la pénalisation est appliquée. La méthode est robuste comme le montrent les diverses expérimentations numériques à des vitesses faibles à élevées et à différents nombres de Reynolds. / This thesis presents the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the steady Euler equations and a hp-adaptive Residual Distribution scheme for the steady penalized Navier-Stokes equations in dimension two and three. The Euler and Navier-Stokes equations are recalled along with their non dimensional versions. The basis definitions and properties of the steady Residual Distribution schemes are presented. Then, the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the Euler equations is considered. The construction of the p-adaptive scheme is based upon the expression of the total residual of an element of a given degree k (in the Finite Element sense) into the total residuals of its linear sub-elements. The discrete solution obtained with the p-adaptive scheme is then a one degree polynomial in the divided elements and a k-th degree polynomial in the undivided ones. Therefore, the discrete solution is in general discontinuous at the interface between a divided element and an undivided one. This is in apparent contradiction with the continuity assumption used in general to demonstrate the discrete Lax-Wendroff theorem for Residual Distribution schemes. However, as we show in this work, this constrain can be relaxed. The consequence is that if special quadrature formulas are employed in the numerical implementation, the discrete Lax-Wendroff theorem can still be proved, which guaranties the convergence of the p-adaptive scheme to a weak solution of the governing equations. The formulas that express the total residual into the combination of the total residuals of the sub-elements are central to the method. In dimension two, the formula is obtained with the classical Lagrange basis in the quadratic case and with the Bézier basis in dimension three. These two formulas are then generalized to arbitrary polynomial degrees in dimension two and three with a Bézier basis. In the second part of the thesis the application of the p-adaptive scheme to the penalized Navier-Stokes equations with anisotropic mesh adaptation is presented. In practice, the p-adaptive scheme is used with the IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes) method. The IBM-LS-AUM allows to impose the boundary conditions with the penalization method and the mesh adaptation to the solution and to the level-set increases the accuracy of the representation of the surface and the solution around walls. When the IBM-LSAUM is combined with the p-adaptive scheme, it is possible to use high-order elements outside the zone where the penalization is applied. The method is robust as shown by the numerical applications at low to large Mach numbers and at different Reynolds in dimension two and three.