Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vivaldo de Souza Bartolomeu.pdf: 1726401 bytes, checksum: aca4194ead87c19ca09df39e6a761c4b (MD5) Previous issue date: 2010-10-06 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The goal of this research is to examine the learning and difficulties of high school seniors students with the real numbers. For this, was made a diagnostic test with 54 students, with 18 from 1st year, 18 from 2nd year and 18 from 3rd year of high school seniors; everyone from State Public School System. This research has a qualitative approach, referenced by LUCKESI (2005) and his analyses show a blank between student learning and Mathematics knowledge, then is proposed a change on the methods to teach real numbers, according with DIAS (2002). The results revealed that most of the students are not familiar with this topic, although the Real number was taught at High School. It is necessary to review this teaching process with Real Numbers / A presente pesquisa tem como objetivo verificar os conhecimentos e dificuldades dos estudantes do ensino médio relacionados ao conjunto dos números reais. Para isso, foi realizado uma avaliação diagnóstica com 54 alunos, sendo 18 do 1ºano, 18 do 2º ano e 18 do 3º ano do Ensino Médio; oriundos da Rede Pública Estadual - na resolução de questões envolvendo conceitos relativos a números reais. Trata-se de um estudo qualitativo, embasado por LUCKESI (2005) e suas considerações teóricas a respeito da avaliação e seus desdobramentos. As análises das respostas revelam uma lacuna na aprendizagem discente frente a este conteúdo matemático, propõe-se então uma revisão do processo de ensino de números reais, afinal para DIAS (2002), saber o conceito de números reais é fundamental ao ensino de matemática. Os resultados obtidos revelam que a maioria dos sujeitos participantes não tem esses conceitos claramente definidos, embora componham oficialmente a formação de qualquer estudante do Ensino Fundamental. Sendo necessária uma revisão do processo de ensino-aprendizagem dos números reais

Resultados em avaliações nacionais como Prova Brasil e Saeb dão indícios de que o ensino/aprendizagem de Matemática na Escola Básica tem sido deficiente. Na tentativa de entender como o aluno aprende para que o ensino ocorra de forma adequada a esse modo de construir o conhecimento, vários estudos têm sido realizados a respeito da Epistemologia do conhecimento. A Epistemologia de Gaston Bachelard afirma que a construção do conhecimento se dá com um movimento de ruptura frente ao conhecimento previamente estabelecido, com uma resistência à racionalização desse conhecimento denominado obstáculo epistemológico. O didata francês Brousseau traz a idéia de obstáculo epistemológico em Matemática como um obstáculo ligado à resistência de um saber mal adaptado e o vê como um meio de interpretar determinados dos erros recorrentes e não aleatórios cometidos pelos estudantes quando lhes são ensinados alguns conceitos matemáticos. A presente pesquisa teve por objetivo identificar obstáculos epistemológicos no ensino/aprendizagem de números reais por meio de questionários aplicados a alunos de 4ª série (ou 5º ano) a 8ª série (ou 9º ano) do Ensino Fundamental. / Results in national evaluations as Prova Brasil and Saeb give indications of that education/learning of Mathematics in the Basic School has been deficient. In the attempt to understand how the students learn so that education occurs of adequate form to this way to construct the knowledge, some studies have been carried through regarding the knowledges Epistemology. The Gaston Bachelards Epistemology affirms that the construction of the knowledge occurs through a movement of rupture front to the knowledge previously established, with a resistance to the rationalization of this knowledge called epistemological obstacle. The French didata Brousseau brings the idea of epistemological obstacle to Mathematics as an obstacle to the resistance of one to a badly suitable knowledge and sees it as a way to interpret some of the recurrent and not random errors committed by the students when some mathematical concepts are taught to them. The present research had for objective to identify to epistemological obstacles in education/learning of real numbers by means of applied questionnaires the students of 4th to 8th grade.

Resultados em avaliações nacionais como Prova Brasil e Saeb dão indícios de que o ensino/aprendizagem de Matemática na Escola Básica tem sido deficiente. Na tentativa de entender como o aluno aprende para que o ensino ocorra de forma adequada a esse modo de construir o conhecimento, vários estudos têm sido realizados a respeito da Epistemologia do conhecimento. A Epistemologia de Gaston Bachelard afirma que a construção do conhecimento se dá com um movimento de ruptura frente ao conhecimento previamente estabelecido, com uma resistência à racionalização desse conhecimento denominado obstáculo epistemológico. O didata francês Brousseau traz a idéia de obstáculo epistemológico em Matemática como um obstáculo ligado à resistência de um saber mal adaptado e o vê como um meio de interpretar determinados dos erros recorrentes e não aleatórios cometidos pelos estudantes quando lhes são ensinados alguns conceitos matemáticos. A presente pesquisa teve por objetivo identificar obstáculos epistemológicos no ensino/aprendizagem de números reais por meio de questionários aplicados a alunos de 4ª série (ou 5º ano) a 8ª série (ou 9º ano) do Ensino Fundamental. / Results in national evaluations as Prova Brasil and Saeb give indications of that education/learning of Mathematics in the Basic School has been deficient. In the attempt to understand how the students learn so that education occurs of adequate form to this way to construct the knowledge, some studies have been carried through regarding the knowledges Epistemology. The Gaston Bachelards Epistemology affirms that the construction of the knowledge occurs through a movement of rupture front to the knowledge previously established, with a resistance to the rationalization of this knowledge called epistemological obstacle. The French didata Brousseau brings the idea of epistemological obstacle to Mathematics as an obstacle to the resistance of one to a badly suitable knowledge and sees it as a way to interpret some of the recurrent and not random errors committed by the students when some mathematical concepts are taught to them. The present research had for objective to identify to epistemological obstacles in education/learning of real numbers by means of applied questionnaires the students of 4th to 8th grade.

Este trabalho consiste no desenvolvimento de uma metodologia para a obtenção de representações construtivas de sistemas ordenados de 2ª ordem, baseadas em estruturas de espaços coerentes, com aplicação fundamental na Computação Científica e Matemática Intervalar. Obtêm assim uma representação global para os objetos ditos infinitos relativamente ao conteúdo de informação, como números reais e intervalos reais, de tal forma que possam ser definidos modelos semânticos adequados para os processos computacionais envolvendo tais objetos. Esta representação construtiva é denominada de global, pois é realizada em dois níveis distinguíveis, compreendendo não somente a construção interna dos objetos, no contexto de uma da estrutura de informação, mas também sua estrutura externa de aplicação. A estrutura de informação tem caráter compatível com uma abordagem domínio-teorética, e a estrutura de aplicação e determinada pelo use pretendido do sistema representado. Existe um relacionamento entre os dois níveis de construção, garantindo que cada componente da estrutura de aplicação tenha uma representação interna na estrutura de informação. Os sistemas de representação global resultantes são denominados então espaços coerentes bi-estruturados, e tem a característica adicional de serem gerados por um sistema ordenado basico de universo enumerável. A estrutura de informação é um espaço coerente, com funções lineares e uma estrutura topológica de informação compatível. A estrutura de aplicação - algébrica, de ordem, relacional, funcional, de medidas, topológica, dentre outras - é obtida por um processo construtivo a partir da estrutura do sistema basico. Um espaço coerente bi-estruturado, obtido por esse processo de construção, é a representação global de um dado sistema ordenado de 2ª ordem quando possível recuperar este sistema através do subsistema dos objetos totais do espaço, pela determinação de isomorfismos para a estrutura de aplicação. Da mesma forma, estabelecendo também isomorfismos para o subsistema dos intervalos de elementos do conjunto universo do sistema que esta sendo representado, esse subsistema pode ser recuperado como o subsistema dos objetos quasi-totais do espaço coerente. Apresenta-se também uma abordagem categórica para o processo de construção global, mostrando se que ele determina uma adjunção entre duas subcategorias da categoria SO2 dos sistemas ordenados de 2ª ordem A metodologia proposta se mostrou particularmente interessante na construção do conjunto dos números reais e do conjunto de intervalos reais. Para estes sistemas introduziu-se também uma subestrutura elementar de medidas, pela definição, de forma generalizada, das funções valor absoluto, distância e diâmetro. Foi desenvolvida uma estrutura topológica para os espaços coerentes bi-estruturados, que caracteriza-se também por apresentar dois níveis que se inter-relacionam. Para obter uma caracterização topológica de informação desenvolveu-se a noção de espaços de vizinhanças lineares. No sentido de se obter a caracterização topológica de aplicação, obteve-se, em cada etapa da construção, um espaço de vizinhanças gerado pela função distância generalizada com uma topologia de aplicação associada. Conexões entre as representações de reais e de intervalos de reais e aspectos de computabilidade são referidas de modo preliminar, sugerindo-se este tema como trabalho futuro. Possíveis aplicações dos espaços coerentes bi-estruturados e do processo de construção global a outras áreas da Ciência da Computação são indicadas no final do trabalho. / The aim of this work is to develop a methodology to obtain constructive representations of second order ordered systems, based on coherence space structures, with the main application in Scientific Computation and Interval Mathematics. A global representation for the so-called infinite objects considering the information content they represent, in particularly real numbers and real intervals, is obtained, so that suitable semantical models for real and interval computational processes can be provided. This constructive representation is said to be global. since it is performed in two distinguished levels, dealing with the internal construction of the objects, in the context of an information structure, and, on the other hand, building an external application structure. The information structure is compatible with a domain-theoretic approach, and the application structure is established according the intended usage of the represented system. There exists a relationship between the two levels of the construction, guaranteeing that each component of the application structure should have an internal representation in the information structure. The resulting global representation systems are called bi-structured coherence spaces, and they have the additional feature of being generated by a basic ordered system having a denumerable universe. The information structure is a coherence space endowed with linear functions and a compatible information topological structure. The (algebraic, ordered, relational, functional, measure, topological, etc.) application structure is obtained by the construction process, considering the structure of the basic system as the start point. A bi-structured coherence space, obtained by this construction process, is said to be the global representation of a given second order ordered system if it is possible to recover the latter by the subsystem of the total objects of the former, defining isomorphisms related to the application structure. Following the same pattern, establishing isomorphisms for the subsystem of the intervals of elements of the represented system, it is possible to recover it as the subsystem of quasi-total objects of the bi-structured coherence space. A categorical approach is also presented and it is shown that the global construction process determines an adjunction between two subcategories of the category SO2 of the second order ordered systems. The proposed methodology was shown to be particularly interesting when constructing the sets of real numbers and real intervals. For these systems, an elementary measure structure was introduced in a generalised approach, defining generalised distance, diameter and absolute value functions. The bi-structured coherence spaces were given an interrelated two-level topological characterisation. In order to obtain an information topological characterisation the concept of linear neighbourhood systems was introduced. For the application topological characterisation, at each step of the construction, a neighbourhood system generated by the generalised distance function, with an associated topology, was defined. A brief analysis concerning the connections among other representations of real and real intervals and computability aspects is presented. Other possible applications in Computer Science are indicated.

Este trabalho consiste no desenvolvimento de uma metodologia para a obtenção de representações construtivas de sistemas ordenados de 2ª ordem, baseadas em estruturas de espaços coerentes, com aplicação fundamental na Computação Científica e Matemática Intervalar. Obtêm assim uma representação global para os objetos ditos infinitos relativamente ao conteúdo de informação, como números reais e intervalos reais, de tal forma que possam ser definidos modelos semânticos adequados para os processos computacionais envolvendo tais objetos. Esta representação construtiva é denominada de global, pois é realizada em dois níveis distinguíveis, compreendendo não somente a construção interna dos objetos, no contexto de uma da estrutura de informação, mas também sua estrutura externa de aplicação. A estrutura de informação tem caráter compatível com uma abordagem domínio-teorética, e a estrutura de aplicação e determinada pelo use pretendido do sistema representado. Existe um relacionamento entre os dois níveis de construção, garantindo que cada componente da estrutura de aplicação tenha uma representação interna na estrutura de informação. Os sistemas de representação global resultantes são denominados então espaços coerentes bi-estruturados, e tem a característica adicional de serem gerados por um sistema ordenado basico de universo enumerável. A estrutura de informação é um espaço coerente, com funções lineares e uma estrutura topológica de informação compatível. A estrutura de aplicação - algébrica, de ordem, relacional, funcional, de medidas, topológica, dentre outras - é obtida por um processo construtivo a partir da estrutura do sistema basico. Um espaço coerente bi-estruturado, obtido por esse processo de construção, é a representação global de um dado sistema ordenado de 2ª ordem quando possível recuperar este sistema através do subsistema dos objetos totais do espaço, pela determinação de isomorfismos para a estrutura de aplicação. Da mesma forma, estabelecendo também isomorfismos para o subsistema dos intervalos de elementos do conjunto universo do sistema que esta sendo representado, esse subsistema pode ser recuperado como o subsistema dos objetos quasi-totais do espaço coerente. Apresenta-se também uma abordagem categórica para o processo de construção global, mostrando se que ele determina uma adjunção entre duas subcategorias da categoria SO2 dos sistemas ordenados de 2ª ordem A metodologia proposta se mostrou particularmente interessante na construção do conjunto dos números reais e do conjunto de intervalos reais. Para estes sistemas introduziu-se também uma subestrutura elementar de medidas, pela definição, de forma generalizada, das funções valor absoluto, distância e diâmetro. Foi desenvolvida uma estrutura topológica para os espaços coerentes bi-estruturados, que caracteriza-se também por apresentar dois níveis que se inter-relacionam. Para obter uma caracterização topológica de informação desenvolveu-se a noção de espaços de vizinhanças lineares. No sentido de se obter a caracterização topológica de aplicação, obteve-se, em cada etapa da construção, um espaço de vizinhanças gerado pela função distância generalizada com uma topologia de aplicação associada. Conexões entre as representações de reais e de intervalos de reais e aspectos de computabilidade são referidas de modo preliminar, sugerindo-se este tema como trabalho futuro. Possíveis aplicações dos espaços coerentes bi-estruturados e do processo de construção global a outras áreas da Ciência da Computação são indicadas no final do trabalho. / The aim of this work is to develop a methodology to obtain constructive representations of second order ordered systems, based on coherence space structures, with the main application in Scientific Computation and Interval Mathematics. A global representation for the so-called infinite objects considering the information content they represent, in particularly real numbers and real intervals, is obtained, so that suitable semantical models for real and interval computational processes can be provided. This constructive representation is said to be global. since it is performed in two distinguished levels, dealing with the internal construction of the objects, in the context of an information structure, and, on the other hand, building an external application structure. The information structure is compatible with a domain-theoretic approach, and the application structure is established according the intended usage of the represented system. There exists a relationship between the two levels of the construction, guaranteeing that each component of the application structure should have an internal representation in the information structure. The resulting global representation systems are called bi-structured coherence spaces, and they have the additional feature of being generated by a basic ordered system having a denumerable universe. The information structure is a coherence space endowed with linear functions and a compatible information topological structure. The (algebraic, ordered, relational, functional, measure, topological, etc.) application structure is obtained by the construction process, considering the structure of the basic system as the start point. A bi-structured coherence space, obtained by this construction process, is said to be the global representation of a given second order ordered system if it is possible to recover the latter by the subsystem of the total objects of the former, defining isomorphisms related to the application structure. Following the same pattern, establishing isomorphisms for the subsystem of the intervals of elements of the represented system, it is possible to recover it as the subsystem of quasi-total objects of the bi-structured coherence space. A categorical approach is also presented and it is shown that the global construction process determines an adjunction between two subcategories of the category SO2 of the second order ordered systems. The proposed methodology was shown to be particularly interesting when constructing the sets of real numbers and real intervals. For these systems, an elementary measure structure was introduced in a generalised approach, defining generalised distance, diameter and absolute value functions. The bi-structured coherence spaces were given an interrelated two-level topological characterisation. In order to obtain an information topological characterisation the concept of linear neighbourhood systems was introduced. For the application topological characterisation, at each step of the construction, a neighbourhood system generated by the generalised distance function, with an associated topology, was defined. A brief analysis concerning the connections among other representations of real and real intervals and computability aspects is presented. Other possible applications in Computer Science are indicated.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:51Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2005-12-02Bitstream added on 2014-06-13T20:47:38Z : No. of bitstreams: 1 pereira_acc_me_rcla.pdf: 1481124 bytes, checksum: 78d55e4000afde8ee9821f753910ab76 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / A pesquisa visou a investigar livros didáticos de Matemática editados entre a última metade do século XIX e o século XX, no que diz respeito ao conteúdo dos corpos numéricos, focalizando a extensão do corpo dos números racionais para os reais. Nesse estudo, procurou-se observar como a geometria foi explorada, nesses livros didáticos, para o tratamento dessa questão. Mais precisamente, tomando como base o teorema de Thales, que relaciona o tratamento geométrico e algébrico por meio de medidas, buscou-se evidências no que diz respeito à questão da comensurabilidade. Para isso, selecionou-se sete livros didáticos de Matemática editados no período em questão: Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilínea, C. B. Ottoni, 1904; Elementos de Geometria, F.I.C, 1923; Curso de Mathematica, E. Roxo, C. Thiré e J. C. Mello e Souza, 1940-1942; Matemática - Curso Moderno, A. Quintella, 1960- 1963; Matemática - Curso Ginasial, O. Sangiorgi, 1968-1970; A Conquista da Matemática, J. R. Giovanni e B. Castrucci, 1985; e Matemática, L. M. P Imenes e M. Lellis, 1999. Em seguida, analisou-se cada coleção, observando o tratamento geométrico que foi dado aos números reais, em particular, no teorema de Thales. Nessa análise percebeu-se que a maioria dos livros didáticos selecionados na pesquisa apresentou o teorema de Thales remetendo a demonstração para o caso em que os segmentos eram comensuráveis. Porém, o primeiro livro analisado, faz uma discussão na demonstração, tanto para o caso em que os segmentos eram comensuráveis quanto incomensuráveis. Foi possível perceber que, nesse período, o assunto foi perdendo a precisão nos manuais escolares analisados. Considera-se plausível que a idéia subjacente ao teorema de Thales _ ligada às condições de proporcionalidade de segmentos isto é, medição de segmentos... / This research aimed to investigate Mathematics textbooks published from the late century XIX until the century XX, concerning the content of numerical fields, focusing on the extension from the rational to the real field. In the study, we tried to observe how geometry was explored in such books to address that issue. More precisely, taking the Thales' theorem, which relates the geometric and algebraic approach by measuring, research tries to find indications regarding measurability. To accomplish this proposal, seven Mathematics textbooks published within the aforementioned period were selected: Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilínea, C. B. Ottoni, 1904; Elementos de Geometria, F.I.C, 1923; Curso de Mathematica, E. Roxo, C. Thiré e J. C. Mello e Souza, 1940-1942; Matemática - Curso Moderno, A. Quintella, 1960-1963; Matemática - Curso Ginasial, O. Sangiorgi, 1968-1970; A Conquista da Matemática, J. R. Giovanni e B. Castrucci, 1985; e Matemática, L. M. P Imenes e M. Lellis, 1999. Soon afterwards, each collection was analyzed, observing the geometric approach that was given to the real numbers, particularly in the Thales' Theorem. In that analysis it was noticed that most of the selected textbooks in the research presented the Thales' theorem but its demonstration was restricted to the case in which the segments were commensurable. However, the first analyzed book makes a discussion on the demonstration for both cases, commensurable and incommensurable. It was possible to notice that through that period, the topic was being lessened in its precision in the analyzed school manuals. It's plausible that the underlying idea to the Thales' theorem, linked to conditions of proportionality between segments, that is, segment measurement, can be a way to introducing positive real numbers... (Complete abstract, click electronic address below)

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2015-05-27T12:50:34Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 643760 bytes, checksum: c6fc649a3682bb07bcc815ff2163eef4 (MD5) / Approved for entry into archive by Leonardo Americo (leonardo@sti.ufpb.br) on 2015-05-27T12:52:35Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 643760 bytes, checksum: c6fc649a3682bb07bcc815ff2163eef4 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T12:52:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 643760 bytes, checksum: c6fc649a3682bb07bcc815ff2163eef4 (MD5) Previous issue date: 2014-08-29 / This work aims to show the existence and Uniqueness of the field of Real Numbers, using for this, Dedekind' Cuts theorem and the Definition by Recursion.To fulfill his goal, we define the notion of Dedekind Cut and present some of its properties; then introduce the notions of Archimedean Ordered and Field, Complete Field Sorted and finally articulate and demonstrate the Uniqueness Theorem of Field Real Numbers. / Este trabalho tem como objetivo mostrar a Existência e a Unicidade do Corpo dos Números Reais, usando para isso, os Cortes de Dedekind e o teorema da defi- nição por Recursão. Para cumprirmos tal objetivo, definimos a noção de Corte de Dedekind e apresentamos algumas de suas propriedades; em seguida, apresentamos as noções de Corpo, Corpo Ordenado e Arquimediano, Corpo Ordenado Completo e, finalmente, enunciamos e demonstramos o Teorema da Unicidade do Corpo dos Números Reais.

Submitted by Jean Medeiros (jeanletras@uepb.edu.br) on 2017-09-12T12:42:53Z No. of bitstreams: 1 PDF - José Elias da Silva.pdf: 9535482 bytes, checksum: 4f018a51c1e15736072db257c4b86319 (MD5) / Approved for entry into archive by Secta BC (secta.csu.bc@uepb.edu.br) on 2017-10-26T16:05:13Z (GMT) No. of bitstreams: 1 PDF - José Elias da Silva.pdf: 9535482 bytes, checksum: 4f018a51c1e15736072db257c4b86319 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-10-26T16:05:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PDF - José Elias da Silva.pdf: 9535482 bytes, checksum: 4f018a51c1e15736072db257c4b86319 (MD5) Previous issue date: 2016-10-28 / In this study we work two constructions of the real numbers system. The construction the system of real numbers by cuts or straight sections in the set of rational numbers, advanced by Dedekind, and the construction of the real number as equivalence class of fundamental sequences of rational numbers, idea introducel by Cantor. Related to this approach, we dedicate a Chapter to show density of the rational num- bers and irrational numbers in the set of real numbers. Later, in a more synthesized form than the above constructions,we present other ap- proachs which the fundamental idea of real numbers is more clear. Finally we use method axiomatic in order to show the uniqueness of the real numbers system, thus, we conclude that there is a complete and orderly body which is unique up to isomorphism . This unique body is named the real numbers body. / Neste trabalho serão estudadas duas construções do sistema dos números reais. A construção do sistema dos números reais por cortes na reta ou secções no conjunto dos números racionais, avançada por Dedekind, e a construção do número real como classe de equivalência de sucessões fundamentais de números racionais, ideia protagonizada por Cantor. Relacionado com este tema, um capítulo deste trabalho será dedicado à aplicação da densidade dos números racionais e irracionais. Posteriormente, e de uma forma mais sintetizada do que nas anteriores, são apresentadas outras construções, procurando tornar mais claro a ideia fundamental subjacente ao conceito de número real. Por fim, utiliza-se o método axiomático com o intuito de mostrar a unicidade do sistema dos números reais, isto é, concluir finalmente que existe um corpo completo e ordenado, e apenas um a menos de um isomorfismo, do conjunto dos números reais.

Este trabalho consiste no desenvolvimento de uma metodologia para a obtenção de representações construtivas de sistemas ordenados de 2ª ordem, baseadas em estruturas de espaços coerentes, com aplicação fundamental na Computação Científica e Matemática Intervalar. Obtêm assim uma representação global para os objetos ditos infinitos relativamente ao conteúdo de informação, como números reais e intervalos reais, de tal forma que possam ser definidos modelos semânticos adequados para os processos computacionais envolvendo tais objetos. Esta representação construtiva é denominada de global, pois é realizada em dois níveis distinguíveis, compreendendo não somente a construção interna dos objetos, no contexto de uma da estrutura de informação, mas também sua estrutura externa de aplicação. A estrutura de informação tem caráter compatível com uma abordagem domínio-teorética, e a estrutura de aplicação e determinada pelo use pretendido do sistema representado. Existe um relacionamento entre os dois níveis de construção, garantindo que cada componente da estrutura de aplicação tenha uma representação interna na estrutura de informação. Os sistemas de representação global resultantes são denominados então espaços coerentes bi-estruturados, e tem a característica adicional de serem gerados por um sistema ordenado basico de universo enumerável. A estrutura de informação é um espaço coerente, com funções lineares e uma estrutura topológica de informação compatível. A estrutura de aplicação - algébrica, de ordem, relacional, funcional, de medidas, topológica, dentre outras - é obtida por um processo construtivo a partir da estrutura do sistema basico. Um espaço coerente bi-estruturado, obtido por esse processo de construção, é a representação global de um dado sistema ordenado de 2ª ordem quando possível recuperar este sistema através do subsistema dos objetos totais do espaço, pela determinação de isomorfismos para a estrutura de aplicação. Da mesma forma, estabelecendo também isomorfismos para o subsistema dos intervalos de elementos do conjunto universo do sistema que esta sendo representado, esse subsistema pode ser recuperado como o subsistema dos objetos quasi-totais do espaço coerente. Apresenta-se também uma abordagem categórica para o processo de construção global, mostrando se que ele determina uma adjunção entre duas subcategorias da categoria SO2 dos sistemas ordenados de 2ª ordem A metodologia proposta se mostrou particularmente interessante na construção do conjunto dos números reais e do conjunto de intervalos reais. Para estes sistemas introduziu-se também uma subestrutura elementar de medidas, pela definição, de forma generalizada, das funções valor absoluto, distância e diâmetro. Foi desenvolvida uma estrutura topológica para os espaços coerentes bi-estruturados, que caracteriza-se também por apresentar dois níveis que se inter-relacionam. Para obter uma caracterização topológica de informação desenvolveu-se a noção de espaços de vizinhanças lineares. No sentido de se obter a caracterização topológica de aplicação, obteve-se, em cada etapa da construção, um espaço de vizinhanças gerado pela função distância generalizada com uma topologia de aplicação associada. Conexões entre as representações de reais e de intervalos de reais e aspectos de computabilidade são referidas de modo preliminar, sugerindo-se este tema como trabalho futuro. Possíveis aplicações dos espaços coerentes bi-estruturados e do processo de construção global a outras áreas da Ciência da Computação são indicadas no final do trabalho. / The aim of this work is to develop a methodology to obtain constructive representations of second order ordered systems, based on coherence space structures, with the main application in Scientific Computation and Interval Mathematics. A global representation for the so-called infinite objects considering the information content they represent, in particularly real numbers and real intervals, is obtained, so that suitable semantical models for real and interval computational processes can be provided. This constructive representation is said to be global. since it is performed in two distinguished levels, dealing with the internal construction of the objects, in the context of an information structure, and, on the other hand, building an external application structure. The information structure is compatible with a domain-theoretic approach, and the application structure is established according the intended usage of the represented system. There exists a relationship between the two levels of the construction, guaranteeing that each component of the application structure should have an internal representation in the information structure. The resulting global representation systems are called bi-structured coherence spaces, and they have the additional feature of being generated by a basic ordered system having a denumerable universe. The information structure is a coherence space endowed with linear functions and a compatible information topological structure. The (algebraic, ordered, relational, functional, measure, topological, etc.) application structure is obtained by the construction process, considering the structure of the basic system as the start point. A bi-structured coherence space, obtained by this construction process, is said to be the global representation of a given second order ordered system if it is possible to recover the latter by the subsystem of the total objects of the former, defining isomorphisms related to the application structure. Following the same pattern, establishing isomorphisms for the subsystem of the intervals of elements of the represented system, it is possible to recover it as the subsystem of quasi-total objects of the bi-structured coherence space. A categorical approach is also presented and it is shown that the global construction process determines an adjunction between two subcategories of the category SO2 of the second order ordered systems. The proposed methodology was shown to be particularly interesting when constructing the sets of real numbers and real intervals. For these systems, an elementary measure structure was introduced in a generalised approach, defining generalised distance, diameter and absolute value functions. The bi-structured coherence spaces were given an interrelated two-level topological characterisation. In order to obtain an information topological characterisation the concept of linear neighbourhood systems was introduced. For the application topological characterisation, at each step of the construction, a neighbourhood system generated by the generalised distance function, with an associated topology, was defined. A brief analysis concerning the connections among other representations of real and real intervals and computability aspects is presented. Other possible applications in Computer Science are indicated.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-02-22T15:29:17Z No. of bitstreams: 1 marcelocunhafigueiredo.pdf: 1448320 bytes, checksum: d5d065ce34898025ffe848fe7561fe67 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-02-26T14:09:07Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marcelocunhafigueiredo.pdf: 1448320 bytes, checksum: d5d065ce34898025ffe848fe7561fe67 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-02-26T14:09:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marcelocunhafigueiredo.pdf: 1448320 bytes, checksum: d5d065ce34898025ffe848fe7561fe67 (MD5) Previous issue date: 2014-02-27 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O presente trabalho tem por finalidade mostrar uma metodologia de ensino dos números reais com base em fundamentos da Geometria Euclidiana. A régua e o compasso serão instrumentos de grande importância na construção dos conjuntos numéricos. Partindo das imagens geométricas dos números naturais e das operações entre seus elementos, iremos, gradativamente, construindo o conjunto dos números inteiros e dos racionais. Provaremos a existência de números que não são racionais e uma característica desses números que os livros didáticos, em sua maioria, não abordam: a questão da densidade dos conjuntos dos números racionais e irracionais no conjunto dos reais. A geometria euclidiana como suporte nos números reais facilita o entendimento do aluno e traz dinâmica nas operações entre esses números. Apresentamos também uma possibilidade de continuação da proposta de trabalho. / This paper aims to show a teaching methodology of real numbers on the grounds of Euclidean geometry. The ruler and compass are instruments of great importance in the construction of numerical sets. Based on the geometric images of the natural numbers and operations between its elements, we will gradually building the set of integers and rational numbers. We prove the existence of numbers that are not rational and a propertie of those numbers that textbooks mostly do not address: the question of density of the sets of rational and irrational in the set of real numbers. Euclidean geometry as real numbers in support facilitates student understanding and produces dynamic operations between these numbers. We also present a possible continuation of the proposed work.