Orientador: Plamen Emilov Kochloukov / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-05T18:52:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Freitas_JoseAntoniodeOliveira_M.pdf: 927005 bytes, checksum: 043e51c76a61b7dabf36996af12d1400 (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Esta dissertação introduz as primeiras noções para o estudo da teoria de álgebras que satisfazem identidades polinomiais (chamadas PI - álgebras), bem como alguns resultados importantes. Expomos alguns fatos e resultados fundamentais sobre representações dos grupos simétricos e geral linear. Estes resultados serão posteriormente utilizados para estudar as identidades polinomiais da álgebra das matrizes de ordem dois sobre um corpo de característica 0. Apresentamos os métodos desenvolvidos por Razmyslov, que permitem descrever uma base para as identidades da álgebra associativa das matrizes 2x2, bem como para a álgebra de Lie das matrizes 2x2 de traço zero. Em seguida expomos o trabalho de Drensky, no qual é utilizado teoria de representações para obter uma base minimal para esta álgebra importante / Abstract: This work introduces the first notions for the study of the theory of algebras that satisfy polynomial identities (so called PI-algebras), as well as some important results. We discuss the fundamental facts and results about representations of the symmetric and the general linear groups. These results are used later on to study the polynomial identities of the 2x2 matrix algebra over a field of characteristic 0. We present the methods developed by Razmyslov in order to describe a basis for the identities for the associative algebra of the 2x2 matrices as well as for the Lie algebra of the 2x2 traceless matrices. Furthermore we expose the work of Drensky where he applies the representation theory for obtaining a minimal basis for this important algebra / Mestrado / Algebra / Mestre em Matemática

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La combinatoire algébrique est le champ de recherche qui utilise des méthodes combinatoires et des algorithmes pour étudier les problèmes algébriques, et applique ensuite des outils algébriques à ces problèmes combinatoires. L’un des thèmes centraux de la combinatoire algébrique est l’étude des permutations car elles peuvent être interprétées de bien des manières (en tant que bijections, matrices de permutations, mais aussi mots sur des entiers, ordre totaux sur des entiers, sommets du permutaèdre…). Cette riche diversité de perspectives conduit alors aux généralisations suivantes du groupe symétrique. Sur le plan géométrique, le groupe symétrique engendré par les transpositions élémentaires est l’exemple canonique des groupes de réflexions finis, également appelés groupes de Coxeter. Sur le plan monoïdal, ces même transpositions élémentaires deviennent les opérateurs du tri par bulles et engendrent le monoïde de 0-Hecke, dont l’algèbre est la spécialisation à q=0 de la q-déformation du groupe symétrique introduite par Iwahori. Cette thèse se consacre à deux autres généralisations des permutations. Dans la première partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les matrices de permutations partielles, en d’autres termes les placements de tours ne s’attaquant pas deux à deux sur un échiquier carré. Ces placements de tours engendrent le monoïde de placements de tours, une généralisation du groupe symétrique. Dans cette thèse nous introduisons et étudions le 0-monoïde de placements de tours comme une généralisation du monoïde de 0-Hecke. Son algèbre est la dégénérescence à q=0 de la q-déformation du monoïde de placements de tours introduite par Solomon. On étudie par la suite les propriétés monoïdales fondamentales du 0-monoïde de placements de tours (ordres de Green, propriété de treillis du R-ordre, J-trivialité) ce qui nous permet de décrire sa théorie des représentations (modules simples et projectifs, projectivité sur le monoïde de 0-Hecke, restriction et induction le long d’une fonction d’inclusion).Les monoïdes de placements de tours sont en fait l’instance en type A de la famille des monoïdes de Renner, définis comme les complétés des groupes de Weyl (c’est-à-dire les groupes de Coxeter cristallographiques) pour la topologie de Zariski. Dès lors, dans la seconde partie de la thèse nous étendons nos résultats du type A afin de définir les monoïdes de 0-Renner en type B et D et d’en donner une présentation. Ceci nous conduit également à une présentation des monoïdes de Renner en type B et D, corrigeant ainsi une présentation erronée se trouvant dans la littérature depuis une dizaine d’années. Par la suite, nous étudions comme en type A les propriétés monoïdales de ces nouveaux monoïdes de 0-Renner de type B et D : ils restent J-triviaux, mais leur R-ordre n’est plus un treillis. Cela ne nous empêche pas d’étudier leur théorie des représentations, ainsi que la restriction des modules projectifs sur le monoïde de 0-Hecke qui leur est associé. Enfin, la dernière partie de la thèse traite de différentes généralisations des permutations. Dans une récente séries d’articles, Châtel, Pilaud et Pons revisitent la combinatoire algébrique des permutations (ordre faible, algèbre de Hopf de Malvenuto-Reutenauer) en terme de combinatoire sur les ordres partiels sur les entiers. Cette perspective englobe également la combinatoire des quotients de l’ordre faible tels les arbres binaires, les séquences binaires, et de façon plus générale les récents permutarbres de Pilaud et Pons. Nous généralisons alors l’ordre faibles aux éléments des groupes de Weyl. Ceci nous conduit à décrire un ordre sur les sommets des permutaèdres, associaèdres généralisés et cubes dans le même cadre unifié. Ces résultats se basent sur de subtiles propriétés des sommes de racines dans les groupes de Weyl qui s’avèrent ne pas fonctionner pour les groupes de Coxeter qui ne sont pas cristallographiques / Algebraic combinatorics is the research field that uses combinatorial methods and algorithms to study algebraic computation, and applies algebraic tools to combinatorial problems. One of the central topics of algebraic combinatorics is the study of permutations, interpreted in many different ways (as bijections, permutation matrices, words over integers, total orders on integers, vertices of the permutahedron…). This rich diversity of perspectives leads to the following generalizations of the symmetric group. On the geometric side, the symmetric group generated by simple transpositions is the canonical example of finite reflection groups, also called Coxeter groups. On the monoidal side, the simple transpositions become bubble sort operators that generate the 0-Hecke monoid, whose algebra is the specialization at q=0 of Iwahori’s q-deformation of the symmetric group. This thesis deals with two further generalizations of permutations. In the first part of this thesis, we first focus on partial permutations matrices, that is placements of pairwise non attacking rooks on a n by n chessboard, simply called rooks. Rooks generate the rook monoid, a generalization of the symmetric group. In this thesis we introduce and study the 0-Rook monoid, a generalization of the 0-Hecke monoid. Its algebra is a proper degeneracy at q = 0 of the q-deformed rook monoid of Solomon. We study fundamental monoidal properties of the 0-rook monoid (Green orders, lattice property of the R-order, J-triviality) which allow us to describe its representation theory (simple and projective modules, projectivity on the 0-Hecke monoid, restriction and induction along an inclusion map).Rook monoids are actually type A instances of the family of Renner monoids, which are completions of the Weyl groups (crystallographic Coxeter groups) for Zariski’s topology. In the second part of this thesis we extend our type A results to define and give a presentation of 0-Renner monoids in type B and D. This also leads to a presentation of the Renner monoids of type B and D, correcting a misleading presentation that appeared earlier in the litterature. As in type A we study the monoidal properties of the 0-Renner monoids of type B and D : they are still J-trivial but their R-order are not lattices anymore. We study nonetheless their representation theory and the restriction of projective modules over the corresponding 0-Hecke monoids. The third part of this thesis deals with different generalizations of permutations. In a recent series of papers, Châtel, Pilaud and Pons revisit the algebraic combinatorics of permutations (weak order, Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra) in terms of the combinatorics of integer posets. This perspective encompasses as well the combinatorics of quotients of the weak order such as binary trees, binary sequences, and more generally the recent permutrees of Pilaud and Pons. We generalize the weak order on the elements of the Weyl groups. This enables us to describe the order on vertices of the permutahedra, generalized associahedra and cubes in the same unified context. These results are based on subtle properties of sums of roots in Weyl groups, and actually fail for non-crystallographic Coxeter groups.

Cette thèse étudie dans une perspective comparée les modalités du travail de représentation en matière d’impôt sur la fortune, au Bundestag et à l’Assemblée nationale. S’appuyant sur des approches empiriques complémentaires (entretiens semi-directs, observation non-participante, bases de données prosopographiques, travail d’archive codé), cette enquête entend expliquer la variété des pratiques constatées. La recherche montre que les débats en matière d’impôt sur la fortune se caractérisent par la place centrale prise par les mondes de l’entreprise, faisant émerger le constat d’une forme d’inégalité d’accès à la parole parlementaire pour les groupes sociaux cités au sein des deux Assemblées. L’enquête souligne également que les députés développent des pratiques différenciées entre groupes en utilisant plusieurs registres de représentation visant à justifier et légitimer les différents modes d’investissement observables dans les deux pays. Face à ce constat, cette étude entend proposer un examen des causes des phénomènes observés. Plus d’une trentaine de facteurs explicatifs sont ainsi pris en compte, à des niveaux micro, méso et macrosociologiques (histoire politique, dispositions individuelles, processus de socialisation politique, économique et professionnelle, influence des entourages, effets de positions et de contextes, etc.). La thèse montre alors que les pratiques de représentation sont le résultat de l’articulation d’un système de facteurs qui interdisent de penser ces pratiques de façon réifiée. En cherchant à comprendre la complexité et l’intrication de nombreux éléments intervenant dans les prises de position des élus, la thèse cherche à démêler les fils explicatifs de l’écheveau des pratiques de représentation. / This thesis aims at analysing the methods of representing during wealth tax debates in the French Assemblée nationale and in the German Bundestag. Based on empirical researches (semi-direct interviews, non-participating observations, prosopographic data, coded archival work), this research aspires to explain the variety of identified practices. The research shows on one hand that debates around wealth tax are characterized by the central position of concerns and businesses, highlighting the following acknowledgment: the inequity in accessing speaking time for social groups mentioned in both Parliaments. The thesis also underlines that members of parliament develop differentiated practices between groups by using multiple register of representation, which aim at justifying and legitimating all the different ways of commitment observed in both countries.Facing this observation, the thesis strive to provide a review of the causes of the observed phenomena. More than thirty explanatory factors are taken into consideration on micro, meso and macro sociological levels (political history, individual provisions, political/economical/professional socialisation processes, influence of close circle, effects of positions and environment). The thesis therefore demonstrates that the practices of representation are the result of a very high number of diversifying factors, which prevent from thinking those practices on a reified way. While trying to understand the complexity of new elements intervening in elected representatives’ position statements, the thesis aspires to untangle the explanatory threads of political representation. / Diese Doktorarbeit vergleicht die Modalitäten der politischen Repräsentation in Bezug auf die Vermögensteuer im Bundestag und in der Assemblée nationale. Die Recherche will Erklärungen geben für die Vielfalt der hierbei beobachteten Praktiken. Dafür stützt sie sich auf komplementäre empirische Materialien (Gespräche, Beobachtungen, prosoprographische Daten, codierte Archivarbeit). Die vorliegende Arbeit zeigt, dass die Debatten um die Vermögensteuer durch die zentrale Stellung der Unternehmen geprägt sind. Es existiert eine Form von ungleichem Zugang zur parlamentarischen Rede für die sozialen Gruppen innerhalb der beiden Versammlungen. Oft werden bestimmte soziale Gruppen einfach ignoriert. Die Studie verweist auch darauf, dass die Abgeordneten Praktiken von differenzierter Repräsentation zwischen Gruppen entwickeln, indem sie mehrere Register der Repräsentation benutzen, die darauf aus sind, verschiedene Modi der Investitionen zu rechtfertigen und zu legitimieren- in beiden Ländern. Vor diesem Hintergrund bietet diese Arbeit eine Analyse der Gründe der beobachteten Phänomene an. Dazu werden mehr als dreißig explikative Faktoren unter micro-, meso- und makrosoziologischen Gesichtspunkten untersucht (politische Geschichte, individuelle Dispositionen, Prozesse politischer, ökonomischer und professioneller Sozialisierung, Einflüsse des Umfelds, Einflüsse von institutionellen Positionen und Kontexten usw.). Diese Doktorarbeit will nachweisen, dass die Praktiken der Repräsentation das Ergebnis eines sehr hohen Anteils verschiedener Faktoren sind, die es untersagen diese Praktiken gedanklich zu verfestigen. Indem wir versuchen, die Komplexität und die Verstrickung der zahlreichen Elemente zu verstehen, die in den Stellungnahmen der Abgeordneten zum Ausdruck kommen, will diese Doktorarbeit die erklärenden Fäden des Knäuels der Repräsentationspraktiken entwirren.