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Résolution exacte de problèmes de localisation de services bi-objectifs en variables mixtes / Exact algorithm for multi-objective mixed integer programming problems

Delmée, Quentin 19 October 2018 (has links)
Dans ce travail, nous nous intéressons à la résolution exacte de problèmes de localisation de service en variables mixtes. Les problèmes de programmation linéaire bi-objectif en variables mixtes ont été très étudiés dans les dernières années, mais uniquement dans un contexte générique. De même, les problèmes de localisation de services bi-objectif n’ont été étudiés que dans un cas purement discret. Nous considérons dans un premier temps le problème de localisation de services bi-objectif sans capacité. Afin de le résoudre, nous adaptons la méthode de pavage par boîtes proposée pour le cas discret. Les boîtes rectangulaires deviennent triangulaires dans le cas mixte. De plus, leur exploration est grandement facilitée, ce qui déplace la difficulté du problème dans l’énumération et le filtrage de ces boîtes. Différentes stratégies d’énumération sont proposées. Le problème de localisation de services bi-objectif avec capacité est ensuite considéré. Tout d’abord, une adaptation de la méthode de pavage par boîtes triangulaires est réalisée pour le cas avec capacité. Cependant, la nature du problème rend cette méthode beaucoup plus limitée. Nous considérons ensuite une méthode en deux phases dont la principale routine d’exploration repose sur une adaptation d’un algorithme de branch and bound initialement proposé par Beasley, dans le contexte bi-objectif. Les résultats expérimentaux sur des instances aux caractéristiques variées attestent de la pertinence des méthodes que nous proposons. / The purpose of this work is the exact solution of biobjective mixed-integer facility location problems. Biobjective mixed integer linear programming problem have been largely studied in recent years but only in the generic context. The same way, the study of biobjective facility location problems has been restricted to the discrete case. We consider first the bi-objective uncapacitated facility location problem. To solve it, we adapt the box paving method proposed for the discrete case. Rectangular boxes become triangular. Moreover, their exploration becomes considerably easier. The difficulty of the problem is therefore translated to the enumeration and the filtering of these boxes. Different enumeration strategies are proposed. Next, we consider the bi-objective capacitated facility location problem. We first propose an adaptation of the triangular box paving method to the capacitated case. However, the structure of the problem highly limits the method. Thus, we consider a two phase method. The main exploration routine is based on the adaptation of a branch and bound algorithm proposed by Beasley that we adapt to the bi-objective context. Experimental results on various instances show the efficiency of the proposed methods.
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Optimisation non convexe en finance et en gestion de production : modèles et méthodes / Non convex optimization in finance and in production management : models and methods

Tran, Duc Quynh 14 October 2011 (has links)
Cette thèse porte sur la recherche des techniques d’optimisation pour la résolution de certains problèmes importants en deux domaines : gestion de production. Il s’agit des problèmes d’optimisation non convexe de grande dimension. Notre travail est basé sur la programmation DC (Différence de fonctions convexes), DCA (DC algorithmes), la méthode par séparation et évaluation (SE). Cette démarche est motivée par la robustesse et la performance DC et DCA comparée aux autres méthodes. La thèse comprend trois parties : dans la première partie, nous présentons les outils fondamentaux et les techniques essentielles en programmation DC, DCA ainsi que les méthodes par séparation et évaluation. La deuxième partie concerne les problèmes d’optimisation non convexes en gestion de portefeuille. Nous avons étudié deux problèmes : problème min max continu en gestion de portefeuille en présence des contraintes de cardinalité ; une classe des problèmes d’optimisation à deux niveaux et son application en sélection de portefeuille. La troisième partie est consacrée à la recherche sur les problèmes d’optimisation non convexe en gestion de production. Trois problèmes ont été étudiés : minimisation du coût de maintenance comprenant le temps de séjour et la pénalité du retard ; minimisation du coût d’un système de production/stockage multi-étapes en présence de goulot d’étrangement. Détermination des prix de transfert et les politiques de stockage pour une chaîne d’approvisionnement de deux entreprises / This thesis deals with optimization techniques for solving some optimization problems in two domains : portfolio selection and production management. They are large scale non convex optimization problems due to integer variables and/or the non convexity of the objective function. Our approach is based on DC programming and DCA, DC relaxation techniques and the algorithm Branch and Bound. This work is motivated by the robustness and the performance of the DC programming and DCA compared to other methods. The thesis includes three parts : In the first part, we present the fundamental tools and the essential techniques in DC programming, DCA as well as the method Branch and Bound. The second one concerns some non convex optimization problem in portfolio selection. Two following problems are considered : Min max continuous problem with the cardinality constraints in portfolio selection ; A class of bilevel programming problems and its application in portfolio selection. The third part contains some non convex optimization problems in production management. We study three problems : Minimization of the maintenance cost involving the flow time and the tardiness penalty ; Minimization of the cost of multi-stages production/inventory systems with bottleneck ; Determination of transfer prices and inventory policy in supply chain of two enterprises
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Nouveaux algorithmes d'apprentissage pour classificateurs de type SCM

Choquette, Philippe 13 April 2018 (has links)
Dans le cadre de l'apprentissage automatique supervisé, un des outils disponibles pour la classification binaire est la Set Covering Machine (SCM). Rapidement construite et en général très performante, elle n'est cependant pas systématiquement infaillible. Il existe encore, à ce jour, une marge pour une amélioration. Ce mémoire présente deux nouvelles façons de construire des SCM. Ces algorithmes sont décrits, expliqués et leur performance est analysée. La première façon est de minimiser une approximation d'une borne sur le risque à l'aide d'un branch-and-bound. La deuxième est d'utiliser le bagging. Lors des tests, les nouveaux classificateurs se sont montrés aussi performants que les SCM originales. Nous avons découvert que celles-ci sont soit déjà optimales au sens du critère utilisé pour le branch-and-bound, soit aussi performantes que les SCM optimales. / In the supervised machine learning field, one of the available tools for binary classification is the Set Covering Machine (SCM). Quickly built and generally having high performance, it's however not proven that they always give optimal results. There is still, to date, a margin for improvement. This study presents two new ways of building SCM. Theses algorithms are described, explained and their performance is analyzed. The first way is to minimize an approximated bound on the risk with a branch-and-bound. The second is using bagging. The new classifiers had the same test-set performance than the original SCM. We discovered that the latter are either already optimal according to the branch-and-bound criterion or having the same performance as the optimal SCM.
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Theoritical and numerical studies on the graph partitioning problem / Études théoriques et numériques du problème de partitionnement dans un graphe

Althoby, Haeder Younis Ghawi 06 November 2017 (has links)
Étant donné G = (V, E) un graphe non orienté connexe et un entier positif β (n), où n est le nombrede sommets de G, le problème du séparateur (VSP) consiste à trouver une partition de V en troisclasses A, B et C de sorte qu'il n'y a pas d'arêtes entre A et B, max {| A |, | B |} est inférieur ou égal àβ (n) et | C | est minimum. Dans cette thèse, nous considérons une modélisation du problème sous laforme d'un programme linéaire en nombres entiers. Nous décrivons certaines inégalités valides et etdéveloppons des algorithmes basés sur un schéma de voisinage.Nous étudions également le problème du st-séparateur connexe. Soient s et t deux sommets de Vnon adjacents. Un st-séparateur connexe dans le graphe G est un sous-ensemble S de V \ {s, t} quiinduit un sous-graphe connexe et dont la suppression déconnecte s de t. Il s'agit de déterminer un stséparateur de cardinalité minimum. Nous proposons trois formulations pour ce problème et donnonsdes inégalités valides du polyèdre associé à ce problème. Nous présentons aussi une heuristiqueefficace pour résoudre ce problème. / Given G=(V,E) a connected undirected graph and a positive integer β(n), where n is number ofvertices, the vertex separator problem (VSP) is to find a partition of V into three classes A,B and Csuch that there is no edge between A and B, max{|A|,|B|}less than or equal β(n), and |C| isminimum. In this thesis, we consider aninteger programming formulation for this problem. Wedescribe some valid inequalties and using these results to develop algorithms based onneighborhood scheme.We also study st-connected vertex separator problem. Let s and tbe two disjoint vertices of V, notadjacent. A st-connected separator in the graph G is a subset S of V\{s,t} such that there are no morepaths between sand tin G[G\S] and the graph G[S] is connected . The st-connected vertex speratorproblem consists in finding such subset with minimum cardinality. We propose three formulationsfor this problem and give some valid inequalities for the polyhedron associated with this problem.We develop also an efficient heuristic to solve this problem.
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Synchronisation et optimisation de la chaîne d'approvisionnement dans le domaine de la production de volailles

Martins, Monica 15 March 2019 (has links)
L’industrie de la volaille est en pleine croissance au cours des dernières décennies. Au Québec, les producteurs de volailles sont organisés en association dans une complexe chaîne d’approvisionnement. Cette chaîne suit les principes de l’agriculture contractuelle sur un marché basé sur la gestion de l’offre. La gestion de l’offre, parmi d’autres règles, établit le prix de vente de la volaille aux épiceries. Cependant, il existe un marché spécialisé pour la volaille où le prix de vente n’est pas contrôlé par la gestion de l’offre. Ce marché spécialisé comprend le besoin de volaille fraîche de la restauration et des rôtisseries. Il est beaucoup plus profitable pour les producteurs d’approvisionner ce marché spécialisé. La coopérative partenaire de cette recherche est formée par des producteurs de volailles pour abattre et vendre leur production. La coopérative veut ajouter de la valeur à ses propriétaires en augmentant sa participation au marché spécialisé de la volaille. Cependant, ses produits ne sont pas toujours dans le standard de poids requis par ce marché. Ce mémoire présente l’étude du cas de cette coopérative, afin d’améliorer leurs processus opérationnels et d’obtenir des produits dans le poids standard établi par le marché spécialisé. On propose donc une solution à ce problème avec l’emploi de la programmation mathématique. L’algorithme de séparation et d’évaluation progressive (branch-and-bound) est appliqué pour l’obtention des résultats. On a trouvé une solution à la formulation mathématique proposée au problème opérationnel de la coopérative. Bien que la solution ait été obtenue avec un écart d’optimalité de 20%, la coopérative a vu qu’il était possible de gagner du temps dans son processus opérationnel si la solution était adoptée. La coopérative a donc décidé de transformer ce prototype en un vrai logiciel pour la planification de l’élevage. / The poultry industry faces a strong growth in the last decades. In Québec, poultry producers are organized in associations within a complex supply chain. This chain follows the principles of the contract farming in a market based on supply management. The supply management, among other rules, establishes the sales price of poultry to grocery stores. However, there is a specialized market for the poultry where the sale price is not controlled by the supply management. This specialized market gathers the need of fresh poultry for the restaurants and rotisseries. It is much more profitable for the producers to supply this specialized market. The cooperative partner of this research is composed of poultry producers to slaughter and sell their production. This cooperative wants to add value to their owners by increasing participation in the specialized poultry market. However, their products are not always within the required weight. This master thesis presents the case study of the cooperative so that they can enhance their operational processes and have the products within the standard weight established by the specialized market. We propose a solution to this problem by using mathematical programming. The branch-and-bound algorithm is used for obtaining the results. We found a solution for the mathematical formulation proposed for the operational problem. Even though the solution was obtained with an optimization gap of 20%, the cooperative noticed an opportunity to save time on the daily work in its operational process if the solution is adopted. So, the cooperative decided to transform this prototype in a real software for their production planning.
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Contribution à la modélisation et à la régulation du trafic aux intersections : intégration des communications Vehicule-Infrastructure

Yan, Fei 14 March 2012 (has links) (PDF)
Dans ce mémoire de thèse, nous avons étudié le problème de régulation du trafic en considérant les nouvelles technologies dans le cadre des Systèmes de Transport Intelligent (STI). Une nouvelle stratégie de contrôle est introduite afin d'exploiter le potentiel des infrastructures de la circulation à un niveau maximum. Plus précisément, basée sur la technologie VII " Intégration Véhicule-Infrastructure ", l'infrastructure routière aux carrefours (considérée aussi comme contrôleur) peut communiquer avec les véhicules autonomes qui arrivent à un carrefour de manière continue. Les données importantes sur les véhicules telles que la vitesse, la position et la destination sont alors reçues par des capteurs avancés et envoyées au contrôleur en temps réel. Par conséquent, il est possible d'élaborer une stratégie de contrôle du trafic en considérant chaque véhicule comme une entité indépendante. En d'autres termes, le droit de passage est attribué à chaque véhicule en fonction de son état et en fonction de l'état global du trafic au carrefour. Seuls les véhicules qui ont reçu le droit de passage peuvent traverser le carrefour. Le contrôle du trafic au niveau d'un carrefour vise donc à déterminer les séquences de passage des véhicules, c'est-à-dire les séquences de distribution des droits de passage.Cependant, la plus grande difficulté pour appliquer cette nouvelle stratégie est la contradiction entre l'optimisation des séquences de passages des véhicules et la complexité temporelle. Pour résoudre cette contradiction, nous avons d'abord formulé mathématiquement la problématique de régulation et nous avons ensuite étudié sa complexité. Nous avons prouvé dans un premier temps que le problème de régulation du trafic formulé à l'intersection isolée est NP-hard sous certaines conditions (nombre arbitraire de groupes de flux compatibles GFC,...) et ceci en se basant sur la réduction au problème de 3-Partition. Dans un deuxième temps, nous avons appliqué les méthodes de résolutions exactes sur un carrefour isolé pour proposer des algorithmes exacts (Branch and Bound et Programmation dynamique) permettant de trouver une séquence de passage optimale. Plusieurs propriétés du problème ont été introduites et prouvées et ceci afin qu'elles soient exploitées par ces algorithmes. Ces propriétés ont pour objectif de réduire considérablement l'espace de recherche et par conséquent le temps d'exécution de ces algorithmes exacts.Par ailleurs, nous n'avons pas limité nos recherches sur des carrefours isolées mais nous avons appliqué l'approche de contrôle proposée sur un réseau de carrefours tout en considérant un seul contrôleur. Cependant, un algorithme exact appliqué sur plusieurs carrefours ne peut pas être assez rapide surtout lorsqu'on a besoin de communiquer presque instantanément des informations aux véhicules (en temps réel). Nous avons proposé donc des méthodes de résolutions approchées afin de trouver en un temps raisonnable une séquence de passage satisfaisante pour chaque carrefour. Ces algorithmes (Algorithmes génétiques) ont en effet, besoin de moins de temps de calcul tout en assurant une bonne qualité de solution.Enfin, nous illustrons la mise en œuvre des déférentes approches proposées à travers des résultats de simulation afin d'évaluer leurs performances.
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Nouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires

Jorge, Julien 11 May 2010 (has links) (PDF)
Ce travail porte sur la résolution exacte d'un problème d'optimisation combinatoire multi-objectif. Nous cherchons d'une part à confirmer l'efficacité de l'algorithme dit en deux phases, et d'autre part à poser une généralisation des procédures de séparation et évaluation, populaires dans le cadre mono-objectif mais presque absentes en multi-objectif. Notre étude s'appuie sur le problème multi-objectif de sac à dos unidimensionnel en variables binaires. Ce dernier est un classique de l'optimisation combinatoire, présent comme sous problème dans de nombreux problèmes d'optimisation. La première partie de nos travaux porte sur un pré-traitement permettant de réduire la taille d'instances de ce problème. Nous mettons en évidence plusieurs propriétés permettant de déterminer a priori une partie de la structure de toutes les solutions efficaces. Nous nous attachons ensuite à décrire une procédure performante de type deux phases pour ce problème, tout d'abord dans le cas bi-objectif. Nous étendons ensuite cette procédure pour des instances ayant trois objectifs ou plus. Les résultats obtenus sont comparés aux meilleurs algorithmes existants pour ce problème et confirment l'efficacité de l'approche en deux phases. La dernière partie de notre travail concerne la généralisation au cas multi-objectif d'une procédure de séparation et évaluation. Nous identifions plusieurs difficultés auxquelles nous répondons en proposant deux nouvelles procédures. Les expérimentations numériques indiquent que ces dernières permettent de résoudre des instances en des temps raisonnables, bien qu'elles n'atteignent pas les performances d'une procédure de type deux phases.
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Max-résolution et apprentissage pour la résolution du problème de satisfiabilité maximum / Max-resolution and learning for solving the Max-SAT problem

Abramé, André 25 September 2015 (has links)
Cette thèse porte sur la résolution du problème d'optimisation Maximum Satisfiability (Max-SAT). Nous y étudions en particulier les mécanismes liés à la détection et à la transformation des sous-ensembles inconsistants par la règle de la max-résolution. Dans le contexte des solveurs de type séparation et évaluation, nous présentons plusieurs contributions liées au calcul de la borne inférieure. Cela va du schéma d'application de la propagation unitaire utilisé pour détecter les sous-ensembles inconsistants à l'extension des critères d'apprentissage et à l'évaluation de l'impact des transformations par max-résolution sur l'efficacité des solveurs. Nos contributions ont permis l'élaboration d'un nouvel outil de résolution compétitif avec les meilleurs solveurs de l'état de l'art. Elles permettent également de mieux comprendre le fonctionnement des méthodes de type séparation et évaluation et apportent des éléments théoriques pouvant expliquer l'efficacité et les limites des solveurs existants. Cela ouvre de nouvelles perspectives d'amélioration, en particulier sur l'augmentation de l'apprentissage et la prise en compte de la structure interne des instances. Nous présentons également un exemple d'utilisation de la règle de la max-résolution dans un algorithme de recherche local. / This PhD thesis is about solving the Maximum Satisfiability (Max-SAT) problem. We study the mechanisms related to the detection and transformations of the inconsistent subsets by the max-resolution rule. In the context of the branch and bound (BnB) algorithms, we present several contributions related to the lower bound computation. They range from the study of the unit propagation scheme used to detect inconsistent subsets to the extension of the learning criteria and to the evaluation of the impact of the max-resolution transformations on the BnB solvers efficiency. Thanks to our contributions, we have implemented a new solver which is competitive with the state of art ones. We give insights allowing a better understanding of the behavior of BnB solvers as well as theoretical elements which contribute to explain the efficiency of these solvers and their limits. It opens new development perspectives on the learning mechanisms used by BnB solvers which may lead to a better consideration of the instances structural properties. We also present an example of integration of the max-resolution inference rule in a local search algorithm.
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Algoritmos exatos para problema da clique maxima ponderada / Exact algorithms for the maximum-weight clique problem / Algorithmes pour le problème de la clique de poids maximum

Araujo Tavares, Wladimir 06 April 2016 (has links)
Dans ce travail, nous présentons trois nouveaux algorithmes pour le problème de la clique de poids maximum. Les trois algorithmes dépendent d'un ordre initial des sommets. Deux ordres sont considérés, l'un en fonction de la pondération des sommets et l'autre en fonction de la taille voisinage des sommets. Le premier algorithme, que nous avons appelé BITCLIQUE, est une algorithme de séparation et évaluation. Il réunit efficacement plusieurs idées déjà utilisées avec succès pour résoudre le problème, comme l'utilisation d'une heuristique de coloration pondérée en nombres entiers pour l'évaluation ; et l'utilisation de vecteurs de bits pour simplifier les opérations sur le graphe. L'algorithme proposé surpasse les algorithmes par séparation et évaluation de l'état de l'art sur la plupart des instances considérées en terme de nombre de sous-problèmes énumérés ainsi que en terme de temps d'exécution. La seconde version est un algorithme des poupées russes, BITRDS, qui intègre une stratégie d'évaluation et de ramification de noeuds basée sur la coloration pondérée. Les simulations montrent que BITRDS réduit à la fois le nombre de sous-problèmes traités et le temps d'exécution par rapport à l'algorithme de l'état de l'art basée sur les poupées russes sur les graphes aléatoires avec une densité supérieure à 50%. Cette différence augmente à la mesure que la densité du graphe augmente. D'ailleurs, BITRDS est compétitif avec BITCLIQUE avec une meilleure performance sur les instances de graphes aléatoires avec une densité comprise entre 50% et 80%. Enfin, nous présentons une coopération entre la méthode poupées russes et la méthode de ``Resolution Search''. L'algorithme proposé, appelé BITBR, utilise au même temps la coloration pondérée et les limites supérieures donnés par les poupées pour trouver un ``nogood''. L'algorithme hybride réduit le nombre d'appels aux heuristiques de coloration pondérée, atteignant jusqu'à 1 ordre de grandeur par rapport à BITRDS. Plusieurs simulations sont réalisées avec la algorithmes proposés et les algorithmes de l'état de l'art. Les résultats des simulations sont rapportés pour chaque algorithme en utilisant les principaux instances disponibles dans la littérature. Enfin, les orientations futures de la recherche sont discutées. / In this work, we present three new exact algorithms for the maximum weight clique problem. The three algorithms depend on an initial ordering of the vertices. Two ordering are considered, as a function of the weights of the vertices or the weights of the neighborhoods of the vertices. This leads to two versions of each algorithm. The first one, called BITCLIQUE, is a combinatorial Branch & Bound algorithm. It effectively combines adaptations of several ideas already successfully employed to solve the problem, such as the use of a weighted integer coloring heuristic for pruning and branching, and the use of bitmap for simplifying the operations on the graph. The proposed algorithm outperforms state-of-the-art Branch & Bound algorithms in most instances of the considered in terms of the number of enumerated subproblems as well in terms of computational time The second one is a Russian Dolls, called BITRDS, which incorporates the pruning and branching strategies based on weighted coloring. Computational tests show that BITRDS reduces both the number of enumerated subproblems and execution time when compared to the previous state-of-art Russian Dolls algorithm for the problem in random graph instances with density above 50%. As graph density increases, this difference increases. Besides, BITRDS is competitive with BITCLIQUE with better performance in random graph instances with density between 50% and 80%. Finally, we present a cooperation between the Russian Dolls method and the Resolution Search method. The proposed algorithm, called BITBR, uses both the weighted coloring and upper bounds given by the dolls to find a nogood. The hybrid algorithm reduces the number of coloring heuristic calls, reaching up to 1 order of magnitude when compared with BITRDS. However, this reduction decreases the execution time only in a few instances. Several computational experiments are carried out with the proposed and state-of-the-art algorithms. Computational results are reported for each algorithm using the main instances available in the literature. Finally, future directions of research are discussed.
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Planification des réapprovisionnements sous incertitudes pour les systèmes d’assemblage à plusieurs niveaux / Replenishment planning under uncertainty for multi-level assembly systems

Ben Ammar, Oussama 09 October 2014 (has links)
Dans le contexte actuel marqué par l’instabilité des marchés, les clients sont de plus en plus exigeants. un client qui n’est pas approvisionné à une date souhaitée peut soit remettre son achat à plus tard, soit aller chercher le produit chez un concurrent. de plus, l’entreprise doit faire face à de multiples imprévisibilités internes, de la concurrence ou d’événements extérieurs. ces aléas induisent de l'incertitude dans la planification de la production et génèrent des sources nombreuses de retard, de désynchronisation et de pertes de productivité. ce travail de thèse s’intègre dans la problématique de la planification de la production dans un environnement incertain. nous étudions des problèmes de la planification des réapprovisionnements pour un système d’assemblage à plusieurs niveaux, quand les délais d’approvisionnement sont incertains. nous avons choisi comme indicateur de performance l’espérance du coût total moyen qui est égal à la somme du coût de stockage des composants, le coût de rupture du produit fini et le coût de stockage du produit fini. des propriétés théoriques, des modèles analytiques ainsi que des méthodes d’optimisation ont été proposés. nous avons montré que la résolution du problème ne dépend pas seulement de la méthode de résolution et du nombre de niveaux, mais aussi du coût de rupture en produit fini et de la structure du système d’assemblage. / In the current industrial context, the offer is largely higher than the demand. Therefore, the customers are more and more exigent. To distance themselves, companies need to offer to their customers the best quality products, the best costs, and with controlled lead times as short as possible. Last years, the struggle for reducing costs was accentuated within companies. However, stocks represent an important financial asset, and therefore, it is essential to control them. In addition, a bad management of stocks led either to delays in delivery, which generate additional production costs, either to the unnecessary inventory. The latter one can occur at different levels (from components at the last level to finished product), it costs money and immobilize funds. That is why, planners have to look for efficient methods of production and supply planning, to know exactly for each component, and when to order and in which quantity.The aim of this doctoral thesis is to investigate the supply planning in an uncertain environment. We are interested in a replenishment planning for multi-level assembly systems under a fixed demand and uncertainty of components lead times.We consider that each component has a fixed unit inventory cost; the finished product has an inventory cost and a backlogging cost per unit of time. Then, a general mathematical model for replenishment planning of multi-level assembly systems, genetic algorithm and branch and bound method are presented to calculate and to optimize the expected value of the total cost which equals to the sum of the inventory holding costs for the components, the backlogging and the inventory holding costs for the finished product. We can state by the different results that the convergence of the GA doesn't depend only on the number of components in the last level but also on the number of levels, the type of the BOM and the backlogging cost for the finished product.

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