Fehlende Kompetenzen in Mathematik und Naturwissenschaften werden von Studierenden als ein Grund für den Studienabbruch in Ingenieurwissenschaften angegeben (Heublein et al., 2017). Welche Kompetenzen für Studierende zu Beginn des Ingenieurstudiums relevant sind, ist jedoch bisher wenig empirisch untersucht. Das Ziel der vorliegenden Studie ist, relevante mathematische Kompetenzen von Ingenieurstudierenden zu analysieren und dabei sowohl Wissensbestände als auch die Anwendung von Wissen und die Zusammenhänge zwischen beiden Bereichen zu berücksichtigen. Dazu wurde eine Studie im Mixed-Methods Design entwickelt. In dieser werden die Studierenden hinsichtlich ihrer Dispositionen in Mathematik und Physik zu Beginn des Studiums und am Ende des ersten Studienjahres mit quantitativen Methoden getestet. Zu diesen beiden und einem weiteren Zeitpunkt am Ende des ersten Semesters wurden zudem die situationsspezifischen Fähigkeiten bei der Bearbeitung von Mathematik- und Physikaufgaben mit Hilfe eines theoretischen Rahmens zum mathematischen Problemlösen mit qualitativen Methoden untersucht. Dieser Theorierahmen umfasste für die Mathematikaufgaben die Aspekte Heurismen (Bruder & Collet, 2011; Schoenfeld, 1980) und Problemlösephasen (Polya, 1957) sowie das Modell der Epistemic Games (Tuminaro, 2004) zur Analyse der Bearbeitung von Physikaufgaben. Die Ergebnisse zeigen Zusammenhänge zwischen mathematischen und physikali-schen Dispositionen. Zusätzlich wird die Bedeutung von Aspekten des Problemlösens deutlich, um die Prozesse bei den Bearbeitungen von Mathematik und Physikaufgaben im ersten Studienjahr zu analysieren. Auf Grundlage der qualitativen Beschreibungen konnten Cluster von Fällen von Studierenden gebildet werden. Mit Hilfe dieser Cluster zeigen sich Zusammenhänge zwischen den Dispositionen und situationsspezifischen Fähigkeiten bei den besonders leistungsstarken und leistungsschwachen Studierenden. / Missing competences in mathematics and sciences are cited by students as a reason for the drop-out in engineering sciences (Heublein et al., 2017). However, the competences that are relevant for students at the beginning of their engineering studies have so far not been investigated in an empirical way. The aim of this study is to analyse relevant mathematical competences of engineering students, taking into account both knowledge and the application of knowledge and the interrelationships between the two. A study in mixed method design was developed for this purpose. In this study, students are tested with regard to their dispositions in mathematics and physics at the beginning of their studies and at the end of the first year of their studies using quantitative methods. At these two points in time and a further time at the end of the first semester, the situation-specific skills in processing math and physics tasks were examined with the help of a theoretical framework for solving mathematical problems, using qualitative methods. This theoretical framework included for the mathematical tasks the aspects heuristics (Bruder & Collet, 2011; Schoenfeld, 1980) and problem solving phases (Polya, 1957) as well as the model of Epistemic Games (Tuminaro, 2004) for the analysis of the processing of physical tasks. The results show interrelationships between mathematical and physical dispositions. In addition, it became clear that there is a need of problem solving aspects in order to analyse the processes involved in the working on maths and physics tasks in the first year of studies. Based on the qualitative descriptions, clusters of student cases could be formed. These clusters show the interrelationships between dispositions and situation-specific skills of particularly high-performing and underperforming students.

Es ist eine weit verbreitete Wahrnehmung, dass der Übergang zwischen der Mathematik der gymnasialen Oberstufe und der Mathematik an der Universität für Studierende problematisch sein kann. Besondere Verständnisschwierigkeiten in Bereich der lineare Algebra (lA) bereiten den Studierenden die verschiedenen Herangehensweisen auf diesen beiden Ebenen. Dies lässt sich auf die strukturell-axiomatischer Herangehensweisen an die lA an der Universität, im Gegensatz zu ihrer arithmetisch-geometrischen Darstellung in der Schule, zurückführen. Dies bedingt ebenfalls Unterschiede im prozeduralen und konzeptuellen Verständnis. Ziel dieser Arbeit ist es, zu untersuchen, wie Schüler konzeptuelles Verständnis, Bezug nehmend auf die Theorien von concept definition/image in Verbindung mit multiplen Modi der Beschreibung und des Denkens von Konzepten wie Bilinearität z.B. Skalarprodukt und Multilinearität z.B. Determinanten gewinnen können. Um dies zu erreichen wurde eine substanzielle Lehr-Lernumgebung unter Verwendung einer dynamischen Geometriesoftware (DGS) entwickelt. Die Lerneinheit wurde an einem Berliner Gymnasium eingesetzt und dabei ein vollständiger design-based research Zyklus durchlaufen und eine multiple-level Datenanalyse durchgeführt. Die Ergebnisse der Untersuchung zeigen nicht nur, dass eine Erweiterung der Vorstellungen der Schüler, eine Entwicklung multipler Denkmodi und ein Gewinn tieferen konzeptuellen Verständnisses in der lA erfolgreich vermittelt werden können, sondern geben auch Einblicke in ein mögliches theoretisches Modell, mit dessen Hilfe sich diese Prozesse weiter untersuchen lassen. Weiterhin werden die interaktiven Lehr-Lernmaterialien für die weitere Verwendung im Rahmen von Lehre und Forschung zur Verfügung gestellt. Es öffnen sich neue Forschungsfragen hinsichtlich lokalen Axiomatisierens in der lA der gymnasialen Oberstufe, welches auf einer Integration geometrischer, algebraischer und axiomatischer Denkmodi, unterstützt durch DGS, basieren könnte. / A common perception among researchers in mathematics education is that the transition between secondary- and tertiary level of mathematics may be problematic for the students. In particular, the exact and abstract nature of the theory of Linear algebra versus its arithmetic-geometric presentation in school appears to be difficult for the novice students. The application of properties for defining concepts at university in contrast to their usage for describing concepts in school points out a possible occurrence of obstacles for learning and discrepancies in procedural and conceptual understanding. The aim of this study is to examine how could upper-high school students develop a conceptual understanding based on concept definition and concept image in connection to multiple modes of description and thinking about concepts such as bi-linearity exemplified by the dot product of vectors and multi-linearity exemplified by determinants. In order to achieve this, I have created a specific teaching/ learning sequence in a dynamic geometry environment (DGE), then implemented it and evaluated it in a high school in Berlin, following a complete cycle of design-based research and conducting a multiple-level data analysis. The findings of the study show not only that widening students' concept images, developing multiple modes of thinking and gaining deeper conceptual understanding can successfully be mediated by dynamic geometries, but also give insights into an eventual theoretical model of how can they be further examined. Moreover, the study promotes authorized open-source interactive teaching/ learning materials for further sustainable practice and research. It opens new research questions about revisiting axiomatic approaches on local levels in upper high-school Linear algebra which may base on the integration of all three modes of description and thinking geometric, algebraic and abstract possibly facilitated by DGE. / Честа перцепција кај многумина истражувачи во областа на математичкото образование е дека транзицијата помеѓу средното и високото образование по математика може да биде проблематична за студентите. Егзакноста и апстрактноста на теоријата по Линеарна алгебра наспроти нејзината аритметичко-геометриска презентација во средното гимназиско образование се покажува како особено тешка за студентите. Примена на својствата на математичките поими за нивно дефинирање на универзитетско ниво наспроти нивното употреба за опишување на претходно дефинирани поими на училишно ниво, укажува на можна појава на тешкотии при нивното изучување и несовпаѓање на процедуралното и концептуалното разбирање на истите. Целта на оваа студија е да истражи како средношколците би можеле да развијат концептуално разбирање на поимите врз основа на концепт дефиниција и концепт слика во врска со мулти-моди на мислење, конкретно за поими како билинеарност, пр. скаларен производ на вектори, и мултилинеарност, пр. детерминанти. За да ја постигнам оваа цел, креирав наставна содржина поддржана од еден динамичен геометриски систем (ДГС) и следејќи целосен циклус на т.н. design-based research и спрoведувајќи мулти-анализа на податоци, истата ја имплементирав и евалуирав во едно средно училиште во Берлин. Резултатите од студијата укажуваат не само на фактот дека проширувањето на концепт сликите на учениците, развојот на мулти-моди на мислење и стекнувањето на длабоко концептуално разбирање на поимите можат да бидат успешно посредувани од ДГС туку овозможија и увид во еден теоретски модел за тоа коко тие можат понатаму да се истражуваат. Уште повеќе, студијата промовира авторизирани open-source интерактивни материјали за предавање и учење на содржините кои може да служат за понатамошни одржливи истражувања и развој. Студијата отвора нови истражувачки прашања за средношколската Линеарна алгебра која може да се базира на интеграција на сите три моди на мислење, геометриски, алгебарски и апстрактен, поддржан од ДГС.