Nous voulons déterminer les solitons spatiaux dans les bres optiques présentant un effet non-linéaire de type Kerr optique. Pour cela, nous proposons une nouvelle approche numérique basée sur la Méthode des Éléments Finis qui est particulièrement bien adaptée à l'étude de milieux inhomogènes. Un modèle scalaire du champ électrique dans les bres optiques est utilisé pour mettre en ÷uvre et valider notre méthode et comprendre la signication physique des nouvelles solutions dans un cas simple. Le champ est supposé harmonique en temps et suivant la direction d'invariance de la bre mais inhomogène selon sa section transverse. Plusieurs exemples dans les bres à saut d'indice et dans les bres optiques microstructurées (FOMs) à c÷ur plein de dimension transverse nie sont décrits. Pour chaque géométrie, une étude complète est réalisée pour obtenir et prouver numériquement l'existence d'une unique solution non-linéaire auto-cohérente ou soliton spatial de plus haute énergie atteignable avant l'autofocalisation instable. Le soliton spatial dépend du prol transverse ni de la structure, correspond au soliton de Townes dans le cas du milieu homogène mais est différent de celui-ci dans les bres optiques étudiées. Notre nouvelle approche de l'étude numérique de l'effet Kerr dans les bres optiques permet ainsi de généraliser le soliton de Townes. Cependant, le prol de l'indice de réfraction induit par l'effet Kerr optique montre que l'approximation du guidage faible n'est plus respectée et donc que les caractéristiques de la solution non-linéaire sont mal évalu ées dans le modèle scalaire. L'implémentation du cas vectoriel sans approximation est donc réalisée. La même étude que dans le cas scalaire est alors menée en consid érant toutes les composantes du champ électrique. Enn, pour étendre le champ d'application de notre méthode numérique, les solutions non-linéaires sont étudiées dans des FOMs avec un défaut creux au centre. Par analogie avec la physique du solide, les congurations donneur/accepteur sont dénies et les solutions non-linéaires sont analysées selon la taille du défaut. L'étude des effets Kerr positif et négatif à travers ces congurations nous permet de découvrir de nouveaux comportements non-linéaires dans ces structures.

<p>This thesis investigates aspects of field theories and soliton solutions with nontrivial topology. In particular we explore the following effective models: a limited sector of the scalar Electroweak theory called extended Abelian Higgs model, and a classical mechanics model derived from the low energy SU(2) Yang-Mills theory.</p><p>The extended Abelian Higgs model applied on two-component plasma of charged particles is studied numerically. We find evidence that the model admits straight twisted line vortices. The result is described by an energy function that acquires a minimum value for a non-trivial twist. In addition to the twisted line vortices the result also suggests that stable torus shaped solitons are solutions of the theory. </p><p>Furthermore we construct a classical mechanics model exhibiting some of the key properties of the low-energy Yang-Mills theory. The dynamics of the model is studied numerically. We find that its classical equations of motion support stable periodic orbits. In a three dimensional projection these trajectories are self-linked in a topologically non-trivial manner suggesting the existence of knotted configurations in low energy SU(2) Yang-Mills theory. </p><p>We calculate the one-loop effective action for the Abelian Higgs model with extended Higgs sector. The resulting first order quantum corrected model shows close resemblance to a modified model where texture stabilizing term has been added to the system. In the limit where the gauge field can be entirely expressed by the scalar fields, the both models become identical suggesting that the theories are closely connected. This implies that quantum corrections have stabilising effect on the soliton solutions. </p><p>These studies have contributed to a better understanding of the dynamics of non-linear low energy systems, and brought us a step closer to exploring full scale physically realistic models.</p>

This thesis investigates aspects of field theories and soliton solutions with nontrivial topology. In particular we explore the following effective models: a limited sector of the scalar Electroweak theory called extended Abelian Higgs model, and a classical mechanics model derived from the low energy SU(2) Yang-Mills theory. The extended Abelian Higgs model applied on two-component plasma of charged particles is studied numerically. We find evidence that the model admits straight twisted line vortices. The result is described by an energy function that acquires a minimum value for a non-trivial twist. In addition to the twisted line vortices the result also suggests that stable torus shaped solitons are solutions of the theory. Furthermore we construct a classical mechanics model exhibiting some of the key properties of the low-energy Yang-Mills theory. The dynamics of the model is studied numerically. We find that its classical equations of motion support stable periodic orbits. In a three dimensional projection these trajectories are self-linked in a topologically non-trivial manner suggesting the existence of knotted configurations in low energy SU(2) Yang-Mills theory. We calculate the one-loop effective action for the Abelian Higgs model with extended Higgs sector. The resulting first order quantum corrected model shows close resemblance to a modified model where texture stabilizing term has been added to the system. In the limit where the gauge field can be entirely expressed by the scalar fields, the both models become identical suggesting that the theories are closely connected. This implies that quantum corrections have stabilising effect on the soliton solutions. These studies have contributed to a better understanding of the dynamics of non-linear low energy systems, and brought us a step closer to exploring full scale physically realistic models.

This thesis is based on four papers dealing with two different areas of mathematics.Paper I–III are in combinatorics, while Paper IV is in mathematical physics.In combinatorics, we work with design theory, one of whose applications aredesigning statistical experiments. Specifically, we are interested in symmetric incompleteblock designs (SBIBDs) and triple arrays and also the relationship betweenthese two types of designs.In Paper I, we investigate when a triple array can be balanced for intersectionwhich in the canonical case is equivalent to the inner design of the correspondingsymmetric balanced incomplete block design (SBIBD) being balanced. For this we derivenew existence criteria, and in particular we prove that the residual designof the related SBIBD must be quasi-symmetric, and give necessary and sufficientconditions on the intersection numbers. We also address the question of whenthe inner design is balanced with respect to every block of the SBIBD. We showthat such SBIBDs must possess the quasi-3 property, and we answer the existencequestion for all know classes of these designs.As triple arrays balanced for intersections seem to be very rare, it is natural toask if there are any other families of row-column designs with this property. In PaperII we give necessary and sufficient conditions for balanced grids to be balancedfor intersection and prove that all designs in an infinite family of binary pseudo-Youden designs are balanced for intersection.Existence of triple arrays is an open question. There is one construction of aninfinite, but special family called Paley triple arrays, and one general method forwhich one of the steps is unproved. In Paper III we investigate a third constructionmethod starting from Youden squares. This method was suggested in the literaturea long time ago, but was proven not to work by a counterexample. We show interalia that Youden squares from projective planes can never give a triple array bythis method, but that for every triple array corresponding to a biplane, there is asuitable Youden square for which the method works. Also, we construct the familyof Paley triple arrays by this method.In mathematical physics we work with solitons, which in nature can be seen asself-reinforcing waves acting like particles, and in mathematics as solutions of certainnon-linear differential equations. In Paper IV we study the non-commutativeversion of the two-dimensional Toda lattice for which we construct a family ofsolutions, and derive explicit solution formulas. / Denna avhandling baseras på fyra artiklar som behandlar två olika områden avmatematiken. Artikel I-III ligger inom kombinatoriken medan artikel IV behandlarmatematisk fysik.Inom kombinatoriken arbetar vi med designteori som bland annat har tillämpningardå man ska utforma statistiska experiment.I artikel I undersöker vi när en triple array kan vara snittbalanserad vilket i detkanoniska fallet är ekvivalent med den inre designen till den korresponderandesymmetriska balanserade inkompletta blockdesignen (SBIBD) är balanserad. För dettapresenterar vi nya nödvändiga villkor. Speciellt visar vi att den residuala designentill den korresponderande SBIBDen måste vara kvasi-symmetrisk och ger nödvändigaoch tillräckliga villkor för dess blockskärningstal. Vi adresserar ocksåfrågan om när den inre designen är balanserad med avseende på alla SBIBDensblock. Vi visar att en sådan SBIBD måste ha den egenskap som kallas kvasi-3 ochsvarar på existensfrågan för alla kända klasser av sådana designer.Eftersom snittbalanserade triple arrays verkar vara väldigt sällsynta är detnaturligt att fråga om det finns andra familjer av rad-kolumn designer som hardenna egenskap. I artikel II ger vi nödvändiga och tillräckliga villkor för att enbalanced grid ska vara snittbalanserad och visar att alla designer i en oändlig familjav binära pseudo-Youden squares är snittbalanserade.Existensfrågan för triple arrays är öppen fråga. Det finns en konstruktionsmetodför en oändlig men speciell familj kallad Paley triple arrays och så finns det enallmän metod för vilken ett steg är obevisat. I artikel III undersöker vi en tredjekonstruktionsmetod som utgår från Youden squares. Denna metod föreslogs i litteraturenför länge sedan men blev motbevisad med hjälp av ett motexempel. Vivisar bland annat att Youden squares från projektiva plan aldrig kan ge en triplearray med denna metod, men att det för varje triple array som korresponderartill ett biplan, så finns det en lämplig Youden square för vilken metoden fungerar.Vidare konstruerar vi familjen av Paley triple arrays med denna metod.Inom matematisk fysik arbetar vi med solitoner som man i naturen kan få sesom självförstärkande vågor vilka beter sig som partiklar. Inom matematiken ärde lösningar till vissa ickelinjära differentialekvationer. I artikel IV studerar vi dettvådimensionella Toda-gittret för vilken vi konstruerar en familj av lösningar ochäven explicita lösningsformler.

Cette thèse concerne l'étude de la dynamique des structures optiques dissipatives observées dans une cavité à gestion de dispersion utilisant l'évolution non linéaire de la polarisation comme technique de blocage de modes. Nous avons montré expérimentalement l'existence d'une transition graduelle entre le régime de fonctionnement continu et le régime de fonctionnement multi-impulsionnel. Nous nous sommes intéressés à l'état intermédiaire où il nous a été possible d'obtenir divers régimes inédits et d'étudier ainsi le comportement collectif des solitons dissipatifs en présence d'un fond continu. La dynamique de "la pluie de solitons" est une manifestation complexe et fascinante constituée de trois composantes de champ : le fond continu, les solitons de dérive et la phase condensée. Elle s'accompagne d'une circulation d'énergie à travers ces trois composantes. Le mouvement relatif des solitons de dérive ainsi que l'asymétrie temporelle présentent les caractéristiques majeures qui distinguent cette dynamique des autres. D'autres types d'auto-organisation ont été observés et étudiés, comme "le relargage des solitons de la phase condensée" ou bien encore "la vobulation du train de solitons". Nous nous sommes intéressés aussi à la propagation d'une seule impulsion dans la cavité. Pour la première fois, une importante dynamique de respiration spectrale a été prédite dans une cavité à gestion de la dispersion. Nous avons montré qu'une compression temporelle de l'impulsion est accompagnée d'un élargissement spectral d'une grande ampleur dans la partie passive de la cavité et que la largeur de l'impulsion peut dépasser la largeur de la bande passante du milieu amplificateur. Nous avons étudié la dynamique de la respiration spectrale, l'extraction et l'optimisation du signal laser en fonction des paramètres de la cavité et nous avons présenté les caractéristiques d'une cavité qui permet la génération d'une impulsion dont sa largeur spectrale est supérieure à la largeur de la bande passante de l'amplificateur d'un facteur de 2.4. Les dynamiques présentées dans cette thèse témoignent de la complexité et de la richesse de la dynamique dissipative des lasers à fibre fonctionnant en régime de blocage de modes passif par évolution non linéaire de la polarisation.

Dans ce travail théorique, nous présentons une étude de la dynamique vibrationnelle multi-quanta des réseaux quantiques non linéaires. Ces réseaux présentent une distribution périodique de modes de vibration haute fréquence dont la dynamique est le fruit de la compétition entre les phénomènes suivants:<br />Les couplages dipolaires favorisent la délocalisation des vibrations donnant naissance à la propagation d'excitons vibrationnels : les vibrons.<br />L'anharmonicité intramoléculaire favorise une interaction attractive entre les vibrons et entraîne l'apparition d'états liés. Caractérisés par une localisation de l'interdistance vibronique, les états liés sont l'équivalent quantique d'objets non linéaires tels que les solitons.<br />L'interaction vibron-phonon modifie la nature des états à travers le mécanisme d'habillage qui traduit la création de polarons qui sont des vibrons habillés par une déformation du réseau. Ce mécanisme diminue la capacité de délocalisation des polarons et correspond à une seconde source de non linéarité.<br /><br />Notre formalisme, appliqué aux hélices-alpha et aux nanostructures moléculaires, révèle les points suivants:<br />A température biologique, une hélice-alpha, bien représentée par un modèle 1D, est le siège de deux états liés dont la présence a été observée expérimentalement. A basse température, la nature des états polaroniques reflète le caractère 3D des hélices.<br />Dans un nanofil de taille finie, la singularité du mécanisme d'habillage entraîne l'apparition d'états localisés.<br />Les non linéarités locale et non locale permettent un transport énergétique cohérent véhiculé par des états liés liés spécifiques.

On étudie dans cette thèse l'équation de Szegö sur la droite réelle ainsi que ses perturbations. Cette équation a été introduite il y a quelques années par Gérard et Grellier comme modèle mathématique d'une équation non linéaire totalement non dispersive.L'équation de Szegöapparait naturellement dans l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire (NLS) danscertaines situations sur-critiques où l'on constate un manque de dispersion, par exemplelorsque l'on considère NLS sur le groupe de Heisenberg. Par conséquent, une des motivationsde cette thèse est d'établir des résultats concernant l'équation de Szegö qui pourrontéventuellement être utilisés dans le contexte de l'équation de Schrödinger non linéaire.Le premier résultat de cette thèse est la classification des solitons de l'équation de Szegö.On montre que ce sont tous des fonctions rationnelles ayant un unique pôle qui est simple.De plus, on prouve que les solitons sont orbitalement stables.La propriété la plus remarquable de l'équation de Szegö est le fait qu'elle est complètement intégrable, ce qui permet notamment d'établir une formule explicite de sa solution.Comme applications de cette formule, on obtient les trois résultats suivants. (A) On montreque les solutions fonctions rationnelles génériques se décomposent en une somme de solitonset d'un reste qui est petit lorsque le temps tend vers l'infini. (B) On met en évidence unexemple de solution non générique dont les grandes normes de Sobolev tendent vers l'infiniavec le temps. (C) On détermine des coordonnées action-angle généralisées lorsque l'on restreintl'équation de Szegö à une sous-variété de dimension finie. En particulier, on en déduitqu'une grande partie des trajectoires de cette équation sont des spirales autour de cylindrestoroïdaux.Comme l'équation de Szegö est complètement intégrable, il est ensuite naturel d'étudierses perturbations et d'établir de nouvelles propriétés pour celles-ci à partir des résultatsconnus pour l'équation de Szegö. Une des perturbations de l'équation de Szegö est une équation desondes non linéaire (NLW) de donnée bien préparée.On prouve que si la donnée initiale de NLW est petite et à support dans l'ensemble desfréquences positives, la solution de NLW est alors approximée pour un temps long par lasolution de l'équation de Szegö. Autrement dit, on démontre ainsi que l'équation de Szegöest la première approximation de NLW. On construit ensuite une solution de NLW dont lesgrandes normes de Sobolev augmentent (relativement à la norme de la donnée initiale).Sur le tore T, Gérard et Grellier ont démontré un résultat analogue d'approximation deNLW. On améliore ce résultat en trouvant une approximation plus fine, de deuxième ordre.Dans une dernière partie, on s'intéresse à l'équation de Szegö perturbée par un potentielmultiplicatif petit. On étudie l'interaction de ce potentiel avec les solitons. Plus précisément,on montre que, si la donnée initiale est celle d'un soliton pour l'équation non perturbée, lasolution de l'équation perturbée garde la forme d'un soliton sur un long temps. De plus, ondéduit la dynamique effective, i.e. les équations différentielles satisfaites par les paramètresdu soliton.

Ce mémoire de thèse porte sur la propagation d'impulsions ultra-courtes à 160-Gb/s dans des lignes de fibres optiques gérées en dispersion. Dans une première partie, nous décrivons la mise en place expérimentale d'un dispositif SHG-FROG pour la caractérisation de trains d'impulsions à très haute cadence. Par la suite, nous démontrons l'efficacité du phénomène de compression d'un battement sinusoïdal par mélange à quatre ondes multiple pour la génération d'impulsions cadencées à 160-GHz. Afin de corréler au maximum les résultats théoriques et expérimentaux, nous décrivons ensuite la mise an place d'un banc de caractérisation de fibres optiques basée sur l'instabilité modulationnelle. La dernière étape de ce travail de thèse consiste finalement en la réalisation de boucles à recirculation monocanales basées d'une part sur la gestion de la dispersion dense en vue d'applications transocéaniques et d'autre part sur la gestion de la dispersion classique pour des applications de type terrestre.

Διανύουμε μια εποχή, όπου οι ανάγκες για μετάδοση πληροφορίας αυξάνονται ταχύτατα, με αποτέλεσμα τα χάλκινα καλώδια να μην αρκούν για να μεταδώσουν το πλήθος αυτό της πληροφορίας. Έτσι, περάσαμε στις Οπτικές Τηλεπικοινωνίες, όπου τα χάλκινα καλώδια αντικαταστάθηκαν από οπτικές ίνες και φορείς μετάδοσης της πληροφορίας δεν είναι πλέον τα ηλεκτρόνια αλλά τα φωτόνια. Κατά τη μετάδοση της πληροφορίας υπάρχουν όμως, φαινόμενα εξασθένησης και παραμόρφωσης του σήματος. Τη λύση σε αυτά τα προβλήματα καλείται να δώσει η χρήση σολιτονίων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίον επηρεάζουν τα φαινόμενα ανώτερης τάξης την αλληλεπίδραση δύο γειτονικών σολιτονιακών παλμών που διαδίδονται μέσα σε μία οπτική ίνα. Πιο συγκεκριμένα, με τη χρήση αλγόριθμου της Fortran θεωρήσαμε δύο θεμελιώδεις σολιτονιακούς παλμούς και μελετήσαμε πως επηρεάζεται η διάδοσή τους κατά μήκος μιας οπτικής ίνας, αλλά και η μεταξύ τους αλληλεπίδρασή, από τη μεταξύ τους απόσταση, το σχετικό τους πλάτος καθώς και από τη διαφορά φάσης. Επιπλέον περιορίζοντας τη μεταξύ τους αλληλεπίδραση μελετήσαμε το πώς επηρεάζουν τη διάδοσή τους φαινόμενα ανώτερης τάξης όπως η σκέδαση Raman, η αυτό-διαμόρφωση απότομων άκρων (self-steepening) και η διασπορά τρίτης τάξης. / We are in an era where the need to transmit information rapidly increases, making the copper wires not enough to convey the multitude of this information. Thus, we moved on Optical Communications, where the copper cables were replaced by optical fibers and broadcasters of information are no longer electrons but photons. During the transmission of information we come across with problems such as attenuation and signal distortion. The use of solitons has come to give the solution to these problems. In this paper, we studied how the higher order phenomena, affects the interaction of two neighboring soliton pulses propagating through an optical fiber. More specifically, using a Fortran algorithm considering two fundamental soliton pulses we have studied how the propagation and their interaction is affected by their relative amplitude and phase difference. Also limiting the interaction between them, we have studied how the propagation is affected by higher order phenomena such as Stimulated Raman Scattering, Self Steepening and third order dispersion.

On s'intéresse à la géométrie globale et asymptotique de certaines variétés riemanniennes non compactes. Dans une première partie, on étudie la topologie et la géométrie à l'infini des variétés riemanniennes à courbure (de Ricci) positive ayant un rapport asymptotique de courbure fini. On caractérise le cas non effondré via la notion de cône asymptotique et on donne des conditions suffisantes sur le groupe fondamental pour garantir un non effondrement. La seconde partie est dédiée à l'étude des solutions de Type III du flot de Ricci à courbure positive et aux solitons gradients de Ricci expansifs (points fixes de Type III) présentant une décroissance quadratique de la courbure. On montre l'existence et l'unicité des cônes asymptotiques de tels points fixes. On donne également des conditions suffisantes de nature algébrique et géométrique pour garantir une géométrie de révolution de tels solitons. Dans une troisième partie, on caractérise la géométrie des solitons gradients de Ricci stables à courbure positive et à croissance volumique linéaire. Puis, on s'intéresse au non effondrement des variétés riemanniennes de dimension trois à courbure de Ricci positive ayant un rapport asymptotique de courbure fini. / We study the global and asymptotic geometry of non-compact Riemannian manifolds. First, we study the topology and geometry at infinity of Riemannian manifolds with nonnegative (Ricci) curvature and finite asymptotic curvature ratio. We focus on the non-collapsed case with the help of asymptotic cones and we give sufficient conditions on the fundamental group to guarantee non-collapsing. The second part is dedicated to the study of (non-negatively curved) Type III Ricci flow solutions. We mainly analyze the asymptotic geometry of Type III self-similar solutions (expanding gradient Ricci soliton) with finite asymptotic curvature ratio. We prove the existence and uniqueness of their asymptotic cones. We also give algebraic and geometric sufficient conditions to guarantee rotational symmetry of such metrics. In the last part, we characterize the geometry of steady gradient Ricci solitons with nonnegative sectional curvature and linear volume growth. Finally, we study the non-collapsing of three dimensional Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature and finite asymptotic curvature ratio.