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On étudie dans cette thèse l'équation de Szegö sur la droite réelle ainsi que ses perturbations. Cette équation a été introduite il y a quelques années par Gérard et Grellier comme modèle mathématique d'une équation non linéaire totalement non dispersive.L'équation de Szegöapparait naturellement dans l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire (NLS) danscertaines situations sur-critiques où l'on constate un manque de dispersion, par exemplelorsque l'on considère NLS sur le groupe de Heisenberg. Par conséquent, une des motivationsde cette thèse est d'établir des résultats concernant l'équation de Szegö qui pourrontéventuellement être utilisés dans le contexte de l'équation de Schrödinger non linéaire.Le premier résultat de cette thèse est la classification des solitons de l'équation de Szegö.On montre que ce sont tous des fonctions rationnelles ayant un unique pôle qui est simple.De plus, on prouve que les solitons sont orbitalement stables.La propriété la plus remarquable de l'équation de Szegö est le fait qu'elle est complètement intégrable, ce qui permet notamment d'établir une formule explicite de sa solution.Comme applications de cette formule, on obtient les trois résultats suivants. (A) On montreque les solutions fonctions rationnelles génériques se décomposent en une somme de solitonset d'un reste qui est petit lorsque le temps tend vers l'infini. (B) On met en évidence unexemple de solution non générique dont les grandes normes de Sobolev tendent vers l'infiniavec le temps. (C) On détermine des coordonnées action-angle généralisées lorsque l'on restreintl'équation de Szegö à une sous-variété de dimension finie. En particulier, on en déduitqu'une grande partie des trajectoires de cette équation sont des spirales autour de cylindrestoroïdaux.Comme l'équation de Szegö est complètement intégrable, il est ensuite naturel d'étudierses perturbations et d'établir de nouvelles propriétés pour celles-ci à partir des résultatsconnus pour l'équation de Szegö. Une des perturbations de l'équation de Szegö est une équation desondes non linéaire (NLW) de donnée bien préparée.On prouve que si la donnée initiale de NLW est petite et à support dans l'ensemble desfréquences positives, la solution de NLW est alors approximée pour un temps long par lasolution de l'équation de Szegö. Autrement dit, on démontre ainsi que l'équation de Szegöest la première approximation de NLW. On construit ensuite une solution de NLW dont lesgrandes normes de Sobolev augmentent (relativement à la norme de la donnée initiale).Sur le tore T, Gérard et Grellier ont démontré un résultat analogue d'approximation deNLW. On améliore ce résultat en trouvant une approximation plus fine, de deuxième ordre.Dans une dernière partie, on s'intéresse à l'équation de Szegö perturbée par un potentielmultiplicatif petit. On étudie l'interaction de ce potentiel avec les solitons. Plus précisément,on montre que, si la donnée initiale est celle d'un soliton pour l'équation non perturbée, lasolution de l'équation perturbée garde la forme d'un soliton sur un long temps. De plus, ondéduit la dynamique effective, i.e. les équations différentielles satisfaites par les paramètresdu soliton. / In this Ph.D. thesis, we study the Szegö equation on the real lineas well as its perturbations.It was recently introduced by Gérard and Grellier as a toy model of a non-lineartotally non dispersive equation. The Szegö equation appears naturally in the study of thenon-linear Schrödinger equation (NLS) in super-critical situations where dispersion lacks,for example, when one considers NLS on the Heisenberg group. Consequently, one of themotivations of this Ph.D. thesis is fi nding new results for the Szegö equation in hope thatthey could be eventually used in the context of the non-linear Schrödinger equation.Our first result is a classification of the solitons of the Szegö equation. We show thatthey are all rational functions with one simple pole. In addition, we prove the orbitalstability of solitons.The Szegö equation has the remarkable property of being completely integrable. Thisallows us to find an explicit formula for solutions. We obtain three applications of thisformula. (A) We prove soliton resolution for solutions which are generic rational functions.(B) We construct an example of non-generic solution whose high Sobolev norms grow toinfinity over time. (C) We find generalized action-angle variables when restricting the Szegöequation to a finite dimensional sub-manifold. In particular, this yields that most of thetrajectories of the Szegö equation are spirals around toroidal cylinders.Since the Szegö equation is completely integrable, it is natural to study its perturbationsand deduce new properties of such perturbations from the known results for the Szegöequation. One perturbation of the Szegö equation is a non-linear wave equation(NLW) with small initial data.We prove that the Szegö equation is the first order approximation of NLW. More precisely,if an initial condition of NLW is small and supported only on non-negative frequencies, thenthe corresponding solution can be approximated by the solution of the Szegö equation, fora long time. We then construct a solution of NLW whose high Sobolev norms grow.On the torus T, Gérard and Grellier proved an analogous first order approximationresult for NLW. By considerning the second order approximation, we obtain an improvedresult with a smaller error.Lastly, we consider the Szegö equation perturbed by a small multiplicative potential.We study the interaction of this potential with solitons. More precisely, we show that, if theinitial condition is that of a soliton for the unperturbed Szegö equation, then the solutionpreserves the shape of a soliton for a long time. In addition, we prescribe the effectivedynamics, i.e. we derive the differential equations satisfied by the parameters of the soliton.

Nous présentons une étude de la dynamique de la lumière et des mesures des caractéristiques non-linéaires optiques dans le disulfure de carbone.Dans la première partie, nous calculons dans le cadre d’un modèle classique des expressions des susceptibilités non-linéaires jusqu’au cinquième ordre, en tenant compte des corrections de champ local. Nous formulons différentes hypothèses que nous confirmons ou infirmons par la mesure des indices d’absorption et de réfraction non-linéaires. Celles-ci sont obtenues en combinant deux méthodes de caractérisation des non-linéarités au sein d’un système 4fd’imagerie. L’analyse des données expérimentales utilise une méthode nouvellement développée, qui consiste à inverser numériquement, par la méthode de Newton, les solutions analytiques des équations différentielles qui décrivent l’évolution du faisceau.Dans la deuxième partie, nous observons la filamentation d’un faisceau laser à la longueur d’onde de 532 nm et en régime picoseconde. Puis nous procédons à la mesure de l’indice de réfraction non-linéaire effectif du troisième ordre n2,eff en fonction de l’intensité incidente. Par un ajustement de la courbe de saturation de l’effet Kerr,nous développons un nouveau modèle. La résolution numérique de celui-ci reproduit la filamentation observée.La dernière partie est consacrée à l’étude de la dynamique des solitons dissipatifs au sein de milieux à gains et pertes non-linéaires. La résolution numérique de l’équation complexe de Ginzburg-Landau cubique-quintique est réalisée suivant différentes configurations :soliton fondamental, dipôle, quadrupôle,vortex carré et rhombique. / We present a study of light dynamics and measurements of the nonlinear optical characteristics of carbon disulphide. In the first part, we calculate using the classical model, the nonlinear susceptibilities up to the fifth order taking into account local field corrections. We express different assumptions that we confirm or refute by measuring the nonlinear absorption coefficient and the nonlinear refractive index. The measurements are performed by means of two nonlinear characterization methods combined with an imaging 4f system. We analyse the experimental data using a newly developed method which numerically inverts the analytical solutions of the differential equations which describe the evolution of the beam, using Newton’s method. In the second part, we observe light filamentation at wavelength 532 nm, in the picoseconds regime. Then we measure the effective third order nonlinear refractive index n2,eff versus the incident intensity. By fitting the curve of the Kerr effect saturation, we develop a new model. Numerically solving this model, allows us to reproducethe experimentally observed filamentation. The last part is dedicated to the study of dissipative solitons dynamics. The complex Ginzburg-Landau equation with cubic-quintic nonlineraties is numerically solved in various configurations : soliton fundamental dipole, quadrupole, vortex and square rhombic.

Ce travail de thèse concerne le développement d’un laser à fibre générant des impulsions rectangulaires très énergétiques et accordables à l’échelle du temps et des impulsions géantes à haute énergie. En premier temps,nous avons développé un modèle numérique pour étudier la génération des impulsions rectangulaires dans un laser à fibre en forme de huit à double amplificateur.L’objectif est de montrer l’impact de l’effet non linéaire induit par la fibre micro structurée sur le contrôle de la durée d’impulsion rectangulaire générée par le laser. Un ensemble de paramètres laser nous a permis ainsi de générer des impulsions rectangulaires à haute énergie dans le régime de la résonance du soliton dissipatif (DSR). En plus, plusieurs expériences ont été mises en place pour optimiser la génération de l’impulsion DSR en termes d’énergie et de durée.Toujours sur le plan expérimental, des impulsions géantes à haute énergie à partir du laser à fibre verrouillé en phase couplé à un retard optique ont été obtenues. Cela nous a permis de générer une large plage de durée d’impulsion à l'échelle de μs à taux de répétition faible dans des cavités utilisant des absorbants saturables artificiels. / This work deals with the development of a fiber laser generating high energy and width tunable square pulses and high-energy giant pulses. First, we have developed a numerical model to study the generation of rectangular pulses in a double amplifier fiber laser. The objective is to study the impact of the non-linear effect induced by the microstructured optical fiber on the control of the square pulse duration. A set of laser parameters allowed us to generate high energy square pulses in the dissipative soliton resonance (DSR) regime. In addition, several experiments have been set up to optimize the generation of the DSR pulse in terms of energy and duration. Experimentally, high energy giant pulses from a passively mode-locked fiber ring laser coupled to a long external cavity are obtained. This allowed us to generate a wide range of pulse duration of μs at a low repetition rate in cavities using artificial saturable absorbers.

Ce travail de thèse porte sur l'étude expérimentale de l'auto-organisation optique transverse dans des lasers à grand nombre de Fresnel contenant un absorbant saturable. En présence de bistabilité et d'instabilité de modulation, des structures localisées apparaissent, appelées solitons de cavité. Elles résultent d'un équilibre entre diffraction et auto-focalisation dans un milieu non-linéaire. En régime laser, les systèmes évoqués plus haut peuvent ainsi émettre plusieurs faisceaux d'une dizaine de microns de diamètre seulement. Chaque faisceau constitue une structure localisée dans le plan transverse, qui peut être allumée, éteinte et déplacée à volonté. Ces travaux de thèse se divisent en deux parties principales : l'étude du régime continu et celle des régimes impulsionnels. Dans ce deuxième cas, le laser peut émettre des balles de lumière en cavité localisées à la fois dans l'espace et dans le temps. Les travaux effectués se sont axés sur la recherche et l'étude des différentes propriétés nécessaires à l'apparition de structures localisées bistables et impulsionnelles afin de les réunir. Les résultats présentés dans ce manuscrit montrent pour la première fois, dans une structure monolithique VCSEL avec absorbant saturable intégré, un processus d'écriture-effacement d'une structure localisée en régime continu. De plus, ils montrent les étapes réalisées afin de se rapprocher du même résultat dans le régime impulsionnel : un agrégat de structures localisées impulsionnelles a ainsi pu être écrit et effacé. De par la compacité des systèmes VCSEL et la reconfigurabilité des solitons de cavité, ces résultats constituent une étape supplémentaire vers la réalisation d'un traitement tout-optique de l'information.

Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η σύνδεση της μοντέρνας θεωρίας σολιτονίων με την κλασική διαφορική γεωμετρία. Ειδικότερα, αρχίζουμε με ένα εισαγωγικό μέρος, όπου παραθέτουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν: α) Τις λύσεις μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) που ονομάζονται σολιτόνια (solitons) και β) Την γεωμετρία των ομαλών καμπυλών και επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου). Ακολουθεί, το δεύτερο και κύριο μέρος, στο οποίο μελετάμε την σχέση τριών χαρακτηριστικών μη-γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, της εξίσωσης sine-Gordon, της τροποποιημένης εξίσωσης Korteweg de Vries (mKdV) και της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS), με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών. Αναλυτικότερα, στο πρώτο μέρος και πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια ιστορική αναδρομή στην έννοια του σολιτονίου. Στην συνέχεια αναζητούμε κυματικές-σολιτονικές λύσεις για τις εξισώσεις KdV και NLS. Κλείνουμε παραθέτοντας τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μια μη γραμμική εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη. Επιλέγουμε να αναλύσουμε δύο από αυτές τις προϋποθέσεις, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, ενώ, για τις άλλες δύο, περιοριζόμαστε σε μια συνοπτική περιγραφή . Στο δεύτερο κεφάλαιο του εισαγωγικού μέρους γίνεται μια εκτενής αναφορά σε θεμελιώδεις έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, οι έννοιες αυτές σχετίζονται με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών και για ορισμένες από αυτές παρουσιάζουμε κάποια αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Ακολουθεί το κύριο μέρος και ειδικότερα το πρώτο κεφάλαιο, στο οποίο, μελετώντας υπερβολικές επιφάνειες, καταλήγουμε σε ένα κλασικό μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Είναι αυτό που οφείλουμε στον Bianchi και το οποίο ενσωματώνει τις εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi. Στην συνέχεια, περιοριζόμαστε στις ψευδοσφαιρικές επιφάνειες και έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση sine-Gordon. Ακολουθεί η ενότητα 1.2, στην οποία βρίσκουμε τον μετασχηματισμό auto-Bäcklund για την εξίσωση sine-Gordon και περιγράφουμε την γεωμετρική διαδικασία για την κατασκευή ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Στην ενότητα 1.3, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μετασχηματισμό Bäcklund, καταλήγουμε στο Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi. Συνεχίζουμε με την ενότητα 1.4, στην οποία παρουσιάζουμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν σε σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-Gordon. Πιο αναλυτικά, στην υποενότητα 1.4.1 κατασκευάζουμε την ψευδόσφαιρα του Beltrami, η οποία αντιστοιχεί στην στάσιμη μονο-σολιτονική λύση. Στην υποενότητα 1.4.2 μελετάμε το ελικοειδές που δημιουργείται από την έλκουσα καμπύλη, δηλαδή την επιφάνεια Dini, την οποία και κατασκευάζουμε. Ακολουθεί η υποενότητα 1.4.3, όπου, χρησιμοποιώντας το θεώρημα μεταθετικότητας, καταλήγουμε στην λύση δύο-σολιτονίων για την εξίσωση sine-Gordon και συνεχίζουμε με την υποενότητα 1.4.4, όπου κατασκευάζουμε περιοδικές λύσεις των δύο-σολιτονίων γνωστές ως breathers. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε την κίνηση συγκεκριμένων καμπυλών και επιφανειών, οι οποίες οδηγούν σε σολιτονικές εξισώσεις. Ειδικότερα, στην ενότητα 2.1 καταλήγουμε στην εξίσωση sine-Gordon μέσω της κίνησης μιας μη-εκτατής καμπύλης σταθερής καμπυλότητας ή στρέψης. Ακολουθεί η ενότητα 2.2, όπου η εξίσωση sine- Gordon προκύπτει ως η συνθήκη συμβατότητας για το 2 2 γραμμικό σύστημα AKNS. Στην συνέχεια, στην ενότητα 2.3 ασχολούμαστε με την κίνηση ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Πιο συγκεκριμένα, στην υποενότητα 2.3.1 συνδέουμε την κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας με ένα μη αρμονικό μοντέλο πλέγματος, το οποίο ενσωματώνει την εξίσωση mKdV. Επιπλέον, στην υποενότητα 2.3.2 δείχνουμε ότι η καθαρά κάθετη κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας, παράγει το κλασικό σύστημα Weingarten. Ολοκληρώνουμε την ενότητα 2.3 με την κατασκευή των μετασχηματισμών Bäcklund τόσο για το μοντέλο πλέγματος, όσο και για το σύστημα Weingarten. Το κεφάλαιο κλείνει με την ενότητα 2.4, όπου μέσω της κίνησης μιας μη εκτατής καμπύλης μηδενικής στρέψης, καταλήγουμε στην εξίσωση mKdV. Στην συνέχεια μελετάμε την κίνηση των επιφανειών Dini και τελικά κατασκευάζουμε επιφάνειες που αντιστοιχούν στο τριπλά ορθογώνιο σύστημα Weingarten. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση NLS. Πιο συγκεκριμένα, στην ενότητα 3.1 καταλήγουμε στην εξίσωση NLS μ’ έναν καθαρά γεωμετρικό τρόπο. Επιπλέον, κατασκευάζουμε επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν στην μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης NLS και παρουσιάζουμε γι’ αυτές κάποιες γενικές γεωμετρικές ιδιότητες. Το κεφάλαιο 3 ολοκληρώνεται με την ενότητα 3.3 όπου αρχικά λαμβάνουμε ακόμη μια φορά την εξίσωση NLS, χρησιμοποιώντας την μελέτη στην κινηματική των Marris και Passman. Κλείνουμε και αυτό το κεφάλαιο με τον auto- Bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση NLS και επιπλέον παρουσιάζουμε χωρικά περιοδικές λύσεις της, γνωστές ως smoke-ring (δαχτυλίδι-καπνού). / The aim of this diploma thesis is to find a connection between modern soliton theory and classical differential geometry. More particularly, we begin with an introductory section, where we present the basic concepts regarding soliton equations and the geometry of smooth curves ans surfaces. This is followed by the main body of the thesis, which focuses on three partial differential equations, namely, the sine-Gordon equation, the modified Korteweg de Vries equation (mKdV) and the nonlinear Scrödinger equation (NLS), and their connection to the theory of curves and surfaces. The first introductory chapter is a historical overview of the notion of solitons. We then seek travelling wave solutions for the KdV and NLS equations. Closing, we quote the conditions under which a nonlinear equation is integrable. We choose to analyze in detail two of these conditions while we settle for a brief description of the other two. The second chapter is an extensive report on fundamental concepts of differential geometry, namely, those associated with the theory of curves and surfaces in Euclidean three-dimensional space, and we present some representative examples. Chapter 1 of the main part, opens with the derivation of a classical nonlinear system which we owe to Bianchi and embodies the Gauss-Mainardi-Codazzi equations. We then specialise to pseudospherical surfaces and produce the sine-Gordon equation. Section 1.2 includes the derivation of the auto-Bäcklund transformation for the sine-Gordon equation along with the geometric procedure for the construction of pseudospherical surfaces. In section 1.3, we use the above transformation to conclude to Bianchi’s Permutability Theorem. We continue to section 1.4, where we present certain pseudospherical surfaces. These surfaces correspond to solitonic solutions of the sine- Gordon equation, i.e. in subsection 1.4.1 we construct the pseudosphere which corresponds to the stationary single soliton solution. Also, in subsection 1.4.2 we examine the helicoid that is created by the tractrix, namely, the Dini surface. In section 1.4.3, by use of Bianchi’s Permutability Theorem, we end up in the two-soliton solution for the sine-Gordon equation and continue in the next subsection, where we present periodic two-soliton solutions, known as breathers. In Chapter 2, we show how certain motions of curves and surfaces can lead to solitonic equations. More precisely, in section 2.1, we arrive at the sine-Gordon equation, through the motion of an inextensible curve of constant curvature or torsion. Then, section 2.2 displays how the sine-Gordon equation arises as the compatibility condition for the linear 2 2 AKNS system. In section 2.3 we study the movement of pseudospherical surfaces. In particular, we connect, in subsection 2.3.1, the motion of a pseudospherical surface to a continuum version of an unharmonic lattice model, which encorporates the mKdV equation. Moreover, in subsection 2.3.2, we show that a purely normal motion of a pseudospherical surface produces the classical Weingarten system. We conclude section 2.3 by constructing the Bäcklund transformation both for the lattice model and the Weingarten system. The chapter ends with section 2.4, where through the motion of an inextensible curve of zero torsion, we produce the mKdV equation. Furthermore, we investigate the motion of Dini surfaces and, finally, construct surfaces corresponding to the triply orthogonal Weingarten system. The third and final chapter focuses on the NLS equation. In section 3.1 we produce the NLS equation through a purely geometric manner. We then construct surfaces, that correspond to the single-soliton solution of this equation, and also present certain general geometric properties of them. We conclude the final chapter with the auto-Bäcklund transformation for the NLS equation and the presentation of spatially periodic solutions, known as smoke-ring.

Ce mémoire porte sur le comportement des solitons affectés, lors de leur entrée dans un guide d'onde à fibre optique, d'une légère distorsion de profil par rapport au profil stationnaire dans le guide. Notre modèle théorique combine l'équation de propagation du champ électrique (Equation de Schrödinger Non Linéaire) et le système d'équations d'évolution des paramètres physiques de l'impulsion (issu de la théorie des coordonnées collectives). Nous dressons une cartographie générale qui dévoile une diversité insoupçonnée de comportements dynamiques au voisinage de l'état stationnaire de l'impulsion, liée à la perturbation initiale du profil de l'impulsion. Cette cartographie établit une classification des solitons en deux grandes familles, correspondant respectivement aux impulsions lumineuses qui génèrent un rayonnement au cours de leur propagation et aux impulsions non rayonnantes. Au sein de chacune de ces deux grandes familles d'impulsions, nous démontrons l'existence de comportements atypiques, que nous qualifions de solitons hyperthermiques (solitons chauds), solitons hypothermiques (solitons froids), et solitons isothermiques, qui correspondent respectivement à des impulsions qui se propagent de manière hautement stable avec un niveau d'énergie supérieur, inférieur, et égal à l'énergie de l'état stationnaire. Aux frontières des domaines d'existence de ces différents types de soliton, nous trouvons des comportements hybrides, correspondant à des solitons qui se refroidissent en cours de propagation suite à une perte significative d'énergie provoquée par un rayonnement intense, et qui changent d'état (de l'hyperthermie à l'hypothermie, ou de l'isothermie à l'hypothermie). Enfin, l'onde de rayonnement émise par une impulsion lumineuse n'est pas identifiée comme étant un processus continuel, mais plutôt comme une bouffée d'énergie émise en début de propagation, et sa suppression dans le guide d'onde est considérée comme réalisable

EVANGELISTA, I. S. Compact almost Ricci soliton, critical metrics of the total scalar curvature functional and p-fundamental tone estimates. 2017. 75 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-07-10T12:41:32Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-10T14:06:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-10T14:06:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_isevangelista.pdf: 618771 bytes, checksum: 7e4bb8d9fd8825ef347e309171075037 (MD5) Previous issue date: 2017-07-04 / The present thesis is divided in three different parts. The aim of the first part is to prove that a compact almost Ricci soliton with null Cotton tensor is isometric to a standard sphere provided one of the following conditions associated to the Schouten tensor holds: the second symmetric function is constant and positive; two consecutive symmetric functions are non null multiple or some symmetric function is constant and the quoted tensor is positive. The aim of the second part is to study the critical metrics of the total scalar curvature funcional on compact manifolds with constant scalar curvature and unit volume, for simplicity, CPE metrics. It has been conjectured that every CPE metric must be Einstein. We prove that the Conjecture is true for CPE metrics under a suitable integral condition and we also prove that it suffices the metric to be conformal to an Einstein metric. In the third part we estimate the p-fundamental tone of submanifolds in a Cartan-Hadamard manifold. First we obtain lower bounds for the p-fundamental tone of geodesic balls and submanifolds with bounded mean curvature. Moreover, we provide the p-fundamental tone estimates of minimal submanifolds with certain conditions on the norm of the second fundamental form. Finally, we study transversely oriented codimension one C 2-foliations of open subsets Ω of Riemannian manifolds M and obtain lower bounds estimates for the infimum of the mean curvature of the leaves in terms of the p-fundamental tone of Ω. / A presente tese está dividida em três partes diferentes. O objetivo da primeira parte é provar que um quase soliton de Ricci compacto com tensor de Cotton nulo é isométrico a uma esfera canônica desde que uma das seguintes condições associadas ao tensor de Schouten seja válida: a segunda função simétrica é constante e positiva; duas funções simétricas consecutivas são múltiplas, não nulas, ou alguma função simétrica é constante e o tensor de Schouten é positivo. O objetivo da segunda parte é estudar as métricas críticas do funcional curvatura escalar total em variedades compactas com curvatura escalar constante e volume unitário, por simplicidade, métricas CPE. Foi conjecturado que toda métrica CPE deve ser Einstein. Prova-se que a conjectura é verdadeira para as métricas CPE sob uma condição integral adequada e também se prova que é suficiente que a métrica seja conforme a uma métrica Einstein. Na terceira parte, estima-se o p-tom fundamental de subvariedades em uma variedade tipo Cartan-Hadamard. Primeiramente, obtém-se estimativas por baixo para o p-tom fundamental de bolas geodésicas e em subvariedades com curvatura média limitada. Além disso, obtém-se estimativas do p-tom fundamental de subvariedades mínimas com certas condições sobre a norma da segunda forma fundamental. Por fim, estudam-se folheações de classe C 2 transversalmente orientadas de codimensão 1 de subconjuntos abertos Ω de variedades riemannianas M e obtêm-se estimativas por baixo para o ínfimo da curvatura média das folhas em termos do p-tom fundamental de Ω.