Numerical Stochastic Perturbation theory is a powerful tool for estimating high-order perturbative expansions in lattice quantum field theory. The standard algorithm based on the Langevin equation, however, suffers from several limitations which in practice restrict the potential of this technique: first of all it is not exact, a sequence of simulations with finer and finer discretization of the relevant equations have to be performed in order to extrapolate away the systematic errors in the results; and, secondly, the numerical simulations suffer from critical slowing down as the continuum limit of the theory is approached. In this thesis I investigate some alternative methods which improve upon the standard approach. In particular, I present a formulation of Numerical Stochastic Perturbation theory based on the Generalised Hybrid Molecular Dynamics algorithm and a study of the recently proposed Instantaneous Stochastic Perturbation Theory. The viability of these methods is investigated in φ4 theory.

Dans les situations convexes, le problème d'optimisation globale peut être abordé par un ensemble de méthodes classiques, telles, par exemple, celles basées sur le gradient, qui ont montré leur efficacité en ce domaine. Lorsque la situation n'est pas convexe, ces méthodes peuvent être mises en défaut et ne pas trouver un optimum global. La contribution de cette thèse est une méthodologie pour la détermination de l'optimum global d'une fonction non convexe, en utilisant des algorithmes hybrides basés sur un couplage entre des algorithmes stochastiques issus de familles connues, telles, par exemple, celle des algorithmes génétiques ou celle du recuit simulé et des algorithmes déterministes perturbés aléatoirement de façon convenable. D'une part, les familles d'algorithmes stochastiques considérées ont fait preuve d'efficacité pour certaines classes de problèmes et, d'autre part, l'adjonction de perturbations aléatoires permet de construire des méthodes qui sont en théorie convergents vers un optimum global. En pratique, chacune de ces approches a ses limitations et insuffisantes, de manière que le couplage envisagé dans cette thèse est une alternative susceptible d'augmenter l'efficacité numérique. Nous examinons dans cette thèse quelques unes de ces possibilités de couplage. Pour établir leur efficacité, nous les appliquons à des situations test classiques et à un problème de nature stochastique du domaine des transports. / This thesis concerns the global optimization of a non convex function under non linear restrictions, this problem cannot be solved using the classic deterministic methods like the projected gradient algorithm and the sqp method because they can solve only the convex problems. The stochastic algorithms like the genetic algorithm and the simulated annealing algorithm are also inefficients for solving this type of problems. For solving this kind of problems, we try to perturb stocasicly the deterministic classic method and to combine this perturbation with genetic algorithm and the simulated annealing. So we do the combination between the perturbed projected gradient and the genetic algorithm, the perturbed sqp method and the genetic algorithm, the perturbed projected gradient and the simulated annealing, the Piyavskii algorithm and the genetic algorithm. We applicate the coupled algorithms to different classic examples for concretited the thesis. For illustration in the real life, we applicate the coupled perturbed projected gradient end the genetic algorithm to logistic problem eventuelly transport. In this view, we sold the efficient practices.

Ce travail est consacré à l’étude de la dynamique d’un système proie-prédateur de type Leslie-Gower défini par un système d’équations différentielles ordinaires (EDO) ou d’équations différentielles stochastiques (EDS), ou par des systèmes couplés d’EDO ou d’EDS. L’objectif principal est de faire l’analyse mathématique et la simulation numérique des modèles construits. Cette thèse est divisée en deux parties : La première partie est consacrée à un système proie-prédateur où les proies utilisent un refuge, le modèle est donné par un système d’équations différentielles ordinaires ou d’équations différentielles stochastiques. Le but de cette partie est d’étudier l’impact du refuge ainsi que la perturbation stochastique sur le comportement des solutions du système. Dans la deuxième partie, nous considérons un système proie-prédateur couplé en réseau. Il s’agit d’étudier comment des couplages plus ou moins forts entre plusieurs systèmes affectent l’existence et la position des points d’équilibre, et la stabilité de ces systèmes. / This work is devoted to the study of the dynamics of a predator-prey system of Leslie-Gower type defined by a system of ordinary differential equations (EDO) or stochastic differential equations (EDS), or by coupled systems of EDO or EDS. The main objective is to do mathematical analysis and numerical simulation of the models built. This thesis is divided into two parts : The first part is dedicated to a predator-prey system where the prey uses a refuge, the model is given by a system of ordinary differential equations or stochastic differential equations. The purpose of this part is to study the impact of the refuge as well as the stochastic perturbation on the behavior of the solutions of the system. In the second part, we consider a networked predator-prey system. We show that symmetric couplings speed up the convergence to a stationary distribution.

We consider the Volter-Salnikov model describing the dynamics of the flow chemical reactor. In the work, a study of deterministic model was performed, deterministic system attractors were defined, bifurcation diagram was constructed. For stochastic model, we analyzed a response of attractors (equilibria and cycles) on sensitivity to noise. With the help of confidence domains, a geometrical description of the dispersion of random states was given, noise-induced transitions were investigated, and of critical values of the noise intensity were estimated. We have constructed a feedback regulator that allows to provide the desired stochastic sensitivity of the system. / В работе рассматривается модель Вольтера-Сальникова, описывающая динамику проточного химического реактора. В работе было проведено исследование детерминированной модели, определены детерминированные аттракторы системы, построена бифуркационная диаграмма. Для стохастической модели проведен анализ аттракторов системы (равновесий и циклов) на чувствительность к шуму. С помощью доверительных областей было дано геометрическое описание областей рассеивания случайных состояний. С помощью доверительных областей исследованы индуцированные шумом переходы, проведена оценка критических значений интенсивности шума. В работе построен управляющий регулятор, позволяющий обеспечить в системе желаемую стохастическую чувствительность.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel. / This thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case.