On étudie les propriétés dynamiques et spectrales de deux types d'opérateurs de Schrödinger à valeurs matricielles. Le premier est un modèle d'Anderson, le second un modèle d'interactions ponctuelles. On prouve l'absence de spectre absolument continu pour ces deux opérateurs en prouvant la séparabilité de leurs exposants de Lyapounov, puis on étudie la régularité des exposants de Lyapounov et de la Densité d'Etats Intégrée associées à ces opérateurs. On prouve que ces deux quantités sont Hölder continues.

Le modèle de dimères est un système de mécanique statistique qui modélise l'adsorption de molécules diatomiques sur la surface d'un cristal, représenté par un réseau périodique plan biparti. On attribue à chaque type d'arête une énergie. Pour une telle distribution d'énergie, il existe une famille à deux paramètres de mesures de Gibbs, dont les comportements sont classifiés en trois phases : gazeuse, liquide, solide.<br /><br />Dans la première partie, on étudie le comportement d'un tel système près de la transition liquide-solide. En examinant le cas du réseau hexagonal, nous exhibons deux types de comportements limites. Le premier est une collection de chemins aléatoires conditionnés à s'éviter. Le deuxième, le modèle du collier de perles, est un processus ponctuel sur ZxR. Ces deux modèles limites ont pour marginales le processus déterminantal sur R avec noyau sinus, décrivant aussi les valeurs propres des grandes matrices aléatoires de l'ensemble GUE. Le modèle du collier de perles est universel : on montre qu'il est la limite de tout modèle de dimères sur un graphe planaire biparti périodique.<br /><br />Dans une deuxième partie, on étudie la statistique des motifs dessinés par des dimères. Les fluctuations de densité d'un motif convergent à la limite d'échelle vers un champ gaussien. Dans le cas liquide, l'objet limite est la somme d'une dérivée du champ libre et d'un bruit blanc indépendant. Pour une mesure gazeuse, la limite est juste un bruit blanc.<br /><br />Enfin, on aborde un problème de dénombrement de chemins sur le graphe-échelle, lié à l'étude du noyau de la chaleur sur le groupe de l'allumeur de réverbères, ainsi qu'à celle des opérateurs de Schrödinger aléatoires.

Dans cette thèse, nous allons prouver des estimations de décorrelation des valeurs propres pour plusieurs modèles d'opérateurs de Schrödinger aléatoires en dimension un, dans le régime localisé, tant que nous avons des estimations de Wegner. Ceci permet l'étude des statistiques spectrales.Nous commencerons donc par présenter les hypothèses sur lesquelles nous nous appuyons et les différents modèles considérés.Nous étudierons ensuite les estimations de Minami, qui peuvent être vues comme des estimations de décorrélation des valeurs propres proches. Nous montrerons qu'en dimension un, elles sont conséquences des estimations de Wegner et de l'hypothèse de localisation. Les estimations prouvées ici ont un domaine de validité plus restreint que les estimations de Minami classiques, mais sont suffisantes pour notre étude.Nous étudierons ensuite les estimations de décorrélation des valeurs propres éloignées pour les différents modèles présentés. Nous montrerons qu'elles sont conséquences des estimations de Minami, des estimations de Wegner et de l'hypothèse de localisation. Les preuves données seront différentes selon les modèles étudiés.Enfin, nous montrerons que ces résultats permettent d'étudier les statistiques spectrales, dans le régime localisé. Par exemple, les estimations de décorrélation permettent de montrer que les statistiques locales des niveaux d'énergies, prises à deux énergies différentes, convergent faiblement vers deux processus de Poisson indépendants sur $\R$ d'intensité la mesure de Lebesgue. / In this thesis, we will prove decorrelation estimates of eigenvalues for several models of random Schrödinger operators in dimension one, in the localized regime, provided we have Wegner estimates. This will allow us to study spectral statistics.We will begin with the presentation of the hypotheses needed in our proofs and the models under consideration.We will continue with the study of the Minami estimates, which can be seen as decorrelation estimates of close eigenvalues. We will show that, in dimension one and in the localized regime, they are the consequences of the Wegner estimates. The results proven here have a area of validity smaller than the usual Minami estimates, but it will suffice for our study.Next, we will study the decorrelation estimates of distant eigenvalues for the models under consideration. We will show that they are consequences of the Minami estimates and the Wegner estimates, in the localized regime. The proofs will be different from one model to another.Eventually, we will show that these results allow us to study spectral statistics in the localized regime. For instance, the decorrelation estimates will be used to prove that the local energy level statistics, taken at two distincts energy levels, converge weakly to two independent Poisson processes on $\R$ with intensity the Lebesgue measure.

Ce travail est consacré à l'étude de certaines propriétés spectrales des opérateurs de Schrödinger aléatoires. Il est divisé en deux parties : 1. Une étude de la localisation d'Anderson pour des systèmes multi-particules sur un graphe quantique. 2. Une formulation abstraite de quelques estimées de Wegner, suivie par une liste d'applications pour des modèles concrets. Au Chapitre 1 on essaie d'introduire les problèmes et les résultats de la thèse de façon élémentaire. La première partie occupe les chapitres 2 et 3. Le Chapitre 2 consiste essentiellement en notre article "Anderson Localization for a multi-particle quantum graph" [97] sur le sujet. Au Chapitre 3 on discute quelques propriétés supplémentaires du modèle, et on donne surtout des démonstrations alternatives de certains résultats du Chapitre 2. La deuxième partie occupe les chapitres 4 et 5. Le Chapitre 4 reproduit essentiellement notre article "Some abstract Wegner estimates with applications" [98]. Au Chapitre 5 on poursuit l'étude des estimées de Wegner, en donnant notamment quelques théorèmes abstraits supplémentaires dans la Section 5.2 et encore d'autres applications dans la Section 5.3. On conclut avec deux annexes A et B. Dans la première on expose de manière très détaillée les développements en fonctions propres généralisées. Dans l'Annexe B, on démontre quelques résultats classiques utilisés dans le texte.

Cette thèse s'intéresse à deux modèles de processus auto intéagissant étroitement reliés: le processus de sauts renforcé par sites (VRJP) et la marche aléatoire renforcée par arêtes (ERRW). Nous étudions aussi les liens entre ces processus et un opérateur de Schrödinger aléatoire. Dans le chapitre 3, nous montrons que le VRJP est le seul processus satisfaisant la propriété d'échangeabilité partielle et tel que la probabilité de transition ne dépende que du temps local des voisins, sous quelques conditions techniques. Le chapitre 4 donne la transition de phase entre vitesse positive et vitesse nulle pour un VRJP transitoire sur un arbre de Galton Watson, utilisant le fait que sur un arbre, le VRJP est une marche aléatoire en milieu aléatoire. Dans le chapitre 5, une nouvelle famille exponentielle de loi est introduite et ses liens avec le VRJP sont étudiés. En particulier, nous donnons une preuve de la formule de Coppersmith et Diaconis, n'utilisant que des calculs élémentaires. Finalement, dans le chapitre 6 nous étudions la représentation du VRJP comme mélange de processus de Markov sur les graphes infinis. Nous représentons le VRJP à l'aide de la fonction de Green et d'une fonction propre généralisée d'un opérateur de Schrödinger aléatoire associé au VRJP. En conséquence, nous obtenons un principe d'invariance pour le VRJP quand le renforcement est suffisamment faible, ainsi que la récurrence du ERRW sur ℤ2 pour toute valeurs initiales des paramètres / This thesis is dedicated to the study of two closely related self-interacting processes: the vertex reinforced jump process (VRJP) and the edge reinforced random walk (ERRW). We also study the relations between these processes and a random Schrödinger operator. In Chapter 3, we prove that the VRJP is the only partially exchangeable process whose transition probability depends only on neighbor local times, under some technical conditions. Chapter 4 gives the phase transition between positive speed and null speed of a transient VRJP on a Galton Watson tree, using a representation of random walk in independent random environment. In Chapter 5, we introduce a new exponential family of probability distributions generalizing the Inverse Gaussian distribution, and we show some of its relations to the VRJP. In particular, we give an elementary proof of the formula of Coppersmith and Diaconis. Finally, we show in Chapter 6 that the VRJP on infinite graph is a mixture of Markov jump processes, by constructing the random environment using the Green function and a generalized eigenfunction related to a random Schrödinger operator associated with the VRJP. As a consequence, we obtain a central limit theorem when the reinforcement is weak enough, and also the recurrence of ERRW on ℤ2 for any initial constant weights

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets. La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts. Dans le chapitre 2, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre 3, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre 4, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un. Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre 6, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.