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Ce mémoire analyse l’espérance du temps de fixation conditionnellement à ce qu’elle se produise et la probabilité de fixation d’un nouvel allèle mutant dans des populations soumises à différents phénomènes biologiques en uti- lisant l’approche des processus ancestraux. Tout d’abord, l’article de Tajima (1990) est analysé et les différentes preuves y étant manquantes ou incomplètes sont détaillées, dans le but de se familiariser avec les calculs du temps de fixa- tion. L’étude de cet article permet aussi de démontrer l’importance du temps de fixation sur certains phénomènes biologiques. Par la suite, l’effet de la sé- lection naturelle est introduit au modèle. L’article de Mano (2009) cite un ré- sultat intéressant quant à l’espérance du temps de fixation conditionnellement à ce que celle-ci survienne qui utilise une approximation par un processus de diffusion. Une nouvelle méthode utilisant le processus ancestral est présentée afin d’arriver à une bonne approximation de ce résultat. Des simulations sont faites afin de vérifier l’exactitude de la nouvelle approche. Finalement, un mo- dèle soumis à la conversion génique est analysé, puisque ce phénomène, en présence de biais, a un effet similaire à celui de la sélection. Nous obtenons finalement un résultat analytique pour la probabilité de fixation d’un nouveau mutant dans la population. Enfin, des simulations sont faites afin de détermi- nerlaprobabilitédefixationainsiqueletempsdefixationconditionnellorsque les taux sont trop grands pour pouvoir les calculer analytiquement. / The expected time for fixation given its occurrence, and the probability of fixa- tion of a new mutant allele in populations subject to various biological phe- nomena are analyzed using the approach of the ancestral process. First, the paper of Tajima (1990) is analyzed, and the missing or incomplete proofs are fully worked out in this Master thesis in order to familiarize ourselves with calculations of fixation times. Our study of Tajima’s paper helps to show the importance of the fixation time in some biological phenomena. Thereafter, we extend the work of Tajima (1990) by introducing the effect of natural selec- tion in the model. Using a diffusion approximation, the work of Mano (2009) provides an interesting result about the expected time of fixation given its oc- currence. We derived an alternative method that uses an ancestral process that approximates well Mani’s result. Simulations are made to verify the accuracy ofthenewapproach.Finally,onemodelsubjecttogeneconversionisanalyzed, since this phenomenon, in the presence of bias, has a similar effect as selection. We deduce an analytical result for the probability of fixation of a new mutant in the population. Finally, simulations are made to determine the probability of fixation and the time of fixation given its occurrence when rates are too large to be calculated analytically.

Dans ce mémoire, nous travaillons sur une méthode de simulation de Monte-Carlo qui utilise des variables antithétiques pour estimer un intégrale de la fonction f(x) sur un intervalle (0,1] où f peut être une fonction monotone, non-monotone ou une autre fonction difficile à simuler. L'idée principale de la méthode qu'on propose est de subdiviser l'intervalle (0,1] en m sections dont chacune est subdivisée en l sous intervalles. Cette technique se fait en plusieurs étapes et à chaque fois qu'on passe à l'étape supérieure la variance diminue. C'est à dire que la variance obtenue à la kième étape est plus petite que celle trouvée à la (k-1)ième étape ce qui nous permet également de rendre plus petite l'erreur d’estimation car l'estimateur de l'intégrale de f(x) sur [0,1] est sans biais. L'objectif est de trouver m, le nombre optimal de sections, qui permet de trouver cette diminution de la variance. / In this master thesis, we consider simulation methods based on antithetic variates for estimate integrales of f(x) on interval (0,1] where f is monotonic function, not a monotonic function or a function difficult to integrate. The main idea consists in subdividing the (0,1] in m sections of which each one is subdivided in l subintervals. This method is done recursively. At each step the variance decreases, i.e. The variance obtained at the kth step is smaller than that is found at the (k-1)th step. This allows us to reduce the error in the estimation because the estimator of integrales of f(x) on interval [0,1] is unbiased. The objective is to optimize m. / Les fichiers qui accompagnent mon document ont été réalisés avec le logiciel Latex et les simulations ont été réalisés par Splus(R).

Résumé La technique connue comme l'imputation multiple semble être la technique la plus appropriée pour résoudre le problème de non-réponse. La littérature mentionne des méthodes qui modélisent la nature et la structure des valeurs manquantes. Une des méthodes les plus populaires est l'algorithme « Pan » de (Schafer & Yucel, 2002). Les imputations rapportées par cette méthode sont basées sur un modèle linéaire multivarié à effets mixtes pour la variable réponse. La méthode « BHLC » de (Murua et al, 2005) est une extension de « Pan » dont le modèle est bayésien hiérarchique avec groupes. Le but principal de ce travail est d'étudier le problème de sélection du modèle pour l'imputation multiple en termes d'efficacité et d'exactitude des prédictions des valeurs manquantes. Nous proposons une mesure de performance liée à la prédiction des valeurs manquantes. La mesure est une erreur quadratique moyenne reflétant la variance associée aux imputations multiples et le biais de prédiction. Nous montrons que cette mesure est plus objective que la mesure de variance de Rubin. Notre mesure est calculée en augmentant par une faible proportion le nombre de valeurs manquantes dans les données. La performance du modèle d'imputation est alors évaluée par l'erreur de prédiction associée aux valeurs manquantes. Pour étudier le problème objectivement, nous avons effectué plusieurs simulations. Les données ont été produites selon des modèles explicites différents avec des hypothèses particulières sur la structure des erreurs et la distribution a priori des valeurs manquantes. Notre étude examine si la vraie structure d'erreur des données a un effet sur la performance du choix des différentes hypothèses formulées pour le modèle d'imputation. Nous avons conclu que la réponse est oui. De plus, le choix de la distribution des valeurs manquantes semble être le facteur le plus important pour l'exactitude des prédictions. En général, les choix les plus efficaces pour de bonnes imputations sont une distribution de student avec inégalité des variances dans les groupes pour la structure des erreurs et une loi a priori choisie pour les valeurs manquantes est la loi normale avec moyenne et variance empirique des données observées, ou celle régularisé avec grande variabilité. Finalement, nous avons appliqué nos idées à un cas réel traitant un problème de santé. Mots clés : valeurs manquantes, imputations multiples, modèle linéaire bayésien hiérarchique, modèle à effets mixtes. / Abstract The technique known as multiple imputation seems to be the most suitable technique for solving the problem of non-response. The literature mentions methods that models the nature and structure of missing values. One of the most popular methods is the PAN algorithm of Schafer and Yucel (2002). The imputations yielded by this method are based on a multivariate linear mixed-effects model for the response variable. A Bayesian hierarchical clustered and more flexible extension of PAN is given by the BHLC model of Murua et al. (2005). The main goal of this work is to study the problem of model selection for multiple imputation in terms of efficiency and accuracy of missing-value predictions. We propose a measure of performance linked to the prediction of missing values. The measure is a mean squared error, and hence in addition to the variance associated to the multiple imputations, it includes a measure of bias in the prediction. We show that this measure is more objective than the most common variance measure of Rubin. Our measure is computed by incrementing by a small proportion the number of missing values in the data and supposing that those values are also missing. The performance of the imputation model is then assessed through the prediction error associated to these pseudo missing values. In order to study the problem objectively, we have devised several simulations. Data were generated according to different explicit models that assumed particular error structures. Several missing-value prior distributions as well as error-term distributions are then hypothesized. Our study investigates if the true error structure of the data has an effect on the performance of the different hypothesized choices for the imputation model. We concluded that the answer is yes. Moreover, the choice of missing-value prior distribution seems to be the most important factor for accuracy of predictions. In general, the most effective choices for good imputations are a t-Student distribution with different cluster variances for the error-term, and a missing-value Normal prior with data-driven mean and variance, or a missing-value regularizing Normal prior with large variance (a ridge-regression-like prior). Finally, we have applied our ideas to a real problem dealing with health outcome observations associated to a large number of countries around the world. Keywords: Missing values, multiple imputation, Bayesian hierarchical linear model, mixed effects model. / Les logiciels utilisés sont Splus et R.

Les modèles à sur-représentation de zéros discrets et continus ont une large gamme d'applications et leurs propriétés sont bien connues. Bien qu'il existe des travaux portant sur les modèles discrets à sous-représentation de zéro et modifiés à zéro, la formulation usuelle des modèles continus à sur-représentation -- un mélange entre une densité continue et une masse de Dirac -- empêche de les généraliser afin de couvrir le cas de la sous-représentation de zéros. Une formulation alternative des modèles continus à sur-représentation de zéros, pouvant aisément être généralisée au cas de la sous-représentation, est présentée ici. L'estimation est d'abord abordée sous le paradigme classique, et plusieurs méthodes d'obtention des estimateurs du maximum de vraisemblance sont proposées. Le problème de l'estimation ponctuelle est également considéré du point de vue bayésien. Des tests d'hypothèses classiques et bayésiens visant à déterminer si des données sont à sur- ou sous-représentation de zéros sont présentées. Les méthodes d'estimation et de tests sont aussi évaluées au moyen d'études de simulation et appliquées à des données de précipitation agrégées. Les diverses méthodes s'accordent sur la sous-représentation de zéros des données, démontrant la pertinence du modèle proposé. Nous considérons ensuite la classification d'échantillons de données à sous-représentation de zéros. De telles données étant fortement non normales, il est possible de croire que les méthodes courantes de détermination du nombre de grappes s'avèrent peu performantes. Nous affirmons que la classification bayésienne, basée sur la distribution marginale des observations, tiendrait compte des particularités du modèle, ce qui se traduirait par une meilleure performance. Plusieurs méthodes de classification sont comparées au moyen d'une étude de simulation, et la méthode proposée est appliquée à des données de précipitation agrégées provenant de 28 stations de mesure en Colombie-Britannique. / Zero-inflated models, both discrete and continuous, have a large variety of applications and fairly well-known properties. Some work has been done on zero-deflated and zero-modified discrete models. The usual formulation of continuous zero-inflated models -- a mixture between a continuous density and a Dirac mass at zero -- precludes their extension to cover the zero-deflated case. We introduce an alternative formulation of zero-inflated continuous models, along with a natural extension to the zero-deflated case. Parameter estimation is first studied within the classical frequentist framework. Several methods for obtaining the maximum likelihood estimators are proposed. The problem of point estimation is considered from a Bayesian point of view. Hypothesis testing, aiming at determining whether data are zero-inflated, zero-deflated or not zero-modified, is also considered under both the classical and Bayesian paradigms. The proposed estimation and testing methods are assessed through simulation studies and applied to aggregated rainfall data. The data is shown to be zero-deflated, demonstrating the relevance of the proposed model. We next consider the clustering of samples of zero-deflated data. Such data present strong non-normality. Therefore, the usual methods for determining the number of clusters are expected to perform poorly. We argue that Bayesian clustering based on the marginal distribution of the observations would take into account the particularities of the model and exhibit better performance. Several clustering methods are compared using a simulation study. The proposed method is applied to aggregated rainfall data sampled from 28 measuring stations in British Columbia.

L’imputation simple est très souvent utilisée dans les enquêtes pour compenser pour la non-réponse partielle. Dans certaines situations, la variable nécessitant l’imputation prend des valeurs nulles un très grand nombre de fois. Ceci est très fréquent dans les enquêtes entreprises qui collectent les variables économiques. Dans ce mémoire, nous étudions les propriétés de deux méthodes d’imputation souvent utilisées en pratique et nous montrons qu’elles produisent des estimateurs imputés biaisés en général. Motivé par un modèle de mélange, nous proposons trois méthodes d’imputation et étudions leurs propriétés en termes de biais. Pour ces méthodes d’imputation, nous considérons un estimateur jackknife de la variance convergent vers la vraie variance, sous l’hypothèse que la fraction de sondage est négligeable. Finalement, nous effectuons une étude par simulation pour étudier la performance des estimateurs ponctuels et de variance en termes de biais et d’erreur quadratique moyenne. / Single imputation is often used in surveys to compensate for item nonresponse. In some cases, the variable requiring imputation contains a large amount of zeroes. This is especially frequent in business surveys that collect economic variables. In this thesis, we study the properties of two imputation procedures frequently used in practice and show that they lead to biased estimators, in general. Motivated by a mixture regression model, we then propose three imputation procedures and study their properties in terms of bias. For the proposed imputation procedures, we consider a jackknife variance estimator that is consistent for the true variance, provided the overall sampling fraction is negligible. Finally, we perform a simulation study to evaluate the performance of point and variance estimators in terms of relative bias and mean square error.

Vergnaud (1985) propose une structure de type (S,I,S) qui sous-tend que la construction d'un concept scientifique est accompagnée entre autres de l'émergence d'un système d'invariant(s) lié au concept. Nous proposons ici d'observer si, en sciences physiques, sur l'exemple du concept d'élément chimique  au sein de classes de seconde générale du lycée , l'élaboration de l'invariant, dans le cadre d'une telle structure (S,I,S), est, sinon la condition de celle du concept, susceptible de le rendre plus lisible. Nos résultats montrent que la construction du concept d'élément chimique semble être conditionnée par celle de son invariant. En revanche la réciprocité ne paraît pas aussi évidente. Nous observons des tendances similaires sur d'autres concepts en sciences physiques, lesquels sont en cours d'exploitation. Cela nous amène à penser que les invariants pourraient se voir doter, en sciences physiques, d'un statut didactique " majeur ". Nous proposons une ébauche de classification des invariants, en sciences physiques, afin de donner de la lisibilité aux objets complexes que sont les concepts scientifiques auxquels ils sont associés. Nous imaginons que toutes les disciplines pourraient " penser " leurs invariants et que ces derniers pourraient être valorisés, au sein des organismes de formation, pour ce qu'ils sont susceptibles d'apporter aux élèves dans un cursus d'apprentissage.

Les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCCM) sont des méthodes servant à échantillonner à partir de distributions de probabilité. Ces techniques se basent sur le parcours de chaînes de Markov ayant pour lois stationnaires les distributions à échantillonner. Étant donné leur facilité d’application, elles constituent une des approches les plus utilisées dans la communauté statistique, et tout particulièrement en analyse bayésienne. Ce sont des outils très populaires pour l’échantillonnage de lois de probabilité complexes et/ou en grandes dimensions. Depuis l’apparition de la première méthode MCCM en 1953 (la méthode de Metropolis, voir [10]), l’intérêt pour ces méthodes, ainsi que l’éventail d’algorithmes disponibles ne cessent de s’accroître d’une année à l’autre. Bien que l’algorithme Metropolis-Hastings (voir [8]) puisse être considéré comme l’un des algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov les plus généraux, il est aussi l’un des plus simples à comprendre et à expliquer, ce qui en fait un algorithme idéal pour débuter. Il a été sujet de développement par plusieurs chercheurs. L’algorithme Metropolis à essais multiples (MTM), introduit dans la littérature statistique par [9], est considéré comme un développement intéressant dans ce domaine, mais malheureusement son implémentation est très coûteuse (en termes de temps). Récemment, un nouvel algorithme a été développé par [1]. Il s’agit de l’algorithme Metropolis à essais multiples revisité (MTM revisité), qui définit la méthode MTM standard mentionnée précédemment dans le cadre de l’algorithme Metropolis-Hastings sur un espace étendu. L’objectif de ce travail est, en premier lieu, de présenter les méthodes MCCM, et par la suite d’étudier et d’analyser les algorithmes Metropolis-Hastings ainsi que le MTM standard afin de permettre aux lecteurs une meilleure compréhension de l’implémentation de ces méthodes. Un deuxième objectif est d’étudier les perspectives ainsi que les inconvénients de l’algorithme MTM revisité afin de voir s’il répond aux attentes de la communauté statistique. Enfin, nous tentons de combattre le problème de sédentarité de l’algorithme MTM revisité, ce qui donne lieu à un tout nouvel algorithme. Ce nouvel algorithme performe bien lorsque le nombre de candidats générés à chaque itérations est petit, mais sa performance se dégrade à mesure que ce nombre de candidats croît. / Markov Chain Monte Carlo (MCMC) algorithms are methods that are used for sampling from probability distributions. These tools are based on the path of a Markov chain whose stationary distribution is the distribution to be sampled. Given their relative ease of application, they are one of the most popular approaches in the statistical community, especially in Bayesian analysis. These methods are very popular for sampling from complex and/or high dimensional probability distributions. Since the appearance of the first MCMC method in 1953 (the Metropolis algorithm, see [10]), the interest for these methods, as well as the range of algorithms available, continue to increase from one year to another. Although the Metropolis-Hastings algorithm (see [8]) can be considered as one of the most general Markov chain Monte Carlo algorithms, it is also one of the easiest to understand and explain, making it an ideal algorithm for beginners. As such, it has been studied by several researchers. The multiple-try Metropolis (MTM) algorithm , proposed by [9], is considered as one interesting development in this field, but unfortunately its implementation is quite expensive (in terms of time). Recently, a new algorithm was developed by [1]. This method is named the revisited multiple-try Metropolis algorithm (MTM revisited), which is obtained by expressing the MTM method as a Metropolis-Hastings algorithm on an extended space. The objective of this work is to first present MCMC methods, and subsequently study and analyze the Metropolis-Hastings and standard MTM algorithms to allow readers a better perspective on the implementation of these methods. A second objective is to explore the opportunities and disadvantages of the revisited MTM algorithm to see if it meets the expectations of the statistical community. We finally attempt to fight the sedentarity of the revisited MTM algorithm, which leads to a new algorithm. The latter performs efficiently when the number of generated candidates in a given iteration is small, but the performance of this new algorithm then deteriorates as the number of candidates in a given iteration increases.

Ce mémoire porte sur la présentation des estimateurs de Bernstein qui sont des alternatives récentes aux différents estimateurs classiques de fonctions de répartition et de densité. Plus précisément, nous étudions leurs différentes propriétés et les comparons à celles de la fonction de répartition empirique et à celles de l'estimateur par la méthode du noyau. Nous déterminons une expression asymptotique des deux premiers moments de l'estimateur de Bernstein pour la fonction de répartition. Comme pour les estimateurs classiques, nous montrons que cet estimateur vérifie la propriété de Chung-Smirnov sous certaines conditions. Nous montrons ensuite que l'estimateur de Bernstein est meilleur que la fonction de répartition empirique en terme d'erreur quadratique moyenne. En s'intéressant au comportement asymptotique des estimateurs de Bernstein, pour un choix convenable du degré du polynôme, nous montrons que ces estimateurs sont asymptotiquement normaux. Des études numériques sur quelques distributions classiques nous permettent de confirmer que les estimateurs de Bernstein peuvent être préférables aux estimateurs classiques. / This thesis focuses on the presentation of the Bernstein estimators which are recent alternatives to conventional estimators of the distribution function and density. More precisely, we study their various properties and compare them with the empirical distribution function and the kernel method estimators. We determine an asymptotic expression of the first two moments of the Bernstein estimator for the distribution function. As the conventional estimators, we show that this estimator satisfies the Chung-Smirnov property under conditions. We then show that the Bernstein estimator is better than the empirical distribution function in terms of mean squared error. We are interested in the asymptotic behavior of Bernstein estimators, for a suitable choice of the degree of the polynomial, we show that the Bernstein estimators are asymptotically normal. Numerical studies on some classical distributions confirm that the Bernstein estimators may be preferable to conventional estimators.

Nous présentons dans ce mémoire un nouvel algorithme de type Metropolis-Hastings dans lequel la distribution instrumentale a été conçue pour l'estimation de distributions cibles bimodales. En fait, cet algorithme peut être vu comme une modification de l'algorithme Metropolis de type marche aléatoire habituel auquel on ajoute quelques incréments de grande envergure à des moments aléatoires à travers la simulation. Le but de ces grands incréments est de quitter le mode de la distribution cible où l'on se trouve et de trouver l'autre mode. Par la suite, nous présentons puis démontrons un résultat de convergence faible qui nous assure que, lorsque la dimension de la distribution cible croît vers l'infini, la chaîne de Markov engendrée par l'algorithme converge vers un certain processus stochastique qui est continu presque partout. L'idée est similaire à ce qui a été fait par Roberts et al. (1997), mais la technique utilisée pour la démonstration des résultats est basée sur ce qui a été fait par Bédard (2006). Nous proposons enfin une stratégie pour trouver la paramétrisation optimale de notre nouvel algorithme afin de maximiser la vitesse d'exploration locale des modes d'une distribution cible donnée tout en estimant bien la pondération relative de chaque mode. Tel que dans l'approche traditionnellement utilisée pour ce genre d'analyse, notre stratégie passe par l'optimisation de la vitesse d'exploration du processus limite. Finalement, nous présentons des exemples numériques d'implémentation de l'algorithme sur certaines distributions cibles, dont une ne respecte pas les conditions du résultat théorique présenté. / In this thesis, we present a new Metropolis-Hastings algorithm whose proposal distribution has been designed to successfully estimate bimodal target distributions. This sampler may be seen as a variant of the usual random walk Metropolis sampler in which we propose large candidate steps at random times. The goal of these large candidate steps is to leave the actual mode of the target distribution in order to find the second one. We then state and prove a weak convergence result stipulating that if we let the dimension of the target distribution increase to infinity, the Markov chain yielded by the algorithm converges to a certain stochastic process that is almost everywhere continuous. The theoretical result is in the flavour of Roberts et al. (1997), while the method of proof is similar to that found in Bédard (2006). We propose a strategy for optimally parameterizing our new sampler. This strategy aims at optimizing local exploration of the target modes, while correctly estimating the relative weight of each mode. As is traditionally done in the statistical literature, our approach consists of optimizing the limiting process rather than the finite-dimensional Markov chain. Finally, we illustrate our method via numerical examples on some target distributions, one of which violates the regularity conditions of the theoretical result.