The methods of statistical physics are increasingly being employed in a range of interdisciplinary areas. In particular, aspects of complex biological processes have been elucidated by bringing the problems down to the level of simple interactions studied in a statistical sense. In nonequilibrium statistical physics, a one dimensional lattice model known as the totally asymmetric simple exclusion processes (TASEP) has become prominent as a tool for modelling various cellular transport processes. Indeed the context in which the TASEP was first introduced (MacDonald et. al., 1968) was to model ribosome motion along mRNA during protein synthesis. In this work I study a variation of the TASEP in which particles hop along a one dimensional lattice which extends as they reach the end. We introduce this model to describe the unique growth dynamics of filamentous fungi, whereby a narrow fungal filament extends purely from its tip region while being supplied with growth materials from behind the tip. We find that the steady state behaviour of our model reflects that of the TASEP, however there is an additional phase where a dynamic shock is present in the system. I show through Monte Carlo simulation and theoretical analysis that the qualitative behaviour of this model can be predicted with a simple mean-field approximation, while the details of the phase behaviour are accurate only in a refined approximation which takes into account some correlations. I also discuss a further refined mean-field approximation and give a heuristic argument for our results. Next I present an extension of the model which allows the particles to interact with a second lattice, on which they diffuse in either direction. A first order meanfield continuum approximation suggests that the steady states of this system will exhibit some novel behaviour. Through Monte Carlo simulation I discuss the qualitative changes that arise due to the on-off dynamics. Finally I study a model for a second biological phenomenon: the length fluctuations of microtubules. The model describes stochastic polymerisation events at the tip of a microtubule. Using a mean-field theory, we find a transition between regimes where the microtubule grows on average, and where the length remains finite. For low rates of polymerisation and depolymerisation, the transition is in good agreement with Monte Carlo simulation.

Motores moleculares são proteínas capazes de transportar objetos tais como vesículas, organelas e macromoléculas ao longo do citoesqueleto. Tratam-se de dispositivos bastante interessantes do ponto de vista físico, pois produzem trabalho em um ambiente extremamente ruidoso. Recentemente, diversos experimentos realizados in vivo têm revelado que objetos transportados por motores moleculares ao longo dos microtúbulos apresentam movimento bidirecional. Embora o movimento unidirecional dos motores envolvidos no transporte destes objetos seja bem caracterizado tanto experimentalmente quanto teoricamente, o movimento bidirecional das partículas transportadas pelos motores ainda não é bem entendido. Contudo, acredita-se que este fenômeno seja causado pela cooperatividade dos motores moleculares. Existem na literatura diversos trabalhos que visam descrever o comportamento coletivo de partículas locomovendo-se sobre uma rede unidimensional com interações de volume excluído e taxas de transição assimétricas. Estes modelos são conhecidos como TASEP (Totally asymmetric simple exclusion processes ) ou ASEP (Asymmetric simple exclusion processes ) e fazem parte de uma classe de modelos denominados sistemas difusivos dirigidos_. Embora alguns autores tenham utilizado modelos do tipo ASEP e TASEP para descrever o movimento dos motores moleculares exclusivamente [37], [38], não há ainda nesta visão microscópica, extensões deste modelo para incorporar as partículas cuja dinâmica depende exclusivamente da presença de motores. No presente trabalho propomos um modelo de exclusão, desenvolvido com o intuito de descrever o movimento conjunto de motores moleculares e das partículas carregadas pelos mesmos, as quais por simplicidade denominamos vesículas. Neste modelo, as vesículas não possuem dinâmica própria, ou seja, dependem da interação com os motores moleculares para se movimentarem. Procuramos soluções analíticas para este modelo para o 1 RESUMO 2 caso em que há apenas uma vesícula locomovendo-se sobre a rede. Utilizando o método das matrizes [32], calculamos a velocidade média da vesícula no estado estacionário e analisamos seu comportamento em situações de interesse. / Molecular motors are proteins that transport objects such as vesicles, organelles and macromolecules along the cytoskeletum of cells. For physics, they are very interesting devices because they are able to generate work in an extremely viscous environment. Recently, many in vivo experiments have revealed that objects transported by molecular motors move bidirectionally along microtubules. Although the unidirectional movement of such molecular motors is experimentally and theoretically well characterized, the movement of particles transported by these motors is not well understood yet. However, this fenomenum is believed to be caused by the cooperativity of molecular motors. A great number of works are found in literature, which were formulated to describe the collective behaviour of many particles moving in a one-dimensional lattice with a preferred hop rate and exclusion. These models are known as TASEP (Totally asymmetric simple exclusion processes) or ASEP (Asymmetric simple exclusion processes) and are part of a class of models named _driven di_usive systems_. Although some authors made use of ASEP and TASEP models to describe the movement of molecular motors [37], [38], there is not yet, in this microscopic point of view, extensions of these models capable of incorporate particles which the dynamics depends exclusivaly from the presence of motors. In this work we propose a exclusion model developed to describe the joint movement of molecular motors and particles, generally called vesicles. In this model, vesicles do not have a proper dynamics, that is, they on the interaction with molecular motors to move. We look after analytical solutions of this model when there is only one vesicle moving on the lattice. We use a matrix formulation [32] to obtain the mean velocity of the vesicle and analyse its behaviour in situations of interest.

Motores moleculares são proteínas capazes de transportar objetos tais como vesículas, organelas e macromoléculas ao longo do citoesqueleto. Tratam-se de dispositivos bastante interessantes do ponto de vista físico, pois produzem trabalho em um ambiente extremamente ruidoso. Recentemente, diversos experimentos realizados in vivo têm revelado que objetos transportados por motores moleculares ao longo dos microtúbulos apresentam movimento bidirecional. Embora o movimento unidirecional dos motores envolvidos no transporte destes objetos seja bem caracterizado tanto experimentalmente quanto teoricamente, o movimento bidirecional das partículas transportadas pelos motores ainda não é bem entendido. Contudo, acredita-se que este fenômeno seja causado pela cooperatividade dos motores moleculares. Existem na literatura diversos trabalhos que visam descrever o comportamento coletivo de partículas locomovendo-se sobre uma rede unidimensional com interações de volume excluído e taxas de transição assimétricas. Estes modelos são conhecidos como TASEP (Totally asymmetric simple exclusion processes ) ou ASEP (Asymmetric simple exclusion processes ) e fazem parte de uma classe de modelos denominados sistemas difusivos dirigidos_. Embora alguns autores tenham utilizado modelos do tipo ASEP e TASEP para descrever o movimento dos motores moleculares exclusivamente [37], [38], não há ainda nesta visão microscópica, extensões deste modelo para incorporar as partículas cuja dinâmica depende exclusivamente da presença de motores. No presente trabalho propomos um modelo de exclusão, desenvolvido com o intuito de descrever o movimento conjunto de motores moleculares e das partículas carregadas pelos mesmos, as quais por simplicidade denominamos vesículas. Neste modelo, as vesículas não possuem dinâmica própria, ou seja, dependem da interação com os motores moleculares para se movimentarem. Procuramos soluções analíticas para este modelo para o 1 RESUMO 2 caso em que há apenas uma vesícula locomovendo-se sobre a rede. Utilizando o método das matrizes [32], calculamos a velocidade média da vesícula no estado estacionário e analisamos seu comportamento em situações de interesse. / Molecular motors are proteins that transport objects such as vesicles, organelles and macromolecules along the cytoskeletum of cells. For physics, they are very interesting devices because they are able to generate work in an extremely viscous environment. Recently, many in vivo experiments have revealed that objects transported by molecular motors move bidirectionally along microtubules. Although the unidirectional movement of such molecular motors is experimentally and theoretically well characterized, the movement of particles transported by these motors is not well understood yet. However, this fenomenum is believed to be caused by the cooperativity of molecular motors. A great number of works are found in literature, which were formulated to describe the collective behaviour of many particles moving in a one-dimensional lattice with a preferred hop rate and exclusion. These models are known as TASEP (Totally asymmetric simple exclusion processes) or ASEP (Asymmetric simple exclusion processes) and are part of a class of models named _driven di_usive systems_. Although some authors made use of ASEP and TASEP models to describe the movement of molecular motors [37], [38], there is not yet, in this microscopic point of view, extensions of these models capable of incorporate particles which the dynamics depends exclusivaly from the presence of motors. In this work we propose a exclusion model developed to describe the joint movement of molecular motors and particles, generally called vesicles. In this model, vesicles do not have a proper dynamics, that is, they on the interaction with molecular motors to move. We look after analytical solutions of this model when there is only one vesicle moving on the lattice. We use a matrix formulation [32] to obtain the mean velocity of the vesicle and analyse its behaviour in situations of interest.

[pt] O objetivo desta dissertação é apresentar algumas técnicas e ferramentas para a obtenção de cotas superiores e inferiores para tempos de mistura de cadeias de Markov. Para que isso se torne mais interessante, apresentaremos estes conceitos através de cadeias de Markov que atuam sobre o grupo simétrico, que podem ser vistas como embaralhamentos de cartas. Ademais, usaremos um destes embaralhamentos como toy model para o processo de exclusão simples simétrico, o que nos ajudará a determinar os tempos de mistura do embaralhamento e do famoso sistema de partículas. / [en] The aim of this dissertation is to introduce some techniques and tools to obtain upper and lower bounds for Markov chains mixing times. To make it more interesting, we introduce these concepts through Markov chains that act on the symmetric group, which can be seen as card shuffles. Furthermore, we use one of these shuffles as a toy model for the symmetric simple exclusion process, which helps us to determine mixing times for the shuffle and for the famous particle system.

Um conjunto de modelos compostos de redes de filas em grades finitas servindo como ambientes aleatorios para um ou mais passeios aleatorios, que por sua vez podem afetar o comportamento das filas, e desenvolvido. Duas formas de interacao entre os passeios aleatorios sao consideradas. Para cada modelo, e provado que o processo Markoviano correspondente e recorrente positivo e reversivel. As equacoes de balanceamento detalhado sao analisadas para obter a forma funcional da medida invariante de cada modelo. Em todos os modelos analisados neste trabalho, a medida invariante em uma grade finita tem forma produto. Modelos de redes de filas como ambientes para multiplos passeios aleatorios sao estendidos a grades infinitas. Para cada modelo estendido, sao especificadas as condicoes para a existencia do processo estocastico na grade infinita. Alem disso, e provado que existe uma unica medida invariante na rede infinita cuja projecao em uma subgrade finita e dada pela medida correspondente de uma rede finita. Finalmente, e provado que essa medida invariante na rede infinita e reversivel. / A set of models composed of queueing networks serving as random environments for one or more random walks, which themselves can affect the behavior of the queues, is developed. Two forms of interaction between the random walkers are considered. For each model, it is proved that the corresponding Markov process is positive recurrent and reversible. The detailed balance equa- tions are analyzed to obtain the functional form of the invariant measure of each model. In all the models analyzed in the present work, the invariant measure on a finite lattice has product form. Models of queueing networks as environments for multiple random walks are extended to infinite lattices. For each model extended, the conditions for the existence of the stochastic process on the infinite lattice are specified. In addition, it is proved that there exists a unique invariant measure on the infinite network whose projection on a finite sublattice is given by the corresponding finite- network measure. Finally, it is proved that that invariant measure on the infinite lattice is reversible.

Um conjunto de modelos compostos de redes de filas em grades finitas servindo como ambientes aleatorios para um ou mais passeios aleatorios, que por sua vez podem afetar o comportamento das filas, e desenvolvido. Duas formas de interacao entre os passeios aleatorios sao consideradas. Para cada modelo, e provado que o processo Markoviano correspondente e recorrente positivo e reversivel. As equacoes de balanceamento detalhado sao analisadas para obter a forma funcional da medida invariante de cada modelo. Em todos os modelos analisados neste trabalho, a medida invariante em uma grade finita tem forma produto. Modelos de redes de filas como ambientes para multiplos passeios aleatorios sao estendidos a grades infinitas. Para cada modelo estendido, sao especificadas as condicoes para a existencia do processo estocastico na grade infinita. Alem disso, e provado que existe uma unica medida invariante na rede infinita cuja projecao em uma subgrade finita e dada pela medida correspondente de uma rede finita. Finalmente, e provado que essa medida invariante na rede infinita e reversivel. / A set of models composed of queueing networks serving as random environments for one or more random walks, which themselves can affect the behavior of the queues, is developed. Two forms of interaction between the random walkers are considered. For each model, it is proved that the corresponding Markov process is positive recurrent and reversible. The detailed balance equa- tions are analyzed to obtain the functional form of the invariant measure of each model. In all the models analyzed in the present work, the invariant measure on a finite lattice has product form. Models of queueing networks as environments for multiple random walks are extended to infinite lattices. For each model extended, the conditions for the existence of the stochastic process on the infinite lattice are specified. In addition, it is proved that there exists a unique invariant measure on the infinite network whose projection on a finite sublattice is given by the corresponding finite- network measure. Finally, it is proved that that invariant measure on the infinite lattice is reversible.