Dans cette these, nous etudions d'abord le probleme des singularites eliminables des EDP elliptiques du second ordre; le cas modele etant $- \Delta u + cu \geq f$ sur $\Omega \backslash K$, avec $u \geq 0$ et $(\rm cap)_2((K))=0$. Nous démontrons aussi un principe du maximum fort pour l'operateur $-\Delta + a(x)$, avec un potentiel $a \in L^1$. Ces deux résultats utilisent plusieurs formulations de l'inegalite de Kato classique. Nous presentons ensuite quelques variantes de l'inegalite de Poincare, motives par une nouvelle caracterisation des espaces de Sobolev. Puis, nous nous interessons aux singularites topologiques des fonctions dans l'espace $W^(1,1)(S^2;S^1)$. A cet effet, nous etudions leur energie relaxee et la variation totale du jacobien. Finalement, nous considerons plusieurs proprietes des distributions de la forme $\sum_j((\delta_(p_j) - \delta_(n_j)))$, definies sur un espace metrique complet.

Cette these porte sur les instabilites et les singularites d'objets minces.<br /><br />Nous considerons d'abord des corps minces elastiques. D'une part, nous etudions, experimentalement puis numeriquement, les deformations d'une bicouche de gels confinee. La croissance de la couche superieure produit des motifs periodiques; la surface libre presente alors un systeme regulier de singularites. Nous nous interessons d'autre part aux proprietes statistiques du reseau de plis dans une feuille de papier froissee. A partir d'un modele simple traite numeriquement, nous montrons le role decisif des interactions geometriques.<br /><br />La deuxieme partie est consacree a la stabilite d'un film mince volatil. Nous developpons un modele general et predisons le seuil a partir duquel l'evaporation devient un processus instable. Dans le regime limite par la diffusion, nous montrons analytiquement que de la bifurcation est super-critique.

C'est l'histoire d'un mathématicien qui est allé à la recherche des tores perdus<br />dans la jungle des systèmes complètement intégrables. Il a trouvé des feuilles<br />particulières et des tores pour construire une petite cabane qui donne une vue<br />topologique sur la jungle.

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions ayant trait au calcul des variations et à la théorie des équations aux dérivées partielles elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre 1, on étudie la condition de pente minorée pour des fonctions définies sur la frontière d'un ouvert de $\R^n.$ <br />Dans le chapitre 2, on s'intéresse à un problème de calcul des variations où la fonctionnelle est de la forme $$u\mapsto \int\{ F(\nabla u(x))+G(x,u(x))\}\,dx$$ et où la condition de Dirichlet est définie par une fonction vérifiant la condition de pente minorée. <br /> Dans le chapitre 3, on étudie une équation aux dérivées partielles elliptique à forme divergentielle avec une condition de Dirichlet qui vérifie la condition de pente minorée. <br />Dans le chapitre 4, on décrit les composantes connexes de l'ensemble $W^{s,p}(M,N).$ <br />Dans le chapitre 5, nous identifions l'ensemble singulier d'une fonction $u\in W^{s,p}(S^N,S^1).$

Les equations de Maxwell se resolvent aisement lorsque le domaine d'etude est regulier, mais lorsqu'il existe des singularites geometriques (coins rentrants en 2D, coins et aretes rentrants en 3D), le champ electromagnetique est localement non borne au voisinage de ces singularites. Nous nous interessons a la resolution des equations de Maxwell dans des domaines bornes, singuliers, a l'aide de methodes d'elements finis continus. En pratique, cela permet de modeliser des instruments de telecommunication comme les guides d'onde, les filtres a stubs. Nous analysons tout d'abord le probleme quasi-electrostatique 2D, afin de maitriser la discretisation en espace. Nous presentons trois methodes de calcul (formulations augmentees mixtes) qui donnent des resultats numeriques tres convaincants : - Une version epuree de la methode du complement singulier (conditions aux limites essentielles). - La methode de regularisation a poids : on introduit un poids qui depend des distances aux singularites geometriques (conditions aux limites essentielles). - La methode avec conditions aux limites naturelles. Nous etudions ensuite la generalisation de ces methodes aux domaines 3D. Nous detaillons la resolution des equations de Maxwell instationnaires en domaines singuliers 3D par la methode de regularisation a poids, et nous donnons des resultats numeriques inedits.

On s'interesse dans ce travail a la stabilite des ondes de <br />choc pour des systemes hyperboliques de lois de conservation <br />multidimensionnels. Ce probleme a ete traite par Andrew <br />Majda sous une hypothese, dite de stabilite uniforme, qui <br />intervient de facon cruciale dans son analyse. Cette hypothese <br />est cependant mise en defaut dans certains exemples, par exemple <br />dans l'etude des transitions de phase liquide-vapeur. Nous <br />examinons ici la stabilite des interfaces qui ne verifient <br />pas l'hypothese de stabilite uniforme, et montrons comment les <br />resultats de Majda s'etendent a de telles discontinuites. <br /><br /><br />On commence par montrer la stabilite lineaire des chocs plans <br />faiblement stables, a l'aide d'un symetriseur de Kreiss <br />degenere qui tient compte des modes neutralement instables. <br />Cette premiere etape etablit un compte precis des pertes de <br />derivees intervenant dans les estimations d'energie. Dans un <br />second temps, nous montrons que ces estimations d'energie demeurent <br />valables lorsque l'on etudie la stabilite des interfaces (non <br />planes) proches d'un choc plan. L'utilisation du calcul <br />paradifferentiel nous permet de traiter des perturbations <br />peu regulieres du choc plan initial. Sous une hypothese de <br />petitesse sur le comportement global des courbes bicaracteristiques, nous montrons une estimation d'energie semblable a celle etablie pour le probleme linearise a coefficients constants. Ce resultat devrait permettre de montrer la stabilite non lineaire des ondes de choc faiblement stables.