In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Spektralinvarianten von Polygonen und geschlossenen Orbiflächen konstanter Gaußkrümmung. Unsere Methode ist es jeweils den Wärmeleitungskern und die asymptotische Entwicklung der Wärmespur zu untersuchen. Als erstes untersuchen wir hyperbolische Polygone, d.h. relativ kompakte Gebiete in der hyperbolischen Ebene mit stückweise geodätischem Rand. Wir berechnen die asymptotische Entwicklung der Wärmespur bezüglich des Dirichlet-Laplace Operators eines beliebigen hyperbolischen Polygons, und wir erhalten explizite Formeln für alle Wärmeinvarianten. Analoge Resultate für euklidische und sphärische Polygone waren vorher bekannt. Wir vereinheitlichen diese Resultate und leiten die Wärmeinvarianten für beliebige Polygone her, d.h. für relativ kompakte Gebiete mit stückweise geodätischem Rand in einer vollständigen Riemann'schen Mannigfaltigkeit konstanter Gaußkrümmung. Es stellt sich heraus, dass die Wärmeinvarianten viele Informationen über ein Polygon liefern, falls die Krümmung nicht verschwindet. Zum Beispiel sind dann die Multimenge aller echten Winkel (d.h. derjenigen Winkel die ungleich Pi sind) und die Euler-Charakteristik eines Polygons Spektralinvarianten. Außerdem berechnen wir die asymptotische Entwicklung der Wärmespur von geschlossenen Riemann'schen Orbiflächen konstanter Krümmung und erhalten explizite Formeln für alle Wärmeinvarianten. Falls die Krümmung nicht verschwindet, so kann man interessante Informationen aus den Wärmeinvarianten über die Topologie und die singuläre Menge einer Orbifläche ermitteln. / In this thesis we deal with spectral invariants for polygons and closed orbisurfaces of constant Gaussian curvature. In each case our method is to study the heat kernel and the asymptotic expansion of the heat trace. First, we investigate hyperbolic polygons, i.e. relatively compact domains in the hyperbolic plane with piecewise geodesic boundary. We compute the asymptotic expansion of the heat trace associated to the Dirichlet Laplacian of any hyperbolic polygon, and we obtain explicit formulas for all heat invariants. Analogous results for Euclidean and spherical polygons were known before. We unify these results and deduce the heat invariants for arbitrary polygons, i.e. for relatively compact domains with piecewise geodesic boundary contained in a complete Riemannian manifold of constant Gaussian curvature. It turns out that the heat invariants provide much information about a polygon, if the curvature does not vanish. For example, then the multiset of all real angles (i.e. those which are not equal to pi) and the Euler characteristic of a polygon are spectral invariants. Furthermore, we compute the asymptotic expansion of the heat trace for any closed Riemannian orbisurface of constant curvature, and obtain explicit formulas for all heat invariants. If the curvature does not vanish, then it is possible to detect interesting information about the topology and the singular set of an orbisurface from the heat invariants.

Dans cette thèse, nous développons de nouveaux outils pour relier les dynamiques qualitatives des systèmes hamiltoniens sur des surfaces aux propriétés algèbriques de leurs complexes de Floer - un objet algébrique qui encode l'information sur la façon dont les orbites 1-périodiques d'un système sont reliées par des cylindres satisfaisant une équation différentielle partielle elliptique appelée l'équation de Floer. L'idée principale est de considérer --- pour un hamiltonian \(H \in C^\infty(S^1 \times \Sigma)\) sur une surface symplectique \((\Sigma, \omega)\) --- les graphes des orbites contractiles 1-périodiques de l'isotopie \((\phi^H_t)_{t \in [0,1]}\) comme définissant une tresse \(P^H\) dans \(S^1 \times \Sigma\). En choisissant des capuchons pour chacune de ces orbites 1-périodiques, nous obtenons un objet que nous appelons une tresse encapuchonnée \(\hat{P}^H\), qui est muni d'une fonction d'indexation \(\mu_{CZ}: \hat{P}^H \rightarrow \mathbb{Z}\) obtenue en assignant à chaque brin encapuchonné l'indice de Conley-Zehnder de l'orbite encapuchonnée associée. L'idée est alors de s'interroger sur la relation entre l'information topologique encodée dans la tresse encapuchonnée indexée \((\hat{P}^H,\mu_{CZ})\) et la structure du complexe de Floer \(CF_*(H,J)\) pour une structure presque complexe générique \(J\). À cette fin, nous aurons recours à: un nouvel invariant relatif pour les paires de tresses encapuchonnées que nous appelons le nombre d'enlacement homologique, un cercle d'idées concernant le comportement asymptotique des courbes pseudo-holomorphes développé par Hofer-Wysocki-Zehnder dans leur série d'articles [8], [10], [12] et aussi [11] (ainsi qu'un raffinement supplémentaire dans le cas relatif dû à Siefring dans [32]), et une nouvelle technique en basses dimensions pour la construction de morphismes de continuation de Floer qui ont un comportement prescrit. En conséquence de ces techniques, nous établissons l'existence --- pour des systèmes hamiltoniens génériques sur une surface fermée arbitraire --- de certaines feuilletages singulières spéciaux sur \(S^1 \times \Sigma\) dont le comportement est étroitement lié à la fois à la dynamique sous-jacente et à la structure du complexe de Floer du système. La construction de tels feuilletages dans le cas particulier des pseudo-rotations d'un disque, par des méthodes très différentes des nôtres, a été au coeur des progrès significatifs récents de Bramham dans [3] sur une célèbre question de Katok concernant les systèmes conservatifs de basse dimension et d'entropie nulle. Ces feuilletages fournissent également, pour les systèmes hamiltoniens lisses génériques, une construction Floer-théorique des feuilletages positivement transversaux sur \(\Sigma\) qui ont été construits originellement (pour les homéomorphismes de surface généraux) par Le Calvez à travers d'une extension substantielle de la théorie de Brouwer classique pour les homéomorphismes de surface dans [16]. En plus de fournir un pont géométrique entre la dynamique d'une isotopie hamiltonienne et l'information algébrique contenue dans son complexe de Floer, les techniques développées dans cette thèse permettent également de donner une caractérisation --- purement en termes de la dynamique de l'isotopie hamiltonienne sous-jacente --- des cycles de Floer dans \(CF_*(H,J)\) qui représentent la classe fondamentale de la surface et qui de plus se trouvent dans l'image d'un morphisme de PSS au niveau des chaines. Finalement, ces techniques permettent de définir une nouvelle famille d'invariants d'un système hamiltonien (sur une variété symplectique arbitraire) qui se comporte formellement de manière similaire à une famille bien étudiée de tels invariants connue comme les invariants spectraux de Oh-Schwarz. L'avantage de nos nouveaux invariants est que nous sommes capable de calculer explicitement les plus importants d'entre eux pour des systèmes hamiltoniens génériques sur des surfaces arbitraires, ce uniquement en termes de topologie relative des orbites périodiques du système (avec leurs indices de Conley-Zehnder). Ceci généralise un résultat de Humilière-Le Roux-Seyfaddini dans [13] dans lequel ils ont donné une caractérisation dynamique du principal invariant spectral de Oh-Schwarz dans le cas de systèmes hamiltoniens autonomes sur des surfaces de genre positif. / In this thesis, we develop novel tools for relating the qualitative dynamics of Hamiltonian systems on surfaces to the algebraic properties of their Floer complexes --- an algebraic object which encodes information about the ways in which a system’s 1-periodic orbits are connected by cylinders satisfying an elliptic partial differential equation known as Floer’s equation. The main idea is to consider --- for a generic Hamiltonian \(H \in C^\infty(S^1 \times \Sigma)\) on a symplectic surface \((\Sigma, \omega)\) --- the graphs of the contractible time-1 periodic orbits of the isotopy \((\phi^H_t)_{t \in [0,1]}\) as defining a braid \(P^H\) in \(S^1 \times \Sigma\). Upon choosing cappings for each such 1-periodic orbit, we obtain an object which we term a capped braid \(\hat{P}^H\), which comes equipped with an indexing function \(\mu_{CZ}: \hat{P}^H \rightarrow \mathbb{Z}\) given by assigning to each (capped) strand of the braid the Conley-Zehnder index of the associated capped orbit. The idea is then to enquire into the relation of the topological information encoded in the indexed capped braid \((\hat{P}^H,\mu_{CZ})\) and the structure of the Floer complex \(CF_*(H,J)\) for a generic \(J\). The main tools employed to this end are: a novel relative invariant for pairs of capped braids which we term the homological linking number, a circle of ideas about the asymptotic behaviour of pseudo-holomorphic curves pioneered by Hofer-Wysocki-Zehnder in their series of papers [8], [10], [12] as well as in [11] (along with a further refinement to the relative case by Siefring in [32]), and a novel technique for the construction of regular Floer continuation maps in low-dimensions having prescribed behaviour. As a consequence of these techniques, we establish the existence --- for generic Hamiltonian systems on an arbitrary closed surface \(\Sigma\) --- of certain special singular foliations on \(S^1 \times \Sigma\) whose behaviour is tightly related to both the underlying dynamics, as well as the structure of the system’s Floer complex. The construction of such foliations (by very different methods) in the particular case of pseudo-rotations on a disk was the crux of Bramham’s recent significant progress in [3] on a famous question due to Katok about low-dimensional conservative systems with vanishing entropy. These foliations also provide, for generic smooth Hamiltonian systems, 7 a Floer-theoretic construction of the positively transverse foliations on \(\Sigma\) which were originally constructed (for general surface homeomorphisms) by Le Calvez through a significant extension of classical Brouwer theory for surface homeomorphisms in [16]. In addition to providing a geometric bridge between the dynamics of a Hamiltonian isotopy and the algebraic information contained in its associated Floer complex, the techniques developed in this dissertation also permit a characterization --- purely in terms of the dynamics of the underlying Hamiltonian isotopy --- of those Floer cycles in \(CF_*(H,J)\) which represent the fundamental class of the surface, and which moreover lie in the image of some chain-level PSS map. Finally, these techniques permit the definition of a new family of invariants of a Hamiltonian system (on an arbitrary symplectic manifold) which behave formally similarly to a well-studied family of such invariants known as ‘Oh-Schwarz spectral invariants’ (and which agree with them in all known cases). The advantage of these novel spectral invariants is that we are able to explicitly compute the most important of these spectral invariants for generic Hamiltonian systems on arbitrary surfaces purely in terms of the relative topology of the system’s periodic orbits (together with their Conley-Zehnder indices). This considerably generalizes a result by Humilière-Le Roux-Seyfaddini in [13] in which they gave a dynamical characterization of the main Oh-Schwarz spectral invariant in the case of time-independent Hamiltonian systems on surfaces with positive genus.