This thesis is motivated by problems studied as part of the Diavik Waste Rock Pile Project. Located at the Diavik Diamond Mine in the Northwest Territories, with academic support from the University of Waterloo, the University of Alberta, and the University of British Columbia, this project focuses on constructing mine waste rock piles and studying their physical and chemical properties and the transport processes within them. One of the main reasons for this investigation is to determine the effect of environmental factors on acid mine drainage (AMD) due to sulfide oxidation and the potential environmental impact of AMD. This research is concerned with modeling pressure driven flow through waste rock piles. Unfortunately, because of the irregular shape of the piles, very little data for fluid flow about such an obstacle exists, and the numerical techniques available to work with this domain are limited. Since this restricts the study of the mathematics behind the flow, this thesis focuses on a cylindrical domain, since flow past a solid cylinder has been subjected to many years of study. The cylindrical domain also facilitates the implementation of a pseudo-spectral method. This thesis examines a pressure driven flow through a cylinder of variable permeability subject to turbulent forcing. An equation for the steady flow of an incompressible fluid through a variable permeability porous medium is derived based on Darcy's law, and a pseudo-spectral model is designed to solve the problem. An unsteady time-dependent model for a slightly compressible fluid is then presented, and the unsteady flow through a constant permeability cylinder is examined. The steady results are compared with a finite element model on a trapezoidal domain, which provides a better depiction of a waste rock pile cross section.

Neste trabalho, é estudada a descrição do fluxo de um gás rarefeito em um duto cilíndrico de comprimento infinito. A formulação matemática do problema está baseada na forma integral de equações cinéticas derivadas da Equação de Boltzmann. Particularmente são estudados os modelos cinéticos conhecidos como BGK e S. Métodos espectrais são propostos para obtenção de soluções, em forma fechada, para quantidades de interesse como o perfil de velocidade do gás, bem como taxas de fluxo. As formulações espectrais são baseadas em duas abordagens: expansão clássica em termos de Polinômios de Legendre e expansão em termos de splines cúbicas de Hermite, neste caso, associada a um esquema de colocação. A implementação das propostas produz resultados computacionais satisfatórios do ponto de vista prático. Para obtenção de resultados com maior precisão, técnicas de tratamento da singularidade do núcleo da equação integral foram introduzidas, resultando em ganho computacional significativo. Finalmente, a proposta de solução espectral para problemas em geometria cilíndrica se mostrou adequada para problemas em que se admite reflexão especular na superfície do cilindro, situação onde outras abordagens clássicas disponíveis na literatura não podem ser utilizadas. / In this work, rarefied gas flows in cylindrical ducts are studied. The mathematical formulation of the problems are based on the integral form of kinetic equations derived from the Boltzmann equation. Particularly, the BGK and S models are studied. Spectral methods are proposed to obtain closed form solutions for quantities of interest as velocity profile of the gas as well as flow rates. The spectral formulations are based on two approaches: classical expansions in terms of Legendre Polynomials and Hermite cubic splines expansions. In this case, associated with a collocation scheme. The approaches provide good computational results, from the practical point of view. On the other hand, for obtaining higher accuracy, some techniques were introduced to deal with the inherent singularity of the integral kernel. In this context, a significant computational gain is achieved. Finally, this spectral approach has shown to be adequate to solve problems where specular reflection is assumed at the surface, in which cases, classical approaches available in the literature can not be used.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho consiste na aplicação de métodos espectrais para obter a evolução de sistemas isolados que possam emitir ondas gravitacionais no regime não-linear pleno da Relatividade Geral. A perspectiva da detecção de ondas gravitacionais nos próximos anos torna premente a construção de padrões temporais e angulares de ondas gravitacionais emitidas por sistemas que são fortes candidatos a fontes intensas de ondas gravitacionais. Estudamos a evolução de esferóides de matéria emitindo ondas gravitacionais e um campo de radiação nula onde o espaço-tempo exterior é descrito pelas equações de Robinson- Trautman. O campo de radiação nula é esperado em um colapso gravitacional realístico e pode representar uma superposição incoerente de ondas eletromagnéticas, neutrinos ou campos escalares sem massa. Analisamos a evolução do espectro de emissão de ondas gravitacionais e a extração de massa do sistema devido à emissão de ambos os tipos de radiação. Apresentamos também o primeiro código numérico utilizando o método de Galerkin para integrar as equações de campo do problema de Bondi. Realizamos vários testes numéricos para verificar a convergência, estabilidade e precisão, obtendo resultados promissores. Esse código abre várias possibilidades de aplicações em cenários mais gerais de espaços-tempos com ondas gravitacionais. / This work consists of applying spectral methods to obtain the evolution of isolated systems that can emit gravitational waves in the full nonlinear regime of General Relativity. The perspective of detection of gravitational waves in the next years means that the construction of angular and temporal patterns of gravitational waves emitted by systems that are strong candidates for intense sources of gravitational waves has become pressing.The evolution of spheroids of matter emitting gravitational waves and a null radiation field is studied in the realm of radiative Robinson-Trautman spacetimes. The null radiation field is expected in realistic gravitational collapse and can be either an incoherent superposition of waves of electromagnetic, neutrino or massless scalar fields. We studied the evolution of the angular pattern of gravitational wave emission and the mass extraction of the bounded configuration through the emission of both types of radiations. We present the first numerical code based on the Galerkin method to integrate the field equations of the Bondi problem. Several numerical tests were performed to verify the issues of convergence, stability and accuracy with promising results. This code opens up several possibilities of applications in more general scenarios for studying the evolution of spacetimes with gravitational waves.

Neste trabalho aplicamos métodos espectrais para a determinação da configuração inicial de três espaços-tempos contendo buracos negros. Para isto apresentamos primeiro a foliação do espaço-tempo em hipersuperfícies tridimensionais espaciais parametrizadas pela função temporal t. Este processo é chamado de decomposição 3+1 [2] [5]. O resultado deste processo são dois conjuntos de equações classificadas em equações de vínculo e evolução [4]. As equações de vínculo podem ser divididas em vínculos Hamiltoniano e dos momentos. Para a obtenção dos dados iniciais dos problemas estudados aqui, apenas a equação de vínculo Hamiltoniano será resolvida numericamente, pois as equações de vínculo dos momentos possuem solução analítica nestes casos. Uma pequena descrição dos métodos espectrais é apresentada, destacando-se os método de Galerkin, método pseudoespectral ou de colocação e método de Tau, que são empregados na resolução das equações de vínculo Hamiltoniano dos problemas estudados. Verificamos que os resultados obtidos neste trabalho superam aqueles produzidos por Kidder e Finn [15], devido a uma escolha diferente das funções de base, que aqui satisfazem uma das condições de contorno. / In this work we apply spectral methods for determining the initial configuration of three spacetimes containing black holes. For this we present first the foliation of spacetime into three-dimensional spacelike hypersurfaces parameterized by the time function t. This process is called 3 + 1 decomposition [2] [5]. The result of this process are two sets of equations classified into constraint and evolution equations [4]. The constraint equations can be divided into Hamiltonian and momentum constraints.To obtain the initial data of the problems studied here, only the Hamiltonian constraint is solved numerically, since the momentum constraint of these cases have analytical solution. A short description of spectral methods is presented, highlighting Galerkin method, pseudospectral or collocation method and Tau method, which are employed in solving the constraint equations Hamiltonian of the problems studied. We found that the results obtained in this work outperform those produced by Kidder and Finn [15], due to a different choice of basis functions, which meet here one of the boundary conditions.

Control of the transition of laminar flow to turbulence would result in lower drag and reduced energy consumption in many engineering applications. A spectral state-space model of linearised plane Poiseuille flow with wall transpiration ac¬tuation and wall shear measurements is developed from the Navier-Stokes and continuity equations, and optimal controllers are synthesized and assessed in sim¬ulations of the flow. The polynomial-form collocation model with control by rate of change of wall-normal velocity is shown to be consistent with previous interpo¬lating models with control by wall-normal velocity. Previous methods of applying the Dirichlet and Neumann boundary conditions to Chebyshev series are shown to be not strictly valid. A partly novel method provides the best numerical behaviour after preconditioning. Two test cases representing the earliest stages of the transition are consid¬ered, and linear quadratic regulators (LQR) and estimators (LQE) are synthesized. Finer discretisation is required for convergence of estimators. A novel estimator covariance weighting improves estimator transient convergence. Initial conditions which generate the highest subsequent transient energy are calculated. Non-linear open- and closed-loop simulations, using an independently derived finite-volume Navier-Stokes solver modified to work in terms of perturbations, agree with linear simulations for small perturbations. Although the transpiration considered is zero net mass flow, large amounts of fluid are required locally. At larger perturbations the flow saturates. State feedback controllers continue to stabilise the flow, but estimators may overshoot and occasionally output feedback destabilises the flow. Actuation by simultaneous wall-normal and tangential transpiration is derived. There are indications that control via tangential actuation produces lower highest transient energy, although requiring larger control effort. State feedback controllers are also synthesized which minimise upper bounds on the highest transient energy and control effort. The performance of these controllers is similar to that of the optimal controllers.

Neste trabalho, é estudada a descrição do fluxo de um gás rarefeito em um duto cilíndrico de comprimento infinito. A formulação matemática do problema está baseada na forma integral de equações cinéticas derivadas da Equação de Boltzmann. Particularmente são estudados os modelos cinéticos conhecidos como BGK e S. Métodos espectrais são propostos para obtenção de soluções, em forma fechada, para quantidades de interesse como o perfil de velocidade do gás, bem como taxas de fluxo. As formulações espectrais são baseadas em duas abordagens: expansão clássica em termos de Polinômios de Legendre e expansão em termos de splines cúbicas de Hermite, neste caso, associada a um esquema de colocação. A implementação das propostas produz resultados computacionais satisfatórios do ponto de vista prático. Para obtenção de resultados com maior precisão, técnicas de tratamento da singularidade do núcleo da equação integral foram introduzidas, resultando em ganho computacional significativo. Finalmente, a proposta de solução espectral para problemas em geometria cilíndrica se mostrou adequada para problemas em que se admite reflexão especular na superfície do cilindro, situação onde outras abordagens clássicas disponíveis na literatura não podem ser utilizadas. / In this work, rarefied gas flows in cylindrical ducts are studied. The mathematical formulation of the problems are based on the integral form of kinetic equations derived from the Boltzmann equation. Particularly, the BGK and S models are studied. Spectral methods are proposed to obtain closed form solutions for quantities of interest as velocity profile of the gas as well as flow rates. The spectral formulations are based on two approaches: classical expansions in terms of Legendre Polynomials and Hermite cubic splines expansions. In this case, associated with a collocation scheme. The approaches provide good computational results, from the practical point of view. On the other hand, for obtaining higher accuracy, some techniques were introduced to deal with the inherent singularity of the integral kernel. In this context, a significant computational gain is achieved. Finally, this spectral approach has shown to be adequate to solve problems where specular reflection is assumed at the surface, in which cases, classical approaches available in the literature can not be used.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho consiste na aplicação de métodos espectrais para obter a evolução de sistemas isolados que possam emitir ondas gravitacionais no regime não-linear pleno da Relatividade Geral. A perspectiva da detecção de ondas gravitacionais nos próximos anos torna premente a construção de padrões temporais e angulares de ondas gravitacionais emitidas por sistemas que são fortes candidatos a fontes intensas de ondas gravitacionais. Estudamos a evolução de esferóides de matéria emitindo ondas gravitacionais e um campo de radiação nula onde o espaço-tempo exterior é descrito pelas equações de Robinson- Trautman. O campo de radiação nula é esperado em um colapso gravitacional realístico e pode representar uma superposição incoerente de ondas eletromagnéticas, neutrinos ou campos escalares sem massa. Analisamos a evolução do espectro de emissão de ondas gravitacionais e a extração de massa do sistema devido à emissão de ambos os tipos de radiação. Apresentamos também o primeiro código numérico utilizando o método de Galerkin para integrar as equações de campo do problema de Bondi. Realizamos vários testes numéricos para verificar a convergência, estabilidade e precisão, obtendo resultados promissores. Esse código abre várias possibilidades de aplicações em cenários mais gerais de espaços-tempos com ondas gravitacionais. / This work consists of applying spectral methods to obtain the evolution of isolated systems that can emit gravitational waves in the full nonlinear regime of General Relativity. The perspective of detection of gravitational waves in the next years means that the construction of angular and temporal patterns of gravitational waves emitted by systems that are strong candidates for intense sources of gravitational waves has become pressing.The evolution of spheroids of matter emitting gravitational waves and a null radiation field is studied in the realm of radiative Robinson-Trautman spacetimes. The null radiation field is expected in realistic gravitational collapse and can be either an incoherent superposition of waves of electromagnetic, neutrino or massless scalar fields. We studied the evolution of the angular pattern of gravitational wave emission and the mass extraction of the bounded configuration through the emission of both types of radiations. We present the first numerical code based on the Galerkin method to integrate the field equations of the Bondi problem. Several numerical tests were performed to verify the issues of convergence, stability and accuracy with promising results. This code opens up several possibilities of applications in more general scenarios for studying the evolution of spacetimes with gravitational waves.

Neste trabalho aplicamos métodos espectrais para a determinação da configuração inicial de três espaços-tempos contendo buracos negros. Para isto apresentamos primeiro a foliação do espaço-tempo em hipersuperfícies tridimensionais espaciais parametrizadas pela função temporal t. Este processo é chamado de decomposição 3+1 [2] [5]. O resultado deste processo são dois conjuntos de equações classificadas em equações de vínculo e evolução [4]. As equações de vínculo podem ser divididas em vínculos Hamiltoniano e dos momentos. Para a obtenção dos dados iniciais dos problemas estudados aqui, apenas a equação de vínculo Hamiltoniano será resolvida numericamente, pois as equações de vínculo dos momentos possuem solução analítica nestes casos. Uma pequena descrição dos métodos espectrais é apresentada, destacando-se os método de Galerkin, método pseudoespectral ou de colocação e método de Tau, que são empregados na resolução das equações de vínculo Hamiltoniano dos problemas estudados. Verificamos que os resultados obtidos neste trabalho superam aqueles produzidos por Kidder e Finn [15], devido a uma escolha diferente das funções de base, que aqui satisfazem uma das condições de contorno. / In this work we apply spectral methods for determining the initial configuration of three spacetimes containing black holes. For this we present first the foliation of spacetime into three-dimensional spacelike hypersurfaces parameterized by the time function t. This process is called 3 + 1 decomposition [2] [5]. The result of this process are two sets of equations classified into constraint and evolution equations [4]. The constraint equations can be divided into Hamiltonian and momentum constraints.To obtain the initial data of the problems studied here, only the Hamiltonian constraint is solved numerically, since the momentum constraint of these cases have analytical solution. A short description of spectral methods is presented, highlighting Galerkin method, pseudospectral or collocation method and Tau method, which are employed in solving the constraint equations Hamiltonian of the problems studied. We found that the results obtained in this work outperform those produced by Kidder and Finn [15], due to a different choice of basis functions, which meet here one of the boundary conditions.

Neste trabalho, é estudada a descrição do fluxo de um gás rarefeito em um duto cilíndrico de comprimento infinito. A formulação matemática do problema está baseada na forma integral de equações cinéticas derivadas da Equação de Boltzmann. Particularmente são estudados os modelos cinéticos conhecidos como BGK e S. Métodos espectrais são propostos para obtenção de soluções, em forma fechada, para quantidades de interesse como o perfil de velocidade do gás, bem como taxas de fluxo. As formulações espectrais são baseadas em duas abordagens: expansão clássica em termos de Polinômios de Legendre e expansão em termos de splines cúbicas de Hermite, neste caso, associada a um esquema de colocação. A implementação das propostas produz resultados computacionais satisfatórios do ponto de vista prático. Para obtenção de resultados com maior precisão, técnicas de tratamento da singularidade do núcleo da equação integral foram introduzidas, resultando em ganho computacional significativo. Finalmente, a proposta de solução espectral para problemas em geometria cilíndrica se mostrou adequada para problemas em que se admite reflexão especular na superfície do cilindro, situação onde outras abordagens clássicas disponíveis na literatura não podem ser utilizadas. / In this work, rarefied gas flows in cylindrical ducts are studied. The mathematical formulation of the problems are based on the integral form of kinetic equations derived from the Boltzmann equation. Particularly, the BGK and S models are studied. Spectral methods are proposed to obtain closed form solutions for quantities of interest as velocity profile of the gas as well as flow rates. The spectral formulations are based on two approaches: classical expansions in terms of Legendre Polynomials and Hermite cubic splines expansions. In this case, associated with a collocation scheme. The approaches provide good computational results, from the practical point of view. On the other hand, for obtaining higher accuracy, some techniques were introduced to deal with the inherent singularity of the integral kernel. In this context, a significant computational gain is achieved. Finally, this spectral approach has shown to be adequate to solve problems where specular reflection is assumed at the surface, in which cases, classical approaches available in the literature can not be used.

FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / O presente trabalho apresenta um estudo de resistÃncia à injeÃÃo de carga orgÃnica na zona estuarina de um importante manancial da RegiÃo Metropolitana de Fortaleza, no caso o Rio CocÃ. Para tanto, foi desenvolvido um programa em C++, com a finalidade de simular o escoamento e a dispersÃo de poluentes em um trecho especÃfico do rio, que recebe influÃncia direta da marÃ. Para a simulaÃÃo do escoamento, foi utilizada uma forma das equaÃÃes de Saint Vennant, com as condiÃÃes de contorno apropriadas. Na resoluÃÃo numÃrica foi aplicado um esquema explÃcito de diferenÃas finitas, no caso o de McCormack. Uma vez calculados os perfis temporais do escoamento, a equaÃÃo de AdvecÃÃo-DispersÃo (A-D) foi utilizada, usando um fator de decaimento de 1 ordem, para simular o transporte de massa de DBO (Demanda BioquÃmica de OxigÃnio). O programa desenvolvido aplicou um mÃtodo pseudoespectral com passo de tempo explÃcito. Para a soluÃÃo dos sistemas gerados foi utilizado o algoritmo de Gauss sem condensaÃÃo pivotal. Os resultados encontrados para o escoamento atestam o perfeito ajuste do esquema de McCormack a situaÃÃes de estuÃrio, onde o movimento de marà faz com que o fluxo esteja uma hora em um sentido e em outra hora no sentido oposto. Jà os resultados de A-D demonstraram a sensibilidade dos mÃtodos espectrais Ãs condiÃÃes de contorno impostas. Ao se resolver a equaÃÃo para o trecho em estudo do Rio CocÃ, houve acÃmulo de massa no estuÃrio, indicando que alguma condiÃÃo de contorno de escoamento nÃo era condizente com a realidade. Aplicando-se a resoluÃÃo para um estuÃrio hipotÃtico, dez vezes maior que o considerado, o acÃmulo de massa desapareceu, e resultados ficaram de acordo com a fÃsica do problema. Este fato ratificou a hipÃtese que a condiÃÃo de contorno da interface com o rio (aproximadamente no KM 20) nÃo poderia ser estacionÃria, resultado que està de acordo com o encontrado por Villela (1988). / The present work represents a study of the resistance of the estuarine zone of the Cocà river in Fortaleza, Cearà - Brazil, to the injection of organic pollutant. In order to accomplish this goal a mathematical model was developed and a C++ code was written to solve the model equations. The flow and pollutant dispersion were simulated for a particular section of the Cocà River under tidal influence. The Saint-Vennant equations were solved using boundary conditions appropriated to that situation. The McCormackâs explicit approach was applied to implement a numerical solution of the equations. The mass transport was simulated by an Advection-Dispersion equation using a first order decay. A pseudo-spectral method with explicit time step was applied and the solution of the system of equations was performed by Gauss algorithm without pivot condensation. The results of the McCormackâs approach were reliable to estimate estuary conditions where the flow was influenced by the tidal movement. The results of Advection â Dispersion (A-D) equations have shown that spectral methods were sensible to the boundary conditions of the problem. On the other hands, the results of A-D equations presented a mass retention in the estuarine zone. That fact lets one to believe that the defined boundary conditions to the problem were not appropriated to that situation. Thus, another boundary conditions were defined by using a hypothetical new estuarine zone ten times bigger than the Cocà River estuarine zone. As a result of that change, the mass retention cease to exist, and the problem became physically correct. The Villelaâs (1988) hypothesis on nonstationary behavior of the estuarine zone â Cocà River interface was confirmed.