This thesis suggests an approach to compute the short-time behaviour of the hypoelliptic heat kernel corresponding to sub-Riemannian structures on unimodular Lie groups of type I, without previously holding a closed form expression for this heat kernel. Our work relies on the use of classical non-commutative harmonic analysis tools, namely the Generalized Fourier Transform and its inverse, combined with the Trotter product formula from the theory of perturbation of semigroups. We illustrate our main results by computing, to our knowledge, a first expression in short-time for the hypoelliptic heat kernel on the Engel and the Cartan groups, for which there exist no closed form expression. / Thesis (Master, Mathematics & Statistics) -- Queen's University, 2011-10-08 01:32:32.896

In this thesis, we examine key geometric properties of a class of Carnot groups of Heisenberg type. After first computing the geodesics, we consider some partial differential equations in such groups and discuss viscosity solutions to these equations.

Dans cette thèse, on présente une notion de courbure géodésique pour les courbes lisses horizontales dans une variété sous-Riemannienne de contact, qui indique dans quelle mesure une courbe est différente d'une géodésique. Cette courbure géodésique se présente sous la forme de deux fonctions qui sont toutes deux identiquement nulles le long d'une courbe lisse horizontale si et seulement si cette dernière courbe est une géodésique. Le résultat principal de cette thèse réside dans l'interprétation métrique que l'on donne de ces fonctions de courbure. Cette interprétation consiste à extraire la courbure géodésique des premiers termes de correction dans le développement limité de la distance sous-Riemannienne entre deux points proches le long de la courbe. / We present a notion of geodesic curvature for smooth horizontal curves in a contact sub-Riemannian manifold, measuring how far a horizontal curve is from being a geodesic. This geodesic curvature consists in two functions that both vanish along a smooth horizontal curve if and only if this curve is a geodesic. The main result of this thesis is the metric interpretation of these geodesic curvature functions. This interpretation consists in seeing the geodesic curvature functions as the first corrective coefficients in the Taylor expansion of the sub-Riemannian distance between two close points on the curve.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第22972号 / 理博第4649号 / 新制||理||1668(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 藤原 耕二, 教授 山口 孝男, 教授 入谷 寛 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Nous étudions la commandabilité du système de contrôle décrivant le procédé de roulement, sans glissement ni pivotement, de deux variétés riemanniennes n-dimensionnelles, l'une sur l'autre. Ce modèle est étroitement associé aux concepts de développement et d'holonomie des variétés, et il se généralise au cas de deux variétés affines. Les contributions principales sont celles données dans quatre articles, attachés à la fin de la thèse.Le premier d'entre eux «Rolling manifolds and Controllability : the 3D case»traite le cas où les deux variétés sont 3-dimensionelles. Nous donnons alors, la liste des cas possibles pour lesquelles le système n'est pas commandable.Dans le deuxième papier «Rolling manifolds on space forms», l'une des deux variétés est supposée être de courbure constante. On peut alors réduire l'étude de commandabilité à l'étude du groupe d'holonomie d'une certaine connexion vectorielle et on démontre, par exemple, que si la variété à courbure constante est une sphère n-dimensionelle et si ce groupe de l'holonomie n'agit pas transitivement, alors l'autre variété est en fait isométrique à la sphère.Le troisième article «A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles» décrit, en utilisant le procédé de roulement (ou développement) le long des lacets, une version alternative du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks, qui caractérise, entre autres, les isométries riemanniennes. Plus précisément, on prouve que si on part d'une certaine orientation initiale, et si on ne roule que le long des lacets basés au point initial (associé à cette orientation), alors les deux variétés sont isométriques si (et seulement si) les chemins tracés par le procédé de roulement sur l'autre variété, sont tous des lacets.Finalement, le quatrième article «Rolling Manifolds without Spinning» étudie le procédé de roulement et sa commandabilité dans le cas où l'on ne peut pas pivoter. On caractérise alors les structures de toutes les orbites possibles en termes des groupes d'holonomie des variétés en question. On montre aussi qu'il n'existe aucune structure de fibré principal sur l'espace d'état tel que la distribution associée à ce modèle devienne une distribution principale, ce qui est à comparer notamment aux résultats du deuxième article.Par ailleurs, dans la troisième partie de cette thèse, nous construisons soigneusement le modèle de roulement dans le cadre plus général des variétés affines, ainsi que dans celui des variétés riemanniennes de dimensiondifférente. / We study the controllability of the control system describing the rolling motion, without slipping nor spinning, of two n-dimensional Riemannian manifolds, one against the other.This model is closely related to the concepts of development and holonomy of the manifolds, and it generalizes to the case of affine manifolds.The main contributions are those given in four articles attached to the the thesis.First of them "Rolling manifolds and Controllability: the 3D case"deal with the case where the two manifolds are 3-dimensional. We give the listof all the possible cases for which the system is not controllable.In the second paper "Rolling manifolds on space forms"one of the manifolds is assumed to have constant curvature.We can then reduce the study of controllability to the study of the holonomy groupof a certain vector bundle connection and we show, for example, thatif the manifold with the constant curvature is an n-sphere and ifthis holonomy group does not act transitively,then the other manifold is in fact isometric to the sphere.The third paper "A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles"describes, by using the rolling motion (or development) along the loops,an alternative version of the Cartan-Ambrose-Hicks Theorem,which characterizes, among others, the Riemannian isometries.More precisely, we prove that if one starts from a certain initial orientation,and if one only rolls along loops based at the initial point (associated to this orientation),then the two manifolds are isometric if (and only if) the pathstraced by the rolling motion on the other manifolds, are all loops.Finally, the fourth paper "Rolling Manifolds without Spinning"studies the rolling motion, and its controllability, when slipping is allowed.We characterize the structure of all the possible orbits in terms of the holonomy groupsof the manifolds in question. It is also shown that there does not exist anyprincipal bundle structure such that the related distribution becomes a principal distribution,a fact that is to be compared especially to the results of the second article.Furthermore, in the third chapter of the thesis, we construct carefully the rolling modelin the more general framework of affine manifolds, as well as that of Riemannian manifolds,of possibly different dimensions.

In [2], Beals, Gaveau and Greiner find the fundamental solution to a 2-Laplace-type equation in a class of sub-Riemannian spaces. This fundamental solution is based on the well-known fundamental solution to the p-Laplace equation in Grushin-type spaces [4] and the Heisenberg group [6]. In this thesis, we look to generalize the work in [2] for a p-Laplace-type equation. After discovering that the "natural" generalization fails, we find two generalizations whose solutions are based on the fundamental solution to the p-Laplace equation.

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème de transport de Monge pour le coût quadratique en géométrie sous-Riemannienne et des conditions essentielles à l’obtention des résultats d’existence et et d’unicité de solutions. Ces travaux consistent à étendre ces résultats au cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on développe des techniques inspirées de travaux de Cavalletti et Huesmann pour d’obtenir des résultats significatifs pour des structures de rang 2 en dimension 4. Dans une deuxième partie, on étudie des outils analytiques de la h-semiconcavité de la distance sousriemannienne et on montre comment ce type de régularité peut aboutit à l’obtention d’existence et d’unicité de solutions dans un cas général. / This thesis is devoted to the study of the Monge transport problem for the quadratic cost in sub-Riemannian geometry and the essential conditions to obtain existence and uniqueness of solutions. These works consist in extending these results to the case of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In a first part, we develop techniques inspired by works by Cavalletti and Huesmann in order to obtain significant results for structures of rank 2 in dimension 4. In a second part, we study analytical tools of the h-semiconcavity of the sub-Riemannian distance and we show how this type of regularity can lead to the well-posedness of the Monge problem in general cases.

In Riemannian geometry, the fundamental fact is that there exists a unique torsion-free connection (called the Levi-Civita connection) compatible with the Riemannian metric g, i.e. having the property ∇g = 0. In projective geometry, the class of covariant derivatives defining the geometry is fixed and all these covariant derivatives have the same class of (non- parametrized) geodesics. Old (and non-trivial) problem is to find whether these curves are geodesics of a (pseudo-)Riemannian metric. Such projective structures are called metrizable. Surprisingly enough, U. Dini and R. Liu- oville found in 19th century that the metrizability problem leads to a system of linear PDE's. In the last years, there were several papers dealing with these problems. The projective geometry is a representative example of the so called parabolic geometries (for full description, see the recent monograph by A. Čap and J. Slovák). It was realized recently that the corresponding linear metrizability operator is a special example of the so called first BGG operator. The flat model of projective geometry is the (real) projective space. In this more general context, the metrizability problem for (pseudo- )Riemannian geometries is naturally generalized to the sub-Riemannian situation. In the recent preprint, D.Calderbank, J....

Nous étudions les relations qui existent entre des aspects de la géométrie sous-riemannienne et une diversité de singularités typiques dans ce contexte.Avec les théorèmes de Whitney sous-riemanniens, nous conditionnons l’existence de prolongements globaux de courbes horizontales définies sur des fermés à des hypothèses de non-singularité de l’application point-final dans l’approximation nilpotente de la variété.Nous appliquons des méthodes perturbatives pour obtenir des asymptotiques sur la longueur de courbes localement minimisantes perdant leur optimalité proche de leur point de départ dans le cas des variétés sous-riemanniennes de contact de dimension arbitraire. Nous décrivons la géométrie du lieu singulier et prouvons sa stabilité dans le cas des variétés de dimension 5.Nous introduisons une construction permettant de définir des champs de directions à l’aide de couples de champs de vecteurs. Ceci fournit une topologie naturelle pour analyser la stabilité des singularités de champs de directions sur des surfaces. / We investigate the relationship between features of of sub-Riemannian geometry and an array of singularities that typically arise in this context.With sub-Riemannian Whitney theorems, we ensure the existence of global extensions of horizontal curves defined on closed set by requiring a non-singularity hypothesis on the endpoint-map of the nilpotent approximation of the manifold to be satisfied.We apply perturbative methods to obtain asymptotics on the length of short locally-length-minimizing curves losing optimality in contact sub-Riemannian manifolds of arbitrary dimension. We describe the geometry of the singular set and prove its stability in the case of manifolds of dimension 5.We propose a construction to define line fields using pairs of vector fields. This provides a natural topology to study the stability of singularities of line fields on surfaces.

The aim of this thesis is to propose a systematic exposition of some analytic and geometric problems arising from the study of sub-Riemannian geometry, Carnot-Carathéodory spaces and, more broadly, anisotropic metric and differential structures. We deal with four main topics. 1 Calculus of variations for local functionals depending on vector fields 2 PDEs over Carnot-Carathéodory structures. 3 Regularity theory for almost perimeter minimizers in Carnot groups. 4 Geometry of hypersurfaces in Heisenberg groups.