Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, on considère le système de réaction-diffusion-advection (Pε), qui est un modèle d'haptotaxie, mécanisme lié à la dissémination de tumeurs cancéreuses. Le résultat principal concerne la convergence de la solution du systeme (Pε) vers la solution d'un problème à frontière libre (P0) qui est bien défini. Dans la seconde partie, on considère une classe générale d'équations elliptiques du type Hénon:−∆u = |x|^{α} f(u) dans Ω ⊂ R^N avec α > -2. On examine deux cas classiques : f(u) = e^u, |u|^{p−1} u et deux autres cas : f(u) = u^{p}_{+} puis f(u) nonlinéarité générale. En étudiant les solutions stables en dehors d'un ensemble compact (en particulier, solutions stables et solutions avec indice de Morse fini) avec différentes méthodes, on obtient des résultats de classification.

Dans différents domaines de recherche, la modélisation est devenue un outil efficace pour étudier et prédire l’évolution possible d’un système, en particulier en épidémiologie. En raison de la mondialisation et de la mutation génétique de certaines maladies ou vecteurs de transmission, plusieurs épidémies sont apparues dans des régions non encore concernées ces dernières années. Dans cette thèse, un modèle décrivant la transmission de l’épidémie de chikungunya à la population humaine est étudié. Ce modèle prend en compte la mobilité spatiale des humains, ce qui est nouveau. En effet, c’est un facteur intéressant qui a influencé la réapparition de plusieurs maladies épidémiques. Le déplacement des moustiques est omis puisqu’il est limité à quelques mètres. Le modèle complet (modèle EDOs-EDPs) est alors composé d’un système à réaction-diffusion (prenant la forme d’équations différentielles partielles (EDPs) paraboliques semi-linéaires) couplé à des équations différentielles ordinaires (EDOs). Nous démontrons pour ce modèle, d’abord l’existence et l’unicité de la solution globale, sa positivité et sa bornitude, puis nous donnons quelques simulations numériques. Dans ce modèle, certains paramètres ne sont pas directement accessibles à partir des expériences et doivent être estimés numériquement. Cependant, avant de rechercher leurs valeurs, il est essentiel de vérifier l’identifiabilité des paramètres pour déterminer si l’ensemble des paramètres inconnus peut être déterminé de manière unique à partir des données. Cette étude permettra de s’assurer que les procédures numériques peuvent être couronnées de succès. Si l’identifiabilité n’est pas assurée, certaines données supplémentaires doivent être ajoutées. En fait, une première étude d’identifiabilité a été effectuée pour le modèle EDOs en considérant que le nombre d’œufs peut être facilement compté. Toutefois, après avoir discuté avec les chercheurs épidémiologistes, il apparaît que c’est le nombre de larves qui peut être estimé semaines par semaines. Ainsi, nous ferons une étude d’identifiabilité pour le nouveau modèle EDOs-EDPs avec cette hypothèse. Grâce à l’intégration de l’une des équations du modèle, on obtient des équations plus faciles reliant les entrées, les sorties et les paramètres, ce qui simplifie vraiment l’étude d’identifiabilité. A partir de l’étude d’identifiabilité, une méthode et une procédure numérique sont proposés pour estimer les paramètres sans en avoir connaissance. / In different fields of research, modeling has become an effective tool for studying and predicting the possible evolution of a system, particularly in epidemiology. Due to the globalization and the genetic mutation of certain diseases or transmission vectors, several epidemics have appeared in regions not yet concerned in the last years. In this thesis, a model describing the transmission of the chikungunya epidemic to the human population is studied. As a novelty, this model incorporates the spatial mobility of humans. Indeed, it is an interesting factor that has influenced the re-emergence of several epidemic diseases. The displacement of mosquitoes is omitted since it is limited to a few meters. The complete model (ODEs-PDEs model) is then composed of a reaction-diffusion system (taken the form of semi-linear parabolic partial differential equations (PDEs)) coupled with ordinary differential equations (ODEs). We prove the existence, uniqueness, positivity and boundedness of a global solution of this model at first and then give some numerical simulations. In such a model, some parameters are not directly accessible from experiments and have to be estimated numerically. However, before searching for their values, it is essential to verify the identifiability of parameters in order to assess whether the set of unknown parameters can be uniquely determined from the data. This study will insure that numerical procedures can be successful. If the identifiability is not ensured, some supplementary data have to be added. In fact, a first identifiability study had been done for the ODEs model by considering that the number of eggs can be easily counted. However, after discussing with epidemiologist searchers, it appears that it is the number of larvae which can be estimated weeks by weeks. Thus, we will do an identifiability study for the novel ODEs-PDEs model with this assumption. Thanks to an integration of one of the model equations, some easier equations linking the inputs, outputs and parameters are obtained which really simplify the study of identifiability. From the identifiability study, a method and numerical procedure are proposed for estimating the parameters without any knowledge of them.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, on considère le système de réaction-diffusion-advection (Pε), qui est un modèle d'haptotaxie, mécanisme lié à la dissémination de tumeurs cancéreuses. Le résultat principal concerne la convergence de la solution du systeme (Pε) vers la solution d'un problème à frontière libre (P0) qui est bien défini. Dans la seconde partie, on considère une classe générale d'équations elliptiques du type Hénon:−∆u = |x|^{α} f(u) dans Ω ⊂ R^N avec α > -2. On examine deux cas classiques : f(u) = e^u, |u|^{p−1} u et deux autres cas : f(u) = u^{p}_{+} puis f(u) nonlinéarité générale. En étudiant les solutions stables en dehors d'un ensemble compact (en particulier, solutions stables et solutions avec indice de Morse fini) avec différentes méthodes, on obtient des résultats de classification. / This thesis is divided into two main parts. In the first part, we consider an example of reaction-diffusion-taxis system (Pε), which is a haptotaxis model - a mechanism about the spread of cancer cells. The main result concerns the convergence of the solution of System (Pε) to the solution of a free boundary problem (P0), where system (P0) is well-posed. In the second part, we consider a general class of Hénon type elliptic equations : −∆u = |x|^{α} f(u) in Ω ⊂ R^Nwith α > −2. We investigate two classical cases f(u) = e^u, |u|^{p−1} u and two others cases f(u) = u^{p}_{+} , f(u) is a general function. By studying the solutions which are stable outside a compact set (in particular, stable solutions and finite Morse index solutions) with different methods, we establish some classification results.

La présente thèse est divisée en deux parties. La première partie concerne l'analyse mathématique et la contrôlabilité exacte à zéro pour une catégorie de systèmes structurés décrivant la dynamique d'une population d'insectes. La seconde partie est consacrée à l'étude de la stabilité de la conductivité d'un système de réaction diffusion modélisant l'activité électrique du coeur.Dans le chapitre 2, on considère que la population d'adultes se diffuse dans la vignoble,la fonction de la croissance des individus à chaque stade dépend des variations climatiques et de la variété des raisins. En utilisant la méthode de point fixe, on obtient l'existence et l'unicité des solutions du modèle. On démontre ensuite l'existence d'un attracteur global pour le système dynamique. Enfin, on utilise la théorie des opérateurs compacts et le théorème de point fixe de Krasnoselskii pour prouver l'existence des états stationnaires.Dans le chapitre 3, on traite le problème de contrôlabilité exacte du modèle de Lobesia Botrana, lorsque la fonction de croissance est égale à 1. On suppose que les quatre sous-catégories de ce système sont dans une phase statique. On obtient que la population d'oeufs peut être contrôlée à zéro. Ce résultat est basé sur des estimations à priori combinées avec un théorème de point fixe.Lorsque les papillons adultes se dispersent spatialement, on introduit un contrôle sur la population d'oeufs, de larves et de femelles dans une petite région du vignoble. On montre alors la contrôlabilité exacte à zéro pour les femelles.Dans la deuxième partie de cette thèse, on analyse la stabilité des coefficients de diffusion d'un système parabolique qui modélise l'activité électrique du coeur. On établit une estimation de Carleman pour le système de réaction-diffusion. En combinant cette estimation avec des estimations d'énergie avec poids on obtient le résultat de stabilité. / This thesis is divided into two parts.One is mainly devoted to make a qualitative analysis and exact null controlfor a class of structured population dynamical systems, and the other concernsstability of conductivities in an inverse problem of a reaction-diffusion systemarising in electrocardiology.In the first part, we study the dynamics ofEuropean grape moth, which has caused serious damages on thevineyards in Europe,North Africa, and even some Asian countries.To model this grapevine insect, physiologically structured multistage population systems are proposed.These systemshave nonlocal boundary conditions arising in nonlocal transition processes in ecosystem.We consider the questions of spatial spread of the populationunder physiological age and stage structures,and show global dynamical properties for the model.Furthermore, we investigate the control problem for this Lobesia botrana modelwhen the growth function is equal to $1$.For the case that four subclasses of this system are all in static station,we conclude that the population of eggs can be controlled to zero at acertain moment by acting on eggs.While the adult moths can disperse,we describe a control by a removal of egg and larvapopulation, and also on female moths in a small region of the vineyard.Then the null controllability for female mothsin a nonempty open sub-domain at a given time is obtained.In the second part, a reaction-diffusion system approximating a parabolic-elliptic systemwas proposed tomodel electrical activity in the heart. We are interested inthe stability analysis of an inverse problem for this model.Then we use the method of Carleman estimates and certain weight energyestimatesfor the identification of diffusion coefficients for the parabolicsystem to draw the conclusion.

L'objectif de cette thèse est l'étude qualitative de certains modèles de la dynamique et la distribution des bactéries dans une rivière. Il s'agit de la stabilité des états stationnaires et l'existence des solutions périodiques. Nous considérons, dans la première partie de la thèse, un système d'équations différentielles ordinaires qui modélise les interactions et la dynamique de quatre espèces de bactéries dans une rivière. Nous avons étudié le comportement asymptotique des états stationnaires. L'étude de la stabilité des états stationnaires est essentiellement faite par la construction d'une fonction de Lyapunov combinée avec le principe d'invariance de LaSalle. D'autre part, l'existence des solutions périodiques est démontrée en utilisant le théorème de continuation de Mawhin. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'un système de convection-diffusion non-autonome. Ce modèle tient compte du transport des bactéries. Nous étudions l'analyse qualitative des solutions, nous déterminons l'ensemble limite du système et nous démontrons l'existence des états stationnaires positifs. L'étude de l'existence des états stationnaires (les seuls qu'il soit possible d'obtenir) est basée sur le théorème de Leray-Schauder. / The objective of this thesis is the qualitative study of some models of the dynamic and the distribution of bacteria in a river. We are interested in the stability of equilibria and the existence of periodic solutions. The thesis can be divided into two parts; the first part is concerned with a mathematical analysis of a system of differential equations modelling the dynamics and the interactions of four species of bacteria in a river. The asymptotic behavior of equilibria is established. The stability study of equilibrium states is mainly done by construction of Lyapunov functions combined with LaSalle's invariance principle. On the other hand, the existence of periodic solutions is proved under certain conditions using the continuation theorem of Mawhin. In the second part of this thesis, we propose a non-autonomous convection-reaction diffusion system with nonlinear reaction source functions. This model refers to the quantification and the distribution of antibiotic resistant bacteria (ARB) in a river. Our main contributions are : (i) the determination of the limit set of the system; it is shown that it is reduced to the solutions of the associated elliptic system; (ii) sufficient conditions for the existence of a positive solution of the associated elliptic system based on the Leray Schauder's degree theory.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système. / In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system.