L'objectif de cette thèse est d'effectuer une étude d'identifiabilité d'un modèle épidémiologique décrit par un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) intégro-différentiel semi-linéaire de type réaction-transport. Dans ce but, nous effectuons tout d'abord une synthèse de la littérature relative aux problèmes inverses d'identifiabilité paramétrique. Nous étudions les fondements mathématiques des différentes techniques employées, en mettant en avant les natures des systèmes auxquels ces méthodes s'appliquent ou se généralisent. En dimension finie, trois méthodes se dégagent pour les systèmes d'équations différentielles ordinaires : par développement en série de Taylor, par élimination algébro-différentielle et par le biais du théorème de l'isomorphisme d'état. En dimension infinie, pour les systèmes d'EDP, deux méthodes sont couramment utilisées dans le cas linéaire : une approche spectrale et une autre reposant sur les inégalités de Carleman. Cette dernière est aussi appliquée à quelques systèmes d'EDP semi-linéaires, dans des cas particuliers où le problème d'identifiabilité peut se ramener à l'étude d'un système linéaire. Cependant, cette méthode n'est pas, ou alors difficilement, applicable à notre système du fait de la complexité de sa non-linéarité. Dans un deuxième temps, nous effectuons l'analyse d'identifiabilité du modèle épidémiologique. Nous commençons par bâtir un cadre formel d'étude d'identifiabilité s'appliquant aux systèmes d'EDP semi-linéaires. Ce cadre nécessite la connaissance d'un espace de vie de la solution du problème d'EDP. En conséquence, nous déterminons un cadre fonctionnel respectant les conditions biologiques imposées par le modèle, puis nous prouvons existence et unicité de la solution. Nous effectuons ensuite l'analyse d'identifiabilité du modèle en adaptant la méthode d'élimination algébro-différentielle. Nous obtenons des conditions suffisantes d'identifiabilité pour des classes de paramètres données. Nous discutons, interprétons et simulons numériquement les résultats obtenus.

Les pâtes enrichies représentent un produit d’intérêt pour l’industrie, car elles offrent aux consommateurs la possibilité de profiter des bienfaits sur la santé de l’ingrédient d’enrichissement sans modifier leurs habitudes alimentaires. Cependant, la durée et le coût du développement de nouvelles pâtes enrichies sont significatifs et limitent leur probabilité de succès commercial. Dans cette thèse, des modèles ont été développés pour décrire la production des pâtes traditionnelles et enrichies et accélérer leur développement. Deux objectifs généraux ont été poursuivis. Le premier objectif était l’identification et la quantification des mécanismes de transfert affectant la qualité des pâtes lors du séchage, leur étape de transformation la plus importante. L’état de l’art a révélé que les modèles développés précédemment pour décrire le séchage des pâtes combinent la description des mécanismes de transfert de masse de l’eau à partir d’un coefficient de diffusion effectif. La qualité de ces modèles a été évaluée par analyses de sensibilité, d’incertitude et d’identifiabilité. Ces analyses ont montré que l’incertitude des modèles précédents sur la prédiction du temps de séchage requis est importante (environ ± 4 h) et que cette incertitude peut être expliquée par la faible identifiabilité pratique des coefficients de transfert de masse à partir de mesures bruitées de la teneur en eau. L’analyse des modèles de séchage précédents a également montré leur imprécision à décrire les profils internes de teneur en eau générés dans les pâtes lors du séchage, alors que ces profils en eau sont critiques à la prédiction de la formation de craques. Cette thèse a donc conduit au développement d’un nouveau modèle de séchage mécanistique, couplant le transfert de masse de l’eau liquide par capillarité et convection, le transfert de masse de l’eau vapeur par diffusion et convection, le transfert d’énergie par conduction, convection et évaporation et la déformation mécanique. Ce modèle a été validé pour 3 températures de séchage (40, 60 et 80 ºC) représentatives des conditions utilisées en industrie. Le deuxième objectif était la quantification de l’impact de l’enrichissement et des variables de procédé sur les propriétés des pâtes. Cet objectif a été atteint par la construction et la méta-analyse d’une base de données regroupant les propriétés des pâtes traditionnelles et enrichies mesurées dans la littérature. Les propriétés manquantes de la base de données ont été estimées par le développement d’une approche novatrice et originale basée sur la complétion de matrice. L’approche par complétion de matrice a permis d’expliquer en moyenne 40% de la variance des propriétés manquantes. Elle a également permis de déterminer pour près de 20% des propriétés manquantes, avec un niveau de confiance de plus de 90%, si elles sont supérieures ou inférieures à la valeur moyenne de la propriété, améliorant la caractérisation du produit sans coût expérimental additionnel. Les travaux de cette thèse ont conduit à la réalisation de 7 articles dans des revues avec comité de lecture et ont été présentés à 4 congrès internationaux. Les travaux ont permis le développement de 2 outils, le modèle de séchage mécanistique et l’estimation des propriétés manquantes par complétion de matrice, que l’industrie pourra utiliser pour accélérer le développement de nouvelles pâtes enrichies. Plusieurs contributions majeures de cette thèse, notamment l’établissement des conditions expérimentales pour l’identifiabilité pratique des coefficients de transfert de masse et les méthodologies pour la méta-analyse d’un produit et l’estimation de ses propriétés manquantes par complétion de matrice, ont été appliquées aux pâtes enrichies, mais leur impact s’étend à de nombreux produits et procédés.

Dans certaines situations il devient nécessaire de traiter les séries chronologiques à valeurs entières. Au premier regard, l'analyse de telle série peut présenter quelques difficultés, notamment si l'analyse est basée sur quelques modèles stochastiques. Ces modèles doivent refléter la particularité entière de la série observée. De nombreuses tentatives ont été faites pour définir des modèles qui peuvent être utilisés pour décrire les séries chronologiques à valeurs entières. La plupart des modèles proposés sont basés sur l'opérateur d'amincissement et possèdent les mêmes propriétés que les modèles à valeurs réelles bien-connus dans la littérature. L'objectif de cette thèse est d'étudier les modèles auto-régressifs à valeurs entières. Nous introduisons une nouvelle classe de modèles basés sur l'opérateur d'arrondi. Par rapport aux modèles existants, la nouvelle classe a plusieurs avantages: structure d'innovation simple, coefficients de régression avec des signes arbitraires, valeurs négatives possibles pour la série chronologiques et pour la fonction d'auto-corrélation. Nous étudions la stationnarité des modèles et la consistance forte de l'estimateur des moindres carrés proposé pour estimer les paramètres. Nous analysons quelques séries chronologiques à valeurs entières bien-connues avec les modèles introduits.

Je présente dans ce manuscrit mes travaux de recherche effectués depuis la thèse. Mes thèmes de recherche sont principalement motivés par des applications en génomique ou post-génomique. Mon domaine de recherche est assez vaste, mais le dénominateur commun de mes travaux est la présence de variables latentes (non observées) dans les modèles étudiés. Mes préoccupations sont majoritairement théoriques : éudes asymptotiques, convergence des estimateurs, vitesses, identifiabilité... Les modèles considérés peuvent être aussi bien paramétriques que semi ou non paramétriques, et les outils statistiques utilisés sont donc relativement variés.<br /><br />Ma présentation s'organise en trois grandes thématiques : les travaux portant sur des séquences, notamment sur la modélisation de leur distribution et des processus d'évolution sous-jacents ; les travaux de statistique semi ou non paramétrique portant sur des signaux observés avec du bruit ; et enfin les travaux (en partie en cours) portant sur les graphes aléatoires.

La thérapie photodynamique (PDT) est un traitement médical destiné à certains types de cancer. Elle utilise un agent photosensibilisant qui se concentre dans les tissus pathologiques est qui sera. Cet agent est ensuite activé par une lumière d'une longueur d'onde précise produisant, après une cascade de réactions, des espèces réactives de l'oxygène qui endommagent les cellules cancéreuses. Cette thèse aborde les analyses d'identifiabilité et de sensibilité des paramètres du modèle dynamique non linéaire retenu. Après avoir précisé différents cadres d'analyse d'identifiabilité, nous nous intéressons plus particulièrement à l'identifiabilité a posteriori, pour des conditions expérimentales fixées, puis à l'identifiabilité pratique, prenant en plus en compte les bruits de mesure. Pour ce dernier cadre, nous proposons une méthodologie d'analyse locale autour de valeurs particulières des paramètres. En ce qui concerne l'identifiabilité des paramètres du modèle dynamique de la phase photocytotoxique de la PDT, nous montrons que parmi les dix paramètres localement identifiables a posteriori, seulement l'un d'entre eux l'est en pratique. Néanmoins, ces résultats locaux demeurent insuffisants en raison des larges plages de variation possibles des paramètres du modèle et nécessitent d'être complétés par une analyse globale. Le manque de méthode visant à tester l'identifiabilité globale a posteriori ou pratique, nous a orientés vers l'analyse de sensibilité globale de la sortie du modèle par rapport à ses paramètres. Une méthode d'analyse de sensibilité globale fondée sur l'étude de la variance a permis de mettre en évidence trois paramètres sensibilisants. Nous abordons ensuite les liens entre les analyses globales d'identifiabilité et de sensibilité des paramètres, en employant une décomposition de Sobol'. Nous montrons alors que les liens suivants existent : une fonction de sensibilité totale nulle implique un paramètre non-identifiable; deux fonctions de sensibilité colinéaires impliquent la non-identifiabilité mutuelle des paramètres en question ; la non-injectivité de la sortie par rapport à un de ses paramètres peut aussi entrainer la non-identifiabilité du paramètre en question mais ce dernier point ne peut être détecté en analysant les fonctions de sensibilité uniquement. En somme, la détection des paramètres non globalement identifiables dans un cadre expérimental donné à partir de résultats d'analyse de sensibilité globale ne peut être que partielle. Elle permet d'observer deux (sensibilité nulle ou négligeable et sensibilités corrélées) des trois causes de la non-identifiabilité.

Les patients infectés par le VIH se voient proposer des traitements anti-viraux<br>lourds (avec des effets secondaires handicapants) qui sont destinés à être mis en<br>place à vie. Les différentes souches de virus, les mutations, les résistances ou tout<br>simplement les spécificités de chaque patient conduisent parfois à interrompre ou<br>à modifier le traitement après quelques semaines d'observation.<br>Ce travail de thèse s'inscrit dans une thématique pluridisciplinaire et son objectif<br>a été d'étudier la modélisation mathématique de l'évolution de l'infection<br>VIH/SIDA pour une aide précoce au diagnostic clinique. Notre approche consiste<br>à modéliser l'évolution des dynamiques de l'infection – essentiellement la dynamique<br>de la charge virale, du taux de CD4 et de CD8 – dans le but de prédire<br>son évolution. Cette modélisation met en jeu plusieurs paramètres (liés à la virulence<br>du virus et à l'état du système immunitaire du malade) qui nous permettent<br>d'interpréter et de caractériser certains phénomènes encore mal connus de l'infection.<br>Ce rapport présente donc l'identification (l'estimation) des paramètres<br>de l'infection à partir des mesures cliniques standard (à savoir la charge virale,<br>le taux de CD4 et de CD8), ainsi que la manière dont ces paramètres peuvent<br>être utilisés pour l'aide à la prise en charge thérapeutique du malade. D'un point<br>de vue technique, il a fallu développer des méthodes d'identification ad hoc qui<br>permettent de calculer les paramètres de l'infection à partir d'un faible nombre<br>de mesures.<br>Les résultats obtenus – grâce à un essai clinique mis en place par le CHU de<br>Nantes – montrent que les patients en échec thérapeutique, peuvent être précocement<br>détectés par l'analyse mathématique de leurs paramètres respectifs.<br>Ce rapport présente dans un premier temps la modélisation de l'infection VIH,<br>avec un aperçu des modèles standard qui existent ainsi que deux nouveaux modèles<br>que nous avons introduits pour le besoin de cette étude. Ensuite, l'identifiabilité<br>des systèmes dynamiques en temps continu et discret y est présentée. Nous<br>montrons que les modèles étudiés sont identifiables à partir des données cliniques<br>usuelles. Enfin, nous présentons l'identification des paramètres des modèles à partir<br>des données cliniques et son application à l'aide au diagnostic clinique.

Avec la complexité croissante des systèmes dynamiques qui apparaissent dans l'ingénierie et d'autres domaines de la science, l'étude des systèmes de grande taille composés d'un ensemble de sous-systèmes interconnectés est devenue un important sujet d'attention dans différents domaines, tels que la robotique, les réseaux de transports, les grandes structures spatiales (panneaux solaires, antennes, télescopes,...), les bâtiments,… et a conduit à des problèmes intéressants d'analyse d'identification paramétrique, de contrôle distribué et d'optimisation. L'absence d'une définition universelle et reconnue des systèmes qu'on appelle "grands systèmes", "systèmes complexes", "systèmes interconnectés",..., témoigne de la confusion entre ces différents concepts et la difficulté de définir des limites précises pour tels systèmes. L'analyse de l'identifiabilité et de l'identification de ces systèmes nécessite le traitement de modèles numériques de grande taille, la gestion de dynamiques diverses au sein du même système et la prise en compte de contraintes structurelles (des interconnections,...). Ceci est très compliqué et très délicat à manipuler. Ainsi, ces analyses sont rarement prises en considération globalement. La simplification du problème par décomposition du grand système en sous-problèmes de complexité réduite est souvent la seule solution possible, conduisant l'automaticien à exploiter clairement la structure du système.Cette thèse présente ainsi, une approche décentralisée d'identification des systèmes de grande taille "large scale systems" composés d'un ensemble de sous-systèmes interconnectés. Cette approche est basée sur les propriétés structurelles (commandabilité, observabilité et identifiabilité) du grand système. Cette approche à caractère méthodologique est mise en œuvre sur des applications thermiques des bâtiments. L'intérêt de cette approche est montré à travers des comparaisons avec une approche globale. / With the increasing complexity of dynamical systems that appear in engineering and other fields of science, the study of large systems consisting of a set of interconnected subsystems has become an important subject of attention in various areas such as robotics, transport networks, large spacial structures (solar panels, antennas, telescopes, \ldots), buildings, … and led to interesting problems of parametric identification analysis, distributed control and optimization. The lack of a universal definition of systems called "large systems", "complex systems", "interconnected systems", ..., demonstrates the confusion between these concepts and the difficulty of defining clear boundaries for such systems. The analysis of the identifiability and identification of these systems requires processing digital models of large scale, the management of diverse dynamics within the same system and the consideration of structural constraints (interconnections, ...) . This is very complicated and very difficult to handle. Thus, these analyzes are rarely taken into consideration globally. Simplifying the problem by decomposing the large system to sub-problems is often the only possible solution. This thesis presents a decentralized approach for the identification of "large scale systems" composed of a set of interconnected subsystems. This approach is based on the structural properties (controllability, observability and identifiability) of the global system. This methodological approach is implemented on thermal applications of buildings. The advantage of this approach is demonstrated through comparisons with a global approach.

Le modèle de régression semiparamétrique de Cox est l'un des plus utilisés pour l'analyse statistique des durées de vie issues du domaine médical ou de la fiabilité. Ses paramètres sont un paramètre de régression et une fonction de risque de base positive et inconnue. L'inférence statistique pour ce modèle, basée sur la vraisemblance partielle de Cox, est souvent compliquée par la présence de données manquantes des covariables. Dans cette thèse, nous proposons une méthode d'estimation des paramètres du modèle de Cox adaptée à cette situation, et nous étudions les propriétés asymptotiques des estimateurs obtenus. La méthode proposée consiste à modéliser conjointement les durées censurées et le processus de covariable afin d'en déduire, par intégration sur les valeurs manquantes de cette covariable, une vraisemblance conjointe permettant d'estimer les paramètres du modèle de Cox au vu des données incomplètes. Dans un premier temps, nous proposons et formalisons un modèle conjoint pour les durées de vie et la covariable longitudinale. Ce modèle est construit à partir du modèle de Cox et d'un modèle de covariable choisi comme étant une fonction en escalier. Nous établissons ensuite l'identifiabilité de ce modèle sous des conditions de régularité peu contraignantes. Puis, nous adaptons au modèle conjoint la méthode du maximum de vraisemblance semiparamétrique. Nous montrons l'existence d'estimateurs semiparamétriques de ses paramètres, et en particulier de ses paramètres d'intérêt, qui sont les paramètres du modèle de Cox. L'expression compliquée de la vraisemblance conjointe ne permet pas d'obtenir analytiquement ces estimateurs. Nous mettons alors en oeuvre l'estimation à l'aide d'un algorithme EM. Nous montrons ensuite la consistance et la normalité asymptotique de nos estimateurs. Puis, nous proposons un estimateur consistant de leur variance asymptotique. Dans une dernière partie, nous appliquons la méthode proposée sur un jeu de données réelles, et nous comparons nos résultats avec deux autres méthodes d'estimation du modèle de Cox avec covariable manquante proposées dans la littérature.

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La régulation de la concentration de glucose dans l'organisme est nécessaire au bon fonctionnement des globules rouges et de l'ensemble des cellules, dont celles des muscles et du cerveau. Cette régulation met en jeu plusieurs organes ainsi que le système hormonal dont une hormone en particulier, l'insuline. Le diabète de type 1 est une maladie où les cellules productrices d'insuline du pancréas sont détruites. Afin de compenser cette perte de production d'insuline, le traitement de cette maladie consiste, pour le patient, à déterminer une dose d'insuline à s'injecter en fonction de mesures de sa glycémie et de certaines caractéristiques intervenant dans la régulation de celle-ci (repas, activité physique, stress,...). Cette thèse s'inscrit dans une démarche d'automatisation du traitement en proposant un nouveau modèle non-linéaire du métabolisme glucidique pouvant être utilisé dans une solution de contrôle en boucle fermée. Nous avons prouvé que ce modèle possède une unique solution positive et bornée pour des conditions initiales fixées et sa commandabilité locale. Nous nous sommes ensuite intéressés à l'identification paramétrique de ce modèle. Nous avons montré son identifiabilité structurelle et pratique. Dans ce cadre, une nouvelle méthodologie permettant de qualifier l'identifiabilité pratique d'un modèle, basée sur une divergence de Kullback-Leibler, a été proposée. Une estimation des paramètres du modèle a été réalisée à partir de données de patients réels. Dans ce but, une méthodologie d'estimation robuste, basée sur un critère de Huber, a été utilisée. Les résultats obtenus ont montré la pertinence du nouveau modèle proposé.