Diese Dissertation beschäftigt sich mit asymptotischen Syzygien und Gleichungen Abelscher Varietäten, sowie mit deren Anwendung auf zyklische Überdeckungen von Kurven von Geschlecht zwei. Was asymptotischen Syzygien angeht, zeigen wir für beliebige Geradenbündel auf projektiven Schemata: Wenn die asymptotischen Syzygien von Grad p eines Geradenbündels verschwinden, dann ist das Geradenbündel p-sehr ampel. Darüber hinaus verwenden wir die Bridgeland-King-Reid-Haiman Korrespondenz, um zu zeigen, dass dieses Ergebnis auch umgekehrt wahr ist, wenn es um eine glatte Fläche und kleine p geht. Dies dehnt Ergebnisse von Ein-Lazarsfeld und Ein-Lazarsfeld-Yang aus. Wir verwenden unsere Ergebnisse, um zu untersuchen, wie Syzygien verwendet werden können, um den Grad der Irrationalität einer Varietät zu begrenzen. Ferner, beweisen wir eine Vermutung von Gross and Popescu über Abelsche Flächen, deren Ideal durch Quadriken und Kubiken erzeugt wird. Außerdem verwenden wir die projektive Normalität einer Abelschen Fläche, um die Prym Abbildung, die mit zyklischen Überdeckungen von Geschlecht zwei Kurven assoziert ist, zu untersuchen. Wir zeigen, dass das Differential der Abbildung generisch injektiv ist, wenn der Grad der Überdeckung mindestens sieben ist. Wir dehnen damit Ergebnisse von Lange und Ortega aus. Abschließend zeigen wir, dass das Differential genau für bielliptische Überdeckungen nicht injectiv ist. / In this thesis we study asymptotic syzygies of algebraic varieties and equations of abelian surfaces, with applications to cyclic covers of genus two curves. First, we show that vanishing of asymptotic p-th syzygies implies p-very ampleness for line bundles on arbitrary projective schemes. For smooth surfaces we prove that the converse holds, when p is small, by studying the Bridgeland-King-Reid-Haiman correspondence for the Hilbert scheme of points. This extends previous results of Ein-Lazarsfeld and Ein-Lazarsfeld-Yang. As an application of our results, we show how to use syzygies to bound the irrationality of a variety. Furthermore, we confirm a conjecture of Gross and Popescu about abelian surfaces whose ideal is generated by quadrics and cubics. In addition, we use projective normality of abelian surfaces to study the Prym map associated to cyclic covers of genus two curves. We show that the differential of the map is generically injective as soon as the degree of the cover is at least seven, extending a previous result of Lange and Ortega. Moreover, we show that the differentials fails to be injective precisely at bielliptic covers.

Diese Dissertation untersucht Brill-Noether-Theorie der algebraischen Kurven, unter besonderer Berücksichtigung von Kurven auf K3-Flächen und Del-Pezzo-Flächen. In Kapitel 2 studieren wir den Gieseker-Petri-Ort GP_g im Modulraum M_g der glatten irreduziblen Kurven vom Geschlecht g. Dieser Ort wird definiert durch Kurven mit einer Brill-Noether-Varietät G^r_d(C), die singulär ist oder deren Dimension größer als erwartet ist. Der Satz von Gieseker-Petri impliziert, dass GP_g mindestens Kodimension 1 hat, und es wurde vermutet, dass er von reiner Kodimension 1 ist. Wir beweisen diese Vermutung für Geschlecht höchstens 13. Dies wird dadurch ermöglicht, dass man für kleine Geschlechter die Dimension der irreduziblen Komponenten von GP_g mittels "ad hoc"-Beweisführungen untersuchen kann. Lazarsfelds Beweis des Gieseker-Petri-Theorems mittels Kurven auf allgemeninen K3-Flächen deutet darauf hin, dass die Brill-Noether-Theorie von K3-Schnitten wichtig ist, um den Gieseker-Petri-Ort besser zu verstehen. Linearscharen von Kurven, die auf K3-Flächen liegen, stehen in tiefgehender Beziehung zu sogenannten Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündeln. In Kapitel 3 untersuchen wir die Stabilität der Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündel vom Rang 3 auf einer K3-Fläche S, und wir zeigen, dass sie viele Informationen über Netze vom Typ g^2_d auf Kurven in S enthalten. Wenn d größ genug ist, erhalten wir eine obere Schranke für die Dimension der Varietät G^2_d(C). Wenn die Brill-Noether-Zahl negativ ist, beweisen wir, dass jedes g^2_d in einer von einem Geradenbündel induzierten Linearschar enthalten ist, wie von Donagi und Morrison vermutet wurde. Kapitel 4 befasst sich mit Syzygien einer gegebenen Kurve C, die auf einer Del-Pezzo-Fläche liegt. Wir insbesondere, dass C die Greens Vermutung erfüllt, die impliziert, dass die Existenz gewisser spezieller Linearscharen auf C von den Gleichungen ihrer kanonischen Einbettung abgelesen werden kann. / We investigate Brill-Noether theory of algebraic curves, with special emphasis on curves lying on $K3$ surfaces and Del Pezzo surfaces. In Chapter 2, we study the Gieseker-Petri locus GP_g inside the moduli space M_g of smooth, irreducible curves of genus g. This consists, by definition, of curves [C] in M_g such that for some r, d the Brill-Noether variety G^r_d(C), which parametrizes linear series of type g^r_d on C, either is singular or has some components exceeding the expected dimension. The Gieseker-Petri Theorem implies that GP_g has codimension at least 1 in M_g and it has been conjectured that it has pure codimension 1. We prove this conjecture up to genus 13; this is possible since, when the genus is low enough, one is able to determine the irreducible components of GP_g and to study their codimension by "ad hoc" arguments. Lazarsfeld''s proof of the Gieseker-Petri-Theorem by specialization to curves lying on general K3 surfaces suggests the importance of the Brill-Noether theory of K3-sections for a better understanding of the Gieseker-Petri locus. Linear series on curves lying on a K3 surface are deeply related to the so-called Lazarsfeld-Mukai bundles. In Chapter 3, we study the stability of rank-3 Lazarsfeld-Mukai bundles on a K3 surface S, and show it encodes much information about nets of type g^2_d on curves C contained in S. When d is large enough and C is general in its linear system, we obtain a dimensional statement for the variety G^2_d(C). If the Brill-Noether number is negative, we prove that any g^2_d is contained in a linear series which is induced from a line bundle on S, as conjectured by Donagi and Morrison. Chapter 4 concerns syzygies of any given curve C lying on a Del Pezzo surface S. In particular, we prove that C satisfies Green''s Conjecture, which implies that the existence of some special linear series on C can be read off the equations of its canonical embedding.