Nous étudions dans cette thèse la génération de maillages anisotropes basée sur la triangulation de Delaunay et le diagramme de Voronoi. Nous considérons tout d'abord les maillages anisotropes localement uniformes, développés par Boissonnat, Wormser et Yvinec. Bien que l'aspect théorique de cette approche soit connu, son utilité pratique n'a été que peu explorée. Une étude empirique exhaustive est présentée et révèle les avantages, mais aussi les inconvénients majeurs de cette méthode. Dans un second temps, nous étudions les diagrammes de Voronoi anisotropes définis par Labelle et Shewchuk. Nous donnons des conditions suffisantes sur un ensemble de points pour que le dual du diagramme soit une triangulation plongée en toute dimension ; un algorithme générant de tels ensembles est conçu. Ce diagramme est utilisé pour concevoir un algorithme qui génère efficacement un maillage anisotrope pour des domaines de dimension intrinsèque faible plongés dans des espaces de dimension large. Notre algorithme est prouvable, mais les résultats sont décevants. Enfin, nous présentons le diagramme de Voronoi Riemannien discret, qui utilise des avancées récentes dans l'estimation de distances géodésiques et dont le calcul est grandement accéléré par l'utilisation d'un graphe anisotrope. Nous donnons des conditions suffisantes pour que notre structure soit combinatoirement équivalente au diagramme de Voronoi Riemannien et que son dual utilisant des simplexes droits mais aussi courbes est une triangulation plongée en toute dimension. Nous obtenons de bien meilleurs résultats que pour nos autres techniques, mais dont l'utilité reste limitée / In this thesis, we study the generation of anisotropic meshes using the concepts of Delaunay triangulations and Voronoi diagrams. We first consider the framework of locally uniform anisotropic meshes introduced by Boissonnat, Wormser and Yvinec. Despite known theoretical guarantees, the practicality of this approach has only been hardly studied. An exhaustive empirical study is presented and reveals the strengths but also the overall impracticality of the method. In a second part, we investigate the anisotropic Voronoi diagram introduced by Labelle and Shewchuk and give conditions on a set of seeds such that the corresponding diagram has a dual that is an embedded triangulation in any dimension; an algorithm to generate such sets is devised. Using the same diagram, we propose an algorithm to generate efficiently anisotropic triangulations of low-dimensional manifolds embedded in high-dimensional spaces. Our algorithm is provable, but produces disappointing results. Finally, we study Riemannian Voronoi diagrams and introduce discrete Riemannian Voronoi diagrams, which employ recent developments in the numerical computation of geodesic distances and whose computation is accelerated through the use of an underlying anisotropic graph structure. We give conditions that guarantee that our discrete structure is combinatorially equivalent to the Riemannian Voronoi diagram and that its dual is an embedded triangulation, using both straight and curved simplices. We obtain significantly better results than with our other methods, but the overall utility of

Nous étudions les triangulations dans des espaces de courbure négative constante, en théorie et en pratique. Ce travail est motivé par des applications dans des domaines variés. Nous considérons les complexes de Delaunay et les diagrammes de Voronoï dans la boule de Poincaré, modèle conforme de l'espace hyperbolique, en dimension quelconque. Nous utilisons l'espace des sphères pour la description des algorithmes. Nous étudions aussi les questions algébriques et arithmétiques et observons que les calculs effectués sont rationnels. Les démonstrations sont basées sur des raisonnements géométriques et n'utilisent aucune formulation analytique de la distance hyperbolique. Nous présentons une implantation complète, exacte et efficace en dimension deux. Le code est développé en vue d'une intégration dans la bibliothèque CGAL, qui permettra une diffusion à un large public. Nous étudions ensuite les triangulations de Delaunay des surfaces hyperboliques fermées. Nous définissons une triangulation comme un complexe simplicial afin de permettre l'adaptation de l'algorithme incrémentiel connu pour le cas euclidien. Le cœur de l'approche consiste à montrer l'existence d'un revêtement fini dans lequel les fibres définissent toujours une triangulation de Delaunay. Nous montrons une condition suffisante sur la longueur des boucles non contractiles du revêtement. Dans le cas particulier de la surface de Bolza, nous proposons une méthode pour construire un tel revêtement, en étudiant les sous groupes distingués du groupe fuchsien définissant la surface. Nous considérons des aspects liés à l'implantation. / We study triangulations of spaces of constant negative curvature -1 from both theoretical and practical points of view. This is originally motivated by applications in various fields such as geometry processing and neuro mathematics. We first consider Delaunay complexes and Voronoi diagrams in the Poincaré ball, a conformal model of the hyperbolic space, in any dimension. We use the framework of the space of spheres to give a detailed description of algorithms. We also study algebraic and arithmetic issues, observing that only rational computations are needed. All proofs are based on geometric reasoning, they do not resort to any use of the analytic formula of the hyperbolic distance. We present a complete, exact, and efficient implementation of the Delaunay complex and Voronoi diagram in the 2D hyperbolic space. The implementation is developed for future integration into the CGAL library to make it available to a broad public. Then we study the problem of computing Delaunay triangulations of closed hyperbolic surfaces. We define a triangulation as a simplicial complex, so that the general incremental algorithm for Euclidean Delaunay triangulations can be adapted. The key idea of the approach is to show the existence of a finite-sheeted covering space for which the fibers always define a Delaunay triangulation. We prove a sufficient condition on the length of the shortest non-contractible loops of the covering space. For the specific case of the Bolza surface, we propose a method to actually construct such a covering space, by studying normal subgroups of the Fuchsian group defining the surface. Implementation aspects are considered.

La modélisation 3d automatique d'un environnement à partir d'images est un sujet toujours d'actualité en vision par ordinateur. Ce problème se résout en général en trois temps : déplacer une caméra dans la scène pour prendre la séquence d'images, reconstruire la géométrie, et utiliser une méthode de stéréo dense pour obtenir une surface de la scène. La seconde étape met en correspondances des points d'intérêts dans les images puis estime simultanément les poses de la caméra et un nuage épars de points 3d de la scène correspondant aux points d'intérêts. La troisième étape utilise l'information sur l'ensemble des pixels pour reconstruire une surface de la scène, par exemple en estimant un nuage de points dense.Ici nous proposons de traiter le problème en calculant directement une surface à partir du nuage épars de points et de son information de visibilité fournis par l'estimation de la géométrie. Les avantages sont des faibles complexités en temps et en espace, ce qui est utile par exemple pour obtenir des modèles compacts de grands environnements comme une ville. Pour cela, nous présentons une méthode de reconstruction de surface du type sculpture dans une triangulation de Delaunay 3d des points reconstruits. L'information de visibilité est utilisée pour classer les tétraèdres en espace vide ou matière. Puis une surface est extraite de sorte à séparer au mieux ces tétraèdres à l'aide d'une méthode gloutonne et d'une minorité de points de Steiner. On impose sur la surface la contrainte de 2-variété pour permettre des traitements ultérieurs classiques tels que lissage, raffinement par optimisation de photo-consistance ... Cette méthode a ensuite été étendue au cas incrémental : à chaque nouvelle image clef sélectionnée dans une vidéo, de nouveaux points 3d et une nouvelle pose sont estimés, puis la surface est mise à jour. La complexité en temps est étudiée dans les deux cas (incrémental ou non). Dans les expériences, nous utilisons une caméra catadioptrique bas coût et obtenons des modèles 3d texturés pour des environnements complets incluant bâtiments, sol, végétation ... Un inconvénient de nos méthodes est que la reconstruction des éléments fins de la scène n'est pas correcte, par exemple les branches des arbres et les pylônes électriques.

Les travaux présentés et discutés dans cette thèse ont pour objectif de proposer plusieurs solutions au problème de l’analyse et du clustering de nuages de points en basse dimension. Ces solutions s’appuyent sur l’analyse de triangulations de Delaunay. Deux types d’approches sont présentés et discutés. Le premier type suit une approche en trois-passes classique: 1) la construction d’un graphe de proximité contenant une information topologique, 2) la construction d’une information statistique à partir de ce graphe et 3) la suppression d’éléments inutiles au regard de cette information statistique. L’impact de différentes measures sur le clustering ainsi que sur la reconnaissance de caractères est discuté. Ces mesures s’appuyent sur l’exploitation du complexe simplicial et non pas uniquement sur celle du graphe. Le second type d’approches est composé d’approches en une passe extrayant des clusters en même temps qu’une triangulation de Delaunay est construite. / This thesis aims at proposing and discussing several solutions to the problem of low-dimensional point cloudanalysis and clustering. These solutions are based on the analysis of the Delaunay triangulation.Two types of approaches are presented and discussed. The first one follows a classical three steps approach:1) the construction of a proximity graph that embeds topological information, 2) the construction of statisticalinformation out of this graph and 3) the removal of pointless elements regarding this information. The impactof different simplicial complex-based measures, i.e. not only based on a graph, is discussed. Evaluation is madeas regards point cloud clustering quality along with handwritten character recognition rates. The second type ofapproaches consists of one-step approaches that derive clustering along with the construction of the triangulation.

Dans cette thèse, nous exploitons les outils de la théorie des probabilités et de la géométrie stochastique pour analyser des algorithmes opérant sur les tessellations. Ce travail est divisé entre deux thèmes principaux, le premier traite de la navigation dans une tessellation de Delaunay et dans son dual, le diagramme de Voronoï avec des implications pour les algorithmes de localisation spatiales et de routage dans les réseaux en ligne. Nous proposons deux nouveaux algorithmes de navigation dans la triangulation de Delaunay, que nous appelons Pivot Walk et Cone Walk. Pour Cone Walk, nous fournissons une analyse en moyenne détaillée avec des bornes explicites sur les propriétés de la pire marche possible effectuée par l'algorithme sur une triangulation de Delaunay aléatoire d'une région convexe bornée. C'est un progrès significatif car dans l'algorithme Cone Walk, les probabilités d'utiliser un triangle ou un autre au cours de la marche présentent des dépendances complexes, dépendances inexistantes dans d'autres marches. La deuxième partie de ce travail concerne l'étude des propriétés extrémales de tessellations aléatoires. En particulier, nous dérivons les premiers et derniers statistiques d'ordre pour les boules inscrites dans les cellules d'un arrangement de droites Poissonnien; ce résultat a des implications par exemple pour le hachage respectant la localité. Comme corollaire, nous montrons que les cellules minimisant l'aire sont des triangles. / In this thesis, we leverage the tools of probability theory and stochastic geometry to investigate the behavior of algorithms on geometric tessellations of space. This work is split between two main themes, the first of which is focused on the problem of navigating the Delaunay tessellation and its geometric dual, the Voronoi diagram. We explore the applications of this problem to point location using walking algorithms and the study of online routing in networks. We then propose and investigate two new algorithms which navigate the Delaunay triangulation, which we call Pivot Walk and Cone Walk. For Cone Walk, we provide a detailed average-case analysis, giving explicit bounds on the properties of the worst possible path taken by the algorithm on a random Delaunay triangulation in a bounded convex region. This analysis is a significant departure from similar results that have been obtained, due to the difficulty of dealing with the complex dependence structure of localized navigation algorithms on the Delaunay triangulation. The second part of this work is concerned with the study of extremal properties of random tessellations. In particular, we derive the first and last order-statistics for the inballs of the cells in a Poisson line tessellation. This result has implications for algorithms involving line tessellations, such as locality sensitive hashing. As a corollary, we show that the cells minimizing the area are triangles.

Les artistes apprécient les images vectorielles car elles sont compactes et facilement manipulables. Cependant, beaucoup d’artistes expriment leur créativité en dessinant, en peignant ou encore en prenant des photographies. Digitaliser ces contenus produit des images rasterisées. L’objectif de cette thèse est de convertir des images rasterisées en images vectorielles qui sont facilement manipulables. Nous avons formulé le problème de vectorisation comme un problème de minimisation d’énergie que nous avons défini par deux termes. Le premier terme, plutôt classique, mesure la fidélité de l’image vectorielle générée avec l’image rasterisée d’origine. La nouveauté principale est le second terme qui mesure la simplicité de l’image vectorielle générée. Le terme de simplicité est global et contient des variables discrètes, ce qui rend sa minimisation difficile. Nous avons proposé deux algorithmes de vectorisation : un pour la vectorisation de croquis et un autre pour la vectorisation multicouches d’images couleurs. Ces deux algorithmes commencent par extraire des primitives géométriques (un squelette pour les croquis et une segmentation pour les images couleurs) qu’ils assemblent ensuite pour former l’image vectorielle. Dans la dernière partie de la thèse, nous proposons un nouvel algorithme qui est capable de vectoriser des croquis sans étapes préliminaires : on extrait et assemble les primitives simultanément. Nous montrons le potentiel de ce nouvel algorithme pour une variété de problèmes de vision par ordinateur comme l’extraction de réseaux linéiques, l’extraction d’objets et la compression d’images. / Artists appreciate vector graphics for their compactness and editability. However many artists express their creativity by sketching, painting or taking photographs. Digitizing these images produces raster graphics. The goal of this thesis is to convert raster graphics into vector graphics that are easy to edit. We cast image vectorization as an energy minimization problem. Our energy is a combination of two terms. The first term measures the fidelity of the vector graphics to the input raster graphics. This term is a standard term for image reconstruction problems. The main novelty is the second term which measures the simplicity of the vector graphics. The simplicity term is global and involves discrete unknowns which makes its minimization challenging. We propose two stochastic optimizations for this formulation: one for the line drawing vectorization problem and another one for the color image vectorization problem. These optimizations start by extracting geometric primitives (skeleton for sketches and segmentation for color images) and then assembling these primitives together to form the vector graphics. In the last chapter we propose a generic optimization method for the problem of geometric shape extraction. This new algorithm does not require any preprocessing step. We show its efficiency in a variety of vision problems including line network extraction, object contouring and image compression.

Mobile robotics has been very discussed and wide spread topic recently.   This due to the development in the computer technology that allows us to create   better and more sophisticated robots. The goal of this effort is to create robots   that will be able to autonomously move in the chosen environment. To achieve this goal,   it is necessary for the robot to create the map of its environment, where   the motion planning will occur. Nowadays, the probabilistic algorithms based   on the SLAM algorithm are considered standard in the mapping in these times.   This Phd. thesis deals with the proposal of the motion planning of the robot with   stereocamera placed on the pan-and-tilt unit. The motion planning is designed with   regard to the use of algorithms, which will look for the significant features   in the pair of the images. With the use of the triangulation the map, or a model will be created.     The benefits of this work can be divided into three parts. In the first one the way   of marking the free area, where the robot will plan its motion, is described. The second part   describes the motion planning of the robot in this free area. It takes into account   the properties of the SLAM algorithm and it tries to plan the exploration in order to create   the most precise map. The motion of the pan-and-tilt unit is described in the third part.   It takes advantage of the fact that the robot can observe places that are in the different   directions than the robot moves. This allows us to observe much bigger space without   losing the information about the precision of the movements.

La modélisation 3d automatique d'un environnement à partir d'images est un sujet toujours d'actualité en vision par ordinateur. Ce problème se résout en général en trois temps : déplacer une caméra dans la scène pour prendre la séquence d'images, reconstruire la géométrie, et utiliser une méthode de stéréo dense pour obtenir une surface de la scène. La seconde étape met en correspondances des points d'intérêts dans les images puis estime simultanément les poses de la caméra et un nuage épars de points 3d de la scène correspondant aux points d'intérêts. La troisième étape utilise l'information sur l'ensemble des pixels pour reconstruire une surface de la scène, par exemple en estimant un nuage de points dense.Ici nous proposons de traiter le problème en calculant directement une surface à partir du nuage épars de points et de son information de visibilité fournis par l'estimation de la géométrie. Les avantages sont des faibles complexités en temps et en espace, ce qui est utile par exemple pour obtenir des modèles compacts de grands environnements comme une ville. Pour cela, nous présentons une méthode de reconstruction de surface du type sculpture dans une triangulation de Delaunay 3d des points reconstruits. L'information de visibilité est utilisée pour classer les tétraèdres en espace vide ou matière. Puis une surface est extraite de sorte à séparer au mieux ces tétraèdres à l'aide d'une méthode gloutonne et d'une minorité de points de Steiner. On impose sur la surface la contrainte de 2-variété pour permettre des traitements ultérieurs classiques tels que lissage, raffinement par optimisation de photo-consistance ... Cette méthode a ensuite été étendue au cas incrémental : à chaque nouvelle image clef sélectionnée dans une vidéo, de nouveaux points 3d et une nouvelle pose sont estimés, puis la surface est mise à jour. La complexité en temps est étudiée dans les deux cas (incrémental ou non). Dans les expériences, nous utilisons une caméra catadioptrique bas coût et obtenons des modèles 3d texturés pour des environnements complets incluant bâtiments, sol, végétation ... Un inconvénient de nos méthodes est que la reconstruction des éléments fins de la scène n'est pas correcte, par exemple les branches des arbres et les pylônes électriques. / The automatic 3d modeling of an environment using images is still an active topic in Computer Vision. Standard methods have three steps : moving a camera in the environment to take an image sequence, reconstructing the geometry of the environment, and applying a dense stereo method to obtain a surface model of the environment. In the second step, interest points are detected and matched in images, then camera poses and a sparse cloud of 3d points corresponding to the interest points are simultaneously estimated. In the third step, all pixels of images are used to reconstruct a surface of the environment, e.g. by estimating a dense cloud of 3d points. Here we propose to generate a surface directly from the sparse point cloud and its visibility information provided by the geometry reconstruction step. The advantages are low time and space complexities ; this is useful e.g. for obtaining compact models of large and complete environments like a city. To do so, a surface reconstruction method by sculpting 3d Delaunay triangulation of the reconstructed points is proposed.The visibility information is used to classify the tetrahedra in free-space and matter. Then a surface is extracted thanks to a greedy method and a minority of Steiner points. The 2-manifold constraint is enforced on the surface to allow standard surface post-processing such as denoising, refinement by photo-consistency optimization ... This method is also extended to the incremental case : each time a new key-frame is selected in the input video, new 3d points and camera pose are estimated, then the reconstructed surface is updated.We study the time complexity in both cases (incremental or not). In experiments, a low-cost catadioptric camera is used to generate textured 3d models for complete environments including buildings, ground, vegetation ... A drawback of our methods is that thin scene components cannot be correctly reconstructed, e.g. tree branches and electric posts.

L'acquisition de modèles 3D des scènes réelles trouve son utilité dans de nombreuses applications pratiques, comme l'archivage numérique, les jeux vid eo, l'ingénierie, la publicité. Il existe principalement deux méthodes pour acqu érir un modèle 3D: la reconstruction avec un scanner laser (méthode active) et la reconstruction à partir de plusieurs photographies d'une même scène prise dans des points de vues différents (méthode passive). La méthode passive, ou la stéréo multi-vues est en revanche plus flexible, facile à mettre en oeuvre avec une grande précision, et surtout moins couteuse que la méthode active. Cette thèse s'attaque au problème de la reconstruction de stereo multi-vues à grande échelle . Nous améliorons des méthodes précédentes et les assemblons pour créer une chaine de stereo multi-vues efficace tirant parti de l'accélération des cartes graphiques. La chaîne produit des maillages de qualité à partir d'images de haute résolution, ce qui permet d'atteindre les meilleurs scores dans de nombreuses évaluations. Aux plus grandes échelles, nous développons d'une part des techniques de type diviser-pour-régner pour reconstruire des morceaux partiaux de la scène. D'autre part, pour combiner ces résultats séparés, nous créons une nouvelle méthode qui fusionne rapidement des centaines de maillages. Nous réussissons à reconstruire de beaux maillages urbains et des monuments historiques précis à partir de grandes collections d'images (environ 1600 images de 5M Pixel).

Les travaux effectués lors de cette thèse concernent principalement la triangulation de Delaunay. On montre que la complexité en moyenne - en termes de sites inachevés - du processus de fusion multidimensionnelle dans l'hypothèse de distribution quasi-uniforme dans un hypercube est linéaire en moyenne. Ce résultat général est appliqué au cas du plan et permet d'analyser de nouveaux algorithmes de triangulation de Delaunay plus performants que ceux connus à ce jour. Le principe sous-jacent est de diviser le domaine selon des arbres bidimensionnels (quadtree, 2d-tree, bucket-tree. . . ) puis de fusionner les cellules obtenues selon deux directions. On étudie actuellement la prise en compte de contraintes directement pendant la phase de triangulation avec des algorithmes de ce type. De nouveaux algorithmes pratiques de localisation dans une triangulation sont proposés, basés sur la randomisation à partir d'un arbre binaire de recherche dynamique de type AVL, dont l'un est plus rapide que l'algorithme optimal de Kirkpatrick, au moins jusqu'à 12 millions de sites K Nous travaillons actuellement sur l'analyse rigoureuse de leur complexité en moyenne. Ce nouvel algorithme est utilisé pour construire " en-ligne " une triangulation de Delaunay qui est parmi les plus performantes des méthodes " en-ligne " connues à ce jour.