Les méthodes de réseau de tenseurs (TN) ont été un ingrédient essentiel des progrès de la physique de la matière condensée et ont récemment suscité l'intérêt de la communauté de l'apprentissage automatique pour leur capacité à représenter de manière compacte des objets de très grande dimension. Les méthodes TN peuvent par exemple être utilisées pour apprendre efficacement des modèles linéaires dans des espaces de caractéristiques exponentiellement grands [1]. Dans ce manuscrit, nous dérivons des limites supérieures et inférieures sur la VC-dimension et la pseudo-dimension d'une grande classe de Modèles TN pour la classification, la régression et la complétion . Nos bornes supérieures sont valables pour les modèles linéaires paramétrés par structures TN arbitraires, et nous dérivons des limites inférieures pour les modèles de décomposition tensorielle courants (CP, Tensor Train, Tensor Ring et Tucker) montrant l'étroitesse de notre borne supérieure générale. Ces résultats sont utilisés pour dériver une borne de généralisation qui peut être appliquée à la classification avec des matrices de faible rang ainsi qu'à des classificateurs linéaires basés sur l'un des modèles de décomposition tensorielle couramment utilisés. En corollaire de nos résultats, nous obtenons une borne sur la VC-dimension du classificateur basé sur le matrix product state introduit dans [1] en fonction de la dimension de liaison (i.e. rang de train tensoriel), qui répond à un problème ouvert répertorié par Cirac, Garre-Rubio et Pérez-García [2]. / Tensor network (TN) methods have been a key ingredient of advances in condensed matter physics and have recently sparked interest in the machine learning community for their ability to compactly represent very high-dimensional objects. TN methods can for example be used to efficiently learn linear models in exponentially large feature spaces [1]. In this manuscript, we derive upper and lower bounds on the VC-dimension and pseudo-dimension of a large class of TN models for classification, regression and completion. Our upper bounds hold for linear models parameterized by arbitrary TN structures, and we derive lower bounds for common tensor decomposition models (CP, Tensor Train, Tensor Ring and Tucker) showing the tightness of our general upper bound. These results are used to derive a generalization bound which can be applied to classification with low-rank matrices as well as linear classifiers based on any of the commonly used tensor decomposition models. As a corollary of our results, we obtain a bound on the VC-dimension of the matrix product state classifier introduced in [1] as a function of the so-called bond dimension (i.e. tensor train rank), which answers an open problem listed by Cirac, Garre-Rubio and Pérez-García [2].

La conception classique de l'organisation des réseaux cérébraux participant au langage décrit deux zones corticales, l'une frontale (Broca), l'autre temporale intervenant respectivement dans la production et la compréhension du langage, unies par un faisceau de substance blanche: le faisceau longitudinal supérieur. L'imagerie par résonance magnétique d'activation (IRMf) a rendu possible la visualisation de zones d'activation corticales, et l'imagerie en tenseur de diffusion avec la tractographie celle des faisceaux de substance blanche. Ces données nouvelles permettent de repenser l'organisation corticale et sous-corticale du langage. L'ensemble des travaux en imagerie d'activation étaye l'hypothèse d'une dissociation dorso-ventrale du traitement du langage. Les zones de traitement de l'information phonétique étant dorsales, et les centres impliqués dans le traitement sémantique plus ventraux. Imagerie d'activation, imagerie du tenseur de diffusion, stimulations corticales et sous-corticales ont permis d'aboutir à un modèle de réseau du langage impliquant une voie dorsale, essentiellement phonologique et une voie ventrale, sémantique présentant deux composantes. La première est directe, par le faisceau fronto-occipital inférieur connectant les aires temporales postérieures à la région orbito-frontale. La seconde est une voie indirecte qui connecte successivement la région occipito-temporale au pôle temporal par l'intermédiaire du faisceau longitudinal inférieur puis le pôle temporal aux aires basifrontales par le faisceau unciné. Cette dernière voie est compensée après résection ou lors des stimulations per-opératoires, suggérant la possibilité de réseaux de suppléance parallèles et bilatéraux. Dans cette vision d'une voie ventrale sémantique bilatérale, notre travail a pour objet par l'utilisation de l'imagerie fonctionnelle d'activation, d'une part, et de l'imagerie en tenseur de diffusion d'autre part, 1) de vérifier le nombre de faisceaux qui sous-tendent cette voie et en particulier de la part attribuable au faisceau longitudinal moyen; 2) de caractériser les réorganisations de la connectivité fonctionnelle du réseau du langage après une chirurgie de tumeur gliale hémisphérique gauche. Dans la première partie de ce travail, après avoir rappelé la filiation phylogénétique de l'homme et du primate non-humain, en insistant sur les dissemblances qui existent dans leur anatomie corticale et sous-corticale, nous exposons comment ces données ont permis d'aboutir à la découverte du faisceau longitudinal moyen chez l'homme. Nous confirmons la visibilité en imagerie du tenseur de diffusion de ce faisceau et nous précisons ses rapports avec les différents faisceaux de substance blanche constitutifs des voies ventrales et dorsales du langage. Enfin nous discutons ces données tractographiques à la lumière de la dissection et discutons du rôle présumé du faisceau dans le langage. Dans un deuxième temps, nous présentons les concepts de connectivité anatomique, fonctionnelle et effective. Puis nous appliquons un outil d'analyse de la connectivité fonctionnelle à des données périopératoires en tâches de fluence afin de réaliser une cartographie de la plasticité périopératoire de la composante sémantique du langage. Les résultats de cette deuxième étude suggèrent un recrutement de l'hémisphère ipsilatéral à la lésion au décours de la chirurgie. Enfin, nous évoquons la possibilité d'induire une désynchronisation (i.e. une altération de la connectivité) du réseau du mode par défaut par une stimulation peropératoire de la partie postérieure du faisceau cingulaire, induisant une sensation de dépersonnalisation, ces résultats suggérant qu'une des fonctions du noeud le plus postérieur du réseau soit de maintenir un état de conscience du monde extérieur. / According to classical conception of the anatomo-functional organization of language, there are two main cortical areas: a frontal area (Broca) and a temporal one (Wernicke) respectively involved in language production and comprehension. Functional magnetic resonance Imaging (fMRI) reveals cortical areas of activation and diffusion tensor imaging-based tractography (DTI) makes feasible the visualization of white-matter tracts in the human brain. On the basis of these techniques, a new conception of language cortical and sub-cortical organization arose, supporting the hypothesis that language processing network is dissociated in an dorso-ventral way. Dorsal areas of the brain being devoted to phonologic processing and its ventral areas to semantic processing of speech. Different techniques such as fMRI, DTI, intraoperative cortical and subcortical mapping made possible to describe two pathways involved in the language network: a dorsal stream and a ventral stream respectively involved in phonologic and semantic processing. As the dorsal route is composed of a unique pathway, the superior longitudinal fasciculus, the ventral stream appears to be composed of two different pathways. First a direct pathway, the inferior occipitofrontal fasciculus, connecting the posterior temporal areas to the orbitofrontal region. The second one, an indirect pathway, the inferior longitudinal fasciculus links the posterior occipitotemporal to the temporal pole, then relayed by the uncinate fasciculus connecting the temporal pole to the basifrontal areas. According to these observations the aim of our work is In the present work, we aim (1) to confirm that the MdLF is constantly found in control subjects and that it can be delineated from the other fiber tracts that constitute language pathways, (2) to characterize the reorganization of language network's functional connectivity follmowing surgical removal of left hemisphere low grade gliomas. In this study, we confirmed that the MdLF is constantly found in healthy volunteers and we clearly delineate the MdLF from the other fascicles that constitute language pathways, especially the ventral pathway. Considering language plasticity, our findings suggest that in the postoperative period, brain plasticity occurs with an ipsilateral recrutment and increased fonctional connectivity in the left hemisphere. Finally, we report a collaborative work observing that intraoperative electrostimulations of the white matter underlying the left posterior cingulate, while performing a naming task, systematically induced an unresponsive state for few seconds in relationship with a dream-like state. This result provides direct evidence that connectivity underlying the posterior node of the default mode network permits maintained consciousness of the external world.

Le sujet principal de cette thèse est d'exploiter les structures Spinc dans le but d'étudier la géométrie de certaines sous-variétés. Dans un premier temps, nous commençons par établir des résultats de base pour l'opérateur de Dirac Spinc. On donne ainsi des inégalités de type Hijazi en terme du tenseur d'énergie-impulsion. Ce tenseur intervient dans l'étude des variations du spectre de l'opérateur de Dirac et dans les équations de Dirac-Einstein. L'étude des hypersurfaces des variétés Spinc permet de mieux comprendre ce tenseur puisque ce dernier est le tenseur de Weingarten de l'immersion. Étant des structures naturelles sur les variétés homogènes de dimension 3 dont le groupe d'isométries est de dimension 4, les structures Spinc permettent d'aborder des problèmes riemanniens sur les hypersurfaces de ces variétés. En effet, on donne une correspondance de Lawson pour les surfaces à courbure moyenne constante. Finalement, on caractérise les structures complexes et CR sur une variété par les structures Spinc admettant un champ de spineurs spécial appelé un spineur pur ou bien un spineur transversal. / In this thesis, we aim to make use of Spinc geometry to study special submanifolds. We start by establishing basic results for the Spinc Dirac operator. We give then inequalities of Hijazi type involving the energy-momentum tensor. Studying the energy-momentum tensor on a Spinc manifold is related to several geometric situations. Indeed, it appears in the study of the variations of the spectrum of the Dirac operator and in the Einstein-Dirac equation. The study of hypersurfaces of Spinc manifolds allows us for a better understanding of this tensor since it is the second fundamental form of the immersion. Being natural structures on the 3-homogeneous manifolds with 4-dimensional isometry group, Spinc structures will be investigated in the study of some Riemannian problems on hypersurfaces of these manifolds. In fact, we prove a Lawson correspondence for constant mean curvature surfaces. Finally, we characterize complex structures and CR structures by Spinc structures admitting a special spinor, called pure spinor or transversal spinor

Étant donné une variété symplectique $(M,\omega)$, il existe toujours des structures presque complexes $\omega$-compatibles positives. La question qui nous intéresse est de trouver des méthodes de sélection de certaines de ces structures. Des réponses ont déjà été données par V. Apostolov et T.Draghici, J.G. Evans, et J. Keller et M. Lejmi. Nous nous intéressons ici principalement à des méthodes de sélection définies en termes du tenseur de Nijenhuis. De manière très générale, lorsqu'on veut sélectionner certaines données géométriques, on peut aborder le problème de différentes manières. L’une d’entre elles consiste à regarder la décomposition en composantes irréductibles de certains tenseurs naturellement associés à la structure considérée et poser des conditions sur certaines composantes. Nous avons montré que le tenseur de Nijenhuis est irréductible sous l'action du groupe unitaire. Cette irréductibilité ne nous permet pas d'imposer d'autre condition linéaire à ce tenseur que son annulation, qui correspond aux variétés de Kähler. Une autre méthode possible de sélection est d’imposer des conditions à certaines distributions liées au problème. Nous avons étudié des distributions liées au tenseur de Nijenhuis. Nous nous sommes intéressés ici aux dimensions et propriétés d’involutivité possibles de ces distributions. Nous donnons des exemples invariants sous l’action d’un groupe, construits sur des groupes symplectiques ou sur des fibrés de twisteurs sur une variété riemannienne. La dernière méthode envisagée dans ce travail est la considération de fonctionnelles définies à partir des données. Pour construire une fonctionnelle la plus simple possible en termes du tenseur de Nijenhuis, nous intégrons une fonction polynomiale du second degré en les composantes du tenseur de Nijenhuis. On montre qu’un tel polynôme est toujours un multiple de la norme au carré de ce tenseur. La fonctionnelle obtenue est celle étudiée par Evans. Elle est a priori peu intéressante pour notre problème de sélection car il a prouvé qu’on peut trouver des exemples de variétés symplectiques n’admettant aucune structure kählérienne mais telle que l’infimum de la fonctionnelle soit nul / Given a symplectic manifold $(M,\omega)$, there always exist almost complex $\omega,$-compatible positive structures. The problem studied in this thesis is to find methods to select some of these structures. Answers have already been suggested by V. Apostolov and T.Draghici, J. G. Evans, and J. Keller and M. Lejmi. We are mainly interested here in selection methods defined in terms of the Nijenhuis tensor. The problem of selecting geometric objects can be tackled in various ways. One of them is to decompose into irreducible components some tensors naturally associated with the structure, and to impose conditions on some of those components. We prove that the Nijenhuis tensor is irreducible under the action of the unitary group. This irreducibility does not allow to impose any linear condition on the Nijenhuis tensor, except the vanishing of it, which corresponds to Kähler manifolds. Another possible method of selection is to impose conditions on distributions related to the problem. We study distributions defined by the Nijenhuis tensor. Our results concern the possible dimensions and properties of involutivity of these distributions. We give examples which are invariant under the action of a group, on some symplectic groups and on twisted bundles over some Riemannian manifolds. The last method considered in this work consists in looking for extremals of functionals defined from the data. To construct the simplest functional defined in terms of the Nijenhuis tensor, we integrate a polynomial function of the second degree into the components of this tensor. All such polynomials are multiple of the square of the norm of this tensor. This functional is the one studied by Evans; the drawback for our selection problem is that there exist examples of compact symplectic manifolds which do not admit any K\"ahler structure but such that the infimum of the functional is zero

OBJECTIFS : de précédentes études ont déjà démontré le potentiel de l’imagerie en tenseur de diffusion (DTI) pour détecter des anomalies médullaires dans la sclérose en plaques (SEP). L’objectif de ce travail était d’appliquer les techniques de DTI à des patients atteints de SEP et présentant une lésion médullaire symptomatique, afin de mettre en évidence une corrélation entre les variations des paramètres DTI et l’évolution clinique, et d’identifier des facteurs pronostiques prédictifs en DTI. METHODE : réalisation d’une étude prospective monocentrique chez des patients ayant une poussée médullaire de SEP traitée par corticoïdes intraveineux. Les patients étaient évalués cliniquement ainsi qu’en IRM (conventionnelle et DTI), à l’inclusion et à 3 mois. RESULTATS : seize patients ont été inclus. Lors du suivi à 3 mois, 12 patients étaient cliniquement améliorés. Tous sauf un avaient des valeurs de Fraction d’Anisotropie (FA) plus basses que les sujets normaux, au sein des lésions inflammatoires et dans la moelle apparemment normale, à l’inclusion ou lors du suivi à 3 mois. Les patients améliorés à 3 mois avaient une réduction significative de la Diffusivité Radiale (DR) (p=0,02) dans les lésions au cours du suivi. Ils avaient également une réduction significative du Coefficient de Diffusion Apparent moyen (p=0,002), de la Diffusivité Axiale (p=0,02) et de la DR (p=0,02) et une augmentation significative des valeurs de FA (p=0,02) dans la moelle apparemment normale. Les huit patients améliorés sur leur score ASIA (American Spinal Injury Association) sensitif à 3 mois avaient une FA initiale au sein des lésions inflammatoires significativement plus élevée (p=0,009) et une DR significativement plus basse (p=0,04) que les patients non améliorés. CONCLUSION : dans la SEP, l’IRM médullaire avec séquences en DTI détecte plus d’anomalies que l’IRM conventionnelle T2. Ces anomalies sont évolutives et corrélées au pronostic clinique, notamment celles observées dans la moelle épinière apparemment normale. Une diminution moins marquée des valeurs de FA initiales et plus marquée de la DR au sein des lésions inflammatoires est associée à un meilleur pronostic fonctionnel. / PURPOSE: the potential of Diffusion Tensor Imaging (DTI) to detect spinal cord abnormalities in patients with multiple sclerosis has already been demonstrated. The objective of this study was to apply DTI techniques to Multiple Sclerosis patients with a recently diagnosed spinal cord lesion, in order to demonstrate a correlation between variations of DTI parameters and clinical outcome, and to try to identify DTI parameters predictive of outcome. METHODS: a prospective single-centre study of patients with spinal cord relapse treated by intravenous steroid therapy. Patients were assessed clinically and by conventional MRI with DTI sequences at baseline and at 3 months. RESULTS: Sixteen patients were recruited. At 3 months, 12 patients were clinically improved. All but one patient had lower Fractional Anisotropy (FA) and Apparent Diffusion Coefficient (ADC) values than normal subjects in either inflammatory lesions or normal-appearing spinal cord. Patients who improved at 3 months presented a significant reduction in the Radial Diffusivity (p=0.05) in lesions during the follow-up period. They also had a significant reduction in the mean ADC (p=0.002), Axial Diffusivity (p=0.02), Radial Diffusivity (p=0.02) and a significant increase in FA values (p=0.02) in normal-appearing spinal cord. Patients in whom the American Spinal Injury Association sensory score improved at 3 months showed a significantly higher FA (p=0.009) and lower Radial Diffusivity (p=0.04) in inflammatory lesion at baseline compared to patients with no improvement. CONCLUSION: DTI MRI detects more extensive abnormalities than conventional T2 MRI. A less marked decrease in FA value and more marked decrease in Radial Diffusivity inside the inflammatory lesion were associated with better outcome.

L’IRM de diffusion est une modalité d’imagerie médicale qui suscite un intérêt croissant dans larecherche en neuro-imagerie. Elle permet de caractériser in vivo l’organisation neuronale et apportepar conséquent de nouvelles informations sur les fibres de la matière blanche. En outre, il a étémontré que chaque région corticale a une signature spécifique pouvant être décrite par des mesuresde connectivité. Notre travail de recherche a ainsi porté sur la conception d’une méthode deparcellisation du cortex entier à partir de ces métriques. En se basant sur de précédents travaux dudomaine (thèse de P. Roca 2011), ce travail propose une nouvelle analyse de groupe permettantl’obtention d’une segmentation individuelle ou moyennée sur la population d'étude. Il s’agit d’unproblème difficile en raison de la variabilité interindividuelle présente dans les données. Laméthode a été testée et évaluée sur les 80 sujets de la base ARCHI. Des aspects multimodaux ontété abordés pour comparer nos parcellisations structurelles avec d’autres parcellisations ou descaractéristiques morphologiques calculées à partir des modalités présentes dans la base de données.Une correspondance avec la variabilité de l’anatomie corticale, ainsi qu’avec des parcellisations dedonnées d’IRM fonctionnelle, a pu être montrée, apportant une première validationneuroscientifique. / Résumé anglais :Diffusion MRI is a medical imaging modality of great interest in neuroimaging research. Thismodality enables the characterization in vivo of neuronal organization and thus providinginformation on the white matter fibers. In addition, each cortical region has been shown to have aspecific signature, which can be described by connectivity measures. Our research has focused onthe design of a whole cortex parcellation method driven by these metrics. Based on the previouswork of P. Roca 2011, a new group analysis is proposed to achieve an individual or populationaveraged segmentation. This is a difficult problem due to the interindividual variability present inthe data. The method was tested and evaluated on the 80 subjects of the ARCHI database.Multimodal aspects were investigated to compare the proposed structural parcelliations with otherparcellations or morphological characteristics derived from the modalities present in the database. Aconnection between the variability of cortical anatomy and parcellations of the functional MRI datawas demonstrated, providing a first neuroscientist validation.

L'objectif de cette thèse est de proposer une modélisation du rayonnement thermique dans un réacteur nucléaire au cours d'un accident grave conduisant à la dégradation des crayons combustibles. Un réacteur étant refroidi par de l'eau, le rayonnement se fait en présence de vapeur et de gouttes d'eau. Le modèle de rayonnement est construit à partir d'expériences de dégradation de crayons fossiles, réalisées sur le réacteur expérimental PHEBUS.Les configurations géométriques accidentelles de grappes de 21 crayons dégradés ont pu être caractérisées en trois dimensions à partir d'images issues de tomographies. Les propriétés radiatives homogénéisées de ces configurations ont été complètement caractérisées à partir de la fonction de distribution cumulée d'extinction Gext et de la fonction de phase de diffusion p. Ces fonctions ont été précisément calculées par une méthode de Monte Carlo. Gext, qui n'est pas de type exponentiel, ne suit pas la loi de Beer. p dépend fortement des angles d'incidence et de diffusion. A partir de l'équation de transfert radiatif généralisée à des milieux non Beeriens, introduite par Taine et al., un tenseur des conductivités radiatives a été déterminé par une méthode de perturbations, en supposant dans une première étape la phase fluide transparente. Les conductivités radiatives axiales et radiales ont été exprimées avec précision en fonction de la porosité, de la surface spécifique et de l'absorptivité locale du milieu poreux. Dans une deuxième étape, une équation de transfert radiatif à trois températures a été établie. Dans ce modèle, les effets de la phase fluide sur le rayonnement ont été couplés aux effets des parois. Les propriétés radiatives de la vapeur et des gouttes d'eau sont calculées en utilisant respectivement le modèle CK et la théorie de Mie, dans les conditions thermohydrauliques typiques des accidents de réacteur. Les flux radiatifs s'expriment en fonction de flux conductifs couplés caractérisés par des conductivités radiatives associées aux champs de températures de chaque phase. Les puissances volumiques échangées par rayonnement entre les phases sont aussi calculées à partir de ce modèle.

La déformation visco-plastique de la glace est fortement anisotrope, le plan de glissement préferé étant la plan de base. Le fait que dans un polycristal chaque grain possède sa propre direction de déformation produit des incompatibilités et un champ de contrainte complexe. La déformation à été étudiée expérimentellement en mésurant la dis- tortion des plans cristallins de mono- et polycristaux de glace artificielle. Les expériences ont été réalisées à l'aide d'un faisceau synchrotron. Une nouvelle procédure éxperimental, basée sur les méthodes de l'imagerie en diffraction de Bragg, comme lumière blanche, im- agerie sur la courbe de diffraction et topographie laminaire et ponctuelle, a été dévéloppée. Les désorientations angulaires, les largeurs à mi-hauteur et les intensités intégrées ont été mésurées dans les trois dimensions spatiales de l'échantillon et avec une résolution de 50× 50 × 50µm3. Les algorithmes d'analyse de données ont été écrits pour extraire des données des résultats quantitatifs, et pour calculer les neuf composantes du tenseur de courbure ainsi que la distortion entière des plans cristallins. Les résultats ont permis d'observer les premières étappes de la déformation de la glace. Par example la polygonisation d'un grain à été observée.

Une nouvelle méthodologie d'analyse monocristalline par diffraction des rayons X (DRX) a été développée pour combler une lacune de l'analyse des contraintes d'ordre II (à l'échelle du grain) dans un matériau cristallin à structure non cubique. Cette méthode est basée sur la méthode d'Ortner I en introduisant le tenseur métrique qui lie le tenseur des déformations et les distances inter réticulaires mesurées par DRX. Avec cette nouvelle méthodologie, lorsque le repère cristallin direct n'est ni nécessairement orthogonal ni nécessairement normé, un repère orthonormé associé au repère cristallin direct est défini, où la majorité des calculs sont exécutés avec les règles de calcul usuelles. La méthode des moindres carrés nous permit de prise en compte de plus de 6 mesures minimum pour obtenir une meilleure estimation de G et déterminer les incertitudes statistiques. L'application expérimentale dans un bi cristaux cuivre nous a permit d'avoir validé cette nouvelle méthode. Par cette méthode, des contraintes résiduelles d'ordre II dans une couche galvanisé à gros grains sur l'acier sont déterminées après un traitement thermique de recuit. Les 4 grains orientés différemment sont été aussi quantitativement caractérisés in situ sous une sollicitation extérieure. Les résultats ont bien démontré le mécanisme de déformation élastique et plastique à l'échelle des grains et entre les grains. Par conséquent, cette méthode développée est donc adaptable et significative pour détermination des déformations et des contraintes à l'échelle des grains dans un monocristaux ou multicristaux à cristalline structure quelconque.

Cette thèse a porté sur l'étude d'une classe de matériaux cellulaires, les micro nids d'abeille, destinés à combiner des propriétés mécaniques et acoustiques afin d'être employés comme absorbants acoustiques dans les tuyères des turbomachines. Les bonnes qualités d'absorption acoustique prédites par les modèles théoriques ont tout d'abord été vérifiées expérimentalement. Le travail s'est ensuite porté sur la modélisation des propriétés élastiques de ces structures. Pour ce faire une approche par milieu équivalent a été retenue et, de manière à tenir compte des effets d'échelle présents dans la structure, un milieu de substitution du type " élasticité du second gradient " a été choisi. Pour cela une méthode de construction par homogénéisation des opérateurs de cette loi de comportement a était introduite. Devant l'absence de résultats concernant les classes d'anisotropie des opérateurs d'élasticité du<br />second ordre, une étude détaillée de ce point a conduit à l'identification des matrices à implémenter dans un code éléments finis. Les opérateurs du second ordre construits par homogénéisation ont pu ensuite être comparés à leurs formes théoriques. Ceci nous a permis de montrer que vis-à-vis du comportement de matériaux nida les effets du second ordre sont, dans certain cas, d'un ordre de grandeur comparable à ceux de l'élasticité classique. Les méthodes mises en place pour l'étude théorique des symétries des opérateurs d'élasticité sont généralisables à toutes lois de comportement linéaire.