Submitted by Diogo Barreiros (diogo.barreiros@ufba.br) on 2016-06-14T14:40:07Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Darllan Conceição Pinto.pdf: 899783 bytes, checksum: 5572f413815923ab3c8d189ad9a5ffe3 (MD5) / Approved for entry into archive by Alda Lima da Silva (sivalda@ufba.br) on 2016-06-14T15:34:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Darllan Conceição Pinto.pdf: 899783 bytes, checksum: 5572f413815923ab3c8d189ad9a5ffe3 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-14T15:34:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação Darllan Conceição Pinto.pdf: 899783 bytes, checksum: 5572f413815923ab3c8d189ad9a5ffe3 (MD5) / FAPESB / Neste trabalho, inicialmente, apresentamos a Dualidade de Esakia. Enfraquecendo os mor smos de reticulados e considerando os mor smo de Esakia como sendo Mor smos Parciais de Esakia, obtemos a Dualidade Generalizada de Esakia. Com esses resultados, estabelecemos uma dualidade entre as categorias de L ogicas Abstratas Distributivas e espa cos Priestley, e uma representa c~ao de L ogicas Abstratas Intuicionistas em Espa cos de Esakia. Por m, aplicamos os resultados na compara c~ao da Condi c~ao de Dom nios Fechados (CDF) com a Condi c~oes de Dom nios Fechados de Zakharyaschev (CDFZ). / In this work, initially, we present the Esakia duality. Weakening the morphisms of lattices and considering the Esakia morphism as Partial Esakia morphism, we obtain the Generalized Esakia Duality. With these results, we establish a duality between the categories of Distributive Abstract Logic and Priestley Spaces, and a representation of intuitionistic Abstract Logic and Esakia Spaces. Finally, we apply the results of the comparison closed domain condition (CDC) with the Zakharyaschev's closed domain condition (ZCDC).

Made available in DSpace on 2014-06-12T15:59:35Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo5187_1.pdf: 772703 bytes, checksum: 4e26836d89a94b44e061ba19cd085a7a (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2002 / A teoria das categorias é um ramo relativamente novo da investigação matemática. A idéia básica reside na observação de que diversas áreas da matemática envolvem o estudo ele objetos e mapeamentos entre estes objetos, por exemplo, conjuntos e funções, domínios intervalares e funções contínuas. Tal uniformidade de estrutura pode ser explorada livrando¬-se dos detalhes internos dos objetos, e focalizando-se somente nas funções e nos meios ele combiná-las. Motivados pelo caráter construtivo da teoria das categorias, neste trabalho tem-se como objetivo implementar construções categóricas intervalares através de progra¬mas em H askell

O ponto central dessa dissertação é expor categorialmente as funções de verdade do cálculo proposicional clássico, assim como provar, também categorialmente, que a definição dada se comporta tal como as tabelas de verdade dos operadores. Para tanto é feita uma exposição axiomática de teoria de categorias, salientando as construções e conceitos que servirão para o propósito principal da dissertação. É dada uma maior atenção ao conceito de Topos, estrutura onde as funções de verdade são em princípio construídas. Tal exposição é precedida de uma breve exposição da história de teoria de categorias. Por fim é apresentada uma possível nova estrutra, mais simples que Topos, onde também se constrói as funções de verdade. / The main purpose of this dissertation is to give a categorial account of the truth functions from the classic propositional calculus, as well as to prove, also categorially, that the definition given behave as the truth tables of the operators. For this end, an axiomatic exposition of category theory is made, focusing on constructions and concepts which will be used for the main purpose of the dissertation. More attention is given to the concept of Topos, structure where the truth functions are primarily constructed. Preceded by a brief exposition of Category Theory history. At the end, a new possible structure in which truth functions may be constructed, simpler than a Topos, is presented.

[pt] Considere os seguintes dois tipos de transformções em demonstrações: 1) tornar uma prova mais incompleta, apagando um lema ou uma construção que sejam parte da prova e pondo no lugar um aviso dizendo isso é óbvio; 2) pegar um passo que foi provado por um isso é óbvio, aplicar algum algoritmo que encontre uma demonstração para esse passo, e trocar o aviso pela demonstração de verdade. Nós vamos considerar que a primeira operação vai em direção ao esqueleto da demonstração, e que ela é como uma projeção; a segunda operação é um levantamento de um esqueleto para uma demonstração um pouco mais completa com aquele esqueleto. Nós só estamos interessados em esqueletos que possam ser levantados até provas completas usando algum algoritmo conhecido. Nesta tese descrevemos uma linguagem - o sistema DNC - que permite provar vários fatos sobre categorias usando esqueletos. O método para o levantamento é, a grosso modo, o seguinte: a partir do nome de um termo em DNC nós podemos obter o seu tipo; por uma espécie de Isomorfismo de Curry-Howard um tipo desses pode ser visto como uma preposição numa certa lógica; um algoritmo que obtenha uma demonstração para essa proposição retorna uma árvore de demonstração (uma derivação) num certo sistema de Dedução Natural, e essa árvore pode ser lida como um lambda- termo do tipo dado - ela dá uma construção natural para um objeto daquele tipo, e esse objeto muito frequentemente é exatamente o objeto que esperávamos obter. Derivações em DNC podem ser traduzidas para derivações num Pure Type System com Dicionários (PTSD), e derivações em PTSDs podem ser traduzidas para derivações em Pure Type Systems (PTSs); daí, questões sobre a teoria da prova de DNC se tornam questões sobre a teoria da prova de PTSs, que é bastante bem-conhecida. Não só temos um levantamento de nomes de termos em DNC para provas completas, mas também temos um modo formal de levantar diagramas categóricos expressos na linguagem do DNC para termos em DNC e daí para provas completas; e se mudamos o dicionário embutido num PTSD podemos fazer com que o mesmo esqueleto em DNC represente provas em contextos diferentes; por exemplo, algumas provas que aparentemente estão sendo feitas sobre a categoria dos conjuntos podem ser reinterpretados como provas sobre um topos arbitrário. Usamos essa idéia para apresentar de uma forma simples - em que os passos óbvios omitidos são óbvios num sentido muito preciso - a semântica categárica para alguns PTSs, incluindo PTSs com polimorfismo e tipos dependentes, e os PTSs para quais as derivações em DNC são traduzidas. / [en] Consider the following two kinds of transformation on proofs; the first is to make a a proof more incomplete, by erasing a lemma or a construction from it and replacing it by a tag saying this is obvious; the second kind of transformation takes a step that is proved by a this is obvious tag, applies some kind of prof-search algorithm to it, and replaces the tag by a real proof for that step. We will consider that the first operation goes toward the skeleton towards a more complete proof that had that skeleton as a projection. We are only interested in skeletons can be lifted back to full proofs using some known algorithm. In this thesis we can describe a language - DNC - that lets us prove several categorical facts using skeletons. The method for lifting these skeletons goes like this: from the name of a DNC term we can obtain its type; by a kind of Curry-Howard isomorphism a such type can be seen as a proposition in a certain logic; proof-search for that proposition will obtain a proof-tree for it in a certain system of Natural Deduction, and that proof-tree can be read as a lambda-term of given type - the proof-tree gives a natural construction for an object of the given type, that very often is exactly the object that we were looking for. Derivations in DNC can be translated into derivations in a Pure Type System with Dictionaries (PTSD), and derivations in PTSDs can be translated into derivations in Pure Type Systems (PTSs); so questions about the proof- theory of DNC become questions about the proof-theory of PTSs, whose properties are quite well-known. Also, not only we can lift names of terms in DNC to full proofs in different settings; for example, some proofs that apparently are happening over the category of sets can be reinterpreted as proofs over an arbitrary topos. We use that idea to give a simple presentation (in which the omitted obvious steps are obvious in a very precise sense) of the categorical semantics for some PTSs - and that includes PTSs into which the DNC derivations are translated.

Neste trabalho estabelecemos uma base teórica para a construção de uma teoria de rep- resentação de lógicas proposicionais. Iniciamos identificando uma relação precisa entre a categoria das lógicas (Blok-Pigozzi) algebrizáveis e a categoria de suas classes de álgebras associadas. Assim obtemos codificações funtoriais para as equipolências e morfismos den- sos entre lógicas. Na tentativa de generalizar os resultados obtidos sobre a codificação dos morfismos entre lógicas algebrizáveis, introduzimos a noção de funtor filtro e sua lógica asso- ciada. Classificamos alguns tipos especiais de lógicas e um estudo da propriedade metalógica de interpolação de Craig via amalgamação em matrizes para lógicas não-protoalgebrizáveis, e estabelecemos a relação entre a categoria dos funtores filtros e a categoria de lógicas. Em seguida, empregamos noções da teoria das instituições para definir instituições para as lógicas proposicionais abstratas, para uma lógica algebrizável e para uma lógica Lindenbaum alge- brizável. Sobre a instituição das lógicas algebrizáveis (lógicas Lindenbaum algebrizáveis), estabelecemos uma versão abstrata do Teorema de Glivenko e que é exatamente o tradi- cional teorema de Glivenko quando aplicado entre a lógica clássica e intuicionista. Por fim, influenciado pela teoria de representação para anéis, apresentamos os primeiros passos da teoria de representação de lógicas. Introduzimos as definições de diagramas modelos à esquerda para uma lógica, Morita equivalência e Morita equivalência estável para lógicas. Mostramos que quaisquer representações para lógica clássica são estavelmente Morita equiv- alentes, entretanto a lógica clássica e intuicionista não são estavelmente Morita equivalentes. / In this work we provide a framework in order to build a representation theory of proposi- tional logics. We begin identifying a precise relation between the category of (Blok-Pigozzi) algebraizable logic and the category of their classes of associated algebras. Then, we have a functorial codification for the equipollence and dense morphisms between logics. Attempt- ing generalize the results found before about codification of morphisms among algebraizable logics, we introduce the notion of filter functor and its associated logic. We classify some special kinds of logics and a study of a meta-logical Craig interpolation property via matri- ces amalgamation for non-protoalgebraizable logics, and we establish a relation between the category of filter functors and the category of logics. In the sequel, we employ notions of institution theory to define the institutions for the abstract propositional logics, for an al- gebraizable logic and Lindenbaum algebraizable logic. On the institutions for algebraizable logics (Lindenbaum algebraizable logics), we introduce the abstract Glivenkos theorem and this notion is exactly the traditional Glivenkos theorem when applied between the classical logic and intuitionistic logic. At last, influenced by the representation theory of rings, we present the first steps on the representation theory of logics. We introduce the definition of left diagram model for a logic, Morita equivalence of logics and stably-Morita equivalence for logics. We have showed that any presentation for classical logic are stably-Morita equivalent, but the classical logic and intuitionistic logic are not stably-Morita equivalent.

[pt] Dedução Natural para a lógica intuicionista tem sido relacionada à Teoria das Categorias através do que agora é conhecido por Lógica Categórica. Essa relação é fortemente baseada no isomorfismo de Curry-Howard entre Dedução Natural e (lambda)-Cálculo Tipado. Esta dissertação descreve alguns aspectos dessa relação com o objetivo de propor uma visão 2-categórica da Lógica Categórica. Mostramos que mesmo numa visão 2-cateórica algumas desvantagens conhecidas na Teoria das Categorias continuam valendo. Concluímos essa dissertação discutindo as vantagens de uma visão 2-categórica a partir de premissas mais fracas. / [en] Natural Deduction for intuitionistic logic has been related to Category Theory by what now is known as Categorical Logic. This relationship is strongly based on the Curry-Howard Isomorphism between Natural Deduction and typed (lambda)-Calculus. This dissertation describes some aspects of these relationship with the aim of proposing a 2-categorical view of categorical logic. We show that even under this 2-categorical view some of the drawbacks already known in ordinary Category Theory remain holding. We conclude this dissertation discussing the advantages of 2-categorical view under some weaker assumptions.

Submitted by Eunice Novais (enovais@uepg.br) on 2018-09-03T20:15:34Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Pedro J Miranda.pdf: 2542145 bytes, checksum: bb9638f5d6706faee0cb0ad113f1d1de (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-03T20:15:34Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Pedro J Miranda.pdf: 2542145 bytes, checksum: bb9638f5d6706faee0cb0ad113f1d1de (MD5) Previous issue date: 2018-08-02 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Esta tese tem por principal objetivo formalizar e modelar a emergência e a Lei de Proporcionalidade Intrínseca (LPI). Ambos os conceitos são trabalhados e precisados metafisicamente e, então, matematizados. Tal formalização matemática é realizada por meio da Teoria de Categorias utilizando constructos, functores underlying e a categoria dos conjuntos. A Lei de Proporcionalidade Intrínseca é o conjunto das operações internas e suas propriedades que estão nos objetos de um constructo que compõe uma emergência. A aplicação direta desse resultado ocorre em sistemas biológicos concebidos como todos substanciais vivos. A decomposição de um sistema biológico de diversos modos suscita uma aplicação deste modelo: como é possível que diferentes decomposições de um mesmo sistema gerem categorias com propriedades tão diferentes? Esse fenômeno é modelado e explicado pela aplicação direta da emergência e da LPI. Essa aplicação é mediada por meio de Biologia Relacional concebida pelo biólogo matemático Robert Rosen. Além disso, construímos neste trabalho uma Teoria de Nocautes e a aplicamos em um estudo de caso ecológico. / This thesis has as main aim the formalization and the modeling of the emergence and of the Intrinsic Proportionality Law (IPL). Both concepts are initially worked and metaphysically specified for then, in a second moment, be turned into a mathematical concept. Such mathematical formalization is made by means of Category Theory, utilizing constructs, underlying functors and the category of sets. The Intrinsic Proportionality Law is a set of operations and its properties that are within objects of a construct that composes an emergence. The direct application of this result is made on biological systems conceived as living substantial wholes. The decomposition of such a system, by several ways, evokes an application: how is it possible that different decompositions of the same system generate categories with different properties? This phenomenon is modeled and explained by the direct application of emergence and IPL. Such application is mediated by means of Relational Biology, which was conceived by the mathematical biologist Robert Rosen. Additionally, we also built in this work a Knockout Theory and applied it in an ecological study case.

Made available in DSpace on 2015-05-14T12:11:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 891353 bytes, checksum: 2d056c7f53fdfb7c20586b64874e848d (MD5) Previous issue date: 2010-12-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The basic concepts of what later became called category theory were introduced in 1945 by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. In 1940s, the main applications were originally in the fields of algebraic topology and algebraic abstract. During the 1950s and 1960s, this theory became an important conceptual framework in other many areas of mathematical research, especially in algrebraic homology and algebraic geometry, as shows the works of Daniel M. Kan (1958) and Alexander Grothendieck (1957). Late, questions mathematiclogics about the category theory appears, in particularly, with the publication of the Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) of Francis Willian Lawvere. After, other works are done in the category logic, such as the the current Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), and others. As introduction of application of the category theory in logic, this work presents a study on the logic category propositional. The first section of this work, shows to the reader the important concepts to a better understanding of subject: (a) basic components of category theory: categorical constructions, definitions, axiomatic, applications, authors, etc.; (b) certain structures of abstract algebra: monoids, groups, Boolean algebras, etc.; (c) some concepts of mathematical logic: pre-order, partial orderind, equivalence relation, Lindenbaum algebra, etc. The second section, it talk about the properties, structures and relations of category propositional logic. In that section, we interpret the logical connectives of the negation, conjunction, disjunction and implication, as well the Boolean connectives of complement, intersection and union, in the categorical language. Finally, we define a categorical boolean propositional semantics through a Boolean category algebra. / Os conceitos básicos do que mais tarde seria chamado de teoria das categorias são introduzidos no artigo General Theory of Natural Equivalences (1945) de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane. Já em meados da década de 1940, esta teoria é aplicada com sucesso ao campo da topologia. Ao longo das décadas de 1950 e 1960, a teoria das categorias ostenta importantes mudanças ao enfoque tradicional de diversas áreas da matemática, entre as quais, em especial, a álgebra geométrica e a álgebra homológica, como atestam os pioneiros trabalhos de Daniel M. Kan (1958) e Alexander Grothendieck (1957). Mais tarde, questões lógico-matemáticas emergem em meio a essa teoria, em particular, com a publica ção da Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) de Francis Willian Lawvere. Desde então, diversos outros trabalhos vêm sendo realizados em lógica categórica, como os mais recentes Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), entre outros. Como inicialização à aplicação da teoria das categorias à lógica, a presente dissertação aduz um estudo introdutório à lógica proposicional categórica. Em linhas gerais, a primeira parte deste trabalho procura familiarizar o leitor com os conceitos básicos à pesquisa do tema: (a) elementos constitutivos da teoria das categorias : axiomática, construções, aplicações, autores, etc.; (b) algumas estruturas da álgebra abstrata: monóides, grupos, álgebra de Boole, etc.; (c) determinados conceitos da lógica matemática: pré-ordem; ordem parcial; equivalência, álgebra de Lindenbaum, etc. A segunda parte, trata da aproximação da teoria das categorias à lógica proposicional, isto é, investiga as propriedades, estruturas e relações próprias à lógica proposicional categórica. Nesta passagem, há uma reinterpreta ção dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção e implicação, bem como dos conectivos booleanos de complemento, interseção e união, em termos categóricos. Na seqüência, estas novas concepções permitem enunciar uma álgebra booleana categórica, por meio da qual, ao final, é construída uma semântica proposicional booleana categórica.

[pt] Este trabalho emprega conceitos e ferramentas de Teoria das Categorias e Teoria de Topoi para construir um modelo matemático de problemas, reduções entre problemas, espaços e estratégias de busca heurística. Mais precisamente, uma estratégia de construção de espaços de busca é representada por um funtor de uma certa categoria de problemas para uma certa categoria de florestas. A coleção de todos estes funtores forma um topos, um modelo específico equipado com uma lógica interna própria. Esta lógica interna é usada, então, para definir estratégias de busca e heurísticas em Teoria Local dos Conjuntos. Possíveis aplicações do trabalho incluem (1) a especificação lógica e a classificação de heurísticas e meta-heurísticas usadas na prática e (2) uma versão mais abstrata e geral de resultados específicos relacionando a estrutura de problemas com métodos de resolução adequados. / [en] This work employs concepts and tools from Category Theory and Topos Theory to construct a mathematical model for problems, reductions between problems, heuristic search spaces and strategies. More precisely, a search space construction strategy is represented by a functor from a certain category of problems to a certain category of forests. The collection of all such functors forms a topos, a specific model equipped with its own internal logic. This internal logic is then used to define search satrategies and heuristics in Local Set Theory. Possible applications of this work include (1) the logical specification and classification of heuristics and metaheuristics used in pratice and (2) a more abstract and general rendering of specific results relating the structure of problems to adequate problem-solving methods.

Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido. / Topological order describes phases of matter that cannot be described only by the symmetry breaking theory of Landau. In 2-dimensions topological order is characterized, among other properties, by the presence of a ground state degeneracy that is robust to arbitrary local perturbations. With the purpose of understanding what characterizes and classify 3-dimensional topological order this works presents an exactly soluble quantum model in 3-dimensions that generalize 2-dimensional models constructed using gauge theories. In the model we propose the gauge group is replaced by a 2-group. The Hamiltonian, that is given by a sum of local commuting operators, is frustration free. We prove that the ground state degeneracy of this model is given by the Yetters invariant of the 4-dimensional manifold Sigma × S¹, where Sigma is the 3-dimensional manifold the model is defined.