Processos de sincronização são observados em uma imensa quantidade de sistemas físicos, biológicos, químicos, tecnológicos e sociais. Tais sistemas podem ser descritos e modelados utilizando a teoria das redes complexas, de forma que o completo entendimento da emergência do comportamento coletivo nestes sistemas complexos só é alcançado por teorias que englobam a interação entre seus elementos. Nesta dissertação, estudamos a emergência de transições de fase de primeira-ordem na sincronização de osciladores acoplados através de estruturas heterogêneas e não-triviais. Utilizando teorias de campo médio, obtemos a expressão analítica do acoplamento crítico necessário para a ocorrência de sincronização explosiva em redes livre-escala. Além disso, estudamos o comportamento de tais transições na presença de atrasos temporais e verificamos que é possível elevar o grau de sincronismo dos osciladores quando a interação se dá de forma não-instantânea. Os resultados obtidos contribuem para um melhor entendimento da relação entre topologia e dinâmica em redes. / Synchronization processes are observed in many physical, biological, chemical, technological and social systems. These systems can be described and modelled through the theory of complex networks, in a way that the full comprehension of the emergence of collective behavior in these complex systems will only be achieved by theories that encompass the interaction of its elements. In this thesis, we study the emergence of first-order phase transitions in the synchronization of oscillators coupled through heterogeneous and non-trivial structures. By using mean-field theories, we obtain an analytical expression for the critical coupling necessary for the occurrence of explosive synchronization in scale-free networks. Furthermore, we study the behavior of such transitions in the presence of time delays, verifying that is possible to enhance the synchronization level of the oscillators when the interaction is non-instantaneous. The obtained results contribute for the better understanding of the interplay between topology and dynamics in networks.

Neste trabalho, analisamos três modelos definidos sobre redes e governados por dinÂmicas estocásticas. Nosso principal interesse repousa no estudo das transições de fase e no comportamento crítico desses modelos. O primeiro deles é o autômato celular pobabilístico da Domany-Kinzel, ao qual aplicamos o método de expansões em série. Em seguida, estudamos o comportamento para tempos longos de alguns processos de reação-difusão por meio de simulação numérica. Tais processos podem ser relevantes para o entendimento da compactação em sistemas granulares. Finalmente, também através de dimulações numéricas, analisamos o processo de contato conservativo, que é uma versão do modelo original definida em um ensemble onde o número de partículas é conservado. / In this work, we analyzed three lattice models governed by stochastic dynamics. Our main interest lies on the study of the phase transitions and critical behavior of these models. The first of them is the Domany-Kinzel probabilistic cellular automaton, to which we applied the method of series expansions. Next, we studied the long time behavior of some reaction-diffusion processes by means of numerical simulations. Such processes may be relevant to the understanding of granular compaction. Finally, also by means of numerical simulations, we have analyzed the conserved contact process, which is a version of the original model defined on an ensemble where the number of particles is conserved.

O surgimento dos novos meios digitais de comunicação e a sofisticação dos dispositivos de interação permitem um novo modelo de interação, o da mídia cruzada. Um sistema de mídia cruzada é caracterizado pelo uso de múltiplos meios de comunicação de forma integrada e coordenada, e pela existência de pontes que possibilitam a navegação do usuário para os meios mais adequados para atingir seu propósito. Este trabalho tem por objetivo o estudo das transições entre mídias, investigando as tecnologias e as características da interface homem-computador. Para tanto, desenvolveu-se uma teoria da transição de mídia cruzada, especificando-se requisitos para os mecanismos de transição. A pesquisa resultou em um arcabouço tecnológico que permite a aplicação de mecanismos de transição entre computadores desktop, celulares, TV digital interativa e painéis interativos. O arcabouço foi desenvolvido e avaliado, primeiramente quanto à sua efetividade, pelo desenvolvimento de protótipos; em seguida, quanto à qualidade em uso, pelo manuseio dos protótipos em um teste com usuários. Os resultados desta dissertação foram integrados ao projeto X-Gov, financiado pela Fapesp e Microsoft Research, o qual visa o uso do conceito de mídia cruzada em serviços de governo eletrônico. / The advent of new communication media and sophisticated interaction devices allows a new interaction model crossmedia which means the integrated, synergic use of multiple media. Crossmedia is also characterized by the existence of bridges that allow user navigation across media to reach the most appropriate support for the users purpose. This research focuses on these bridges, called crossmedia transitions. Transitions are investigated from the technological and interactive viewpoints. A set of requirements for crossmedia transactions was defined. Requirements were applied in the development of a framework that provided programming support for developing crossmedia applications involving desktop computers, cell phones, interactive television and interactive displays. The framework effectiveness was evaluated by developing some prototypes, which were also used in quality-in-use evaluation in a test with real users. This dissertation results were an integral part of the X-Gov project, funded by Fapesp and Microsoft Research, aiming at the use of crossmedia in e-government services.

Este trabalho consiste num estudo teórico da espectroscopia e da ligação química de alguns estados eletrônicos de várias moléculas diatômicas a partir de princípios fundamentais da química teórica. Como abordagem de cálculo da estrutura eletrônica utilizou-se o método interação de configurações (CI) com as funções de onda adaptadas às simetrias espacial e de spin. Essas funções foram geradas como excitações simples e duplas a partir de um conjunto de múltiplas referências (MRSDCI) e com posterior seleção por teoria de perturbação. As moléculas diatômicas heteronucleares estudadas são aquelas formadas pelo átomo de cálcio (Ca) com os átomos de boro (B), carbono (C), nitrogênio (N), oxigênio (O) e flúor (F). Como também aquelas moléculas envolvendo o átomo de berílio (Be) e magnésio (Mg) com os átomos de boro e carbono. Um estudo comparativo das várias propriedades espectroscópicas destas moléculas também faz parte dos objetivos principais deste trabalho. Desta maneira, as moléculas estudadas foram, BeB, MgB, CaB, BeC, MgC, CaC, CaN, CaO e CaF, totalizando vinte e um estados eletrônicos estudados.Para cada molécula, estudou-se diferentes estados eletrônicos de mais baixa energia, principalmente aqueles que dissociam para os primeiros canais de dissociação. A caracterização espectroscópica destas espécies foi realizada através da obtenção de curvas de energia potencial, funções momento de dipolo, funções momento de transição, níveis vibracionais, probabilidades de transições vibrônicas, tempos de vida radiativa e das análises de suas respectivas funções de onda.

Neste trabalho, estuda-se o comportamento crítico de spins de Ising colocados em três tipos de rede elástica: uma rede rígida de volume variável (Ll): uma rede cujas posições dos íons podem variar, sem tensão de cisalhamento (L2); uma rede do tipo \"colchão de molas\", com acoplamento elástico entre primeiros e segundos vizinhos (L3). Verificamos que o acoplamento spin-rede pode ser simulado por uma interação efetiva de longo alcance entre pares de spins, em vários casos. Nas hamiltonianas correspondentes, a integral de troca dos spins é considerada linearmente dependente da distância inter-iônica e a interação elástica é considerada apenas na aproximação harmônica. Mostramos que o coeficiente do termo de quatro spins, que representa a interação magneto-elástica na hamiltoniana efetiva de spins, tem sinal diferente para as flutuações elásticas microscópicas (na posição dos íons) e macroscópicas (de volume). O efeito dessa interação efetiva é alterar os expoentes críticos da transição magnética no primeiro caso, renormalizando-os, e transformar a transição contínua em uma transição de primeira ordem, no segundo caso. Em um sistema real, ambos os tipos de flutuação estão presentes e os dois efeitos competem entre si para determinar a ordem da transição. No modelo (L3), o mais \"realista\" entre os três estudados, os efeitos de volume predominam. Entretanto, não é possível fazer previsões para outros modelos específicos, pois os dois efeitos são da mesma ordem de grandeza. Estudamos, ainda, o efeito sobre a hamiltoniana efetiva de spins de se alterar as condições de contorno, assim como de se alterar o valor do spin, no caso do segundo modelo (L2 ). Para prever a ordem da transição, as hamiltonianas efetivas de spin são analisadas no contexto de campo médio, de grupo de renormalização e de uma solução exata em duas dimensões. / We study the critical behavior of Ising S=1/2 spins on three compressible lattices: a compressible but rigid lattice (Ll): an elastic lattice without shearing forces (L2) and a \"spring mattress\", with elastic couplings between nearest and next-nearest neighbors (L3). The corresponding hamiltonians contain an exchange interaction linearly dependent on the interionic distance and an elastic interaction considered in the harmonic approximation. We show that both pure macroscopic (volume) and pure microscopic (ion position) fluctuations lead to a pair-pair interaction term in the effective spin hamiltonian. However, the coefficient of this additional term is negative in the first case, which turns the transition first order, and positive in the second case, which renormalizes the critical exponents. In a real system, both kinds of fluctuation are present and the two effects will compete. Model (L3), the closest to the above condition, has the volume effect as predominant. The delicate balance between the competing effects of the same order of magnitude forbid a prediction for other models. We also show that different effective spin Hamiltonians may be arrived at according to the choice of boundary condition of or ensemble. In one case (L2), we also consider spin S =1. We use mean-field, an exact solution for dimensionalty two and momentum space renormalization group to predict the order of the transitions.

Orientadores: Pascoal José Giglio Pagliuso, Ricardo Rodrigues Urbano / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-09-24T14:58:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Garitezi_ThalesMacedo_D.pdf: 27111125 bytes, checksum: d3a94f446fa3f67a500d9adc5f733dc0 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Nesta tese, são abordadas duas principais classes de materiais: os supercondutores à base de ferro e arsênico (FeAs) e os isolantes topológicos tridimensionais. Os supercondutores à base de FeAs foram descobertos em 2008 e desde então despertaram grande interesse na comunidade científica como candidatos à supercondutividade não-convencional de alta temperatura. Dentre as várias estruturas à base de FeAs descobertas, em particular, a família BaFe2As2 (122) é uma das mais estudadas até o momento por ser um composto intermetálico possível de ser crescido com relativa facilidade e alta qualidade comparada às outras famílias. Este composto puro possui uma transição estrutural de tetragonal para ortorrômbica à uma temperatura Ts ? 139 K, e, diminuindo a temperatura, há uma transição magnética de paramagnético (PM) para uma ordem anti-ferromagnética tipo onda de densidade de spin (SDW, no inglês) em TSDW ? 134 K. Estas transições em Ts e TSDW são gradualmente suprimidas tanto por substituição química quanto por pressão aplicada, e, antes que sejam completamente suprimidas, supercondutividade é induzida. Nesta região onde a supercondutividade (SC) ainda está emergindo, há coexistência e/ou competição de SC e SDW, com a presença de momentos quase localizados do Fe. Estes momentos podem agir como centros eficientes de aprisionamento de vórtices (centros de pinning) que são suprimidos gradativamente por pressão aplicada, formando um efeito de pinning magnético que se manisfestaria na corrente crítica dessas amostras. Para estudar os possíveis efeitos de pinning magnético neste material, foram crescidas amostras com diferentes substituições químicas e realizados estudos de densidades de corrente crítica sob pressão e campos magnéticos aplicados. Enquanto observamos que a densidade de corrente crítica nas amostras estudadas é dominada pela evolução da temperatura crítica Tc, encontramos evidências indiretas para a presença de pinning magnético em nossas amostras, através da comparação da dependência com a pressão observada para a temperatura crítica supercondutora Tc e para a densidade de corrente crítica Jc. Quanto às transições estrutural e magnética, discute-se na literatura se nesses sistemas há dopagem eletrônica efetiva quando se realiza substituição química, ou se ocorre uma sintonização das propriedades pelo ajuste da geometria dos tetraedros de FeAs nos planos do material. Além disso, na faixa de temperatura entre Ts e TSDW, há certo debate se o material torna-se inteiramente ortorrômbico e PM, ou se há coexistência entre as fases tetragonal/PM e ortorrômbica/SDW. Neste trabalho, foram crescidos monocristais de Ba(Fe,M)2As2 (M = Co, Cu) e neles estudadas as transições estrutural e magnética e a fase entre elas utilizando técnicas de ressonância magnética nuclear (RMN), difração de raios-X e calor específico. Nossos resultados sugerem que, independente do substituinte, não há dopagem eletrônica e que a geometria nos planos de FeAs regula as propriedades do material. Além disso, mostramos que, de fato, existe coexistência entre as fases tetragonal/PM e ortorrômbica/SDW nas amostras. Estes resultados corroboram nossas próprias observações em amostras de (Ba,K)Fe2As2, o que também indica a independência dos resultados com o tipo, concentração e localização dos átomos substituintes na matriz 122. Os isolantes topológicos (ITs) são uma nova classificação da matéria proposta teoricamente e observada experimentalmente em 2006, e consistem de maneira simplificada em materiais que são isolantes de banda em seu volume, porém possuem estados de superfície metálicos robustos. As propriedades exóticas destes estados de superfície tornam estes materiais candidatos a aplicações em computação quântica e spintrônica. Muitas famílias foram propostas como ITs e estudadas recentemente, em particular a família 23 ((Bi,Sb)2(Se,Te)3) e a família dos half-Heuslers, que são o foco desta Tese. Porém, ainda há muitos aspectos destes materiais que não estão bem determinados, como por exemplo a penetração dos estados de superfície, e sua resposta a campos magnéticos e a radiações incidentes. Neste trabalho, sintetizamos cristais dos ITs da família 23 e o half-Heusler YBiPt, e os estudamos utilizando a técnica de ressonância de spin eletrônico (RSE). Para o YBiPt dopado com Nd3+, observamos um comportamento da forma de linha nãoconvencional do espectro de RSE do Nd3+, onde a forma da linha depende fortemente da potência da micro-ondas, das dimensões da amostra e da concentração de Nd3+. A este comportamento não convencional atribuímos a presença de um efeito de fônon bottleneck e à presença dos estados de superfície. Para o Bi2Se3, nossos resultados preliminares sugerem que os estados de superfície têm uma interação maior com as sondas de Gd3+ abaixo de 40 K, e que estes estados de superfície possuem caráter de orbitais p / Abstract: In this thesis, two main material classes are studied: the iron arsenide (FeAs) superconductors and the three-dimensional topological insulators. The FeAs based superconductors were discovered in 2008 and since then have aroused great interest in the scientific community as possible unconventional high-temperature superconductors. Amongst the many FeAs bases structures that were discovered until now, the BaFe2As2 (122) family is one of the most studied for being an intermetallic compound which can be grown with reasonable ease and high quality when compared to other families. This pure compound presents a structural transition at Ts ? 139 K from tetragonal to orthorhombic, and a magnetic transition at a lower TSDW ? 134 K from paramagnetic (PM) to a spin density wave (SDW) anti-ferromagnetic order. Both transitions at Ts and TSDW are gradually suppressed by either chemical substitution or applied pressure, and, before both are completely suppressed, superconductivity emerges. In this region where superconductivity (SC) is still emerging, there is coexistence and/or competition between SC and SDW order, with the presence of Fe quasi-localized magnetic moments. Those moments may act as efficient pinning centers that are gradually suppressed by applied pressure, producing a magnetic pinning effect that would manifest itself in the critical currents of such samples. To study magnetic pinning effects in the 122 family, samples with different chemical substitutions were grown, and critical current density studies were performed under applied pressure and magnetic fields. While the behavior of critical current densities is dominated by the evolution of critical temperature Tc with pressure, we have found indirect evidences for the presence of magnetic pinning in our samples. Regarding the structural and magnetic transitions, there are evidences that, in the 122 system, there is no effective electronic doping when a chemical substitution is performed but a tuning of the system properties by the geometric configuration of FeAs tetrahedra in the material. Also, there is some debate if in the temperature range between Ts and TSDW the material becomes completely orthorhombic and PM, or if there is coexistence of tetragonal/PM and orthorhombic/SDW phases. In this work, Ba(Fe,M)2As2 (M = Co, Cu) single crystals were grown and their structural and magnetic transitions were investigated by nuclear magnetic resonance (NMR), X-ray diffraction and specific heat. Our results show that there is no effective electronic doping induced by any of the substitutions, and that it is the geometric configuration of FeAs tetrahedra that tunes the system properties. Also, we have shown that there is coexistence between tetragonal/PM and orthorhombic/SDW phases in these samples. The results confirm our previous observations made in (Ba,K)Fe2As2, which also indicates that our results do not depend on the type, concentration and placement of substituted atoms in the 122 matrix. Topological insulators (TIs) are a new class of condensed matter which was proposed theoretically and experimentally observed in 2006. They are, in a simplified view, materials which are band insulators in the bulk, but possess roubst intrinsic metallic surface states. The exotic properties of those surface states make these materials possible candidates in quantum computing and spintronic applications. Many different materials were proposed as TIs and recently studied, in particular the 23 family ((Bi,Sb)2(Se,Te)3) and the half-Heusler family, which are the focus of this thesis. Yet, there are several aspects of these materials which are not yet fully understood, such as the penetration of the surface states, and their response to magnetic fields and incident radiation. In this work, single crystals of the 23 and half-Heusler families were grown, and were studied by electronic spin resonance (ESR). For YBiPt, we observed an anomalous lineshape behavior, to which we attribute a phonon bottleneck effect and the presence of the surface states. For Bi2Se3, our preliminary results indicate that the surface states have an enhanced exchange interaction with the Gd3+ magnetic probes below 40 K, and that those surface states have a p-orbital character / Doutorado / Física / Doutor em Ciências

Orientador: Herculado da Silva Martinho / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Pós-graduação em Física

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Na natureza há vários fenômenos envolvendo transições de fase com quebra ou restauração de simetrias. Tipicamente, mudanças de fase, são associadas com uma quebra ou restauração de simetria, que acontecem quando um determinado parâmetro de controle é variado, como por exemplo temperatura, densidade, campos externos, ou de forma dinâmica. Essas mudanças que os sistemas sofrem podem levar a formação de defeitos topológicos, tais como paredes de domínios, vórtices ou monopolos magnéticos. Nesse trabalho estudamos particularmente mudanças de fase associadas com quebras ou restaurações dinâmicas de simetria que estão associadas com formação ou destruição de defeitos do tipo paredes de domínio em modelos de campos escalares com simetria discreta. Nesses processos dinâmicos com formação ou destruição de domínios, estudamos a possibilidade de formação de estruturas do tipo oscillons, que são soluções não homogêneas e instáveis de campo, mas que podem concentrar nelas uma quantidade apreciável de energia e terem uma vida (duração) suficientemente grande para serem de importância física. Estudamos a possibilidade de formação dessas soluções em modelos de dois campos escalares interagentes em que o sistema é preparado em diferentes situações, com a dinâmica resultante nesses sistemas estudada numa rede discreta. / In nature there are several phenomena involving phase transitions with symmetries breaking or restoration. Typically,the phase state changes associated with a break or a restoration of the sistem's symmetry, that occur when a particular control parameter is varied, such as as temperature, density, external fields or dynamically. These systems undergo changes which can lead to formation of defects, such as domain walls, vortices or magnetic monopoles. In this work we study particularly phase changes, breaks or restorations, associated with dynamic symmetry that are associated with the formation or destruction of defects, as domain walls in models of scalar fields with discrete symmetry. In these dynamical processes with formation or destruction of domains we studied the possibility of forming oscilons type structures, which are not homogeneous and unstable field solutions, but can concentrate there in an appreciable amount of energy and have a lifetime (duration) large enough to have physical importance. We study the possibility of formation of oscillon kind solutions in models with scalar fields interacting in which the system is prepared for different situations, with the resulting dynamics of these systems studied in a discrete lattice.

Neste trabalho, estuda-se o comportamento crítico de spins de Ising colocados em três tipos de rede elástica: uma rede rígida de volume variável (Ll): uma rede cujas posições dos íons podem variar, sem tensão de cisalhamento (L2); uma rede do tipo \"colchão de molas\", com acoplamento elástico entre primeiros e segundos vizinhos (L3). Verificamos que o acoplamento spin-rede pode ser simulado por uma interação efetiva de longo alcance entre pares de spins, em vários casos. Nas hamiltonianas correspondentes, a integral de troca dos spins é considerada linearmente dependente da distância inter-iônica e a interação elástica é considerada apenas na aproximação harmônica. Mostramos que o coeficiente do termo de quatro spins, que representa a interação magneto-elástica na hamiltoniana efetiva de spins, tem sinal diferente para as flutuações elásticas microscópicas (na posição dos íons) e macroscópicas (de volume). O efeito dessa interação efetiva é alterar os expoentes críticos da transição magnética no primeiro caso, renormalizando-os, e transformar a transição contínua em uma transição de primeira ordem, no segundo caso. Em um sistema real, ambos os tipos de flutuação estão presentes e os dois efeitos competem entre si para determinar a ordem da transição. No modelo (L3), o mais \"realista\" entre os três estudados, os efeitos de volume predominam. Entretanto, não é possível fazer previsões para outros modelos específicos, pois os dois efeitos são da mesma ordem de grandeza. Estudamos, ainda, o efeito sobre a hamiltoniana efetiva de spins de se alterar as condições de contorno, assim como de se alterar o valor do spin, no caso do segundo modelo (L2 ). Para prever a ordem da transição, as hamiltonianas efetivas de spin são analisadas no contexto de campo médio, de grupo de renormalização e de uma solução exata em duas dimensões. / We study the critical behavior of Ising S=1/2 spins on three compressible lattices: a compressible but rigid lattice (Ll): an elastic lattice without shearing forces (L2) and a \"spring mattress\", with elastic couplings between nearest and next-nearest neighbors (L3). The corresponding hamiltonians contain an exchange interaction linearly dependent on the interionic distance and an elastic interaction considered in the harmonic approximation. We show that both pure macroscopic (volume) and pure microscopic (ion position) fluctuations lead to a pair-pair interaction term in the effective spin hamiltonian. However, the coefficient of this additional term is negative in the first case, which turns the transition first order, and positive in the second case, which renormalizes the critical exponents. In a real system, both kinds of fluctuation are present and the two effects will compete. Model (L3), the closest to the above condition, has the volume effect as predominant. The delicate balance between the competing effects of the same order of magnitude forbid a prediction for other models. We also show that different effective spin Hamiltonians may be arrived at according to the choice of boundary condition of or ensemble. In one case (L2), we also consider spin S =1. We use mean-field, an exact solution for dimensionalty two and momentum space renormalization group to predict the order of the transitions.

Neste trabalho analisamos o comportamento dinâmico de um modelo clássico e de um modelo quântico de spins na presença de um campo magnético externo. Para estudar a dinâmica de um sistema de spins clássico utilizamos um modelo de Ising bidimensional com interações entre spins primeiros vizinhos na direção vertical diferente daquelas entre spins primeiros vizinhos na horizontal. Através do formalismo da equação mestra, e considerando o processo estocático de Glauber dentro da aproximação de pares dinâmica, determinamos os diagramas de fases estacionários para o modelo na presença de campos magnéticos estáticos e oscilantes no tempo. Dependendo dos valores da razão entre os acoplamentos na horizontal e na vertical, da frequência e da amplitude do campo oscilante, obtemos diagramas de fases onde estão presentes os ordenamentos ferromagnético, paramagnético e antiferromagnético. Além disso, a transição entre as fases pode ser contínua ou descontínua dependendo dos valores dos parâmetros. O modelo também pode apresentar um comportamento tricrítico. O modelo de Ising em um campo transverso unidimensional à temperatura nula foi o modelo escolhido para estudarmos a resposta de sistemas quânticos de spins sujeitos a campos magnéticos que oscilam periodicamente no tempo. Usamos a aproximação de campo médio e simulações de Monte Carlo para determinar a linha de transição contínua entre as fases ferromagnética e paramagnética presentes no diagrama de fases dinâmico do modelo. / In this work we have analized the dynamical behavior of a classical and of a quantum spin model subject external magnetic fields. For a better understanding of the dynamics of a classical spin system we have chosen a two-dimensional Ising model with interactions between first neighbors in the horizontal direction different from that of the vertical direction. By using the master-equation formalism and taking the stochastic Glauber process, within the dynamical pair approximation, we have determined the stationary phase diagrams of the model for static and oscillating magnetic fields. Depending on the values of the ratio between the horizontal and vertical couplings, the frequency and the amplitude of the time dependent field, we have obtained phase diagrams where the ferromagnetic, paramagnetic and antiferromagnetic phases are present. Besides, the transition between these phases can be continuous or discontinuous depending on the values of the parameters. The model may display also a tricritical behavior. We have also chosen the transverse Ising model in one dimension at zero temperature to study the response of the quantum spin systems subject to time dependent external fields. We have used the mean-field approximation and the Monte Carlo simulations to determine the continuous transition line between the ferromagnetic and paramagnetic phases.