Die Untersuchung von korrelationsinduzierten Effekten, wie beispielsweise der kollektiven magnetischen Ordnung, verlangt einen Einblick in die elektronische Struktur der Festkörper. Hier stehen mit den Ein-Teilchen-Spektroskopien (Photoemission und inverse Photoemission) sowie den Zwei-Teilchen-Spektroskopien (Auger-Elektronen- und Appearance-Potential-Spektroskopien) nützliche experimentelle Werkzeuge zur Verfügung. Eine adäquate Interpretation der experimentell ermittelten Spektren erfordert die Berücksichtigung (i) der elektronischen Korrelationen, (ii) der orbitalen Entartung sowie (iii) der Übergangsmatrixelemente. Der vorliegenden Arbeit liegt ein Multiband-Hubbard-Modell zugrunde, das die Hopping- und Hybridisierungsprozesse der für die 3d-Übergangsmetalle relevanten Orbitale (4s-, 4p- und 3d-Orbitale) und die lokalen Coulomb-Wechselwirkungen der stark lokalisierten 3d-Elektronen beschreibt. Die Hopping- und Hybridisierungsparameter werden Bandstrukturrechnungen (lokale Dichteapproximation der Dichtefunktionaltheorie) entnommen. Als Ein-Teilchen-Basis werden quasiatomare Orbitale verwendet, deren hohe Symmetrie es erlaubt, die vollständige lokale 3d-Coulomb-Matrix mithilfe von lediglich drei Zahlen (effektive Slater-Parameter) zu parametrisieren. Fasst man die effektiven Slater-Parameter zu einer mittleren direkten Wechselwirkungsstärke U und einer mittleren Austauschwechselwirkungsstärke J zusammen, so sind U und J die beiden einzigen Parameter des Modells, die dann an experimentelle Daten (z.B. Spinmoment bei T=0K) angepasst werden können. Für die Berechnung der Ein-Teilchen-Green-Funktion, die die Photoemissionsspektren bestimmt, wird die Störungstheorie zweiter Ordnung um die Hartree-Fock-Lösung verwendet und damit die Magnetisierung als Funktion der Temperatur für Nickel berechnet. Die Kombination der errechneten Green-Funktion mit den Übergangsmatrixelementen der Photoemission gestattet dann einen quantitiven Vergleich mit experimentellen spin- und winkelaufgelösten Daten für endliche Temperaturen und verschiedene Photonenenergien. Die Zwei-Teilchen-Spektren lassen sich als Funktionale der Ein-Teilchen-Green-Funktion auffassen. Durch die Verwendung sogenannter Leiter-Näherungen werden nicht nur die Wechselwirkungen der an den Übergangsprozessen beteiligten Teilchen mit dem Restsystem (Selbstenergieeinschübe) berücksichtigt, sonderen auch die Wechselwirkungen der direkt am Prozess beteiligten Teilchen untereinander (Endzustandskorrelationen). Die Verwendung des Zwei-Stufen-Modells impliziert jedoch, dass die Valenzbandelektronen das Potential des zuvor erzeugten Core-Lochs abschirmen werden, was sich insbesondere auf die Auger-Spektren auswirkt. Am Beispiel der Appearance-Potential-Spektren wird die vielteilchentheoretisch berechnete Green-Funktion mit entsprechenden Übergangsmatrixelementen kombiniert. Die resultierenden Spektren sind für alle betrachteten Temperaturen in sehr guter Übereinstimmung mit gemessenen Spektren. / The investigation of correlation-induced effects, as for example the collective magnetic order, requires an insight into the electronic structure of solids. In this context the one-particle spectroscopies (photoemission and inverse photoemission) as well as the two-particle spectroscopies (Auger electron and appearance potential spectroscopies) represent useful experimental tools. An adequate interpretation of the experimentally determined spectra requires the consideration of (i) electronic correlations, (ii) orbital degeneration as well as (iii) transition-matrix elements. The present work uses a multi-band Hubbard model, which describes the hopping and hybridization processes of the relevant orbitals in the 3d-transition metals (4s, 4p and 3d orbitals) and the local Coulomb interactions of the strongly localized 3d electrons. The hopping and hybridization parameters are taken from band-structure calculations (local density approximation of the density functional theory). As one-particle basis quasi-atomic orbitals are used, whose high symmetry permits it to parameterize the complete local Coulomb-matrix among 3d-electrons by only three numbers (effective Slater parameters). If one combines the effective Slater parameters into an averaged direct interaction strength U and an averaged exchange interaction strength J, then U and J are the only parameters of the model, which can be fitted to experimental data (e.g. spin moment at T=0K). For the calculation of the one-particle Green function, which determines the photoemission spectra, the second order perturbation theory around the Hartree-Fock solution is used. Within this framework the magnetization as function of the temperature is calculated for nickel. The combination of the calculated Green function and the photoemission transition-matrix elements permits a quantitative comparison with spin- and angle-resolved measurements for finite temperatures and different photon energies. The two-particle spectra can be understood as functionals of the one-particle Green function. Due to the usage of so called ladder approximations one is able to account not only for the correlations between the considered particles and the remainder system (self-energy insertations) but also for the correlations among those particles directly involved in the transition (final state correlations). The usage of the two-step model implies, however, that the valence band electrons tend to screen the additional potential of the core hole created before, which in particular affects the Auger spectra. As an example, the appearance potential spectra of nickel are calculated by combining the corresponding Green function with appropriate transition-matrix elements. The resulting spectra are in a very good agreement with measured spectra for all temperatures.

In Markov chain models in finance and healthcare a transition matrix over a certain time interval is needed but only a transition matrix over a longer time interval may be available. The problem arises of determining a stochastic $p$th root of astochastic matrix (the given transition matrix). By exploiting the theory of functions of matrices, we develop results on the existence and characterization of stochastic $p$th roots. Our contributions include characterization of when a real matrix hasa real $p$th root, a classification of $p$th roots of a possibly singular matrix,a sufficient condition for a $p$th root of a stochastic matrix to have unit row sums,and the identification of two classes of stochastic matrices that have stochastic $p$th roots for all $p$. We also delineate a wide variety of possible configurationsas regards existence, nature (primary or nonprimary), and number of stochastic roots,and develop a necessary condition for existence of a stochastic root in terms of the spectrum of the given matrix. On the computational side, we emphasize finding an approximate stochastic root: perturb the principal root $A^{1/p}$ or the principal logarithm $\log(A)$ to the nearest stochastic matrix or the nearest intensity matrix, respectively, if they are not valid ones;minimize the residual $\normF{X^p-A}$ over all stochastic matrices $X$ and also over stochastic matrices that are primary functions of $A$. For the first two nearness problems, the global minimizers are found in the Frobenius norm. For the last two nonlinear programming problems, we derive explicit formulae for the gradient and Hessian of the objective function $\normF{X^p-A}^2$ and investigate Newton's method, a spectral projected gradient method (SPGM) and the sequential quadratic programming method to solve the problem as well as various matrices to start the iteration. Numerical experiments show that SPGM starting with the perturbed $A^{1/p}$to minimize $\normF{X^p-A}$ over all stochastic matrices is method of choice.Finally, a new algorithm is developed for computing arbitrary real powers $A^\a$ of a matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. The algorithm starts with a Schur decomposition,takes $k$ square roots of the triangular factor $T$, evaluates an $[m/m]$ Pad\'e approximant of $(1-x)^\a$ at $I - T^$, and squares the result $k$ times. The parameters $k$ and $m$ are chosen to minimize the cost subject to achieving double precision accuracy in the evaluation of the Pad\'e approximant, making use of a result that bounds the error in the matrix Pad\'e approximant by the error in the scalar Pad\'e approximant with argument the norm of the matrix. The Pad\'e approximant is evaluated from the continued fraction representation in bottom-up fashion, which is shown to be numerically stable. In the squaring phase the diagonal and first superdiagonal are computed from explicit formulae for $T^$, yielding increased accuracy. Since the basic algorithm is designed for $\a\in(-1,1)$, a criterion for reducing an arbitrary real $\a$ to this range is developed, making use of bounds for the condition number of the $A^\a$ problem. How best to compute $A^k$ for a negative integer $k$ is also investigated. In numerical experiments the new algorithm is found to be superior in accuracy and stability to several alternatives,including the use of an eigendecomposition, a method based on the Schur--Parlett\alg\ with our new algorithm applied to the diagonal blocks and approaches based on the formula $A^\a = \exp(\a\log(A))$.

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Ziel dieser Arbeit ist zunächst die Entwicklung einer Vergleichsgrundlage, auf Basis derer Algorithmen zur Berechnung der Zustandsdichte verglichen werden können. Darauf aufbauend wird ein bestehendes übergangsmatrixbasiertes Verfahren für das großkanonisch Ensemble um ein neues Auswerteverfahren erweitert. Dazu werden numerische Untersuchungen verschiedener Monte-Carlo-Algorithmen zur Berechnung der Zustandsdichte durchgeführt. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Verfahren, die auf Übergangsmatrizen basieren, sowie auf dem Verfahren von Wang und Landau. Im ersten Teil der Forschungsarbeit wird ein umfassender Überblick über Monte-Carlo-Methoden und Auswerteverfahren zur Bestimmung der Zustandsdichte sowie über verwandte Verfahren gegeben. Außerdem werden verschiedene Methoden zur Berechnung der Zustandsdichte aus Übergangsmatrizen vorgestellt und diskutiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine neue Vergleichsgrundlage für Algorithmen zur Bestimmung der Zustandsdichte erarbeitet. Dazu wird ein neues Modellsystem entwickelt, an dem verschiedene Parameter frei gewählt werden können und für das die exakte Zustandsdichte sowie die exakte Übergangsmatrix bekannt sind. Anschließend werden zwei weitere Systeme diskutiert für welche zumindest die exakte Zustandsdichte bekannt ist: das Ising Modell und das Lennard-Jones System. Der dritte Teil der Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Untersuchungen an einer Auswahl der vorgestellten Verfahren. Auf Basis der entwickelten Vergleichsgrundlage wird der Einfluss verschiedener Parameter auf die Qualität der berechneten Zustandsdichte quantitativ bestimmt. Es wird gezeigt, dass Übergangsmatrizen in Simulationen mit Wang-Landau-Verfahren eine wesentlich bessere Zustandsdichte liefern als das Verfahren selbst. Anschließend werden die gewonnenen Erkenntnisse genutzt um ein neues Verfahren zu entwickeln mit welchem die Zustandsdichte mittels Minimierung der Abweichungen des detaillierten Gleichgewichts aus großen, dünnbesetzten Übergangsmatrizen gewonnen werden kann. Im Anschluss wird ein Lennard-Jones-System im großkanonischen Ensemble untersucht. Es wird gezeigt, dass durch das neue Verfahren Zustandsdichte und Dampfdruckkurve bestimmt werden können, welche qualitativ mit Referenzdaten übereinstimmen.

本論文主要是在agent-based計算經濟體系下，利用Holland(1975)所提的遺傳演算法(genetic algorithms)作為計算工具，分別探討連鎖店賽局及寡占市場廠商價格策略的生態演化。 在連鎖店賽局的研究中，藉由agent-based計算經濟分析掠奪性定價的特性，並進一步探討參賽者價格策略的共演化(co-evolutionary)特性，及多元均衡賽局中均衡移轉的動態過程。針對賽局中不同的不確定性進行模擬，結果顯示廠商長期總合行為是否穩定，和賽局中的不確定程度有相當的關聯。另外，弱獨占者和潛在競爭者的價格策略存在著共演化特性。在此演化賽局中，Nash均衡雖非穩定均衡解，但卻最常浮現在長期總合行為中。因此，Nsah均衡對agent-based演化賽局的結果而言，相當具有參考價值。在特定的不確定程度下，長期總合行為似乎只在某些特定的Nash均衡中徘徊。這些移轉途徑並不具有對稱性，甚至移轉速度也非對稱。本研究所呈現的演化結果跳脫一般對均衡的觀念，展現出傳統理論所無法預知的共演化特性，並呈現出非對稱的吸引環。 此外，同樣在Agent-based計算經濟下探討寡占市場廠商策略生態。本研究首先闡明N參賽者囚犯兩難重複賽局和N廠商寡占賽局之間的異同，經由寡占賽局廠商償付矩陣(payoff matrix)的狀態相依馬可夫移轉矩陣( state-dependent Markov transition matrix)性質，說明N廠商寡占賽局和N參賽者囚犯兩難重複賽局的差異。其次，透過三家廠商寡占賽局的模擬實驗，以遺傳演算法建構參賽廠商的適應性行為，分別以寡占市場生態上的表現型(phenotypes)和基因型(genotype)進行分析。20次模擬結果所呈現的最終市場狀態相當分歧，有形成吸引環的三廠商寡占市場、有收斂到價格戰的三廠商寡占市場。另外也成功的模擬出三廠商寡占市場演化至雙佔市場、甚或獨占市場的過程。但是，在眾多模擬中並沒有發現持續的勾結定價狀態，反而掠奪性價格是較主要的價格策略。這些結果相對於實際經濟社會中的寡占市場，給予一個活潑生動的範例。 / Recently, genetic algorithms have been extensively applied to modeling evolution game in agent-based computational economic.　While these applications advance our understanding of evolution game, they have generated some new phenomena that have not been well treated in conventional game theory. In the first topic, we shall systemize the study of one of these new phenomena, namely, coevolutionary instability. We exemplify the basic properties of coevolutionary instability by the chain store game, which is the game frequently used to study the role of reputation effects in economics.　In addition, we point out that, while, due to uncertainty effects, Nash equilibria can no longer be stable, and they can still help us predict the dynamic process of the game.　In particular, we can see that the dynamic process of the game is well captured by a few Nash equilibria and the transition among them.　A careful study can uncover several interesting patterns and we show the impact of uncertainty on these patterns. In the second topic, the relation between the N-person IPD game and the N-person oligopoly game is rigorously addressed.　Our analytical framework shows that due to the path-dependence of the payoff matrix of the oligopoly game, the two games in general are not close in spirit.　We then further explore the significance of the path-dependence property to the rich ecology of oligopoly from an evolutionary perspective.　More precisely, we simulated the evolution of a 3-person oligopoly game, and showed that the rich ecology of oligopoly can be exhibited by modeling the adaptive behavior of oligopolists with genetic algorithms.　The emergent behavior of oligopolists are presented and analyzed.　We indicate how the path-dependence nature may shed light on the phenotypes and genotypes coming into existence.

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Ziel dieser Arbeit ist zunächst die Entwicklung einer Vergleichsgrundlage, auf Basis derer Algorithmen zur Berechnung der Zustandsdichte verglichen werden können. Darauf aufbauend wird ein bestehendes übergangsmatrixbasiertes Verfahren für das großkanonisch Ensemble um ein neues Auswerteverfahren erweitert. Dazu werden numerische Untersuchungen verschiedener Monte-Carlo-Algorithmen zur Berechnung der Zustandsdichte durchgeführt. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Verfahren, die auf Übergangsmatrizen basieren, sowie auf dem Verfahren von Wang und Landau. Im ersten Teil der Forschungsarbeit wird ein umfassender Überblick über Monte-Carlo-Methoden und Auswerteverfahren zur Bestimmung der Zustandsdichte sowie über verwandte Verfahren gegeben. Außerdem werden verschiedene Methoden zur Berechnung der Zustandsdichte aus Übergangsmatrizen vorgestellt und diskutiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine neue Vergleichsgrundlage für Algorithmen zur Bestimmung der Zustandsdichte erarbeitet. Dazu wird ein neues Modellsystem entwickelt, an dem verschiedene Parameter frei gewählt werden können und für das die exakte Zustandsdichte sowie die exakte Übergangsmatrix bekannt sind. Anschließend werden zwei weitere Systeme diskutiert für welche zumindest die exakte Zustandsdichte bekannt ist: das Ising Modell und das Lennard-Jones System. Der dritte Teil der Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Untersuchungen an einer Auswahl der vorgestellten Verfahren. Auf Basis der entwickelten Vergleichsgrundlage wird der Einfluss verschiedener Parameter auf die Qualität der berechneten Zustandsdichte quantitativ bestimmt. Es wird gezeigt, dass Übergangsmatrizen in Simulationen mit Wang-Landau-Verfahren eine wesentlich bessere Zustandsdichte liefern als das Verfahren selbst. Anschließend werden die gewonnenen Erkenntnisse genutzt um ein neues Verfahren zu entwickeln mit welchem die Zustandsdichte mittels Minimierung der Abweichungen des detaillierten Gleichgewichts aus großen, dünnbesetzten Übergangsmatrizen gewonnen werden kann. Im Anschluss wird ein Lennard-Jones-System im großkanonischen Ensemble untersucht. Es wird gezeigt, dass durch das neue Verfahren Zustandsdichte und Dampfdruckkurve bestimmt werden können, welche qualitativ mit Referenzdaten übereinstimmen.