Materialien formen die moderne Welt: Sie umgeben uns in unserem alltäglichen Leben. Unser Ziel ist die Materialeigenschaften nach unseren Bedürfnissen maßzuschneidern. Viele Materialeigenschaften wie Bandücken und Elektronendichteverteilung werden durch elektronische Zustände bestimmt. Die meisten Vorhersagen in Bezug auf Materialien entstammen der Dichtefunktionaltheorie (DFT). Diese Theorie ermittelt Grundzustandseigenschaften und kann jedoch keine Energien von angeregten Zuständen liefern. Um angeregte Zusände zu beschreiben, bedarf es daher einer höherstufigen Theorie: die Vielteilchen-Störungstheorie (MBPT) . Im Rahmen von MBPT ist das üblichste Verfahren die GW-Näherung (GWA), worin Elektronen als Quasiteilchen (QP) beschrieben werden. Der Energieunterschied zwischen einem nicht-wechselwirkenden Teilchen und einem QP ist die Selbstenergie. In GWA ergibt sich die Selbsenergie als Produkt aus die Einteilchen-Greenfunktion, G, und die abgeschirmte Coulomb-Wechselwirkung, W, und führt zu der wahren Anregungsenergie von QP. Diese Doktorarbeit beinhaltet die Implementierung von selbstkonsistentem Quasiteilchen-GW (QSGW) im exciting Code. Dieses Software-Paket benutzt die Linearized-Augmented-Plane-Wave-Methode (LAPW), welche alle Elektronen gleichberechtigt behandelt. Beginnend mit DFT optimiert die QSGW-Methode den Einteilchen-Hamiltonoperator durch eine selbstkonsistente Suche eines optimierten Austausch-Korrelationspotentials. Am Ende des iterativen Prozesses liefert die QSGW-Methode Eigenfunktionen und Eigenwerte der QP. Wir präsentieren mit QSGW ermittelte elektronische Strukturen von neun kristallinen Festkörpern. Wir präsentieren die zugehörigen Bandstrukturen und Zustandsdichtediagramme und vergleichen anhand dieser die QSGW-Ergebnisse mit Ergebnissen von DFT und G0W0. Zusätzlich untersuchen wir die elektronische Ladungsdichte und Wellenfunktion in ausgewählten Materialien. / Materials shape the modern world: they appear everywhere in our daily life. We investigate what governs the material's properties, in order to tailor them to meet our needs. Properties, e.g., bandgaps, and electronic density distribution are determined by the electronic structure. Most predictions on materials follow from computational physics, in particular density-functional theory (DFT). This scheme returns ground-state properties, but it fails to provide excited-state energies. To find the latter, we have to recourse to a higher degree of theory, namely many-body perturbation theory (MBPT). Within MBPT, the most popular framework is the GW approximation (GWA) which describes electrons as quasiparticles (QP). The difference in energy between a non-interacting particle and a QP is called the self-energy. In GWA, the product of the Green function G and W, the screened Coulomb interaction, returns the self-energy. GWA is in principle self-consistent, but is mostly implemented as a perturbative correction to DFT results, known as G0W0. Unfortunately, the electronic structure given by G0W0 depends on the initial DFT results. This PhD project consists in the implementation of the self-consistent quasiparticle GW (QSGW) in the exciting code. This software package uses the all-electron linearized augmented planewave (LAPW) method, treating every electron on equal footing. Starting from DFT, the QSGW method (based in the GWA) optimizes the one-particle Hamiltonian through a self-consistent search for an optimized exchange-correlation potential. At the end of the iterative process, the QSGW method provides eigenfunctions and eigenvalues of the QPs. Considering nine crystalline solids, we present their electronic structure by means of QSGW. We present the bandstructures and density of state diagrams, comparing QSGW results to DFT and G0W0 results. In addition, we study the electronic charge density and wavefunction in selected materials.

In dieser Arbeit stellen wir verschiedene Tests der (M)atrixtheorie-Vermutung vor. Die (M)atrixtheorievermutung besagt, dass die Dynamik von M-Theorie, der Urtheorie, die alle bekannten Stringtheorien und auch elfdimensionale Supergravitation als bestimmte Grenzfaelle enthalten soll, durch ein quantenmechanisches Matrixmodell gegeben ist. Insbesondere untersuchen wir Streuprozesse sowohl aus Sicht des Matrixmodells, als auch aus Sicht der Supergravitation, und vergleichen die resultierenden S-Matrixelemente. Wir finden beeindruckende Uebereinstimmung zwischen den beiden Theorien, solange wir uns auf klassische Supergravitation beschraenken. Sobald wir auch Quanteneffekte auf der Supergravitationsseite einbeziehen, hat diese Uebereinstimmung keinen Bestand. Des weiteren untersuchen wir die Frage, ob Loesungen der klassischen Matrixmodell-Bewegungsgleichungen mit Impulsuebertrag existieren, und finden eine negative Antwort. / In this thesis, we present several tests of the M(atrix)-Model conjecture that asserts that the dynamics of M-Theory, the eleven-dimensional Ur-theory containing all known string theories and also eleven-dimensional supergravity in specific limits, is given by a quantum mechanical matrix model. In particular, scattering processes are analyzed both from the M(atrix)-Model and from the supergravity perspective and the corresponding S-matrix elements are compared. We find impressive agreement between these two theories as long as only classical supergravity is considered. If one includes also quantum effects on the supergravity side, the agreement does not persist. In addition to these calculations, the question of the existence of classical solutions to the M(atrix)-Model equations of motion with momentum transfer is addressed and answered negatively.

Inspiriert von den integrablen Strukturen der schwach gekoppelten planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie studieren wir Q-Operatoren und Yangsche Invarianten. Wir geben eine Übersicht der Quanten-Inverse-Streumethode zusammen mit der Yang-Baxter Gleichung welche zentral für diesen systematischen Zugang zu integrablen Modellen ist. Den Fokus richten wir auf rationale integrable Spinketten und Vertexmodelle. Wir besprechen einige ihrer bekannten Gemeinsamkeiten und wie sie durch Bethe-Ansatz-Methoden mit Hilfe sogenannter Q-Funktionen gelöst werden können. Der Hauptteil basiert auf den ursprünglichen Publikationen des Autors. Zuerst konstruieren wir Q-Operatoren, deren Eigenwerte zu den Q-Funktionen rationaler homogener Spinketten führen. Die Q-Operatoren werden als Spuren gewisser Monodromien von R-Operatoren eingeführt. Unsere Konstruktion erlaubt es uns die Hierarchie der kommutierenden Q-Operatoren und ihre funktionalen Beziehungen herzuleiten. Wir studieren wie der nächste-Nachbarn Hamiltonoperator, sowie höhere lokale Ladungen direkt aus den Q-Operatoren extrahiert werden können. Danach widmen wir uns der Formulierung der Yangschen Invarianzbedingung, wie sie auch im Zusammenhang mit Baumgraphen die bei der Berechnung von Streuamplituden in der N=4 Super-Yang-Mills-Theorie auftreten, innerhalb der RTT-Realisierung. Dies erlaubt es uns den algebraischen Bethe-Ansatz anzuwenden und die dazugehörigen Bethe Gleichungen herzuleiten, welche für die Konstruktion der Eigenzustände die Yangsche Invarianz aufweisen, relevant sind. Die Komponenten dieser Eigenzustände der von uns betrachteten Spinketten können außerdem als Zustandssummen gewisser zweidimensionaler Vertexmodelle angesehen werden. Zudem analysieren wir die Verbindung zwischen den Eigenzuständen und den oben genannten Baumgraphen. Schlussendlich diskutieren wir die von uns vorgelegten Ergebnisse und deren Folgen im Hinblick auf die Erforschung der planaren N=4 Super-Yang-Mills-Theorie. / Inspired by the integrable structures appearing in weakly coupled planar N=4 super Yang-Mills theory, we study Q-operators and Yangian invariants of rational integrable spin chains. We review the quantum inverse scattering method QISM along with the Yang-Baxter equation which is the key relation in this systematic approach to study integrable models. Our main interest concerns rational integrable spin chains and lattice models. We recall the relation among them and how they can be solved using Bethe ansatz methods incorporating so-called Q-functions. In order to remind the reader how the Yangian emerges in this context, an overview of its so-called RTT-realization is provided. The main part is based on the author''s original publications. Firstly, we construct Q-operators whose eigenvalues yield the Q-functions for rational homogeneous spin chains. The Q-operators are introduced as traces over certain monodromies of R-operators. Our construction allows us to derive the hierarchy of commuting Q-operators and the functional relations among them. We study how the nearest-neighbor Hamiltonian and in principle also higher local charges can be extracted from the Q-operators directly. Secondly, we formulate the Yangian invariance condition, also studied in relation to scattering amplitudes of N=4 super Yang-Mills theory, in the RTT-realization. We find that Yangian invariants can be interpreted as special eigenvectors of certain inhomogeneous spin chains. This allows us to apply the algebraic Bethe ansatz and derive the corresponding Bethe equations that are relevant to construct the invariants. We examine the connection between the Yangian invariant spin chain eigenstates whose components can be understood as partition functions of certain two-dimensional lattice models and tree-level scattering amplitudes of the four-dimensional gauge theory. Finally, we conclude and discuss some future directions and implications of our studies for planar N=4 super Yang-Mills theory.