Une variété horosphérique est une variété algébrique normale dans laquelle un groupe algébrique réductif opère avec une orbite ouverte fibrée en tores sur une variété de drapeaux. En particulier, les variétés toriques et les variétés de drapeaux sont horosphériques. Dans cet article, on classifie les variétés horosphériques de Fano en termes de certains polytopes rationnels qui généralisent les polytopes réflexifs considérés par V. Batyrev. Puis on obtient une majoration du degré des variétés horosphériques lisses de Fano, analogue à celle donnée par O. Debarre dans le cas torique. On étend un résultat récent de C. Casagrande: les variétés horosphériques Q-factorielles de Fano ont leur nombre de Picard majoré par deux fois la dimension. On donne aussi de nombreux exemples en rang 2.

Ce travail se situe à la fois en Géométrie Algébrique et l'Algèbre Commutative. La premier partie de cette thèse est consacrée à l'anneau de Rees (blow-up ring) et la fibre spéciale d'un idéal de réseau de codimenson 2 dans un anneau de polynômes. Dans le cas où l'idéal est engendré par trois ou quatre éléments, une présentation explicite de l'anneau de Rees est donnée. Dans le cas général, nous définissons le graphe de syzygies de l'idéal, et l'étudions combinatoirement. Nous obtenons : 1/ La dimension de la fibre spéciale est 2 ou 3. 2/ Si l'idéal n'est pas une intersection complète, alors la fibre spéciale est Cohen--Macaulay de dimension 3, réduite, de degré minimal, i.e. la fibre spéciale a des propriétés géométriques remarquables. Une présentation explicite de la fibre spéciale est aussi donnée. 3/ L'anneau de Rees est Cohen--Macaulay, et engendré par des formes de degré au plus 2. La deuxième partie de la thèse est consacrée aux idéaux simpliciaux, introduits par M. Morales. En étudiant des propriétés combinatoires, nous donnons une large classe d'idéaux binômiaux simpliciaux pour lesquels le nombre de réduction est 1.

Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées comme les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme.<br /><br />Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace affine C^n. On démontre la trivialité affine d'un polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le gradient par poids de Malgrange-Paunescu : |grad_Wf(z)|_W est minoré. On démontre aussi grâce à la même hypothèse de modération sur le gradient la propriété locale suivante : le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de vecteurs controlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette dernière condition nous donne la condition la plus importante : la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité locale en un point du diviseur.<br /><br />Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lê et Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale.<br /><br />Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de l'espace affine C^n.

Une variété horosphérique est une variété algébrique normale dans laquelle un groupe algébrique réductif opère avec une orbite ouverte fibrée en tores sur une variété de drapeaux. La dimension de ces tores est appelée le rang de la variété horosphérique. En particulier, les variétés toriques et les variétés de drapeaux sont horosphériques. Dans cette thèse, on classifie les variétés horosphériques de Fano en termes de certains polytopes rationnels qui généralisent les polytopes réflexifs considérés par V.Batyrev. Puis on obtient une majoration du degré des variétés horosphériques lisses de Fano, analogue à celle donnée par O.Debarre dans le cas torique. On étend un résultat récent de C.Casagrande : les variétés horosphériques Q-factorielles de Fano ont leur nombre de Picard majoré par deux fois la dimension. On donne aussi de nombreux exemples en rang 2.

Cette thèse porte sur les plongements d'espaces homogènes sphériques sur un corps quelconque. Dans une première partie, on aborde la classification de ces plongements, dans la lignée des travaux de Demazure et bien d'autres sur les variétés toriques, et de Luna, Vust et Knop sur les variétés sphériques. Dans une seconde partie, on généralise en caractéristique positive certains résultats obtenus par Bien et Brion portant sur les plongements complets et lisses qui sont log homogènes, c'est-à-dire dont le bord est un diviseur à croisements normaux et le fibré tangent logarithmique associé est engendré par ses sections globales. Dans une dernière partie, on construit par éclatements successifs une compactification lisse et log homogène explicite du groupe linéaire (différente de celle obtenue par Kausz). En prenant dans cette compactification les points fixes de certains automorphismes, on en déduit alors la construction de compactifications lisses et log homogènes de certains groupes semi-simples classiques. / This thesis is devoted to the study of embeddings of spherical homogeneous spaces over an arbitrary field. In the first part, we address the classification of such embeddings, in the spirit of Demazure and many others in the setting of toric varieties and of Luna, Vust and Knop in the setting of spherical varieties. In the second part, we generalize in positive characteristics some results obtained by Bien and Brion on those complete smooth embeddings that are log homogeneous, i.e., whose boundary is a normal crossing divisor and the associated logarithmic tangent bundle is generated by its global sections. In the last part, we construct an explicit smooth log homogeneous compactification of the general linear group by successive blow-ups (different from the one obtained by Kausz). By taking fixed points of certain automorphisms on this compactification, one gets smooth log homogeneous compactifications of some classical semi-simple groups.

La segmentation d'image avec a priori de forme a fait l'objet d'une attention particulière ces dernières années. La plupart des travaux existants reposent sur des espaces de formes linéarisés avec de petits modes de déformations autour d'une forme moyenne. Cette approche n'est pertinente que lorsque les formes sont relativement similaires. Dans cette thèse, nous introduisons un nouveau cadre dans lequel il est possible de manipuler des a priori de formes plus généraux. Nous modélisons une catégorie de formes comme une variété de dimension finie, la variété des formes a priori, que nous analysons à l'aide d'échantillons de formes en utilisant des techniques de réduction de dimension telles que les diffusion maps. Un plongement dans un espace réduit est alors appris à partir des échantillons. Cependant, ce modèle ne fournit pas d'opérateur de projection explicite sur la variété sous-jacente et nous nous attaquons à ce problème. Les contributions de ce travail se divisent en trois parties. Tout d'abord, nous proposons différentes solutions au problème des "out-of-sample" et nous définissons trois forces attirantes dirigées vers la variété. 1. Projection vers le point le plus proche; 2. Projection ayant la même valeur de plongement; 3. Projection à valeur de plongement constant. Ensuite, nous introduisons un terme d'a-priori de formes pour les coutours/régions actifs/ves. Un terme d'énergie non-linéaire est alors construit pour attirer les formes vers la variété. Enfin, nous décrivons un cadre variationnel pour le debruitage de variété. Des résultats sur des objets réels tels que des silhouettes de voitures ou des structures anatomiques montrent les possibilités de notre méthode.

La recherche de variété est un comportement par lequel le consommateur va changer dans le choix de ses produits. Cette définition implique une opposition à la fidélité (le rachat du même produit) et une approche intertemporelle (les changements se font par rapport à une situation normale ou habituelle). Notre étude propose un nouveau cadre d'analyse qui n'oppose pas systématiquement la fidélité et la recherche de variété : nous distinguons d'une part le cadre temporel de la recherche de variété (intertemporel ou instantané) et d'autre part le « niveau » d'expression du comportement (entre produits d'une marque ou entre marques). Ainsi, nous identifions 4 formes de recherche de variété qui coexistent théoriquement à l'intérieur d'un marché. Parmi celles-ci, nous concentrons notre analyse sur la recherche de variété intramarque, qui est une conséquence directe de la fidélité à la marque, en s'exprimant à l'intérieur de sa gamme. Les résultats de deux modèles de choix (un modèle Logit multinomial et un modèle Logit multivarié) caractérisent et approfondissent un résultat classique : les consommateurs manifestent simultanément un comportement de fidélité (recherche de variété intramarque) et d'infidélité aux marques (recherche de variété intermarques). Nous discutons des implications managériales de ces comportements : soit la fidélisation des marques n'est pas efficace pour les consommateurs, soit les marques sont positionnées sur des segments différents et de fait, les gammes proposées, aussi larges qu'elles soient, ne permettront pas l'expression de la recherche de variété individuelle. / Variety-seeking is a behavior which appears when a consumer switches in his choices of products. This definition involves an opposition to loyalty (i.e. repeat-buying) and a longitudinal view (i.e. the consumer switches in comparison to a “normal” or “regular” choice). Our study proposes a new conceptual framework which doesn't oppose systematically loyalty and variety-seeking: on one hand, we distinguish the temporal framework of variety-seeking (i.e. longitudinal or instantaneous), and on other hand, the “level” where variety-seeking appears (within a brand's products line or within brands). So, we identify 4 types of variety-seeking which coexist theoretically within a market. Among these one, we concentrate our analysis on “intrabrand variety-seeking”. This behavior is a direct consequence of loyalty, by appearing within its line. The results of two discrete choice models (a multinomial Logit model and a multivariate Logit model) explore more deeply a classical result: consumers are simulteaneously loyals (intrabrand variety-seeking) and non-loyals (interbrand variety-seeking) to brands. We then discuss theconsequences of these behaviors: either brands' loyalty programs are not successful for consumers in the category, or brands are positioned on different sub-markets, and so, their lines, as wide as they are, don't allow individual variety-seekng.

Dans cette thèse on étudie la géométrie systolique des variétés de Bieberbach. La \emph{systole} d'une variété riemannienne compacte et non simplement connexe $(M^n,g)$ est l'infimum des longueurs des courbes fermées non contractiles; le \emph{rapport systolique} est le quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. Un résultat fondamental de Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M^n$: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. Les surfaces compactes autres que $S^2$ sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T^2$ (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétés la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est à dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique.

Dans de nombreux domaines, il est primordial de bien comprendre la dynamique de structures complexes. Les outils numériques modernes, comme la méthode des éléments finis, ont grandement amélioré le niveau de modélisation mais sont souvent limitées au cadre linéaire. Pourtant l'évolution des structures, plus légères et plus flexibles, vers un comportement non linéaire suggère la mise en œuvre de méthodes adaptées, couplant rapidité et précision. C'est dans cet esprit que ce travail de recherche développe une méthode de réduction de modèles non linéaires basée sur les variétés invariantes.

Les résultats présentés sont centrés sur la géométrie et la topologie des variétés algébriques réelles. Une grande partie est consacrée aux surfaces (variétés de dimension 2). On présente aussi un nouveau programme portant sur les variétés de dimension 3. Les résultats choisis sont repartis en trois axes :<br /><br />1. Cycles algébriques sur les surfaces.<br />2. Topologie des variétés algébriques réelles.<br />3. Approximation des applications lisses par des applications régulières.<br /><br />1. On s'intéresse au groupe des classes d'homologie représentables par des courbes algébriques réelles. Ce groupe est un invariant géométrique qui joue un rôle important notamment dans des questions d'approximation. Dans une série d'articles, dont l'un avec J. van Hamel, on conclut la classification des surfaces totalement algébriques parmi les surfaces de type spécial.<br /><br />2. L'étude systématique de la topologie des variétés algébriques réelles a été initiée en 1900 par D. Hilbert dans le XVIème problème de sa fameuse liste. Le résultat le plus marquant est ici la preuve, avec J. Huisman, d'une conjecture de J. Kollár :<br />Toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe d'une variété uniréglée réelle de dimension 3.<br />Il s'agit d'un pas important dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3.<br /><br />3. Soient deux variétés algébriques réelles non singulières X et Y, X compacte, on cherche à savoir dans quels cas l'ensemble des applications régulières R(X,Y) est dense dans l'ensemble des applications lisses C(X,Y) (cf. Th. de Stone-Weierstrass lorsque Y = R).<br />Ici Y est la sphère usuelle. Dans une série de deux articles, dont l'un avec N. Joglar, on a terminé le cas où X est une surface de dimension de Kodaira strictement négative : si X est homéomorphe à un tore, les seules applications approximables sont homotopiquement triviales, dans tous les autres cas où X est connexe, on a densité.<br />De façon plutôt surprenante, on montre qu'il existe un unique cas rationnel intermédiaire entre trivialité et densité qui est une surface de Del Pezzo réelle de degré 2 possédant quatre composantes connexes.