Le thème principal de cette thèse est l'étude des métriques presque-kählériennes extrémales compatibles sur une variété symplectique compacte. Nous allons généraliser les notions d'invariant de Futaki et du champ de vecteurs extrémal sur une variété kählérienne compacte au cas presque-kählérien. Nous allons montrer la périodicité du champ de vecteurs extrémal quand la forme symplectique représente une classe cohomologique entière modulo torsion. Nous donnerons une formule explicite de la courbure scalaire hermitienne en coordonnées de Darboux. Ceci nous permettra, en dimension 4, de construire des exemples de métriques strictement presque-kählériennes qui satisfont l'égalité dans les estimations de LeBrun. Nous allons étudier la stabilité sous déformations des métriques presque-kählériennes extrémales en dimension 4. Étant donné un chemin lisse de métriques presque-kählériennes compatibles avec une forme symplectique fixe, tel que au temps zéro la métrique est kählérienne et extrémale, nous prouverons, pour un temps assez petit et sous une certaine condition, l'existence d'une famille de métriques presque-kählériennes extrémales, compatibles avec la même forme symplectique, telle que chaque structure presque-complexe induite est difféomorphe à celle induite par le chemin. En particulier, le difféomoprhisme est l'identité au temps zéro. Sur une variété torique, nous allons discuter de l'unicité et la stabilité des métriques presque-kählériennes extrémales invariantes par un tore dans l'orbite 'complexifié' par l'action du groupe des hamiltoniens. ______________________________________________________________________________

Étant donnée une structure presque-complexe J sur une variété réelle de dimension paire, nous nous posons la question si J est localement calibrable, c'est à dire s'il existe localement une forme symplectique compatible avec J dans le sens que ω(∙, J ) définit une métrique riemannienne J-invariante. Dans ce contexte, A. Tomassini a donné des exemples explicites de structures presque-complexes en dimension 4 et 6 qui ne peuvent être calibrées localement par aucune forme symplectique. Ceux en dimension 4 vont s'avérer incorrects. Aussi, G. Tian et T. Rivière ont montré, avec un argument incomplet, qu'une structure presque-complexe en dimension 4 est toujours localement calibrable. J. Armstrong a affirmé la même chose sans donner de preuve. Nous allons examiner ces constats et donner une preuve complète du fait que toute structure presque-complexe en dimension 4 est localement calibrable. Aussi, nous montrons qu'une structure presque-complexe sur une variété strictement approximativement kählérienne, en particulier S6 avec sa structure presque-complexe canonique, ne peut être calibrée localement par aucune forme symplectique. Finalement, nous rappelerons le théorème d'Armstrong qui affirme que ce ne sont pas toutes les structures presque-complexes en dimension supérieure ou égale à 12 qui peuvent être calibrées localement par une forme symplectique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Structures presque-complexes, Variétés presque-kählériennes, Variétés approximativement kählériennes.

Le point de départ de la thèse fut l'étude d'une variété holomorphiquement symplectique irréductible (VHSI) à singularités orbifold, de dimension 4, construite en 2007 par Markushevich—Tikhomirov comme une compactification d'une famille lagrangienne de surfaces de Prym de polarisation (1,2). La famille des surfaces de Prym en question est associée au système linéaire de courbes de genre 3 sur une surface K3 quartique, munie d'une involution anti-symplectique. Dans la première partie de la thèse, on calcule la forme de Beauville—Bogomolov (BB) sur la seconde cohomologie entière de cette VHSI. L'existence d'une forme BB sur les VHSI singulières aux singularités en codimension 4 était démontrée par Namikawa, mais aucun exemple explicite d'une telle forme n'était connu, et la thèse présente les premiers exemples explicites de formes BB de VHSI singulières. Le calcul de ces formes BB a nécessité de développer des outils permettant de déterminer la cohomologie entière de variétés quotientées par un groupe d'automorphismes d'ordre premier. Dans la deuxième partie de la thèse, la famille miroir de la VHSI de Markushevich—Tikhomirov, formée des surfaces abéliennes duales, est déterminée. Il se trouve qu'elle est aussi une famille de prymiennes, associée à une quartique K3 avec involution anti-symplectique, donc admet une compactification qui est la symétrique miroir de la VHSI d'origine. Une description géométrique très précise de cette correspondance est donnée, basée sur la construction bigonale de Pantazis. De plus, on montre que la symétrie miroir ainsi construite représente une involution birationnelle non-triviale sur l'espace de modules de VHSI de ce type. / The starting point of the thesis was the study of a singular irreducible holomorphically symplectic variety (IHSV) of dimension 4 with orbifold singularities which was constructed by Markushevich—Tikhomirov in 2007 as a compactification of a Lagrangian family of (1,2)-polarized Prym surfaces. This family of Prym surfaces is associated to a linear system of genus-3 curves on a quartic K3 surface endowed with an anti-symplectic involution. In the fist part of the thesis, the Beauville—Bogomolov form (BB) on the second integer cohomology group of this IHSV is computed. The existence of the BB form for an IHSV with singular locus of codimension 4 was proved by Namikawa, but no explicit example of such a form was known. The thesis provides the first concrete examples of BB forms on singular IHSV. The calculation of these BB forms required the development of some tools for computing the integer cohomology of varieties quotiented by automorphism groups of prime order. In the second part of the thesis, the mirror family of dual abelian surfaces for the Markushevich—Tikhomirov IHSV is determined. As it turns out, it is also a family of Prym surfaces associated to a quartic K3 surface with an anti-symplectic involution and hence admits a compactification, which is the mirror of the original IHSV. A very precise geometric description of this duality is given, using Pantazis's bigonal construction. Moreover, it is proved that the mirror symmetry constructed in this way represents a non-trivial birational involution on the moduli space of Markushevich—Tikhomirov IHSV.

Dans la première partie de ce mémoire nous introduisons toute la théorie nécessaire à une bonne compréhension de la théorie des variétés et orbifolds toriques. Dans la deuxième partie nous présentons la construction de Delzant d'une variété torique. Finalement, le troisième chapitre présente deux preuves différentes de la formule de Guillemin. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Géométrie kählérienne, Orbifold, Variété torique, Polytope de Delzant.

Le texte est reparti comme suit : Dans le premier chapitre, nous rappelons le lemme de Schwarz-Pick, le théorème d'uniformisation, le théorème d'Ascoli et de Weierstrass et de Hurwitz, le domaine d'homolorphie, variété taut. Dans le deuxiéme chapitre, nous énoncerons la définition et des propriétés sur l'hyperbolicité au sens de Kobayashi sur une variété complexe, ainsi que les théorèmes de prolongements du type grand théorème de Picard dû à Kwak et Kiernan, et nous établissons que si la courbure sectionelle d'une variété hermitienne est bornée par une constante négative alors la variété est hyperbolique au sens de Kobayashi. Enfin, nous traiterons la description de la métrique et la relation avec le volume. Dans le troisième chapitre, nous étudions le concept d'hyperbolicité au sens de Brody sur une variété complexe et ses applications. Dans le quatrième chapitre je discute la propriété de Landeau-Shottky et la fonction de Bloch.

Cette thèse porte sur les plongements d'espaces homogènes sphériques sur un corps quelconque. Dans une première partie, on aborde la classification de ces plongements, dans la lignée des travaux de Demazure et bien d'autres sur les variétés toriques, et de Luna, Vust et Knop sur les variétés sphériques. Dans une seconde partie, on généralise en caractéristique positive certains résultats obtenus par Bien et Brion portant sur les plongements complets et lisses qui sont log homogènes, c'est-à-dire dont le bord est un diviseur à croisements normaux et le fibré tangent logarithmique associé est engendré par ses sections globales. Dans une dernière partie, on construit par éclatements successifs une compactification lisse et log homogène explicite du groupe linéaire (différente de celle obtenue par Kausz). En prenant dans cette compactification les points fixes de certains automorphismes, on en déduit alors la construction de compactifications lisses et log homogènes de certains groupes semi-simples classiques.

RÉSUMÉ: Toute variété différentiable $M$ admet une métrique dite métrique riemannienne.\\ En définissant $\mathbb{H}=\lbrace z\in\mathbb{C}: Im(z)>0\rbrace$, on peut munir de $\mathbb{H}$ d'une métrique riemannienne $ds^{2}=\frac{dzd\bar{z}}{(Im(z))^{2}}=\frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}$.\\ Muni de cette métrique, $\mathbb{H}$ est une variété riemannienne à la quelle on associe le fibré tangent, $T\mathbb{H}$ ainsi que le fibré unitaire tangent, $T^{1}\mathbb{H}$. Les éléments de $T^{1}\mathbb{H}$ peuvent être exprimés, de façon bijective, en termes des éléments du groupe PSL(2,$\mathbb{R}$) dont l'action sur $T^{1}\mathbb{H}$ est transitive et libre.\\ La métrique définie sur $M$ (en particulier sur $M=\mathbb{H}$) permet de définir sur $TM$ (en particulier sur $T^{1}\mathbb{H}$) une métrique connue sous le nom de métrique de Sasaki.

Cette thèse établit, et étudie, un lien entre l'homologie de Khovanov et la topologie des revêtements ramifiés doubles. Nous y introduisons certaines propriétés de stabilité en homologie de Khovanov, dont nous dérivons par la suite des obstructions à l'existence de certaines chirurgies exceptionnelles sur les noeuds admettant une involution appropriée. Ce comportement, analogue à celui de l'homologie de Heegaard-Floer sous chirurgie, renforce ainsi le lien existant (dû à Ozsváth et Szabó) entre homologie de Khovanov, et homologie d'Heegaard-Floer des revêtements ramifiés doubles. Dans l'optique de poursuivre et d'exploiter plus avant cette relation, les méthodes développées dans ce travail sont appliquées à l'étude des L-espaces, et à déterminer, en premier lieu, si l'homologie de Khovanov fournit un invariant des revêtements ramifiés doubles, et en deuxième lieu, si l'homologie de Khovanov permet de détecter le noeud trivial. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Homologie de Khovanov, Homologie de Heegaard-Floer, Chirurgies de Dehn, Involutions, Variétés de dimension trois, Revêtements ramifiés doubles.

Le sujet principal de ce mémoire est la théorie de Hodge symplectique que Tseng et Yau ont développée pour des variétés symplectiques. Nous commençons par un rappel d'algèbre linéaire et de géométrie avant de résumer les concepts introduits par Tseng et Yau. Nous présentons des résultats classiques comme le théorème de Moser et celui de Darboux. Nous démontrons aussi l'existence d'une métrique compatible pour chaque variété symplectique. Nous citons aussi la décomposition de Hodge. Nous allons, par la suite, résumer les idées de base de la théorie de Hodge symplectique, qui est inspirée de la décomposition de Hodge riemannienne, en appliquant ses résultats aux variétés presque-kählériennes. Pour ce faire, nous rappelons les résultats de Merkulov et de Mathieu à propos de la propriété forte de Lefschetz. Nous présentons les formes primitives et la représentation sl(2,C) de celles-ci. Nous allons présenter la démonstration de Lejmi d'une proposition de McDuff à propos des zéros de champs de Killing sur une variété compact presque-kählérienne. Par la suite, nous allons présenter les travaux de Tseng et Yau en débutant par les différentes cohomologies qu'ils ont définies et nous présentons différents résultats qu'ils ont obtenus. Après un bref rappel de l'algèbre de Lie, nous présentons 2 exemples de variétés que nous allons pouvoir classifier à partir de cette théorie. Nous allons présenter un exemple de 4-variété non-kählérienne où nous utilisons le résultat de McDuff et Lejmi pour y parvenir et nous reprenons l'exemple de Tseng et Yau d'une 6-variété qui ne possède pas la propriété forte de Lefschetz en utilisant les outils présentés le long de ce mémoire. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : variété presque-complexes, géométrie symplectique, théorie de hodge.

Le but de cette thèse est l'étude de la fibre de Milnor associée à un complémentaire d'arrangement d'hyperplans. Il est montré par un exemple que cette variété n'est pas toujours formelle, ou même 1-formelle. La formalité est une propriété introduite dans les années 1970 dans le cadre de la théorie de l'homotopie rationnelle. Des avancées récentes ont identifié cette propriété comme critère particulièrement fin pour établir un lien entre variétés caractéristiques et variétés de résonance, associées à l'espace étudié. Ces deux types de variétés sont des invariants dont les définitions présentent beaucoup de points communs, mais dans des espaces différents. Un lien très fort - la variété de résonance est le cône tangent à l'origine de la variété caractéristique correspondante - avait été établi sous diverses hypothèses, que l'introduction de la 1-formalité permet d'élargir. C'est en montrant que pour l'exemple décrit dans cette thèse, ce lien n'existe pas, que l'on prouve que la variété considérée n'est pas formelle.