Une variété algébrique complexe définie sur les réels est dite maximale si <br />la somme de ses nombres de Betti pour l'homologie de Borel Moore à coefficients modulo 2 est égale à la somme des nombres Betti de sa partie réelle. On montrera ici que d'une part, les variétés toriques de dimension 4 sont maximales et d'autre part que les variétés toriques affines simpliciales de dimension 5 sont maximales.

Cette thèse se compose de deux parties: dans la première on démontre une généralisation du théorème de Gabriel sur les faisceaux cohérents au cas des faisceaux cohérents tordus. Plus précisément, on démontre que tout schéma noethérien X peut être reconstruit à partir de sa catégorie abélienne Coh(X,\alpha) des faisceaux cohérents tordus par un élément \alpha du groupe de Brauer cohomologique de X. Dans la deuxième partie on étudie les deux espaces des modules M_{10} et M_{6} introduits par O'Grady, qu'il utilise pour obtenir ses deux nouveaux examples de variétés irréductibles symplectiques de dimension 10 et 6 respectivement. On calcule les groupes de Picard de M_{10} et M_{6}, et on démontre que ces deux variétés ne sont pas localement factorielles, mais 2-factorielles. Ceci est accompli en utilisant les résultats de Rapagnetta sur la cohomologie et la forme de Beauville-Bogomolov de M_{10} et M_{6}, et en étudiant les propriétés du morphisme de Le Potier dans ces deux cas.

Il existe de nombreuses situations où des objets géométriques ou topologiques (comme les configurations de points du plan, les applications lisses entre variétés, les hypersurfaces projectives complexes) sont paramétrés par des éléments d'un espace vectoriel. Un discriminant (généralisé) est un sous-ensemble formé des éléments singuliers (dans un sens à préciser) d'un tel espace vectoriel. Par la dualité d'Alexander, les groupes de cohomologie du complémentaire d'un discriminant sont isomorphes aux groupes d'homologie de Borel-Moore du discriminant même. Souvent, ces derniers groupes peuvent être calculés en utilisant une certaine résolution naturelle du faisceau constant sur le discriminant ; par référence à leur construction, ces <br />résolutions sont parfois appelées coniques.<br /><br />Dans cette thèse, nous généralisons la méthode des résolutions coniques qui a été proposée par V. A. Vassiliev afin d'étudier la cohomologie des espaces des hypersurfaces projectives lisses complexes. Notre construction se base sur les relations d'inclusion entre les lieux singuliers plutôt qu'entre les systèmes linéaires correspondants. Cela nous permet d'effectuer certains calculs qui semblent être hors de portée de l'approche originelle. Pour illustrer notre méthode, nous calculons la cohomologie rationnelle de l'espace des courbes lisses complexes planes de degré 5, de l'espace des courbes bielliptiques lisses sur une quadrique non dégénérée dans l'espace projectif complexe de dimension 3, ainsi que de l'espace des courbes cubiques réelles lisses planes.<br /><br />La thèse contient un appendice où l'on démontre le résultat suivant. Supposons que le cercle est muni d'un atlas où tous les changements de cartes sont des homographies ; alors ce cercle borde une surface orientable munie d'un atlas où tous les changements de cartes sont aussi des homographies (à coefficients<br />complexes cette fois-ci) et sont compatibles dans le sens évident avec les applications de changement de cartes sur le bord. Dans l'appendice, nous montrons également que la classification des structures projectives sur le cercle donnée il y a longtemps par N. Kuiper n'est pas tout à fait correcte, et nous complétons cette classification.

L'objectif de cette thèse est d'obtenir une démonstration effective d'un résultat de Cohen, Shiga et Wolfart, généralisant aux espaces de Siegel $\mathfrak{H}_{g}$ de degré $g$ quelconque le théorème classique de Schneider sur l'invariant modulaire $j(\tau)$. Un premier pas dans cette direction consiste, étant donnée une variété abélienne $\mathcal{A}$ définie sur $\overline{\mathbb{Q}}$ et paramétrée par un point $\tau$ de l'espace de Siegel, à minorer $|||\tau-\beta|||$ où $\beta$ est un point algébrique de l'espace de Siegel, en fonction des données géométriques du problème. C'est ce qui est réalisé ici, en affinant des outils d'indépendance linéaire de logarithmes de la méthode de Gel'fond-Baker.

Les grassmanniennes symplectiques et, plus généralement, les variétés de drapeaux symplectiques, sont les variétés de sous-espaces isotropes, respectivement de drapeaux de sous-espaces isotropes, relativement à une 2-forme antisymétrique non dégénérée. Ce sont les variétés projectives homogènes du groupe symplectique.<br />Nous étudions les grassmanniennes et les variétés de drapeaux symplectiques impaires, qui sont des objets analogues associés à une 2-forme antisymétrique générique sur un espace vectoriel complexe de dimension impaire. Ces variétés sont munies d'actions naturelles du groupe symplectique impair des transformations linéaires qui préservent la forme antisymétrique. Nous montrons que, bien que ces actions ne soient pas transitives, ces variétés partagent de nombreuses propriétés avec les variétés homogènes.<br />En particulier, nous calculons le groupe d'automorphismes des grassmanniennes symplectiques impaires et obtenons que tous ces automorphismes proviennent de l'action du groupe symplectique impair. De même, nous établissons un théorème de type Borel-Weil pour le groupe symplectique impair et explicitons le lien entre certaines classes de représentations de ce groupe construites par Proctor et par Shtepin. Nous étudions également la cohomologie équivariante de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux. Nous obtenons une formule de type Chevalley-Pieri et nous donnons une présentation à la Borel de l'anneau de cohomologie équivariante. De cette dernière, nous déduisons que l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux est isomorphe à l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété de drapeaux quadratiques.

Nous étudions des estimations apriori du type sup *inf pour les solutions de l' équation de la courbure sclaire prescrite dans un ouvert de R^n. Nous donnons des résultats quand l'exposant est sous-critique tendant vers l'exposant critique de Sobolev, la perturbation du à l'exposant sous-critique apparait dans l'estimation a priori, ce résultat est vrai en toute dimension superieure ou egale à 3 avec des conditions minimales sur les courbures scalaires prescrites. Nous etudions aussi les cas n=3 et 4, mais sans avoir de perturnation sous-critique. Nous obtenons des inégalités à priori du type (sup)^(1/3) * inf borné sur tout compact de R^3, alors qu'en dimension 4, si les minimas sont uniformément minorés, les maxims sur tout compact sont uniformément majorés. Nous traitons également, le cas où on a une perturbation de l'équation par un terme non linéaire mais en puissance sous-critique, dans ce cas la majorations du sup* inf est obtenue. Dans notre travail, nous nous occupons de la minoration du sup *inf sur une variété compacte de dimension >=2, pour l'équation de la courbure sclaire prescrite, on prouve que si la courbure sclaire est positive sans etre identiquement nulle, alors il y a majorations du sup*inf. Quand à la dimension 2, le résultat est obtenu sur toute surface de Riemann avec des hypotheses de bornitude uniforme du gradient des courbures scalaires prescrites. Pour le cas de la sphère, cette derniere condition n'est pas imposée, la positivité et bornitude uniforme des courbures scalaires prescrites suffisent.

Le but de cette thèse est d'étudier des questions issues de la théorie de l'élasticité en utilisant des méthodes d'analyse mathématique et de géométrie différentielle. Dans le cas mono-dimensionnel, qui est lié à l'étude des fils élastiques, nous prouvons des résultats d'existence, d'unicité et de stabilité d'une courbe dans des espaces de Sobolev. Nous traitons ensuite le cas général d'une immersion de dimension et de co-dimension quelconques d'une sous-variété dans l'espace euclidien. Nous montrons ainsi que le résultat classique d'existence et d'unicité d'une telle immersion peut être étendu jusqu'au bord de la sous-variété, sous une hypothèse de régularité peu restrictive sur celui-ci. En outre, nous montrons que l'application ainsi construite est localement lipschitzienne pour les topologies appropriées. Enfin, nous revenons à l'étude des fils élastiques, pour obtenir des inégalités de Korn linéaires et non linéaires pour les courbes en dimension 3.

Cette thèse est consacrée aux problèmes de minorations de hauteur normalisée des points et des sous-variétés non de torsion. Le chapitre 1 est un chapitre de rappels, les autres sont originaux. On prouve au chapitre 2 un résultat de densité de petits points. Ceci nous permet d'obtenir, pour les sous-variétés de variétés abéliennes de type C.M., une minoration en fonction du degré de la sous-variété, optimale aux puissances de log du degré près. On montre en toute généralité qu'une ``bonne minoration'' de la hauteur des points entraîne une minoration analogue de la hauteur des sous-variétés. Ceci nous permet en particulier de prouver que, sur les variétés abéliennes, le problème de Lehmer pour les points est équivalent au problème de Lehmer pour les sous-variétés. Le chapitre 3 est un raffinement du précédent dans le cas des hypersurfaces. La preuve, qui passe par l'introduction d'une fonction auxiliaire, suit le schéma classique des preuves de transcendance. En utilisant l'inégalité des pentes, due à Bost, on retrouve ensuite au chapitre 4 le célèbre résultat de Dobrowolski concernant le problème originel de Lehmer sur la minoration de la hauteur des entiers algébriques. Le chapitre 5 étend un résultat de Amoroso et Zannier au cas des courbes elliptiques C.M. : on obtient une minoration du type Lehmer, mais où le degré de l'extension engendrée par le point P sur K est remplacé par le degré de l'extension engendrée par le point P sur la clôture abélienne de K. Ceci nous permet de simplifier la preuve d'un résultat de Viada. Enfin au chapitre 6, on fait le lien entre diverses conjectures relatives au problème de Lehmer sur les variétés abéliennes.

Cette thèse est consacrée à l'étude des singularités d'adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans un espace symétrique. On se donne un groupe réductif $G$ muni d'une involution, et le sous-groupe $H$ de ses points fixes. Suivant Richardson et Springer, on paramètre les orbites d'un sous-groupe de Borel dans l'espace symétrique $G/H$. On donne une description combinatoire de leurs adhérences, et on construit des ``slices'' qui permettent de décrire les singularités de ces dernières. On étudie plus particulièrement l'espace symétrique $PSL_n/PSO_n$. Dans ce dernier, à l'aide de la description combinatoire et des ``slices'', on donne des critères de normalité d'adhérences d'orbites ainsi qu'une caractérisation de la lissité en codimension un. Enfin, on donne de nombreux exemples d'adhérences d'orbites d'un sous-groupe de Borel dans un espace symétrique avec divers types de singularités~: des adhérences d'orbites de codimension un dans $G/H$ non normales, et des adhérences d'orbites qui ne sont pas de Cohen-Macaulay.

Un des aspects fascinants de la théorie des cordes, c'est qu'elle vit dans l'espace-temps de dix dimensions. Mais cela implique que, pour la relier à des observations phénoménologiques, elle devrait ȇtre compactifiées à quatre dimensions. Un cas particulièrement riche, mais toujours faisable correspond à la compactification sur une variété de Calabi-Yau qui donne à basse énergie une théorie effective avec la supersymétrie N=2. L'action de cette théorie est complètement déterminée par la métrique sur son espace des modules qui comporte deux composantes correspondant aux multiplets vectoriels et hypermultiplets. La première est classiquement exacte et bien comprise, alors que la dernière reçoit des corrections quantiques et est connue de porter une géométrie compliquée quaternion-Kählerrienne. Dans cette thèse, nous présentons nos résultats sur la description complète non-perturbative de l'espace des modules des hypermultiplets. Nous montrons comment toutes les corrections quantiques, qui comprennent des contributions perturbatives d'une boucle ainsi que celles non-perturbatives venant des D-branes et NS5-branes, sont incorporées dans le cadre de l'approche twisteurielle. Ce cadre, que nous élaborons ici en détail, fournit une description mathématique puissante des variétés hyperkähleriennes et quaternion-Kähleriennes et il est indispensable pour la formulation de la géométrie non-perturbative de l'espace des modules des hypermultiplets. Nous présentons également de nouveaux résultats sur la dualité-S, symétrie miroir quantique, les connexions à des modèles intégrables et aux cordes topologiques.