In this thesis, we derive necessary optimality conditions for bilevel programming problems (BPPs for short) in Banach spaces. This rather abstract setting reflects our desire to characterize the local optimal solutions of hierarchical optimization problems in function spaces arising from several applications. Since our considerations are based on the tools of variational analysis introduced by Boris Mordukhovich, we study related properties of pointwise defined sets in function spaces. The presence of sequential normal compactness for such sets in Lebesgue and Sobolev spaces as well as the variational geometry of decomposable sets in Lebesgue spaces is discussed. Afterwards, we investigate mathematical problems with complementarity constraints (MPCCs for short) in Banach spaces which are closely related to BPPs. We introduce reasonable stationarity concepts and constraint qualifications which can be used to handle MPCCs. The relations between the mentioned stationarity notions are studied in the setting where the underlying complementarity cone is polyhedric. The results are applied to the situations where the complementarity cone equals the nonnegative cone in a Lebesgue space or is polyhedral. Next, we use the three main approaches of transforming a BPP into a single-level program (namely the presence of a unique lower level solution, the KKT approach, and the optimal value approach) to derive necessary optimality conditions for BPPs. Furthermore, we comment on the relation between the original BPP and the respective surrogate problem. We apply our findings to formulate necessary optimality conditions for three different classes of BPPs. First, we study a BPP with semidefinite lower level problem possessing a unique solution. Afterwards, we deal with bilevel optimal control problems with dynamical systems of ordinary differential equations at both decision levels. Finally, an optimal control problem of ordinary or partial differential equations with implicitly given pointwise state constraints is investigated.

Optimierungsprobleme und Variationsungleichungen über Banach-Räumen stellen Themen von substantiellem Interesse dar, da beide Problemklassen einen abstrakten Rahmen für zahlreiche Anwendungen aus verschiedenen Fachgebieten stellen. Nach einer Einführung in Teil I werden im zweiten Teil allgemeine Approximationsmethoden, einschließlich verschiedener Diskretisierungs- und Regularisierungsansätze, zur Lösung von nichtglatten Variationsungleichungen und Optimierungsproblemen unter konvexen Restriktionen vorgestellt. In diesem allgemeinen Rahmen stellen sich gewisse Dichtheitseigenschaften der konvexen zulässigen Menge als wichtige Voraussetzungen für die Konsistenz einer abstrakten Klasse von Störungen heraus. Im Folgenden behandeln wir vor allem Restriktionsmengen in Sobolev-Räumen, die durch eine punktweise Beschränkung an den Funktionswert definiert werden. Für diesen Restriktionstyp werden verschiedene Dichtheitsresultate bewiesen. In Teil III widmen wir uns einem quasi-statischen Kontaktproblem der Elastoplastizität mit Härtung. Das entsprechende zeit-diskretisierte Problem kann als nichtglattes, restringiertes Minimierungsproblem betrachtet werden. Zur Lösung wird eine Pfadverfolgungsmethode auf Basis des verallgemeinerten Newton-Verfahrens entwickelt, dessen Teilprobleme lokal superlinear und gitterunabhängig lösbar sind. Teil III schließt mit verschiedenen numerischen Beispielen. Der letzte Teil der Arbeit ist der quasi-statischen, perfekten Plastizität gewidmet. Auf Basis des primalen Problems der perfekten Plastizität leiten wir eine reduzierte Formulierung her, die es erlaubt, das primale Problem als Fenchel-dualisierte Form des klassischen zeit-diskretisierten Spannungsproblems zu verstehen. Auf diese Weise werden auch neue Optimalitätsbedingungen hergeleitet. Zur Lösung des Problems stellen wir eine modifizierte Form der viskoplastischen Regularisierung vor und beweisen die Konvergenz dieses neuen Regularisierungsverfahrens. / Optimization problems and variational inequalities over Banach spaces are subjects of paramount interest since these mathematical problem classes serve as abstract frameworks for numerous applications. Solutions to these problems usually cannot be determined directly. Following an introduction, part II presents several approximation methods for convex-constrained nonsmooth variational inequality and optimization problems, including discretization and regularization approaches. We prove the consistency of a general class of perturbations under certain density requirements with respect to the convex constraint set. We proceed with the study of pointwise constraint sets in Sobolev spaces, and several density results are proven. The quasi-static contact problem of associative elasto-plasticity with hardening at small strains is considered in part III. The corresponding time-incremental problem can be equivalently formulated as a nonsmooth, constrained minimization problem, or, as a mixed variational inequality problem over the convex constraint. We propose an infinite-dimensional path-following semismooth Newton method for the solution of the time-discrete plastic contact problem, where each path-problem can be solved locally at a superlinear rate of convergence with contraction rates independent of the discretization. Several numerical examples support the theoretical results. The last part is devoted to the quasi-static problem of perfect (Prandtl-Reuss) plasticity. Building upon recent developments in the study of the (incremental) primal problem, we establish a reduced formulation which is shown to be a Fenchel predual problem of the corresponding stress problem. This allows to derive new primal-dual optimality conditions. In order to solve the time-discrete problem, a modified visco-plastic regularization is proposed, and we prove the convergence of this new approximation scheme.

Cette thèse est dédiée à l'analyse mathématique de quelques problèmes variationnels motivés par le modèle de Ginzburg-Landau en théorie de la supraconductivité. Dans la première partie on étudie l'existence de solutions pour les équations de Ginzburg-Landau sans champ magnétique et avec données au bord de type semi-rigides. Ces données consistent à prescrire le module de la fonction sur le bord du domaine ainsi que son degré topologique. C'est un cas particulier de problèmes à bord libre, ou la donnée complète de la fonction sur le bord est une inconnue du problème. L'existence de solutions à ce problème n'est pas assurée. En effet la méthode directe du calcul des variations ne peut pas s'appliquer car le degré sur le bord n'est pas continu pour la convergence faible dans l'espace de Sobolev adapté. On dit que c'est un problème sans compacité. En étudiant le phénomène de "bubbling" qui apparaît dans l'étude de tels problèmes on donne des résultats d'existence et de non existence de solutions. Dans le Chapitre 1 on étudie des conditions qui permettent d'affirmer que la différence entre deux niveaux d'énergie est strictement optimale. Pour cela on adapte une technique due à Brezis-Coron. Ceci nous permet de redémontrer un résultat (précédemment obtenu par Berlaynd Rybalko et Dos Santos) d'existence de solutions stables pour les équations de Ginzburg-Landau dans des domaines multiplement connexes. Dans le Chapitre 2 on considère les applications harmoniques a valeurs dans $R^2$ avec des conditions au bord de type degrés prescrits sur un anneau. On fait un lien entre ce problème et la théorie des surfaces minimales dans $R^3$ grâce à la différentielle quadratique de Hopf. Ceci nous conduit à l'étude des surfaces minimales bordées par deux cercles dans des plans parallèles. On prouve l'existence de telles surfaces qui ne sont pas des catenoides grâce a un résultat de bifurcation. On utilise alors les résultats obtenus pour déduire des théorèmes d'existence et de non existence de minimiseurs de l'énergie de Ginzburg-Landau à degrés prescrits dans un anneau. Dans ce troisième Chapitre on obtient des résultats pour une valeur du paramètre " grand. Le Chapitre 4 a pour objet l'étude des problèmes a degrés prescrits en dimension n3. On y montre la non existence des minimiseurs de la n-énergie de Ginzburg-Landau a degrés prescrits dans un domaine simplement connexe. On étudie ensuite des points critiques de type min-max pour une énergie perturbée. La deuxième partie est consacrée a l'analyse asymptotique des solutions des équations deGinzburg-Landau lorsque " tend vers zero. Sandier et Serfaty ont étudié le comportement asymptotique des mesures de vorticité associées aux équations. Ils ont notamment trouvé des conditions critiques sur les mesures limites dans le cas des équations avec et sans champ magnétique. Nous nous intéressons alors à ces conditions critiques dans le cas sans champ magnétique. Le problème de la régularité locale des mesures limites se ramène ainsi a l'étude de la régularité des fonctions stationnaires harmoniques dont le Laplacien est une mesure. Nous montrons que localement de telles mesures sont supportées par une union de lignes appartenant à l'ensemble des zéros d'une fonction harmonique / This thesis is devoted to the mathematical analysis of some variational problems. These problem sare motivated by the Ginzburg-Landau model related to the super conductivity. In the first part we study existence of solutions of the Ginzburg-Landau equations without magnetic eld but with semi-sti boundary conditions. These conditions are obtained by prescribing the modulus of the function on the boundary of the domain along with its topological degree. This is a particular case of free boundary problems, where the function on the boundary is an unknown of the problem. Existence of solutions of that problem does not necessary hold. Indeed we can not apply the direct method of the calculus of variations since the degree on the boundaryis not continuous with respect to the weak convergence in an appropriated Sobolev space. This is problem with loss of compactness. By studying the bublling" phenomenon which come upin such problems we obtain some existence and non existence results .In Chapter 1 we study conditions under which the dierence between two energy levels is strictly optimal. In order to do that we adapt a technique due to Brezis-Coron. This allow us to recover known existence results (previously obtained by Berlyand and Rybalko and DosSantos) for stable solutions of the Ginzburg-Landau equations in multiply connected domains. In Chapter 2 we are interested in harmonic maps with values in $R^2$ with prescribed degree boundary condition in an annulus. We make a link between this problem and the minimal surface theory in $R^3$ thanks to the so-called Hopf quadratic differential. This leads us to study immersed minimal surfaces bounded by two circles in parallel planes. We prove the existence of such surfaces die rent from catenoids by using a bifurcation argument. We then apply the results obtained to deduce existence and non existence results for minimizers of the Ginzburg-Landau energy with prescribed degrees. This is done in Chapter 3 where the results are obtained for large ".Chapter 4 is devoted to prescribed degree problems in dimension n3 . We prove the non existence of minimizers of the Ginzburg-Landau energy in simply connected domains. We then study min-max critical points of a perturbed energy. The second part is devoted to the asymptotic analysis of solutions of the Ginzburg-Landau equations when "goes to zero. Sandier and Serfaty studied the asymptotic behavior of the vorticity measures associated to these equations. They derived critical conditions on the limiting measures both with and without magnetic Field. We are interested by these conditions when there is no magnetic Field. The problem of the local regularity of the limiting measures is then equivalent to the study of regularity of stationary harmonic functions whose Laplacianis a measure. We show that locally such measures are concentrated on a union of lines which belong to the zero set of an harmonic function

In this thesis, we derive necessary optimality conditions for bilevel programming problems (BPPs for short) in Banach spaces. This rather abstract setting reflects our desire to characterize the local optimal solutions of hierarchical optimization problems in function spaces arising from several applications. Since our considerations are based on the tools of variational analysis introduced by Boris Mordukhovich, we study related properties of pointwise defined sets in function spaces. The presence of sequential normal compactness for such sets in Lebesgue and Sobolev spaces as well as the variational geometry of decomposable sets in Lebesgue spaces is discussed. Afterwards, we investigate mathematical problems with complementarity constraints (MPCCs for short) in Banach spaces which are closely related to BPPs. We introduce reasonable stationarity concepts and constraint qualifications which can be used to handle MPCCs. The relations between the mentioned stationarity notions are studied in the setting where the underlying complementarity cone is polyhedric. The results are applied to the situations where the complementarity cone equals the nonnegative cone in a Lebesgue space or is polyhedral. Next, we use the three main approaches of transforming a BPP into a single-level program (namely the presence of a unique lower level solution, the KKT approach, and the optimal value approach) to derive necessary optimality conditions for BPPs. Furthermore, we comment on the relation between the original BPP and the respective surrogate problem. We apply our findings to formulate necessary optimality conditions for three different classes of BPPs. First, we study a BPP with semidefinite lower level problem possessing a unique solution. Afterwards, we deal with bilevel optimal control problems with dynamical systems of ordinary differential equations at both decision levels. Finally, an optimal control problem of ordinary or partial differential equations with implicitly given pointwise state constraints is investigated.

Le but de cette thèse est d'étudier la méthode de Newton pour résoudre numériquement les inclusions variationnelles, appelées aussi dans la littérature les équations généralisées. Ces problèmes engendrent en général des opérateurs multivoques. La première partie est dédiée à l'extension des approches de Kantorovich et la théorie (alpha, gamma) de Smale (connues pour les équations non-linéaires classiques) au cas des inclusions variationnelles dans les espaces de Banach. Ceci a été rendu possible grâce aux développements récents des outils de l'analyse variationnelle et non-lisse tels que la régularité métrique. La seconde partie est consacrée à l'étude de méthodes numériques de type-Newton pour les inclusions variationnelles en utilisant la différentiabilité généralisée d'applications multivoques où nous proposons de linéariser à la fois les parties univoques (lisses) et multivoques (non-lisses). Nous avons montré que, sous des hypothèses sur les données du problème ainsi que le choix du point de départ, la suite générée par la méthode de Newton converge au moins linéairement vers une solution du problème de départ. La convergence superlinéaire peut-être obtenue en imposant plus de conditions sur l'approximation multivaluée. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des équations généralisées dans les variétés Riemaniennes à valeurs dans des espaces euclidiens. Grâce à la relation entre la structure géométrique des variétés et les applications de rétractions, nous montrons que le schéma de Newton converge localement superlinéairement vers une solution du problème. La convergence quadratique (locale et semi-locale) peut-être obtenue avec des hypothèses de régularités sur les données du problème. / This thesis is devoted to present some results in the scope of Newton-type methods applied for inclusion involving set-valued mappings. In the first part, we follow the Kantorovich's and/or Smale's approaches to study the convergence of Josephy-Newton method for generalized equation (GE) in Banach spaces. Such results can be viewed as an extension of the classical Kantorovich's theorem as well as Smale's (alpha, gamma)-theory which were stated for nonlinear equations. The second part develops an algorithm using set-valued differentiation in order to solve GE. We proved that, under some suitable conditions imposed on the input data and the choice of the starting point, the algorithm produces a sequence converging at least linearly to a solution of considering GE. Moreover, by imposing some stronger assumptions related to the approximation of set-valued part, the proposed method converges locally superlinearly. The last part deals with inclusions involving maps defined on Riemannian manifolds whose values belong to an Euclidean space. Using the relationship between the geometric structure of manifolds and the retraction maps, we show that, our scheme converges locally superlinearly to a solution of the initial problem. With some more regularity assumptions on the data involved in the problem, the quadratic convergence (local and semi-local) can be ensured.