Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale. / The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der rigorosen Herleitung effektiver Modelle zur Beschreibung von Schädigungsprozessen. Diese effektiven Modelle werden für verschiedene raten-unabhängige Schädigungsmodelle linear elastischer Materialien hergeleitet. Den Ausgangspunkt stellt dabei ein unidirektionales Mikrostrukturevolutionsmodell dar, dessen Fundament eine Familie geordneter zulässiger Mikrostrukturen bildet. Jede Mikrostruktur dieser Familie besitzt die gleiche intrinsische Längenskala. Zur Herleitung eines effektiven Modells wird das asymptotische Verhalten dieser Längenskala mittels Techniken der Zwei-Skalen-Konvergenz untersucht. Um das Grenzmodell zu identifizieren, bedarf es einer Mikrostrukturregularisierung, die als diskreter Gradient für stückweise konstante Funktionen aufgefasst werden kann. Die Mikrostruktur des effektiven Modells ist punktweise durch ein Einheitszellenproblem gegeben, welches die Mikro- von der Makroskala trennt. Ausgehend vom Homogenisierungsresultat für die unidirektionale Mikrostrukturevolution werden effektive Modelle für Zwei-Phasen-Schädungsprozesse hergeleitet. Die aus zwei Phasen bestehende Mikrostruktur der mikroskopischen Modelle ermöglicht z.B. die Modellierung von Schädigung durch das Wachstum von Inklusionen aus geschädigtem Material verschiedener Form und Größe. Außerdem kann Schädigung durch das Wachstum mikroskopischer Hohlräume und Mikrorissen betrachtet werden. Die Größe der Defekte skaliert mit der intrinsischen Längenskala und die unidirektionale Mikrostrukturevolution verhindert, dass bei fixierter Längenskala die Defekte für fortlaufende Zeit schrumpfen. Das Material des Grenzmodells ist dann in jedem Punkt als Mischung von ungeschädigtem und geschädigtem Material durch das Einheitszellenproblem gegeben. Dabei liefert das Einheitszellenproblem nicht nur das Mischungsverhältnis sondern auch die genaue geometrische Mischungsverteilung, die dem effektiven Material des jeweiligen Materialpunktes zugrunde liegt. / This dissertation at hand deals with the rigorous derivation of such effective models used to describe damage processes. For different rate-independent damage processes in linear elastic material these effective models are derived as the asymptotic limit of microscopic models. The starting point is represented by a unidirectional microstructure evolution model which is based on a family of ordered admissible microstructures. Each microstructure of that family possesses the same intrinsic length scale. To derive an effective model, the asymptotic behavior of this intrinsic length scale is investigated with the help of techniques of the two-scale convergence. For this purpose, a microstructure-regularizing term, which can be understood as a discrete gradient for piecewise constant functions, is needed to identify the limit model. The microstructure of the effective model is given pointwisely by a so-called unit cell problem which separates the microscopic scale from the macroscopic scale. Based on these homogenization results for unidirectional microstructure evolution models, effective models for brutal damage processes are provided. There, the microstructure consists of only two phases, namely undamaged material which comprises defects of damaged material with various sizes and shapes. In this way damage progression can be modeled by the growth of inclusions of weak material, the growth of voids, or the growth of microscopic cracks. The size of the defects is scaled by the intrinsic length scale and the unidirectional microstructure evolution prevents that, for a fixed length scale, the defects shrink for progressing time. According to the unit cell problem, the material of the limit model is then given as a mixture of damaged and undamaged material. In a specific material point of the limit model, that unit cell problem does not only define the mixture ratio but also the exact geometrical mixture distribution.