Dans la première partie de cette thèse, nous étudions un modèle de marche aléatoire centrifuge. Nous démontrons une loi du logarithme itéré pour sa norme, et nous obtenons la loi asymptotique des fluctuations de sa direction. Nous donnons ensuite un encadrement du taux de décroissance exponentielle de la probabilité qu'elle se trouve à l'instant n dans un compact fixé en montrant que la probabilité qu'une marche aléatoire centrée classique retourne dans un compact à l'instant n sans quitter un cône ne décroît pas à vitesse exponentielle. Dans la seconde partie, nous étudions le mouvement brownien de dimension quelconque, conditionné à rester dans un cône de révolution pendant une unité de temps, et nous en déduisons un principe d'invariance pour une marche aléatoire conditionnée à rester dans un cône.

Cette thèse est consacrée à l'amélioration de l'estimation d'une fonction ou signal f, par le biais d'une approche voisine à l'approche minimax. Cette démarche est motivée par la construction de régions de confiance, pour f, plus fines que celle obtenues via l'approche d'estimation dans le cadre minimax. En effet, nous nous intéressons ici à estimer des fonctions de plusieurs variables (on notera d leur nombre) pouvant être intégrées en pratique dans des modèles économiques, biologiques et autres domaines pouvant mettre en jeu un nombre conséquent de critères quantitatifs. De manière générale et contrairement au problème paramétrique, lorsque la valeur du paramètre d est grande, l'efficacité des résultats minimax s'en ressent. Ce phénomène est connu au sein de la communauté statistique sous le nom de "malédiction de la dimension" (curse of dimensionality).<br /><br />Afin de ne pas pénaliser l'estimation en grande dimension ou de manière générale dans des modèles où l'approche minimax n'est pas satisfaisante (sur des espaces fonctionnels trop massifs), Lepski a developpé une approche alternative. Celle-ci se base sur l'idée simple d'adapter la méthode d'estimation en fonction des résultats de tests d'hypothèses 'accélératrices'. Cette démarche utilise des résultats issus de la théorie des tests afin d'envisager une estimation adaptative. Elle va nous amener à introduire le concept de risque avec normalisation aléatoire. Ainsi nous nous consacrerons par la suite à résoudre deux types de problèmes statistiques fortement reliés

L'objectif de ce travail de thèse est de prendre en compte à la fois l'hétérogénéité, l'anisotropie et des incertitudes dans la simulation 3D de la propagation d'ondes élastiques. Pour ce faire, dans un premier temps, on modélise le champ de propriétés mécaniques, ici le champ de tenseur d'élasticité, par un modèle de champ stochastique 3D des matrices définie-positives. La construction de ce modèle de champ est essentiellement fondée sur celle de Soize [2008]. Notre modèle conserve ainsi les propriétés principales du modèle de Soize comme le paramétrage minimal contrôlant l'amplitude de la fluctuation et la taille caractéristique de la variabilités patiale, le comportement local a priori arbitrairement anisotrope (anisotropie triclinique) et les propriétés mathématiques fondamentales. De plus, un nouveau paramètre est introduit dans ce modèle pour imposer un niveau d'anisotropie moyen souhaité. Dans un deuxième temps, on effectue des adaptations du code de calcul d'éléments finis spectraux, à savoir le code parallèle SPEC3D, afin d'une part de générer les réalisations du champ stochastique du tenseur d'élasticité et d'autre part de prendre en compte l'anisotropie dans la résolution numérique du problème élastodynamique. Des études paramétriques utilisant SPEC3D sont ensuite réalisées mettant en évidence les influences de l'anisotropie et des paramètres d'hétérogénéité sur la propagation d'ondes sismiques. En particulier, elles démontrent une dépendance directe entre la longueur de corrélation du champ de propriétés et le temps caractéristique d'apparition de la diffusion. Ce régime se manifeste par l'équipartition d'énergie entre les mouvements irrotationnels et rotationnels.

Nous étudions des marches aléatoires branchantes unidimensionnelles, où une barrière absorbante tue avant qu'ils ne se reproduisent les individus qui la franchissent. Par des méthodes probabilistes, nous obtenons des résultats qui fournissent des informations sur les trajectoires des marches branchantes classiques (sans barrière absorbante). Dans le cas où la barrière est fixée à l'origine, nous estimons la vitesse d'extinction dans les cas critique et sous-critique. Nous affinons ensuite l'étude du cas critique en considérant une barrière du second ordre dont la position est proportionnelle à la puissance 1/3 de la génération. Nous déterminons la valeur limite de la position de la barrière séparant la survie avec probabilité positive de l'extinction presque sûre. Dans le cas d'extinction nous évaluons la probabilité de survie et la queue de distribution de la population totale. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous plaçons dans un cadre un peu différent où la position de la barrière dépend du nombre de générations considérées. Nous obtenons un résultat de déviations modérées sur le déplacement minimal de la marche branchante qui fait apparaître différents régimes, en fonction de la queue de distribution de la loi des déplacements.

Dans cette thèse, on étudie certaines propriétés asymptotiques d'un modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire. Plus précisément, on étudie les liens entre la fonction de partition et la mesure de polymère lorsque la taille du système tend vers l'infini. On construit également des champs multifractaux qui vérifient certaines propriétés statistiques du champ de vitesse d'un écoulement turbulent.

Les travaux de la thèse portent sur les théorèmes limites pour des modèles stochastiques à forte dépendance. Dans la première partie, nous considérons des modèles AR(1) à coefficient aléatoire. Nous identifions trois régimes asymptotiques différents pour le schéma d’agrégation conjointe temporelle-contemporaine lorsque les processus AR sont indépendants et lorsque les AR possède des innovations communes. Ensuite, on discute de l’estimation non paramétrique de la fonction de répartition du coefficient autorégressif à partir d’un panel de séries AR(1) à coefficient aléatoire. Nous prouvons la convergence faible du processus empirique basé sur des estimations des coefficients autorégressifs non observables vers un pont brownien généralisé. Ce résultat est ensuite appliqué pour valider différents outils d’inférence statistique à partir des données du panel AR(1). Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les modèles spatiaux en dimension 2. Nous considérons des champs aléatoires construits à partir des polynômes Appell et de champs aléatoires linéaires. Pour ce modèle non linéaire, nous étudions la limite de ses sommes partielles normalisées prises sur des rectangles et prouvons l’existence d’une transition d’échelle. Enfin, nous abordons la même question pour le modèle de germes-grains aléatoire. Nous mettons en évidence l’existence de deux points de transition dans les limites de ces modèles. / The thesis is devoted to limit theorems for stochastic models with long-range dependence. We first consider a random-coefficient AR(1) process, which can have long memory provided the distribution of autoregressive coefficient concentrates near the unit root. We identify three different limit regimes in the scheme of joint temporal-contemporaneous aggregation for independent copies of random-coefficient AR(1) process and for its copies driven by common innovations. Next, we discuss nonparametric estimation of the distribution of the autoregressive coefficient given multiple random-coefficient AR(1) series. We prove the weak convergence of the empirical process based on estimates of unobservable autoregressive coefficients to a generalized Brownian bridge and apply this result to draw statistical inference from panel AR(1) data. In the second part of the thesis we focus on spatial models in dimension 2. We define a nonlinear random field as the Appell polynomial of a linear random field with long-range dependence. For the nonlinear random field, we investigate the limit of its normalized partial sums over rectangles and prove the existence of scaling transition. Finally, we study such like scaling of the random grain model and obtain two-change points in its limits.

Le sujet de cette thèse est l'étude de systèmes de production avec impatience. Ces systèmes sont modélisés comme des problèmes d'ordonnancement stochastiques avec des dates d'échéance. Dans la littérature, peu de résultats existent sur le contrôle optimal de ce genre de systèmes. C'est dans ce cadre que s'inscrit cette thèse. Nous considérons un système générique avec une machine, sur laquelle des tâches sont à exécuter. Les durées d'exécution, les dates d'échéance (ou durées d'impatience) et les dates de disponibilité des tâches sont des variables aléatoires. À chaque tâche est associé un poids et l'objectif est de minimiser l'espérance du nombre pondéré de tâches en retard. Dans notre étude, nous utilisons différentes modélisations, rendant compte des différentes contraintes régissant des systèmes réels. Notamment, nous faisons la différence entre l'impatience, le fait d'avoir attendu trop longtemps, et l'abandon, le fait de quitter le système suite à l'impatience. Dans la classe des politiques statiques, nous donnons des ordonnancements optimaux pour des problèmes avec impatience. Dans la classe des politiques dynamiques avec préemption, nous donnons de nouvelles conditions garantissant l'optimalité d'une politique stricte pour des problèmes avec abandon et nous proposons une heuristique plus efficace que celles que l'on trouve dans la littérature. Enfin, nous explorons des variantes et des extensions de ces problèmes, lorsque le système comporte plusieurs machines et lorsque la préemption n'est pas autorisée. / In this thesis, production systems facing abandonments are studied. These problems are modeled as stochastic scheduling problems with due dates. In the literature, few results exist concerning the optimal control of such systems. This thesis aims at providing optimal control policies for systems with impatience. We consider a generic system with a single machine, on which jobs have to be processed. Processing times, due dates (or patience time) and release dates are random variables. A weight is associated to each job and the objective is to minimize the expected weighted number of late jobs. In our study, we use different models, taking into account the specific features of real life problems. For example, we make a difference between impatience, when a customer has been waiting for too long, and abandonment, when a customer leaves the system after getting impatient. In the class of static list scheduling policies, we provide optimal schedules for problems with impatience. In the class of preemptive dynamic policies, we specify conditions under which a strict priority rule is optimal and we give a new heuristic, both extending previous results from the literature. We study variants and extensions of these problems, when several machines are available or when preemption is not authorized.

La combinatoire analytique est un domaine qui consiste à appliquer des méthodes issues de l’analyse complexe à des classes combinatoires afin d’obtenir des résultats sur leurs propriétés asymptotiques. On utilise pour cela des spécifications, qui sont une manière de formaliser la structure (souvent récursive) des objets. Dans cette thèse, nous nous attachons principalement à trouver des nouvelles spécifications pour certaines classes combinatoires, afin de pouvoir ensuite y appliquer des méthodes efficaces d’énumération ou de génération aléatoire. En effet, pour une même classe combinatoire il peut exister différentes spécifications, basées sur des décompositions différentes, rendant les méthodes classiques d’énumération asymptotique et de génération aléatoire plus ou moins adaptées. Le premier volet de résultats présentés concerne l’algorithme de Rémy et la spécification holonome qui y est sous-jacente, basée sur un opérateur de greffe. On y développe un nouvel algorithme, plus efficace, de génération aléatoire d’arbres binaires et un générateur aléatoire d’arbres de Motzkin basé sur le même principe. Nous abordons ensuite des questions relatives à l’étude de sous-classes de λ-termes. Enfin, nous présentons deux autres ensembles de résultats, sur la spécification automatique d’arbres où les occurrences d’un motif donné sont marquées et sur le comportement asymptotique et la génération aléatoire de polyominos digitalement convexes. Dans tous les cas, les nouvelles spécifications obtenues donnent accès à des méthodes qui ne pouvaient pas être utilisées jusque là et nous permettent d’obtenir de nombreux nouveaux résultats. / Analytic combinatorics is a field which consist in applying methods from complex ana- lysis to combinatorial classes in order to obtain results on their asymptotic properties. We use for that specifications, which are a way to formalise the (often recursive) structure of the objects. In this thesis, we mainly devote ourselves to find new specifications for some combinatorial classes, in order to then apply more effective enumerative or random sampling methods. Indeed, for one combinatorial class several different specifications, based on different decompositions, may exist, making the classical methods - of asymptotic enu- meration or random sampling - more or less adapted. The first set of presented results focuses on Rémy’s algorithm and its underlying holonomic specification, based on a grafting operator. We develop a new and more efficient random sampler of binary trees and a random sampler of Motzkin trees based on the same principle. We then address some question relative to the study of subclasses of λ-terms. Finally, we present two other sets of results, on automatic specification of trees where occurrences of a given pattern are marked and on the asymptotic behaviour and the random sampling of digitally convex polyominoes. In every case, the new specifications give access to methods which could not be applied previously and lead to numerous new results.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'organisation des systèmes distribués dynamiquesde grande taille : ensembles de machines capables de communiquer entre elles et pouvant à toutinstant se connecter ou se déconnecter. Nous proposons de partitionner le système en groupesconnexes, appelés clusters. Afin d'organiser des réseaux de grande taille, nous construisons unestructure hiérarchique imbriquée dans laquelle les clusters d'un niveau sont regroupés au seinde clusters du niveau supérieur. Pour mener à bien ce processus, nous mettons en place desmécanismes permettant aux clusters d'être les noeuds d'un nouveau système distribué exécutantl'algorithme de notre choix. Cela nécessite en particulier des mécanismes assurant la cohérence decomportement pour le niveau supérieur au sein de chaque cluster. En permettant aux clusters deconstituer un nouveau système distribué exécutant notre algorithme de clustering, nous construisonsune hiérarchie de clusters par une approche ascendante. Nous démontrons cet algorithme endéfinissant formellement le système distribué des clusters, et en démontrant que chaque exécutionde notre algorithme induit sur ce système une exécution de l'algorithme de niveau supérieur. Celanous permet, en particulier, de démontrer par récurrence que nous calculons bien un clusteringhiérarchique imbriqué. Enfin, nous appliquons cette démarche à la résolution des collisions dansles réseaux de capteurs. Pour éviter ce phénomène, nous proposons de calculer un clusteringadapté du système, qui nous permet de calculer un planning organisant les communications ausein du réseau et garantissant que deux messages ne seront jamais émis simultanément dans laportée de communication de l'un des capteurs / To manage and handle large scale distributed dynamic distributed systems, constitutedby communicating devices that can connect or disconnect at any time, we propose to computeconnected subgraphs of the system, called clusters. We propose to compute a hierarchical structure,in which clusters of a level are grouped into clusters of the higher level. To achieve this goal,we introduce mechanisms that allow clusters to be the nodes of a distinct distributed system,that executes an algorithm. In particular, we need mechanisms to maintain the coherence of thebehavior among the nodes of a cluster regarding the higher level. By allowing clusters to be nodesof a distributed system that executes a clustering algorithm, we compute a nested hierarchicalclustering by a bottom-up approach. We formally define the distributed system of clusters, andprove that any execution of our algorithm induces an execution of the higher level algorithm onthe distributed system of clusters. Then, we prove by induction that our algorithm computes anested hierarchical clustering of the system. Last, we use this approach to solve a problem thatappears in sensor networks : collision. To avoid collisions, we propose to compute a clusteringof the system. This clustering is then used to compute a communication schedule in which twomessages cannot be sent at the same time in the range of a sensor

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2016-2017 / L'alimentation électrique d'un appareil électronique sans fil est souvent effectuée via une pile électrique. Une solution alternative pour produire une alimentation en continue est de récupérer l'énergie provenant des vibrations d'une structure mécanique. Il a déjà été démontré que le récupérateur d'énergie vibratoire classique est efficace uniquement lorsque la source d'excitation vibratoire a un contenu fréquentiel à bande étroite. Les sources vibratoires étant souvent composées d'un large spectre fréquentiel, le récupérateur classique est alors peu performant. L'objectif principal de cette thèse est donc de proposer et d'évaluer une architecture de récupération d'énergie permettant de récupérer efficacement de l'énergie provenant d'une source vibratoire dont le contenu fréquentiel est déterministe ou aléatoire. Une revue de documentation scientifique permet d'abord de classifier et de hiérarchiser les différentes stratégies qui ont déjà été proposées pour récupérer de l'énergie à partir des sources vibratoires les plus courantes. Basée sur cette revue, une architecture composée de plusieurs récupérateurs piézoélectriques couplés via des impédances électriques est ensuite proposée. Afin de prédire la densité de puissance adimensionnelle de cette architecture, un modèle électromécanique de celle-ci est développé puis validé expérimentalement avec un prototype composé de deux récupérateurs. Ce modèle est ensuite introduit dans une procédure d'optimisation qui maximise un critère de performances basé sur le type de source vibratoire d'excitation, soit une source stationnaire ou non-stationnaire. Les résultats d'optimisation sont par la suite analysés sous forme d'études paramétriques. Pour différentes sources vibratoires, ces études établissent l'influence de chacun des paramètres composant l'architecture sur ses performances tout en développant un outil de conception de l'architecture proposée. La première partie de ces études considère le cas où l'architecture est excitée par une source vibratoire harmonique tandis que la seconde partie le fait pour une source aléatoire stationnaire et non-stationnaire. Finalement, des cas d'application sont présentés pour démontrer comment utiliser l'outil de conception. Bien que les résultats obtenus dans ces cas ne soient pas généraux, il y est démontré que l'utilisation de l'architecture proposée permet d'augmenter la densité de puissance ou de l'uniformiser sur un plus large spectre fréquentiel : comparativement au récupérateur classique, une architecture de deux récupérateurs permet un gain de performances de 51% pour une source vibratoire harmonique, de 184% pour une source de type passe-bas et de 212% pour une source non-stationnaire. / The power supply of a wireless electronic device is often conducted via an electric battery. An alternative solution to produce a continuous supply is to harvest energy from the vibrations of a mechanical structure. It has already been shown that the classical vibration energy harvester is effective only when the vibration excitation source has a narrowband frequential content. Vibration sources are often composed of a broad frequency spectrum so the classic energy harvester is inefficient. The main objective of this thesis is to propose and evaluate an energy harvester architecture that would lead to efficient energy harvesting from a vibration source of any frequential content. A review of the scientific literature allows to classify and prioritize the different strategies that have previously been proposed to harvest energy from the most common vibration sources. Based on this review, a harvester architecture composed of several piezoelectric harvesters coupled via electric impedances is then proposed. To predict the dimensionless power density of this architecture, its electromechanical model is developed and experimentally validated with a two-harvester prototype. This model is then introduced into an optimization procedure that maximizes a performance criterion based on the type of vibration excitation source, which is either stationary or non-stationary. The optimization results are then analyzed as parametric studies. For various vibration sources, these analyses establish the influence of every architectural parameter on its performance while developing a design tool for the proposed architecture. The first part of these studies considers the case where the architecture is excited by a harmonic vibration source, while the second part deals with stationary and non-stationary random sources. Finally, case studies are presented to demonstrate how to use the design tool. Although the results obtained in these cases are not general, it is shown that the use of the proposed architecture increases the power density or uniformizes it on a broader frequency spectrum. Indeed, when compared to the conventional harvester, a two-harvester architecture enables a performance gain of 51% for a harmonic vibration source, 184% for a low-pass source and 212% for a non-stationary source.