Les marches aléatoires en milieu aléatoire ont suscité un vif intérêt au cours de ces dernières années, tant en sciences appliquées, comme moyen notamment d'affiner des modèles par une prise en compte des fluctuations de l'environnement, qu'en mathématiques, de par la multiplicité et la richesse des comportements qu'elles présentent. Cette thèse est dédiée à l'étude de divers aspects de la transience des marches aléatoires en milieu aléatoire. Elle est composée de deux parties, la première consacrée au cas des environnements de Dirichlet sur Z^d, la seconde au régime transient sous-diffusif sur Z. La loi de Dirichlet apparaît naturellement du fait de son lien avec les marches renforcées. Certaines de ses spécificités permettent de plus d'obtenir des résultats sensiblement plus précis qu'en général. On démontre ainsi tout d'abord une caractérisation de l'intégrabilité des temps de sortie de parties finies de graphes quelconques, qui permet de raffiner un critère de balisticité dans Z^d. On prouve également que les marches aléatoires en environnement de Dirichlet sont transientes directionnellement, avec probabilité positive, dès que les paramètres ne sont pas symétriques. En dimension 1, la thèse se focalise sur le rôle des vallées profondes de l'environnement, en fournissant une nouvelle preuve du théorème de Kesten-Kozlov-Spitzer dans le cas sous-diffusif basée sur l'étude fine du comportement de la marche. Outre une meilleure compréhension de l'émergence de la loi limite, cette preuve a l'avantage de fournir la valeur explicite de ses paramètres. / Random walks in random environment have raised a great interest in the last few years, both among applied scientists, notably as a way to refine models by taking fluctuations of the surrounding environment into account, and among mathematicians, because of the variety and wealth of behaviours they display. This thesis aims at the study of miscellaneous aspects of the transience of random walks in random environment. A first part is dedicated to Dirichlet environments on Z^d and a second one to the transient subdiffusive regime on Z. Random walks in Dirichlet environment arise naturally as an equivalent model for oriented-edge reinforced reinforced random walks. Its specificities also allow for sensibly sharper results than in the general case. We thus prove a characterization of the integrability of exit times out of finite subsets of arbitrary graphs, which enables us to refine a ballisticity criterion on Z^d. We also prove that these random walks are transient with positive probability as soon as the parameters are non-symmetric. In dimension 1, the thesis focuses on the role of the deep valleys of the environment. We give a new proof of Kesten-Kozlov-Spitzer theorem in the subdiffusive regime based on a fine study of the behaviour of the walk. Together with a better understanding of the origin of the limit law, this proof also provides its explicit parameters.

Nous présentons d’abord une introduction au sujet des marches aléatoires en milieux aléatoires. Nous nous penchons en particulier sur les phénomènes de ralentissement, et plus précisément sur la propriété de vieillissement qu’exhibent plusieurs de ces systèmes lorsque les paramètres sont tels qu’ils conduisent l’environnement aléatoire à produire fréquemment des « pièges », soient des structures qui retiennent la marche aléatoire dans la même région de l’environnement pour de longues durées de temps. Nous illustrons ces notions à l’aide de résultats connus pour deux modèles. Nous présentons par la suite une preuve pour une propriété de vieillissement dans le cas de la marche aléatoire biaisée sur les conductances aléatoires à queues lourdes dans la grille infinie hyper-cubique à d dimensions, qui est le sujet d’un article en attente de publication. / We first present an introduction to the topic of random walks on random environments (RWRE). In particular, we look at slow-down phenomena and, more specifically, ageing properties exhibited by multiple such systems when parameters are chosen such that the random environment frequently produces large “traps”: structures that hold up the progress of the random walk by keeping it in the same region of the environment for long periods of time. We illustrate these behaviours by presenting known results for two such models. We then present a proof for an ageing property in the case of the biased random walk on heavy-tailed random conductances in the infinite hyper-cubic lattice in d dimensions; this is the subject of a research article pending publication.

Dans cette thèse nous abordons deux problématiques différentes : la prédiction et la classification de trafic et les mécanismes d'accès dans les réseaux MANETs. Dans la première partie de la thèse, nous abordons le problème de la prédiction et la classification du trafic. Sur la base des observations du passé et sans considérer aucun modèle en particulier, nous analysons le problème de la prédiction en ligne de la charge sur un lien. Concernant la classification du trafic, nous nous concentrons principalement sur des applications P2P, et particulièrement la télévision P2P (P2P-TV). Dans les deux cas, nous employons la technique de Support Vector Machines (SVM). Les algorithmes que nous proposons fournissent des résultats très précis. De plus, ils sont robustes et leur coût est extrêmement bas. Ces propriétés font que nos solutions soient particulièrement adaptées à des applications en temps réel. Dans la deuxième partie de la thèse, nous abordons deux problèmes différents liés aux mécanismes d'accès dans les réseaux MANETs, et en particulier, nous nous concentrons sur CSMA. Nous présentons d'abord les différents modèles existants pour CSMA et nous identifions leurs principaux points faibles. Des solutions possibles sont proposées, bases sur les outils de la géométrie aléatoire. Nous abordons ensuite le problème de QoS dans CSMA et nous proposons deux mécanismes différents permettant de garantir un débit minimum pour chaque transmission admise. Le but principal étant d'identifier le meilleur mécanisme dans un scénario donné comparé au protocole CSMA.

L'objet de cette thèse est la réalisation d'algorithmes et d'outils d'aide à l'étude des propriétés de structures combinatoires particulières, les structures décomposables. Nous nous intéressons pour cela à la génération aléatoire et systématique de structures décomposables, puis à leur représentation graphique automatique. Ce travail se situe à la frontière entre calcul mathématique et visualisation. Les structures décomposables sont les structures combinatoires qu'il est possible de former récursivement en utilisant des constructeurs aux propriétés particulières. Le point de vue est similaire à celui adopté dans la théorie des espèces de structures, où l'on privilégie la description d'ensembles de structures à partir de transformations d'ensembles existants. Il est alors possible, grâce à des spécifications, de décrire une infinité d'ensembles de structures combinatoires parmi lesquels les permutations, les graphes fonctionnels, les arbres enracinés ou encore les hiérarchies. L'intérêt de cette démarche tient au fait que l'on sait résoudre des problèmes de dénombrement et de comportement asymptotique sur ces ensembles et générer aléatoirement de façon uniforme des structures de ces ensembles. Les applications concernent le calcul de complexité en moyenne d'algorithmes, et la génération de jeux de tests pour la validation expérimentale ou l'étalonnage d'algorithmes. Nous présentons dans cette thèse deux types de résultats. Les premiers concernent la génération de structures décomposables, les seconds leur représentation graphique. Nous présentons une implantation d'un algorithme classique de génération aléatoire de structures décomposables, et nous proposons des techniques permettant de générer tous les éléments d'un ensemble à partir de sa spécification. Nous proposons également un algorithme de tracé de graphes particuliers, pour lesquels il existe à la fois des relations d'adjacence et d'inclusion entre les nœœœœœoeuds. Ces graphes, que nous appelons les graphes composés, sont en effet bien adaptés à la représentation de la nature générique des structures décomposables. Ce travail est concrétisé par la réalisation de deux logiciels de tracé de structures combinatoires. Leur utilisation n'est cependant pas limitée à ce seule domaine et les apsects liés à leur application à la visualisation de graphes en général sont abordés.

Ce travail de thèse a porté sur la simulation numérique du comportement thermique et mécanique d'un combustible nucléaire à particules. Il s'agit d'un composite réfractaire constitué d'une matrice de graphite comportant 45 % en fraction volumique de particules sphériquesd'UO2 revêtues de deux couches de pyrocarbone. L'objectif était de développer une modélisationmulti-échelles de ce composite afin d'estimer son comportement moyen, ainsi que les hétérogé-néités des champs mécaniques au sein des constituants. Nous avons modélisé la microstructuredu combustible et généré des échantillons numériques en 3D. Pour cela, des outils de générationde distributions aléatoires de sphères, de maillage et de caractérisation microstructurale, tellela covariance, ont été développés dans le code de calcul Cast3M. Une centaine d'échantillonsnumériques de différentes tailles ont été réalisés. Le comportement thermo-élastique du combustiblea été caractérisé à partir de ces échantillons, à l'aide de calculs de microstructures paréléments finis. Nous avons étudié l'influence de divers paramètres de la modélisation, dont lesconditions aux limites. Nous proposons une méthode pour s'affranchir des effets des conditionsaux limites sur les résultats, appelée méthode d'érosion. Elle s'appuie sur l'analyse des résultatssur un érodé du volume élémentaire. Nous avons alors déterminé les propriétés effectives ducomposite (modules d'élasticité, conductivité thermique, dilatation thermique), ainsi que lesdistributions des champs mécaniques locaux au sein de la matrice. Enfin, nous avons proposéun modèle de changement d'échelles permettant d'obtenir, non seulement les valeurs moyennesdes variables mécaniques dans chaque phase, mais également leurs variances et covariances pourtout chargement macroscopique imposé. Cette approche statistique de changement d'échellespermet ainsi d'estimer la distribution des grandeurs mécaniques au sein de chaque phase ducomposite.

On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas des fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental en terme d'espaces fonctionnels, on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique.

.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse traite l’utilisation des agents mobiles dans le domaine des algo- rithmes distribués en les déplaçant de manière aléatoire dans le réseau. Initialement k agents mobiles ayant les identités uniques sont placés dans le réseau. On décrit un algorithme distribué pour calculer un arbre couvrant dans les réseaux dynamiques en utilisant les agents mobiles. Les agents marquent les noeuds sur les quelles ils arrivent. Ils utilisent deux techniques di?érentes : le clonage dans lequel un agent crée son propre clone pour faire quelques tâches et le marquage sur la tableau de bord (un espace mémoire sur les noeuds). Ces techniques sont utilisés dans les applications comme l’arbre couvrant, le rassemblement et la collecte d’information. Chacun des agents détient une information partielle. Quand deux ou plusieurs agents se rencontrent sur un noeud, ils fusionnent en un seul agent. On s’intéresse alors au temps nécessaire ou tous les k agents fusionnent en un seul et unique agent. On présent une chaîne de Markov pour le comportement des agents, et on montre comment on peut utiliser cette technique pour calculer la bourne supérieur. On étudie le même problème quand les agents mobile commencent la marche aléatoire sous un régime stationnaire. On a aussi étudié le problème de Handshake et on l’a analysé en utilisant les agents mobiles. / This thesis deals with the use of mobile agents in distributed algorithms by performing random walks in the network. k mobile agents having unique identities are placed initially in a network. We describe a distributed algorithm for computing spanning trees in dynamic networks by using mobile agents. The agents mark the nodes on which they arrive. They use two di?erent techniques. In one problem they use the cloning in which an agent creates its own clone to do some task assigned. In the second, the mobile agents mark on the whiteboard (a memory location on the nodes). These techniques are used in applications such as spanning tree, gathering and collecting information. The mobile agents have limited knowledge and hence, they are not intelligent and do not have computational capabilities. When two or more agents meet at a node of the underlying graph, they merge into a single agent. The parameter of interest is the expected time for all the agents to merge into a single agent. We present a Markov chain, modelling the agents behavior, and show how this can be used to upper bound the expected time for all the k agents to merge into a single agent. We study the same problem when the mobile agents start their walk directly under stationary regime. Handshake problem is also studied and analyzed using mobile agents.

La thèse porte sur l'approximation probabiliste dans un contexte fractionnaire, c'est-a-dire dans des modèles reliés d'une manière ou d'une autre au mouvement brownien fractionnaire. Le dénominateur commun de nos résultats est qu'ils proposent des conditions générales sous lesquelles une variable aléatoire de loi compliquée converge, en loi, vers une variable aléatoire de loi plus aisée. Et quand cela a été possible, nous avons aussi cherché à associer des vitesses de convergence. Les outils utilisés sont reliés a un domaine de recherche récent, appelé approche de Malliavin-Stein. En 2005, Nualart et Peccati ont découvert un théorème limite surprenant (qui porte aujourd'hui le nom de théorème du moment quatrième) pour les suites d'intégrales multiples de Wiener-Itô: pour de telles suites et après renormalisation, la convergence en loi vers la gaussienne standard se trouve être équivalente à la convergence du seul moment quatrième. Peu de temps après la publication de ce joli résultat, Peccati et Tudor l'ont étendu au cadre multivarié. Et, depuis, de nombreuses améliorations et nouveaux développements sont apparus dans la littérature, notamment un article de Nourdin et Peccati qui, pour la première fois, a combiné la méthode de Stein avec le calcul de Malliavin, offrant ainsi un cadre dans lequel il est maintenant possible d'associer une vitesse de convergence au théorème du moment quatrième. Nous nous intéressons dans cette thèse à la distance en variation totale entre les lois de deux intégrales doubles de Wiener-Itô. Nous améliorons des résultats antérieurs dus à Davydov et Martinova . Puis on étudie le comportement asymptotique des variations croisées d'un processus bidimensionnel ayant la forme d'une intégrale de Young. Finalement, on établit la convergence multivariée de certains processus de Volterra construits à partir du mouvement brownien fractionnaire. / The thesis deals with the probabilistic approximation in a fractional context, which means in models connected in one way or another to the fractional Brownian motion. The common denominator of our results is that they offer general conditions under which a random variable having a complicated law converges in law to a random variable with easier law. And when this was possible, we have also associated convergence rates. The tools are linked to a recent research field, called Malliavin-Stein approach. In 2005, Nualart and Peccati have discovered a surprising limit theorem (known as the fourth moment theorem) for series of multiple Wiener-Itô integrals: for such series and after renormalization, convergence in distribution to standard Gaussian happens to be equivalent to the convergence of the fourth moment only. Shortly after the publication of this nice result, Peccati and Tudor have extended it to the multivariate case. And since many improvements and new developments have appeared in the literature, including an article by Nourdin and Peccati which for the first time combined the method of Stein with the Malliavin calculus, providing a framework in which it is now possible to associate a rate of convergence to the fourth moment theorem. We focus in this thesis on the total variation distance between the laws of two double Wiener-Itô integrals. We improve a previous result of Davydov and Martinova. Then we study the asymptotic behavior of a two-dimensional cross-variation process that has the form of a Young integral. Finally, a multivariate convergence is established of some Volterra processes built from the fractional Brownian motion.