Dans cette thèse nous abordons deux problématiques différentes : la prédiction et la classification de trafic et les mécanismes d'accès dans les réseaux MANETs. Dans la première partie de la thèse, nous abordons le problème de la prédiction et la classification du trafic. Sur la base des observations du passé et sans considérer aucun modèle en particulier, nous analysons le problème de la prédiction en ligne de la charge sur un lien. Concernant la classification du trafic, nous nous concentrons principalement sur des applications P2P, et particulièrement la télévision P2P (P2P-TV). Dans les deux cas, nous employons la technique de Support Vector Machines (SVM). Les algorithmes que nous proposons fournissent des résultats très précis. De plus, ils sont robustes et leur coût est extrêmement bas. Ces propriétés font que nos solutions soient particulièrement adaptées à des applications en temps réel. Dans la deuxième partie de la thèse, nous abordons deux problèmes différents liés aux mécanismes d'accès dans les réseaux MANETs, et en particulier, nous nous concentrons sur CSMA. Nous présentons d'abord les différents modèles existants pour CSMA et nous identifions leurs principaux points faibles. Des solutions possibles sont proposées, bases sur les outils de la géométrie aléatoire. Nous abordons ensuite le problème de QoS dans CSMA et nous proposons deux mécanismes différents permettant de garantir un débit minimum pour chaque transmission admise. Le but principal étant d'identifier le meilleur mécanisme dans un scénario donné comparé au protocole CSMA.

Les cartes sont des objets combinatoires apparaissant en physique comme discrétisation naturelle des surfaces aléatoires employées pour la gravité quantique bidimensionnelle ou la théorie des cordes, ainsi que dans les modèles de matrices. Après rappel de ces relations, nous établissons des correspondances entre diverses classes de cartes et d'arbres, autres objets combinatoires de structure simple. Un premier intérêt mathématique de ces constructions est de donner des preuves bijectives, élémentaires et rigoureuses, de plusieurs résultats d'énumération de cartes. Par ailleurs, nous accédons ainsi à une information fine sur la géométrie intrinsèque des cartes, conduisant à des résultats analytiques exacts grâce à une propriété inattendue d'intégrabilité. Nous abordons enfin la question de l'existence d'une limite continue universelle.

Depuis l'émergence des techniques d'imagerie, IRM, tomographie, il est maintenant possible d'observer directement l'organisation géométrique de systèmes tels l'os, le ciment, le papier, le verre, les roches. Comme les propriétés physiques et mécaniques dépendent de l'organisation géométrique, il existe un intérêt scientifique et industriel de comprendre et de définir cette relation de dépendance à l'aide de ces techniques d'imagerie. S'inscrivant dans ce contexte, le but de cette thèse est de développer un ensemble d'outils numériques pour l'analyse d'image de la géométrie d'un matériau, puis d'appliquer ces outils dans l'étude de l'évolution de la porosité de la pâte de ciment. En première partie, nous présentons les deux techniques d'imageries sélectionnées, la microscopie électronique à balayage et la tomographie par synchrotron, pour l'analyse de la pâte de ciment et le protocole expérimental pour la préparation des échantillons. En deuxième partie, nous proposons une méthodologie générique, efficace et simple de segmentation. La segmentation est la transformation de l'image en niveaux de gris en une image labellisée où chaque label représente une phase du matériau. L'implémentation de l'ensemble des algorithmes optimisés associés à cette méthodologie est rendue possible grâce à la conceptualisation théorique de la croissance de régions. En dernière partie, nous quantifions statistiquement la morphologie et la topologie de la géométrie du matériau. Puis, nous décomposons une phase en éléments élémentaires suivant deux conventions: l'une morphologique, l'autre topologique. Enfin, nous utilisons l'information stéréologique estimée sur une coupe 2D pour reconstruire un modèle 3D à l'aide de l'algorithme optimisé du recuit simulé. Une validation de la reconstruction 3D est effectuée par un suivi des propriétés de transport diffusif.

Les modèles de tenseurs sont des mesures de probabilité sur des espaces de tenseurs aléatoires. Ils généralisent les modèles de matrices et furent développés pour l’étude de la géométrie aléatoire en dimension arbitraire. De plus, ils sont fortement liés aux théories de gravité quantique car, en plus des modèles standards très simples, ils incluent les théories de champs sur groupes, qui constituent l’approche « intégrale fonctionnelle » de la gravité quantique à boucle. Dans cette thèse, nous étudions le cas restreint des modèles tensoriels quartiques, pour lesquels un plus grand nombre de résultats mathématiques rigoureux ont pu être démontrés. Grâce à la transformation de champ intermédiaire, les modèles quartiques peuvent être ré-écrits sous forme de modèles de matrices multiples, et leurs développements perturbatifs peuvent être indexés par des cartes combinatoires. En utilisant divers développement en cartes, nous démontrons d’importants résultats d’analycité ainsi que des bornes pour les cumulants du modèle tensoriel standard le plus général et de rang arbitraire, ainsi que du plus simple modèle renormalisable de rang 3. Ensuite, nous introduisons une nouvelle famille de modèles, les modèles améliorés, dont le développement perturbatif se comporte de manière nouvelle, différente du comportement « melonique » qui caractérise les modèles tensoriels précédemment étudiés. / Tensor models are probability measures for random tensors. They generalise matrix models and were developed to study random geometry in arbitrary dimension. Moreover, they are strongly connected to quantum gravity theories as, additionally to the standard bare-bones models, they encompass the field theoretical approach to loop quantum gravity known as group field theory.In the present thesis, we focus on the restricted case of quartic tensor models, for which a far greater number of rigorous mathematical results have been proven. Quartic models can be re-written as multi-matrix models using the intermediate field representation, and their perturbative expansions can be written as series expansions over combinatorial maps. Using a variety of map expansions, we prove analyticity results and useful bounds for the cumulants of various tensor models : the most general standard quartic model at any rank and the simplest renormalisable tensor field theory at rank 3. Then, we introduce a new class of models, the enhanced models, which perturbative expansions display new behaviour, different to the so called melonic behaviour that characterise most known tensor models so far.

Dans ce travail de thèse, nous étudions les fluctuations macroscopiques dans un modèle de boules aléatoires. Un modèle de boules aléatoires est une agrégation de boules dans Rd dont les centres et les rayons sont aléatoires. On marque également chaque boule par un poids aléatoire. On considère la masse M induite par le système de boules pondérées sur une configuration μ de Rd. Pour réaliser l’étude macroscopique des fluctuations de M, on réalise un "dézoom" sur la configuration de boules. Mathématiquement cela revient à diminuer le rayon moyen tout en augmentant le nombre moyen de centres par unité de volume. La question a déjà été étudiée lorsque les composantes des triplets (centre, rayon, poids) sont indépen- dantes et que ces triplets sont engendrés selon un processus ponctuel de Poisson sur Rd × R+ × R. On observe alors trois comportements distincts selon le rapport de force entre la vitesse de diminution des rayons et la vitesse d’augmentation de la densité des boules. Nous proposons de généraliser ces résultats dans trois directions distinctes. La première partie de ce travail de thèse consiste à introduire de la dépendance entre les centres et les rayons et de l’inhomogénéité dans la répartition des centres. Dans le modèle que nous proposons, le comportement stochastique des rayons dépend de l’emplacement de la boule. Dans les travaux précédents, les convergences obtenues pour les fluctuations de M sont au mieux des convergences fonctionnelles en dimension finie. Nous obtenons, dans la deuxième partie de ce travail, de la convergence fonctionnelle sur un ensemble de configurations μ de dimension infinie. Dans une troisième et dernière partie, nous étudions un modèle de boules aléatoires (non pondérées) sur C dont les couples (centre, rayon) sont engendrés par un processus ponctuel déterminantal. Contrairement au processus ponctuel de Poisson, le processus ponctuel déterminantal présente des phénomènes de répulsion entre ses points ce qui permet de modéliser davantage de problèmes physiques. / In this thesis, we study the macroscopic fluctuations in random balls models. A random balls model is an aggregation of balls in Rd whose centers and radii are random. We also mark each balls with a random weight. We consider the mass M induced by the system of weighted balls on a configuration μ of Rd. In order to investigate the macroscopic fluctuations of M, we realize a zoom-out on the configuration of balls. Mathematically, we reduce the mean radius while increasing the mean number of centers by volume unit. The question has already been studied when the centers, the radii and the weights are independent and the triplets (center, radius, weight) are generated according to a Poisson point process on Rd ×R+ ×R. Then, we observe three different behaviors depending on the comparison between the speed of the decreasing of the radii and the speed of the increasing of the density of centers. We propose to generalize these results in three different directions. The first part of this thesis consists in introducing dependence between the radii and the centers and inhomogeneity in the distribution of the centers. In the model we propose, the stochastic behavior of the radii depends on the location of the ball. In the previous works, the convergences obtained for the fluctuations of M are at best functional convergences in finite dimension. In the second part of this work, we obtain functional convergence on an infinite dimensional set of configurations μ. In the third and last part, we study a random balls model (non-weighted) on C where the couples (center, radius) are generated according to determinantal point process. Unlike to the Poisson point process, the determinantal point process exhibits repulsion phenomena between its points which allows us to model more physical problems.

Cette thèse présente un certain nombre d'outils permettant d'approfondir notre compréhension de la physique sous-jacente de théories des champs appelées GFTs (Group Field Theories). Ces théories trouvent leur origines dans différentes voies de recherches en gravité quantique, en particulier les mousses de spin et les tenseurs aléatoires, et on une interprétation de modèles d'espace-temps quantique, ou "pré-géométrique", les amplitudes de Feynman étant indexées par des triangulations. La compréhension du passage entre cette vision "discrète" et notre espace-temps continue reste le grand défi de ces théories, défi pour lequel la renormalisation, la construction de théories effectives, la recherche de point fixes et de transitions de phases s'avère primordiale, et c'est dans le but de comprendre les outils nécessaires à cette description que cette thèse a vu le jour. Nous nous attacherons dans un premier temps à donner une description concise de la renormalisation perturbative, et à l'établissement d'un système d'équations fermées décrivant exactement l'ordre dominant de la théorie. Dans un second temps, nous détaillerons la mise en application de méthodes non-perturbative. Le groupe de renormalisation fonctionnel en premier lieu, permettra de donner une première description non-perturbative de ces théories, et de voir apparaître certain points fixes non-triviaux. Une approche constructive enfin, discutée sur deux modèles, ouvre la voie vers un programme visant à donner une définition rigoureuse de ces théories dans un régime non-perturbatif. / This thesis presents a number of tools to deepen our understanding of the underlying physics theories called fields GFTs (Group Field Theories). These theories found their origins in different approaches of quantum gravity, in particular spin foams and random tensors, and are interpreted as quantum space-time or "pre-geometric" models, the amplitudes of Feynman being indexed by triangulations. The understanding of the passage between this "discrete" vision to our continuous space-time remains the great challenge of these theories, for which renormalization, effective theories, research of fixed points and phase transitions proves paramount, and it is the aim of this thesis to understand the tools required for this description. In a first time, we will focus to give a concise description of the perturbative renormalization, and the establishment of a closed system of equations describing exactly the leading order of the theory. Secondly, we will detail the implementation of nonperturbative methods. The functional renormalization group in the first place, providing a first non-perturbative description of these theories, and some nontrivial fixed points. Finally, a constructive approach discussed on two models open the way to a rigorous definition of these theories beyond the perturbative level.

Une mosaïque de Poisson-Voronoï est une partition aléatoire de l'espace euclidien en polyèdres, appelés cellules, obtenue à partir d'un ensemble aléatoire discret de points appelés germes. A chaque germe correspond une cellule, qui est l'ensemble des points de l'espace qui sont plus proches de ce germes que des autres germes. Ces modèles sont souvent utilisées dans divers domaines tels que la biologie, les télécommunications, l'astronomie, etc. Les caractéristiques de ces mosaïques et des cellules associées ont été largement étudiées dans l'espace euclidien mais les travaux sur les mosaïques de Voronoï dans un cadre non-euclidien sont rares.Dans cette thèse, on étend la définition de mosaïque de Voronoï à une variétériemannienne de dimension finie et on s'intéresse aux caractéristiques des cellules associées. Plus précisément, on mesure dans un premier temps l'influence que peut avoir la géométrie locale de la variété, c'est-à-dire les courbures sur les caractéristiques moyennes d'une cellule, comme son volume ou son nombre de sommets, en calculant des développements asymptotiques des ces caractéristiques moyennes à grande intensité. Dans un deuxième temps, on s'interroge sur la possibilité de retrouver la géométrie locale de la variété à partir des caractéristiques combinatoires de la mosaïque sur la variété. En particulier, on établit desthéorèmes limites, quand l'intensité du processus des germes tend vers l'infini, pour le nombre de sommets de la mosaïque dans une fenêtre, ce qui permet de construire un estimateur de la courbure et d'en donner quelques propriétés.Les principaux résultats de cette thèse reposent sur la combinaison de méthodesprobabilistes et de techniques issues de la géométrie différentielle. / A Poisson-Voronoi tessellation is a random partition of the Euclidean space intopolytopes, called cells, obtained from a discrete set of points called germs. To each germ corresponds a cell which is the set of the points of the space which are closer to this germ than to the other germs. These models are often used in several domains such as biology, telecommunication, astronomy, etc. The caracteristics of these tessellations and cells have been widely studied in the Euclidean space but only a few works concerns non-Euclidean Voronoi tessellation. In this thesis, we extend the definition of Poisson-Voronoi tessellation to a Riemannian manifold with finite dimension and we study the caracteristics of the associated cells. More precisely, we first measure the influence of the local geometry of the manifold, namely the curvatures, on the caracteristics of the cells, e.g. the mean volume or the mean number of vertices. Second, we aim to recover the local geometry of the manifold from the combinatorial properties of the tessellation on the manifolds. In particular, we establish limit theorems for the number of vertices of the tessellation, when the intensity of the process of the germs tends to infinity. This leads to the construction of an estimator of the curvature of the manifold and makes it possible to derive some properties of it. The main results of this thesis relies on the combination of stochastic methods and techniques from the differential geometry theory.

Cette thèse porte sur plusieurs technologies de déchargement cellulaire pour les futurs réseaux sans fil avec l’amélioration envisagée sur la efficacité spatiale du spectre et l’efficacité énergétique. Notre recherche concerne deux directions principales, y compris la communication D2D underlaid dans les réseaux cellulaires et le caching proactif au bord de réseau.La première partie de cette thèse contient deux chapitres qui présentent nos résultats de recherche sur les réseaux cellulaire avec D2D underlaid. Notre recherche se focalise sur l’accès opportuniste distribué, dont la performance en termes du débit D2D est optimisé dans deux scénarios: 1) en supposant que l’utilisateur cellulaire avec un trafic saturé peut avoir une probabilité de couverture minimale; 2) en supposant que le trafic discontinu à l’utilisateur cellulaire, dont le délai moyen doit être maintenue au-dessous d’un certain seuil. La deuxième partie de cette thèse se focalise sur les méthodes de caching proactif au bord de réseau, y compris le caching aux petites cellules et aux appareils des utilisateurs. Tout d’abord, nous étudions le placement de contenu probabiliste dans différents types de réseaux et avec différents objectifs d’optimisation. Deuxièmement, pour le caching aux petites cellules, nous proposons un schéma coopérative parmi les petites stations de base, qui exploite le gain combiné du caching coopérative et les techniques de multipoint coordonnée. Les modèles de processus ponctuel nous permet de créer la connexion entre la diversité de transmission en couche PHY et la diversité de contenus stockés. / This thesis focuses on several emerging technologies towards future wireless networks with envisaged improvement on the area spectral efficiency and energy efficiency. The related research involves two major directions, including deviceto- device (D2D) communication underlaid cellular networks and proactive caching at network edge. The first part of this thesis starts with introducing D2D underlaid cellular network model and distributed access control methods for D2D users that reuse licensed cellular uplink spectrum. We aim at optimize the throughput of D2D network in the following two scenarios: 1) assuming always backlogged cellular users with coverage probability constraint, 2) assuming bursty packet arrivals at the cellular user, whose average delay must be kept below a certain threshold. The second part of this thesis focuses on proactive caching methods at network edge, including at small base stations (SBSs) and user devices. First, we study and compare the performance of probabilistic content placement in different types of wireless caching networks and with different optimization objectives. Second, we propose a cooperative caching and transmission strategy in a cluster-centric small cell networks (SCNs), which exploits the combined gain of cache-level cooperation and CoMP technique. Using spatial models from stochastic geometry, we build the connection between PHY transmission diversity and the content diversity in local caches.

La quantification et la propagation des incertitudes dans les modèles physiques apparaissent comme des voies essentielles vers l'amélioration de la prédiction de leur réponse. Le développement d'outils de modélisation des incertitudes et d'estimation de leur impact sur la réponse d'un modèle a constitué un axe de recherche privilégié dans de nombreux domaines scientifiques. Cette dernière décennie, un intérêt croissant a été porté à des méthodes numériques basées sur une vision fonctionnelle des incertitudes. Ces méthodes, couramment baptisées ``méthodes spectrales stochastiques'', sont issues d'un mariage fructueux de l'analyse fonctionnelle et de la théorie des probabilités.<br /><br />Reposant sur des bases mathématiques fortes, les méthodes spectrales de type Galerkin semblent constituer une voie prometteuse pour l'obtention de prédictions numériques fiables de la réponse de modèles régis par des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Plusieurs inconvénients freinent cependant l'utilisation de ces techniques et leur transfert vers des applications de grande taille : le temps de calcul, les capacités de stockage mémoire requises et le caractère ``intrusif'', nécessitant une bonne connaissance des équations régissant le modèle et l'élaboration de solveurs spécifiques à une classe de problèmes donnée. Un premier volet de mes travaux de recherche a consisté à proposer une stratégie de résolution alternative tentant de lever ces inconvénients. L'approche proposée, baptisée méthode de décomposition spectrale généralisée, s'apparente à une technique de réduction de modèle a priori. Elle consiste à rechercher une décomposition spectrale optimale de la solution sur une base réduite de fonctions, sans connaître la solution a priori. <br /><br />Un deuxième volet de mes activités a porté sur le développement d'une méthode de résolution d'EDPS pour le cas où l'aléa porte sur la géométrie. Dans le cadre des approches spectrales stochastiques, le traitement d'aléa sur l'opérateur et le second membre est en effet un aspect aujourd'hui bien maîtrisé. Par contre, le traitement de géométrie aléatoire reste un point encore très peu abordé mais qui peut susciter un intérêt majeur dans de nombreuses applications. Mes travaux ont consisté à proposer une extension de la méthode éléments finis étendus (X-FEM) au cadre stochastique. L'avantage principal de cette approche est qu'elle permet de traiter le cas de géométries aléatoires complexes, tout en évitant les problèmes liés au maillage et à la construction d'espaces d'approximation conformes.<br /><br />Ces deux premiers volets ne concernent que l'étape de prédiction numérique, ou de propagation des incertitudes. Mes activités de recherche apportent également quelques contributions à l'étape amont de quantification des incertitudes à partir de mesures ou d'observations. Elles s'insèrent dans le cadre de récentes techniques de représentation fonctionnelle des incertitudes. Mes contributions ont notamment porté sur le développement d'algorithmes efficaces pour le calcul de ces représentations. En particulier, ces travaux ont permis la mise au point d'une méthode d'identification de géométrie aléatoire à partir d'images, fournissant une description des aléas géométriques adaptée à la simulation numérique. Une autre contribution porte sur l'identification de lois multi-modales par une technique de représentation fonctionnelle adaptée.