Ce mémoire étudie la polynomialité de l'algèbre des invariants de l'algèbre des fonctions polynomiales sur le dual d'une certaine algèbre de Lie, lorsque cette dernière est la troncation canonique d'une sous-algèbre biparabolique d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.

Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.

Dans cette thèse, nous décrivons explicitement la structure multiplicative et la structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension finie. Dans un premier temps, nous introduisons une structure multiplicative de la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons explicitement qu’il existe un isomorphisme d’algèbres graduées commutatives entre l’algèbre de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du produit cup et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Dans un deuxième temps, nous introduisons une structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons qu’il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie graduées entre l’algèbre de Lie de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du crochet de Gerstenhaber et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Enfin, nous décrivons complètement le crochet de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension _ 3. / In this thesis, we explicitly describe the multiplicative structure and the graded Lie algebra structure of the cohomology of finite-dimensional Lie algebras. In a first step, we introduce a multiplicative structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we explicitly show that there exists an isomorphism of commutative graded algebras between the Hochschild cohomology algebra of the enveloping algebra provided with the cup product and the cohomology algebra of the Lie algebra. In a second step, we introduce a graded Lie algebra structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we show that there exists an isomorphism of graded Lie algebras between the Hochschild cohomology Lie algebra of the enveloping algebra provided with the Gerstenhaber bracket and the cohomology algebra of the Lie algebra. Finally, we describe completely the Gerstenhaber bracket on the Hochschild cohomology of the enveloping algebra of a Lie algebra for dimension _ 3.

L'anneau $\Diff(n)$ des opérateurs différentiels $\h$-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels $\h$-déformés de type $\gl$. Contrairement aux espaces vectoriels $q$-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique \`a isomorphisme pr\`es, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels $\h$-déformés $\Diffs(n)$ est indexée par une fonction rationnelle $\sigma$ en $n$ variables, solution d'un syst\`eme d\'eg\'en\'er\'e d'\'equations aux diff\'erences finies. Nous obtenons la solution g\'en\'erale de ce syst\`eme. Nous montrons que le centre de $\Diffs(n)$ est un anneau des polynômes en $n$ variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau $\Diffs(n)$ et de l’algèbre de Weyl $\text{W}_n$ l’étendue par $n$ indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de $\Diffs(n)$. Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau $\Diff(n,N)$ correspondant \`a $N$ copies de $\Diff(n)$. / The ring $\Diff(n)$ of $\h$-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the $\h$-deformed vector spaces of $\gl$-type. In contrast to the $q$-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of $\h$-deformed differential operators $\Diffs(n)$ is labeled by a rational function $\sigma$ in $n$ variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of $\Diffs(n)$ is a ring of polynomials in $n$ variables. We construct an isomorphism between certain localizations of $\Diffs(n)$ and the Weyl algebra $\W_n$ extended by $n$ indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional $\Diffs(n)$-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring $\Diff(n, N)$ formed by several copies of $\Diff(n)$.