L'objet principal de ce mémoire est l'étude du jeu de taquin du point de vue de la combinatoire algébrique. Il s'appuie sur l'article de Mark Haiman « Dual equivalence with a conjecture of Proctor », Discrete Mathematics, 99, 1992 79-113. Dans cet article, Haiman étudie, entre autres, le jeu de taquin de Schützenberger, avec des preuves différentes de celle de Schützenberger; les preuves de Haiman se font uniquement en termes de jeu de taquin. Nous expliquerons la preuve des deux théorèmes fondamentaux du jeu de taquin dus à Schützenberger. Le premier théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.3) affirme que le redressé par jeu de taquin d'un tableau gauche quelconque ne dépend que de ce tableau, et pas de la suite de glissements choisis. C'est un théorème de confluence en somme. La preuve de Haiman utilise, d'une part, la notion d'équivalence duale des tableaux gauches, qu'il a défini. Il prouve entre autres que tous les tableaux de forme normale sont dualement équivalents (Corollaire 2.2.1). Il démontre aussi que l'équivalence duale des tableaux gauches se ramène à une suite d'équivalences duales élémentaires, c'est-à-dire d'équivalences duales de sous-tableaux à trois cases, appelés « miniatures » (Théorème 2.2.1). D'autre part, il utilise la notion de jeu de taquin « piloté » : les glissements du tableau sont déterminés par un autre tableau. Ceci permet à Haiman de démontrer un très beau résultat de dualité (Lemme 2.3.1) : les cases laissées vacantes dans le tableau T, lors d'un jeu de taquin piloté par le tableau S, déterminent un tableau, lequel est égal au tableau obtenu à partir de S par jeu de taquin piloté par T. Le second théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.6) affirme que le nombre de tableaux gauches de forme λ qui se redressent par jeu de taquin en un tableau normal T fixé, ne dépend que de la forme gauche λ et de la forme du tableau T (c'est ce qui permet à Lascoux et Schützenberger de donner la première preuve complète de la règle de Littlewood-Richardson). Notamment, le lien entre le jeu de taquin et l'algorithme de Robinson-Schensted est clairement établi : le jeu de taquin permet de simuler cet algorithme (Proposition 3.0.1) et l'équivalence des tableaux par jeu de taquin se ramène à l'égalité des tableaux d'insertion de Schensted de leur permutation ligne-à-ligne (Corollaire 4.0.5), alors que l'équivalence duale se ramène à l'égalité des tableaux d'indexation (Théorème 3.0.2). ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : jeu de taquin, Schützenberger, Haiman, équivalence duale, tableaux, algorithme de Robinson-Schensted.

Les machines logiques prennent dans la vie moderne une place de plus en plus importante. Leur diversité s'étend du simple interrupteur aux calculateurs numériques en passant par l'ascenseur, la machine à laver...Longtemps ignorée l'algèbre de Boole est à l'origine de cette expension et demeure l'instrument de base pour aborder l'étude de ces machines. Après quelques rappels sur cette algèbre et les systèmes logiques qui, nous le verrons, peuvent se décrire par un ensemble de fonctions combinatoires, nous nous proposons dans ce qui suit de montrer comment les matrices booléennes peuvent être utilisées en vue de la réalisation de ces fonctions à partir d'un élément logique particulier que nous étudierons.

En théorie des singularités, il est important de mieux comprendre la topologie des déformations des paramétrisations des singularités de courbes planes réelles, en particulier celles dont les fibres génériques sont des partages: des immersions d'intervalles dans lesquelles toutes les intersections sont transverses. Cette topologie est encore bien mystérieuse: on ne sait décrire ni les partages, ni les singularités que l'on peut obtenir lors de telles déformations. De plus, on ne connaît que deux méthodes pour fabriquer de tels partages, dues à A'Campo et Gusein-Zade. Dans ma thèse j'ai réussi à décrire avec précision un partage de A'Campo canonique associé à tout type topologique de singularité de courbe plane. Dans le cas où la singularité est irréductible, je retrouve ainsi la description donnée par Schulze-Robbecke en 1976. J'ai aussi décrit les multigermes des singularités des courbes génériques obtenues en appliquant partiellement l'algorithme de A'Campo. Et ceci pour toutes les déformations partielles possibles. Enfin, j'ai étudié de manière très détaillée la topologie des espaces totaux des résolutions plongées des singularités de courbes planes réelles, en donnant une version réelle de l'approche classique via des graphes de plombage, utilisée dans le cas complexe. Tout au long de la thèse, j'ai utilisé de manière essentielle un codage récent du type topologique de la singularité initiale, son lotus, introduit par Popescu-Pampu. Mon travail met ainsi en évidence le fait que dans l'étude des déformations, le lotus est un outil particulièrement bien adapté. / In singularity theory, it is important to understand better the topology of the deformations of the parametrizations of plane curve singularities, particularly those whose fibres are divides: embeddings of intervals such that all intersections are transverse. This topology is still mysterious: one does not know descriptions either of the divides or of the singularities which appear in such deformations. Moreover, one knows only two algorithms whose results are divides, introduced by A'Campo and Gusein-Zade.In my thesis I described a canonical A'Campo divide associated to every topological type of plane curve singularities. In the case where the singularity is irreducible, I rediscovered the description given by Schulze-Robbecke in 1976. I've also described the multi-germ of singularities of curves obtained by partially applying A'Campo's algorithm. And this for every possible partial deformation. In the end, I studied in a detailed way the topology of the embedded resolution spaces of real plane curve singularities. All along my thesis I used in an essential way a recent encoding of the topological type of the initial singularity, its lotus, introduced by Popescu-Pampu. Therefore my work shows that the lotus is a particularly well adapted tool for the understanding of deformations.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les résultats présentés sont centrés sur la géométrie et la topologie des variétés algébriques réelles. Une grande partie est consacrée aux surfaces (variétés de dimension 2). On présente aussi un nouveau programme portant sur les variétés de dimension 3. Les résultats choisis sont repartis en trois axes :<br /><br />1. Cycles algébriques sur les surfaces.<br />2. Topologie des variétés algébriques réelles.<br />3. Approximation des applications lisses par des applications régulières.<br /><br />1. On s'intéresse au groupe des classes d'homologie représentables par des courbes algébriques réelles. Ce groupe est un invariant géométrique qui joue un rôle important notamment dans des questions d'approximation. Dans une série d'articles, dont l'un avec J. van Hamel, on conclut la classification des surfaces totalement algébriques parmi les surfaces de type spécial.<br /><br />2. L'étude systématique de la topologie des variétés algébriques réelles a été initiée en 1900 par D. Hilbert dans le XVIème problème de sa fameuse liste. Le résultat le plus marquant est ici la preuve, avec J. Huisman, d'une conjecture de J. Kollár :<br />Toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe d'une variété uniréglée réelle de dimension 3.<br />Il s'agit d'un pas important dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3.<br /><br />3. Soient deux variétés algébriques réelles non singulières X et Y, X compacte, on cherche à savoir dans quels cas l'ensemble des applications régulières R(X,Y) est dense dans l'ensemble des applications lisses C(X,Y) (cf. Th. de Stone-Weierstrass lorsque Y = R).<br />Ici Y est la sphère usuelle. Dans une série de deux articles, dont l'un avec N. Joglar, on a terminé le cas où X est une surface de dimension de Kodaira strictement négative : si X est homéomorphe à un tore, les seules applications approximables sont homotopiquement triviales, dans tous les autres cas où X est connexe, on a densité.<br />De façon plutôt surprenante, on montre qu'il existe un unique cas rationnel intermédiaire entre trivialité et densité qui est une surface de Del Pezzo réelle de degré 2 possédant quatre composantes connexes.

Les courbes sur une variété sont apparues ces vingt dernières années comme un outil très efficace pour étudier les propriétés géométriques de la variété. On donne, dans ce texte de synthèse, quelques exemples de problèmes abordés de ce point de vue.

Dans cette thèse, nous utilisons une forme trilinéaire invariante sur une algèbre de Lie simple pour décrire les nappes sous-régulières de l'algèbre de Lie de type G2, et les équations de la compactification magnifique minimale décrite par De Concini et Porcesi lorsque le rang de celle-ci est égale au rang de l'algèbre de Lie. Nous terminons par des exemples en rang 2.

Soit f:K^n-->K^p une application semi-algébrique de classe C^2 pour K=R, ou une application polynomiale pour K=C. Il est bien connu que f est une fibration localement triviale sur le complémentaire des valeurs de bifurcation B(f). Dans ce travail nous considérons la t-régularité et la rho-régularité dans l'étude de B(f). Nous démontrons que t-régularité est équivalent aux conditions de Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro, Simon (2000) et Jelonek (2003). On démontre que t-régularité implique rho-régularité. Avec la rho-régularité, on démontre un théorème de structure pour l'ensemble des valeurs non rho-régulières S(f). On démontre aussi que B(f) est inclus dans A_{rho}, où A_{rho} est l'union de f(Sing f) et S(f). Nous étudions aussi deux classes d'applications: les applications fair et les applications Newton non-dégénérées. Pour les fair, on obtient une interprétation de la t-régularité en termes de la clôture intégrale des modules, ce que étende le résultat de Gaffney (1999). Pour les Newton non dégénérées, nous obtenons une approximation de B(f), ce qui étende le résultat de Némethi et Zaharia (1990) et celui de Chen et Tibar (2012). Dans la dernière partie, on discute quelques conséquences:1).la t-régularité pour f:X --> K^p, où X est une variété lisse; 2).le problème de bijectivité des applications; 3).une formule pour calculer la caractéristique d'Euler des fibres régulières de f: R^n-->R^{n-1}. Les résultats présentés brièvement ci-dessus généralisent aussi certains résultats de Némethi et Zaharia (1990), Siersma et Tibar (1995), Paunescu et Zaharia (1997), Parusinski (1995) et Tibar (1998). / Let f:K^n-->K^p be a C^2 semi-algebraic mapping for K=R and a polynomial mapping for K=C. It is well-known that f is a locally trivial topological fibration over the complement of the bifurcation set B(f). In this work, we consider the t-regularity and rho-regularity to study B(f). We show that t-regularity is equivalent to regularity conditions of Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro, Simon (2000) and Jelonek (2003). We prove that t-regularity implies rho-regularity. From rho-regularity, we define the set of non rho-regular values S(f), and the set A_{rho}, which is the union of f(Sing f) and S(f). We prove a structure theorem for S(f) and A_{rho}. We also obtain that B(f) is contained in A_{rho}. We study also two classes of maps, the fair maps and the Newton non-degenerate maps. For fair maps, we give an interpretation of t-regularity in terms of integral closure of modules, which is a real counterpart of Gaffney's result (1999). For non-degenerate maps, we obtain an approximation for B(f) through a set which depends on the Newton polyhedron of f (results like this have been obtained by Némethi and Zaharia (1990) and by Chen and Tibar (2012)). To finish, we discuss some consequences of our work: the t-regularity for maps f: X-->K^p, where X is a smooth affine variety; the problem of bijectivity of semi-algebraic maps; and a formula to compute the Euler characteristic of regular fibers of f:R^n-->R^{n-1}. The above results are also extensions of some results obtained, for polynomial functions f:K^n-->K, by Némethi and Zaharia (1990), Siersma and Tibar (1995), Paunescu and Zaharia (1997), Parusinski (1995) and Tibar (1998).

Cette thèse étudie, du point de vue de la théorie d'Iwasawa cyclotomique, certains motifs d'Artin non-critiques (au sens de Deligne), et en particulier, ceux attachés à une forme modulaire classique de poids un et p-régulière. Nous définissons dans un premier temps un groupe de Selmer, dont on montre qu'il est de torsion sur l'algèbre d'Iwasawa correspondante. On calcule ensuite le terme constant de sa série caractéristique en termes de logarithmes p-adiques d'unités globales, sous de faibles hypothèses. On met aussi en évidence l'existence d'un phénomène de "zéros triviaux" à la Mazur-Tate-Teitelbaum. Dans un deuxième temps, on construit une fonction L p-adique par déformation en utilisant la théorie des familles de Hida. Pour finir, on formule une Conjecture Principale d'Iwasawa pour de tels motifs d'Artin. On montre qu'elle découle de la Conjecture Principale d'Iwasawa pour les formes modulaires ordinaires de poids supérieur ou égal à 2, et on en montre inconditionnellement une divisibilité. / This thesis studies from the viewpoint of cyclotomic Iwasawa theory certain non-critical Artin motives (in the sense of Deligne), and in particular those attached to classical weight one modular forms that are regular at p. Firstly we define a Selmer group, and show that it is torsion on the corresponding Iwasawa algebra. We then compute the constant term of its caracteristic series in terms of p-adic logarithms of global units, under some mild assumptions. We also highlight a phenomenon of trivial zeros à la Mazur-Tate-Teitelbaum. Secondly we construct a p-adic L-function by deformation by means of Hida theory. Finally we formulate a Iwasawa Main Conjecture for such Artin motives. We show that it follows from the Iwasawa Main Conjecture for ordinary modular forms of weight greater than or equal to 2, and we inconditionally prove one divisibility of our Conjecture.

Le théorème de h-cobordisme est bien connu en topologie différentielle et PL. Il a été démontré par Stephen Smale et avec comme conséquence la preuve de la conjecture de Poincaré en dimension supérieure à 4. Une généralisation pour les h-cobordismes possiblement non simplement connexe est appelée théorème de s-cobordisme. Dans cette thèse, nous démontrons les versions semi-algébrique et Nash de ces théorèmes. C'est à dire, avec des données semi-algébriques ou Nash, nous obtenons un homéomorphisme semi-algébrique (respectivement un difféomorphisme Nash). Les principaux outils intervenant sont la triangulation semi-algébrique et les approximations Nash. Un aspect de la nature algébrique des objets semi-algébriques et Nash est qu'on peut mesurer leurs complexités. Nous montrons les théorèmes de h et s-cobordisme avec borne uniforme sur la complexité de l'homéomorphisme semi-algébrique (difféomorphisme Nash) voulu, en fonction de complexité des données du cobordisme. Pour finir, nous déduisons la validité de ces théorèmes version semi-algébrique et Nash sur tout corps réel clos.