Ce travail porte sur la théorie des représentations des algèbres quasi-héréditaires, qui ont été introduites par Cline, Parshall et Scott en 1988. Un exemple important est l'algèbre de Schur classique, qui a son origine dans la théorie des représentations polynômiales de $\mbox(GL)_n$, ou plus généralement la $q$-algèbre de Schur introduite par Dipper et James en 1989. Le but de ce travail est d'étudier le radical quasi-héréditaire d'une telle algèbre, et d'un point de vue théorique et d'un point de vue algorithmique. Ce radical a été introduit dans un article récent de Geck, avec un appendice par Donkin.\\ Le chapitre 1; de la thèse, contient une présentation synthétique des définitions et résultats principaux sur les algèbres quasi-héréditaires; la théorie générale est illustrée par les exemples des algèbres de $q$-Schur. Dans le chapitre 2, nous développons des méthodes explicites pour étudier en détail les représentations de l'algèbre de Schur $S(2,r)$. En particulier, nous avons des programmes en GAP pour calculer les modules de Weyl et le radical quasi-héréditaire, entre la ``conjecture de James'' concernant les représentations modulaires des $q$-algèbres de Schur et la théorie des cellules de Kazhdan-Lusztig. C'est le sujet du chapitre 3. FUn résultat de ce type se trouve déjà dans l'article de Geck mentionné ci-dessus, mais la démonstration utilise une certaine identité qui est fausse. Le fait que cette identité est fausse a été découvert gra\^(c)ce à nos calculs explicits dans l'exemple $S(2,r)$.\\

Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés homologiques d'une famille d'algèbres associatives attachée aux courbes elliptiques. Chaque algèbre de cette famille admet un nombre ni de générateurs subordonnés aux relations quadratiques. Elles sont aujourd'hui connues sous le nom d'algèbres elliptiques de Sklyanin-Odesskii- Feigin. Il convient toutefois de souligner que le cas le plus simple, la famille d'algèbres elliptiques avec trois générateurs, était déjà connue de Artin et Shelter.

En 1976, le mathématicien Solomon a découvert l'existence d'une sous-algèbre de l'algèbre d'un groupe de Coxeter W : l'algèbre de descentes de W. Dans son approche, cette algèbre est définie algébriquement par le biais des systèmes de racines et des systèmes de représentants des classes de W pour des sous groupes paraboliques. Nous introduisons dans ce mémoire cette sous-algèbre et montrons la formule de Solomon qui explicite les constantes de structures de cette algèbre. Puis nous présentons une approche géométrique des groupes de Coxeter finis qui permet de présenter cette sous-algèbre d'une manière intrinsèque. L'étude des arrangements d'hyperplans est notre outil principal pour définir une algèbre de faces et ainsi construire un anti-isomorphisme entre l'algèbre de descentes et la sous-algèbre de faces invariante selon l'action de W. Le cas du groupe symétrique W =Sn sera notre exemple principal. ______________________________________________________________________________

Soit H une algebre hereditaire sauvage de dimension finie sur un corps algebriquement clos et X un H-module de dimension finie. Nous etudions la structure d'Auslander-Reiten de l'extension ponctuelle $H[\tau^mX]$ et prouvons en particulier l'existence d'une composante pre-injective pour |m|>>0.

<p>We establish several properties of higher commutators, which were<br />introduced by A. Bulatov, in congruence permutable varieties. We use these<br />commutators to prove that the clone of polynomial functions of a finite Mal&rsquo;cev<br />algebra whose congruence lattice is of height at most 2, can be described by a<br />finite set of relations. For a finite nilpotent algebra of finite type that is a product<br />of algebras of prime power order and generates congruence modular variety, we<br />are able to show that the property of affine completeness is decidable. Moreover,<br />polynomial equivalence problem has polynomial complexity in the length of the<br />input polynomials.</p> / <p>Ustanovljavamo osobine viˇsih komutatora, koje je uveo A. Bulatov,<br />u kongruencijki permutabilnim varijetetima. Te komutatore koristimo da bi<br />dokazali da se klon polinomijalnih funkcija konaˇcne Maljcevljeve algebre ˇcija je<br />mreˇza kongruencija visine najviˇse dva moˇze opisati konaˇcnim skupom relacija. Za<br />konaˇcne nilpotentne algebre konaˇcnog tipa koje su proizvod algebri koje imaju red<br />stepena prostog broja i koje generiˇsu kongruencijki modularan varijetet pokazu-jemo da je osobina afine kompletnosti odluˇciva. Takod&macr;e, pokazujemo za istu klasu<br />da problem polinomijalne ekvivalencije ima polinomnu sloˇzenost u zavisnosti od<br />duˇzine unetih polinomijalnih terma.</p>

Nous presentons un modele de systemes de ressources partagees sur lequel nous definissons un parametre de performances fondamental : $\gamma$. Nous cherchons ensuite a etudier ce parametre de performances pour une classe de systemes stochastiques. Apres avoir presente quelques proprietes analytiques de $\gamma$, nous nous interessons a son evaluation. Les calculs exacts etant rarement possibles, nous recherchons des bornes. Plusieurs approches sont presentees. Les resultats mettent en valeur une notion importante : celle de graphe d'exclusion d'un systeme de ressources partagees. En effet, les bornes obtenues sont fonctions de quantites simples definies sur ce graphe, telles que le degre moyen ou le nombre chromatique. Nous montrons ensuite les resultats qu'apportent les bornes que nous avons trouvees pour l'estimation d'exposants de Lyapunov de matrices stochastiques dans l'algebre (max,+).

La première partie de la thèse porte sur l'irrationalité de valeurs de polylogarithmes. On exhibe des changements de variables entre intégrales multiples, qui généralisent les groupes de Rhin-Viola et relient les intégrales de Beukers et Vasilyev à celles de Sorokin. Puis, en commun avec Rivoal, on écrit comme solution unique d'un problème d'approximation de Padé une série hypergéométrique très générale. On en déduit notamment que l'un au moins des nombres $\Li_s(1/2)+\frac(\log(1/2)^s)((s-1)!)$, $s \in \(2,3,4\)$, est irrationnel. La seconde partie est consacrée à la transcendance dans les groupes algébriques. On démontre pour certaines variétés une conjecture de Roy (équivalente à la conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes). Puis on prouve un lemme d'interpolation dans un groupe algébrique commutatif $G$, qui généralise celui de Masser en y incluant des multiplicités. Quand $G$ est linéaire, on exprime ce lemme et la dualité de Fourier-Borel en termes d'algèbres de Hopf.

<p>The method of forcing is widely used in set theory to obtain&nbsp;various consistency proofs. Complete Boolean algebras play the main role&nbsp;in applications of forcing. Therefore it is useful to define games on Boolean&nbsp;algebras that characterize their properties important for the method. The&nbsp;most investigated game is Jech&rsquo;s distributivity game, such that the first&nbsp;player has the winning strategy iff the algebra is not (&omega;, 2)-distributive.&nbsp;We define another game characterizing the collapsing of the continuum to&nbsp;&omega;, prove several sufficient conditions for the second player to have a winning&nbsp;strategy, and obtain a Boolean algebra on which the game is undetermined.&nbsp;</p> / <p>Forsing je metod &scaron;iroko kori&scaron;ćen u teoriji skupova za dokaze konsistentnosti. Kompletne&nbsp; Bulove algebre igraju glavnu ulogu u primenama forsinga. Stoga je korisno definisati igre na Bulovim algebrama koje karakteri&scaron;u njihove osobine od značaja za taj metod. Najbolje proučena je Jehova igra, koja ima osobinu da prvi igrač ima pobedničku strategiju akko algebra nije (&omega;, 2)-distributivna. U tezi defini&scaron;emo jo&scaron; jednu igru, koja karakteri&scaron;e kolaps kontinuuma na &omega;, dokazujemo nekoliko dovoljnih uslova da bi drugi igra&scaron; imao pobedničku strategiju, i konstrui&scaron;emo Bulovu algebru na kojoj je igra neodređena.</p>

<p>A priori limit operator&gt;. maps sequence of a set X into a subset of X.<br />There exists maximal topology on X such that for each sequence x there holds<br />&gt;.(x) C limx. The space obtained in such way is always sequential.<br />If a priori limit operator each sequence x which satisfy lim sup x = lim inf x<br />maps into {lim sup x}, then we obtain the sequential topology Ts.&nbsp; If a priori &#39;limit<br />operator maps each sequence x into {lim sup x}, we obtain topology denoted by<br />aT. Properties of these topologies, in general, on class of Boolean algebras with<br />condition (Ii) and on class of weakly-distributive b-cc algebras are investigated.<br />Also, the relations between these classes and other classes of Boolean algebras are<br />considered.</p> / <p>A priori limit operator A svakom nizu elemenata skupa X dodeljuje neki<br />podskup skupa X. Tada na skupu X postoji maksimalna topologija takva da za<br />svaki niz x vazi A(X) c lim x. Tako dobijen prostor je uvek sekvencijalan.<br />Ako a priori limit operator svakom nizu x koji zadovoljava uslov lim sup x =<br />liminfx dodeljuje skup {limsupx} onda se, na gore opisan nacin, dobija tzv.<br />sekvencijalna topologija Ts. Ako a priori limit operator svakom nizu x dodeljuje<br />{lim sup x}, dobija se topologija oznacena sa OT.&nbsp; Ispitivane su osobine ovih<br />topologija, generalno, na klasi Bulovih algebri koje zadovoljavaju uslov (Ii) ina<br />klasi slabo-distributivnih i b-cc algebri, kao i odnosi ovih klasa prema drugim<br />klasama Bulovih algebri.</p>

<p>Jezik nad E je proizvoljan skup reci nad E, tj. proizvoljan podskup slobodnog monoida E*. Jezici nad datom azbukom formiraju al&shy; gebre jezika, sa operacijama unije, konkatenacije (dopisivanja red), Kleene-jeve iteracije i sa 0, {A} kao konstantama. Regularni jezici nad E su elementi podalgebre algebre jezika nad E generisane konačnim jezicima. Ispostavlja se da algebre jezika generi&scaron;u isti varijetet (i stoga zadovoljavaju iste iden&shy;titete) kao i algebre binarnih relacija snabdevene operacijama unije, kompozi&shy;cije, refleksivno-tranzitivnog zatvorenja i praznom relacijom i dijagonalom kao konstantama. Reč je o varijetetu Kleenejevih algebri, i slobodne algebre tog varijeteta su ba&scaron; algebre regularnih jezika. Na početku disertacije, izloženi su neki aspekti algebarske teorije automata i formalnih jezika, teorije binarnih relacija i univerzalne algebre, relevantni za ispitivanje identiteta na algebrama jezika. Zatim je dat klasični rezultat (Redko, 1964.) da varijetet Kleenejevih algebri nema konačnu bazu identiteta. Ovde je prikazan dokaz Conwaya iz 1971., budući da on sadrži neke ideje koje su se pokazale korisne za dalji rad. Glave 3 i 4 sadrže originalne rezultate usmerene na profinjenje Redkovog rezultata. Pokazano je da uzroci beskonačnosti baze identiteta za Kleenejeve algebre leže u interakciji operacija konkatenacije i iteracije jezika (odnosno, kompozicije i refleksivno-tranzitivnog zatvorenja relacija). Drugim recima, klasa redukata algebri jezika bez operacije unije nema konačnu bazu identiteta. To daje odgovor na problem D. A. Bredikhina iz 1993. godine. S druge strane, pro&scaron;irenjem tipa Kleenejevih algebri involutivnom operacijom inverza jezika, odnosno relacija, takođe se dolazi do beskonačno baziranih varijeteta, čime se re&scaron;ava problem B. Jonssona iz 1988. godine. Analogno, komutativni jezici nad E su proizvoljni podskupovi slobodnog komutativnog monoida E&reg;. U Glavi 5 je dokazano da se jednakosna teorija algebri komutativnih jezika poklapa sa jednakosnom teorijom algebre (regu&shy;larnih) jezika nad jednoelementnim alfabetom, &scaron;to daje odgovor na problem koji je jo&scaron; 1969. formulisao A. Salomaa u svojoj monografiji&nbsp; Theory of Au&shy;tomata.Na taj način, iz poznatih rezultata o jednakosnoj aksiomatizaciji komutativnih jezika se dobija jedna baza za algebre jezika nad jednoelement&shy;nim alfabetom, kao i veoma kratak dokaz poznate činjenice (takođe Redko, 1964.) da algebre komutativnih jezika nemaju konačnu bazu identiteta. Na kraju disertacije, identiteti Kleenejevih algebri se posmatraju u kon&shy;tekstu dinamičkih algebri. Reč je o algebarskoj verziji dinamičkih logika, koje su konstruisane sedamdesetih godina kao matematički model rada računara, kada se na njima izvr&scaron;ava program pisan u nekom imperativnom program&shy; skom jeziku. Na primer, problemi verifikacije i ekvivalentnosti programa se lako izražavaju preko identiteta dinamičkih algebri, tako da razne njihove jednakosne osobine odgovaraju pojmovima iz teorijskog računarstva. Takođe, interesatno je da je jednakosna teorija Kleenejevih algebri &rsquo;&rsquo; kodirana&rdquo; u konačno baziranoj jednakosnoj teoriji dinamičih algebri. Polazeći od poznatih rezul&shy;tata za dvosortne dinamičke algebre (pri čemu je jedna komponenta algebra istog tipa kao i Kleenejeve algebre, dok je druga Booleova algebra), neki od tih rezultata su transformisani i pro&scaron;ireni za Jonssonove dinamičke algebre (jednosortne modele dinamičkih logika). Na primer, ako se Kleenejeva algebra K može predstaviti kao konačan direktan proizvod slobodnih algebri varijeteta Kleenejevih algebri generisanih Kleenejevim relacionim algebrama, tada vari&shy;jetet K-dinamičkih algebri ima odlučivu jednakosnu teoriju. Odavde se izvodi da svaki varijetet Kleenejevih algebri generisan Kleenejevim relacionim algeb&shy;rama takođe ima odlučivu jednakosnu teoriju.</p> / <p>A language over &pound; is an arbitrary set of words, i.e. any subset of the free monoid &pound;*. All languages over a given alphabet form the algebra of languages, which is equipped with the operations of union, concate&shy;nation, Kleene iteration and 0, {A } as constants. Regular languages over &pound; are the elements of the subalgebra of the algebra of languages over &pound; generated by finite languages. It turns out that algebras of languages generate exactly the same variety as algebras of binary relations, endowed with union, rela&shy;tion composition, formation of the refelxive-transitive closure and the empty relation and the diagonal as constants. The variety in question is the vari&shy;ety of Kleene algebras, and the algebras of regular languages are just its free algebras. The present dissertation starts with several aspects of algebraic theory of automata and formal languages, theory of binary relations and universal alge&shy;bra, which are related to problems concerning identities of language algebras. This material is followed by the classical result (Redko, 1964) claiming that the variety of Kleene algebras have no finite equational base. We present the proof of Conway from 1971, since it contains some ideas which can be used for generalizations in different directions. Chapters 3 and 4 contain original results which refine the one of Redko. It is shown that the cause of nonfinite axiomatizability of Kleene algebras lies in the superposition of the concatenation and the iteration of languages, that is, composition of relations and reflexive-transitive closure. In other words, the class of -(--free reducts of algebras of languages has no finite equational base, which answers in the negative a problem of D. A. Bredikhin from 1993. On the other hand, by extending the type of Kleene algebras by the involutive operation of inverse of&nbsp; languages (converse of relations), we also obtain a nonfinitely based variety, which solves a problem of B. Jonsson from 1988. Analogously, commutative languages over E are defined as subsets of the free commutative monoid &pound;&reg;. It is proved in Chapter 5 that equational the&shy; ories of algebras of commutative languages and, respectively, of the algebra of (regular) languages over the one-element alphabet, coincide. This result settles a thirty year old problem of A. Salomaa, formulated back in his wellknown monograph&nbsp; Theory of Automata.Thus, we obtain an equational base for the algebra of one-letter languages, and, on the other hand, a very short proof of another Redko&rsquo;s result from 1964, according to which there is no finite equational base for algebras of commutative languages. Finally, identities of Kleene algebras are considered in the context of dy&shy;namic algebras, which are just algebraic counterparts of dynamic logics. They were discovered in the seventies as a result of the quest for an appropriate logic for reasoning about computer programs written in an imperative pro&shy; gramming language. For example, problems concerning program verification and equivalence can be easily translated into identities of dynamic algebras, so that many of their equational properties correspond to notions from computer science. It is also interesting that the whole equational theory of Kleene alge&shy; bras is &rsquo;&rsquo;encoded&rdquo; in the finitely based equational theory of dynamic algebras.<br />Starting with known results on two-sorted dynamic algebras (where one com&shy; ponent is an algebra of the same signature as Kleene algebras, while the other is a Boolean algebra), some of those results are transformed and extended for Jonsson dynamic algebras (that is, one-sorted models of dynamic logics). For example, if a Kleene algebra K can be represented as a finite direct product of free algebras of varieties of Kleene algebras generated by Kleene relation algebras, then the variety of K-dynamic algebras has a decidable equational theory. The latter yields that all varieties of Kleene algebras generated by Kleene relation algebras have decidable equational theories, too.</p>