Matematiska resonemang har kommit att betonas alltmer i såväl styrdokument som i internationella jämförelser mellan skolsystem. Parallellt med detta har ett allt större fokus lagts på processer i matematikundervisningen. Med utgångspunkt i de nio resonemangsprocesser som ges av Jeannotte och Kieran (2017) analyserades i denna li tteraturstudie vilka resonemangsprocesser som förekom i empiriska studier avelevers matematiska resonemangsförmåga, samt hur dessa förhöll sig till definitionerna av matematiska resonemang. Artiklar om resonemang publicerade i ledande matematikdidaktiska tidskrifter de senaste tio åren samlades in och analyserades med tematisk analys. I materialet identifierades fyra teman: det strikt logiska resonemanget, informella resonemang, imitativa och kreativa matematiska resonemang (i Lithners (2008) betydelse) samt resonemang från det generella till det specifika. Strikt logiska resonemang var starkt sammankopplade med processen formell bevisföring i både definitioner ochundersökningar. Informella resonemang karaktäriserades av processerna antagande, jämförande, klassificering, rättfärdigande och bevisföring, vilka har gemensamt att de inte är kopplade till en med nödvändighet sann matematisk utsaga. Imitativa resonemang kunde utifrån definitionen kopplas samman med processen antagande, vilket dock inte återspeglades i de exemplifierande uppgifterna. Kreativa matematiska resonemang var så brett definierade att ingen specifik process kundesägas karaktärisera dem, men var i de exemplifierande uppgifterna de enda somkrävde en generaliseringsprocess för att lösa. Slutligen föreslogs en resonemangsprocess som tar sin utgångspunkt i generella matematiska kunskaper för att generera en utsaga om ett specifikt matematiskt objekt. En dylik process förekommer inte i det teoretiska ramverket. Utifrån studiens resultat kan lärare identifiera vilka resonemangsprocesser som är karaktäristiska för olika resonemangssyner. Detta kan användas för att uppmuntra användande av de som är ändamålsenliga för särskilda kontexter och kompensera för de som saknas i en viss resonemangssyn. Därigenom kan elevernas matematiska resonemangsförmåga främjas.

This thesis presents the theoretical material needed to price European call options in the classical and rough version of the Heston model, as well as how to do this in practice from a computational perspective. The theoretical material includes an introduction to measure theory, which is then used to build the foundations of probability theory and stochastic calculus, together with more novel topics such as fractional calculus and a short exposition of the fractional Brownian motion. Moreover, parameter estimation for the respective models and computational methods to calculate options prices are also discussed. / Den här avhandlingen presenterar det nödvändiga materialet för att prissätta europeiska köpoptioner i den klassiska och grova (från engelskans "rough") versionen av Hestonmodellen, samt hur detta görs i praktiken från ett beräkningsperspektiv. Det teoretiska materialet inkluderar en introduktion till måtteori, som sedan används för att lägga grunderna för sannolikhetsteori samt stokastisk analys, tillsammans med ovanligare ämnen såsom fraktionell analys och en kort utläggning av fraktionell Brownsk rörelse. Utöver detta diskuteras även parameteruppskattning för båda modellerna samt metoder för att beräkna optionspriser i dem.

In order to create a sustainable portfolio, more sustainable assets may be chosen to be included and less sustainable assets may be chosen to be excluded from the portfolio. A potential risk that could arise as a result, is that the choice to include or exclude assets may affect the liquidity profile of the portfolio. For example if less liquid assets are included and more liquid assets are excluded. This thesis thus aims to investigate how the liquidity, but also other risks related to a stock portfolio, are related to the assets chosen to be included or excluded from the portfolio.  The main results obtained showed that the both the more and less sustainable assets on average had similar liquidity risk when considering the volume-based measure ILLIQ and the price-based measure MEC. The transaction cost-based measure the bid-ask spread, showed that the more sustainable assets had a significantly lower spread than the less sustainable, indicating that the market has a harder time agreeing on a fair price for these assets. The more sustainable assets also had a lower risk of potential losses compared to both the less sustainable and the market as a whole when considering the weekly returns, and also performed better over the considered time period. However, the less sustainable assets were shown to be slightly less volatile compared to the other assets. / För att skapa en hållbar aktieportfölj kan både mer hållbara värdepapper väljas in, och mindre hållbara väljas bort. En potentiell risk som kan uppstå på grund av dessa val, är portföljens likviditet kan påverkas om värdepapper med låg likviditet väljs in och värdepapper med hög likviditet väljs bort. Detta examensarbete syftar därför att undersöka hur likviditeten, men även andra risker som kan uppstå i en aktieportfölj, är relaterad till värdepapper som väljs in eller väljs bort ur en hållbar aktieportfölj.  Arbetets resultat visar att de både mer och mindre hållbara värdepappren hade liknande likviditetsrisk när de volym- och prisbaserade måtten ILLIQ respektive MEC undersöktes. Det transaktionskostnadsbaserade måttet bid-ask spread, visade att de mer hållbara värdepappren var mer likvida än de mindre hållbara värdepappren, då de hade lägre spridning. Detta kan tyda på att marknadsaktörer har svårare att komma överens om ett pris för de mindre hållbara än för de mer hållbara bolagen. De hållbara bolagen uppvisade även lägre risk för potentiella förluster jämfört med de mindre hållbara bolagen och marknaden som helhet, då den veckovisa avkastningen togs i beaktning. Dessutom uppvisade de hållbara bolagen även en större kumulativ avkastning över den analyserade perioden. De mindre hållbara bolagen visade sig däremot vara mindre volatila än övriga bolag.

No description available.

No description available.

Voronoi diagrams are partitions of a metric space into Voronoi cells according to distance from points on some set w.r.t. some distance. In this thesis we examine Voronoi diagrams of manifolds and varieties w.r.t. the Wasserstein distance from probability theory. We give some upper and lower bounds on the dimension of Voronoi cells based on the geometry of the manifolds and Wasserstein distance balls. We provide an upper bound on the number of full-dimensional Voronoi cells of algebraic varieties and show examples of the bound being tight. / Voronoi diagram är partitioner av ett metriskt rum i Voronoiceller enligt avstånd från punkter på någon mängd med avseende på ett visst mått. I den här avhandlingen undersöker vi Voronoidiagram för mångfald och varieteter med avseende på Wasserstein avstånd från sannolikhetsteori Vi ger några över och nedre gränser för dimensionen på Voronoiceller baserat på geometrin hos mångfalden och avståndsklot med Wasserstein mått. Vi presenterar en övre gräns för antalet fulldimensionella Voronoiceller för algebraiska varieteter och visar exempel på när gränsen är strikt.

Bacterial chemotaxis refers to bacteria's way of moving towards more hospitable environment. The bacteria does this by taking point-wise measurements of the amount of chemical attractants/repellents in its surroundings and comparing them, using the bacteria's built in "memory" the methylation level, to determine if the current direction is good or not. One of the first models to simulate E.coli bacteria undergoing chemotaxis by solving a differential equation was created by Yuhai Tu.The subject of this paper is to study how quickly bacteria can react and adapt to changes in its environments and how that model is affected by changes of the methylation level.How quickly the bacteria can react and adapt will be studied by estimating the time constant of the system. How sensitive the model is, with regards to the methylation level, will be studied by constructing a phase plane and by doing a sensitivity analysis.The estimated time-constant comes between 0.4 and 1.4 seconds.The relative speed of reaction and adaptation comes from the bacteria using its memory to decide if the current direction is good or not. When using the model with high changes in concentration the model seems to coincide with experimental data and theoretical knowledge. With high changes in the amount of concentration, the model fits well with experimental data and theory. It has a stable state at 0.333 and has perfect adaptation. The long-term behavior of the model is not changed by small changes of the methylation level but it is sensitive with regards to uncertainty in how the methylation works. A small uncertainty in methylation process induces a lot of uncertainty in the output of the model.When working with smaller changes of concentrations, the model does not seem to fit with experimental data.The model seems too sensitive to small changes in chemical attractants, which has the effect of the bacteria never leaving the steady state. This problem is probably due to a lack of understanding of the methylation process.Overall further studies of methylation process is needed, either to strengthen our belief in the current estimation or to find a better estimation of the rate of change for the methylation. This holds especially true considering that the model doesn't coincide with experimental data if the change in concentration is too small. / Bakteriell kemotaxis är bakteriers sätt att röra sig mot mer fördelaktiga omgivningar. Det görs genom att bakterien tar punktvisa mätningar och jämför de med varandra för att kunna avgör om den nuvarande riktningen är fördelaktig eller inte. För att kunna jämföra den nuvarande omgivningen mot tidigare omgivningar använder sig bakterien av sitt "minne" som skapas av en kemisk process kallad metylering.En av de första modellerna för att studera E.coli kemotaxis skapades av Yuhai Tu.Målet med den här uppsatsen är att studera hur snabbt bakterier kan reagera och anpassa sig till nya omgivningar och hur mycket Tu:s modell påverkas av förändringar och osäkerhet kring metylerings nivån. Bakteriers anpassningsförmåga till sina omgivningar studeras genom att uppskatta modellens tidskonstant och metyleringsnivåns påverkan på modellen studeras genom att göra en fas-plan analys och en känslighetsanalys.Tidskonstanten upmättes till mellan 0.4 och 1.4 sekunder.Denna snabba förmåga att anpassa sig till sina omgivningar krävs när bakterien ska avgöra om den nuvarande riktningen är bra eller inte. När modellen används med stora förändringar i mängden lockämne så stämmer den väl överens med experimentella resultat och vår teoretisk förståelse av kemotaxis processen.Med stora koncentrationsförändringar stämmer modellen väl överens med teori. Den ger en stabil lösning för systemet på 0.333 och bakterien får perfekt anpassning. Modellens långtidsbeteende påverkas inte av metyleringsnivån men modellen är känslig för förändringar i hur metyleringsprocessen fungerar. Känslighetsanalysen visar att lite osäkerhet i hur metyleringsprocessen fungerar skapar mycket osäkerhet för modellen .För små koncentrationsförändringar fungerar modellen inte.Modellen verkar för känslig mot små förändringar i mängden kemikalier, vilket leder till att modellen aldrig lämnar dess stabila lösning. Det här problemet skapas av osäkerhet om hur metyleringsprocessen fungerar.Vidare studier angående hur metyleringsprocessen fungerar krävs, antingen för att stärka tron i den nuvarande uppskattningen eller för att förbättra uppskattningen av den. Slutsatsen stärks av att modellen inte verkar fungera för små förändringar i mängden kemikalier.

A big focus of the Automotive Industry’s work is now on the development ofAutonomous Vehicles (AVs). In order to be able to release them on the market,they need to be tested and validated in a safe and efficient way. That is whycompanies working on the development of AVs use simulation to test the workthey are completing. Before putting an Autonomous Vehicle on any road, itwould be ideal to make sure, it will be able to navigate through the given roadsafely and react to everything that has ever happened on this road. What ismore, for the Autonomous Vehicle to be safely on the roads, it should also beable to react to uncommon situations, not seen exactly in the data it was trainedon before. In this thesis, the focus is on trajectories and their variations. Theaim of this work is to develop a framework, which would allow, having discretedata of traffic participants from chosen locations, to model the trajectories ofthose vehicles and the variations of those trajectories. This is to help withthe testing of Autonomous Vehicles in a simulation environment. The data,which is used to develop this method are from an intersection in Denmark,however, it is believed the method can be applied to data from anywhere,as long as it contains information about x and y coordinates of the vehiclesand the corresponding times of the vehicles being at those positions. In thiswork, only trajectories of cars are considered, but again other vehicles can betaken into account in the future. First, vehicle trajectories from given data aremodelled with the use of B-splines. The routine is set up as a constrainedoptimization problem with seven different constraints developed for a car.The constraints are highly nonlinear and therefore a constrained nonlinearoptimization problem is solved. The chosen method for this is the interior-pointmethod. After obtaining the approximation of the trajectory in the Bsplineform, a variation of it is achieved through the change of the speed of thevehicle and its initial position. A projection of the required velocity change onthe derivative of B-spline basis space is calculated and then a new variation ofthe original approximated trajectory in B-spline form is obtained. The methodwas implemented in Matlab and successfully used to approximate and varytrajectories from a dataset from an intersection in Denmark, Aalborg. / En stor del av fordonsindustrins arbete fokuserar i dagsläget på utvecklingenav självstyrande fordon. För att självstyrande fordon ska kunna komma utpå marknaden behöver de dock först testas och valideras på ett säkert ocheffektivt sätt. De företag som arbetar med utveckling av självstyrande bilaranvänder sig därför av simulering för att examinera det genomförda arbetet.Det optimala är att kunna säkerställa att ett självstyrande fordon kan navigerasig genom den angivna vägen och reagera på allt som någonsin hänt på vägeninnan fordonet de facto används på en väg. Därutöver, för att självstyrandefordon ska vara säkra på vägen, behöver de kunna reagera på oförutsebarasituationer som inte framgår av lagrade uppgifter dessförinnan. Förevarandeuppsats fokuserar på banor och deras variationer. Uppsatsens syfte är attutveckla ett ramverk som skulle göra det möjligt att, med hjälp av diskretauppgifter från trafikdeltagare på utvalda platser, modellera banorna för fordonsamt dess variationer. Detta för att underlätta tester av självstyrande fordoni en simuleringsmiljö. Uppgifterna som används för att utveckla en sådanmetod kommer från en korsning i Danmark. Metoden skulle samtidigt kunnatillämpas på uppgifter från vilken plats som helst, förutsatt att den innehållerinformation om x och x-koordinater från fordon samt tidsfrister under vilkafordon befinner sig i dessa positioner. Det här arbetet fokuserar enbart bilbanor,men även andra fordon kan tas i anspråk i framtiden.Först modelleras fordonsbanor utifrån lämnade uppgifter genom att användaB-spline. Rutinen är uppbyggd som ett begränsat optimeringsproblem med sjuolika begränsningar utvecklade för bilar. Begränsningarna är mycket olinjära,vilket loser ett begränsat olinjärt optimeringsproblem. Metoden som användsär den så kallade interior-punkt-metoden. Efter att ha erhållit en ungefärligbild av banan i B-splineformen uppnås en variation av banan. Detta genomatt fordonets hastighet och dess initiala position ändras. En projektion av denerfordeliga hastighetsändringen på derivatan av B-spline basis space beräknas.Därefter erhålls en ny variation av den ursprungliga ungefärliga banan i Bsplineform.Metoden har tidigare med framgång använts för att approximeraoch variera banor från ett dataset från en korsning i Aalborg, Danmark.

Benford’s Law describes a profound behavior that the leading digits of many quantities arising from mathematics, physics, finance, and engineering exhibit. In this text we prove Benford’s Law for the absolute value of the characteristic polynomial det (U-λI) of the CUE(N) as N →∞.  Our analysis produces an integrable bound for the characteristic function of log | det (U - λI|. / Benfords lag beskriver ett djupgående förhållande, vilket utövas av dem första siffrorna av många kvantiteter som uppstår i matematik, fysik, finansvetenskap och teknik. I den här texten bevisar vi Benfords lag för absolutbeloppet av CUE(N) karakteristiska plynomet det (U-λI) när N →∞. Vår analys ger en integrerbar övre gräns för den karakteristiska funktionen av log | det (U - λI|.

Model-Based Systems Engineering (MBSE) is the process of developing a set of system models that help define, design and document a system under development. These models provide an efficient way to explore, update, and communicate system perspectives to stakeholders, while eliminating dependence on traditional documents. It is also a cost-effective way to test and explore new system characteristics by testing early and getting feedback on different design decisions fast. Saab Surveillance has developed a version of MBSE to create system models for Saab's products. These models are made in the modelling tool Rhapsody Architect for SYstems Engineers [1] and use SysML as modelling language. With the evolution of electronic warfare systems, the complexity of these system models escalate progressively. This gives a great need for model validation and simulation in order to verify and improve systems both in the start and under development. The purpose of this thesis was to examine the possibility of validating and simulating the system models created in the business unit EW Systems at Saab Surveillance. The examination included a validation of the EW-MBSE system design and a suggestion of modelling modifications and tools needed in order to be able to simulate the MBSE models in early stages. The result showed that EW-MBSE is an accurate modelling method that does not need many modifications in order to support model validation and simulation. AS for the modelling tools, Rhapsody Designer for Systems Engineers [2] is a suitable choice for functional perspectives. Furthermore, it should be possible to supplement the MBSE models with mathematical models in Simulink [11] and integrate them in Rhapsody for continuous simulations. However, this was not possible to implement in this thesis because of reason described in chapter 4.1.3. / MBSE (Modellbaserad systemteknik) är processen att utveckla systemmodeller som hjälper till att definera, designa och dokumentera system under utveckling. Dessa modeller ger ett effektivt sätt att utforska, uppdatera och kommunicera systemaspekter till intressenterna, samtidigt som den traditionella dokumenthanteringen undivks. Dessutom är det ett kostnadseffektivt sätt att testa och utforska nya systemegenskaper genom att testa tidigt och få feedback om olika designbeslut snabbt. Saab Surveillance har utvecklas en egen version av MBSE för att skapa systemmodeller för Saabs produkter. Dessa modeller är gjorda i modelleringsverktyget Rhapsody Architect for Systems Engineers [1] och använder SysML som modelleringsspråk. Den ökade utvecklingen av elektroniska krigsföringssystem höjer komplexiteten av dessa systemmodeller successivt. Detta ger ett stort behov av modellvalidering och simulering för att verifiera och förbättre dessa system i början och under utveckling. Syftet med denna avhandling var att undersöka möjligheten att kunna simulera MBSE modeller som används av affärsenheten EW Systems på Saab Surveillance. Undersökningen omfattade en validering av affärsenhetens implementation av MBSE: EW-MBSE-systemdesign samt ett förslag på modellmodifieringar och modelleringsvertyg som behövs för att kunna genomföra en simulering av dessa modeller. Resultated visade att EW-MBSE är en bra modelleringsmetod som inte behöver många modifieringar för att kunna stödja modellvalideringar och simuleringar. Det lämpliga valet för systemdesignaspekternas simuleringsverktyg är Rhapsody Designer for Systems Engineers [2]. Dessutom borde det vara möjligt att komplettera MBSE modellerna med matematiska modeller i Simulink [11] och integrera de i Rhapsody för mer kontinuerliga simlueringar. Däremot var det inte möjligt att implementera detta i denna avhandling p.g.a. anledningar beskrivna i kapitel 4.1.3.