Made available in DSpace on 2014-06-12T18:32:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo8546_1.pdf: 810661 bytes, checksum: abaa9eb050bc82102705fea9268f9938 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2005 / O trabalho está apresentado da seguinte maneira: No primeiro capítulo se faz uma lista de definições e teoremas que achamos mais importantes sobre tópicos tais como Topologia, Variedades Diferenciáveis e aspectos da Topologia Algébrica, os quais serão utilizados ao longo dos capítulos seguintes. Consideramos conveniente indicar as provas dos teoremas assim como comentários da teoria na bibliografia correspondente citada após de cada resultado. O segundo capítulo dedica-se a estudar a estrutura cobordismo. Na seção 2.1 introduzimos o conceito de cobordismo e fazemos um resumo das propriedades gerais de funções de Morse sobre cobordismos. Com as definições e resultados da seção 2.1, construímos na seção 2.2 uma topologia que nos permitir a mostrar a existência de funções de Morse sobre um cobordismo e definir o número de Morse de um cobordismo. Funções de Morse fornecem por sua vez em 2.3 campos vetoriais de tipo-gradiente, resultado fundamental que nos ajudará a provar o teorema da vizinhança colar, que por sua vez, nos permitirá introduzir uma operação entre cobordismos. Na seção 2.3 também provaremos que um cobordismo com número de Morse zero é precisamente um cobordismo produto (teorema 2.3.3). Este resultado é crucial no teorema do h-cobordismo. A seção 2.4 está dedicada ao estudo de cobordismos com número de Morse 1. A homologia de tais cobordismos fornecerá informação sobre a decomposição de um cobordismo em cobordismos elementares. Finalmente terminamos o capítulo 2 mostrando que qualquer cobordismo pode-se reordenar como composição de cobordismos cada um deles com uma função de Morse e um nível crítico onde todos seus pontos críticos tem índice fixo. Este último resultado será fundamental para o cancelamento de pontos críticos de índices intermediários (teorema 3.3.7). O terceiro capítulo está baseado em quatro teoremas fundamentais que podemos dividir em dois grupos, os teoremas 3.1.6, 3.2.4 e os teoremas 3.3.7, 3.4.1. O teorema fraco de cancelamento (teorema 3.1.6) nos diz que um cobordismo é um cobordismo produto quando podemos ligar os pontos críticos por somente uma trajetória. O problema acontece quando pontos críticos não estão ligados necessariamente por somente uma trajetória, o teorema 3.2.4 fornece condições de transversalidade. Neste sentido, estudaremos o comportamento das nossas esferas em um nível intermediário entre ambos níveis críticos mediante condições de transversalidade entre ambas esferas de tal forma que podamos aplicar o teorema 3.1.6. O teorema 3.3.7 nos dá condições de eliminação de pontos críticos de índices intermediários cuja prova usa fortemente o teorema 3.1.6. O teorema 3.2.4 será fundamental na prova do teorema 3.3.7. Este a sua vez, junto a teorema 3.4.1 ajudara a provar o teorema do h-cobordismo. Finalmente o capítulo 4 é dedicado ao nosso objetivo principal, o Teorema do hcobordismo. Fazemos uma pequena mudança da prova dada em [12] (Ver [10]) e como conseqüência o Teorema de Smale e a caracterização dos n-discos com (n ¸ 6). Na prova do teorema do h-cobordismo utilizaremos os dois últimos teoremas fundamentais do capitulo 3

Orientador : Jose Carlos de Souza Kuhl / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-17T00:19:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rodrigues_ClaudinaIzepe_D.pdf: 1498045 bytes, checksum: 5a5f3759121d3074ad32fd698b8f6f50 (MD5) Previous issue date: 1986 / Resumo: Não informado / Abstract: Not informed / Doutorado / Doutor em Ciências

El objetivo principal de la presente tesis es estudiar la estructura del anillo de Cobordismo Complejo MU*(pt). Milnor y Novikov fueron los primeros en mostrar que este es un anillo polinomial sobre generadores de grado par sobre Z. Este cálculo se realiza utilizando la sucesión espectral de Adams sobre una teoría de homología generalizada. La exposición de este teorema ocupa la parte final de este trabajo. En la primera parte se presenta el teorema de Adams sobre la convergencia de su sucesión espectral. En la segunda parte, se describe el espectro de Thom y la teoría de homología generalizada asociada a este espectro, que en este caso viene a ser el Cobordismo Complejo. También se describe de manera breve la estructura del Álgebra de Steenrod y su dual, que se utilizará al momento de calcular la estructura del anillo de homología H* (MU; Zp). Al final se adjunta un apéndice sobre álgebras y algebroides de Hopf, que incluye algunos isomorfismos de cambio de anillos. / -- The main objective of the present thesis is to study the structure of the Complex Cobordism Ring MU*(pt). Milnor y Novikov first accomplished this, and they(independently) showed that it is a polynomial ring over Z on generator of every even degree. It is achieved by using the Adams Spectral Sequence over a generalized theory. This theorem is expounded at the end of this work. In the first part, I present the theorem about the convergence of the Adams spectral sequence. In the second, I describe the Thom Spectrum and the generalized homology theory associated to this spectrum, in this case it is the Complex Cobordism. I also describe quickly the Steenrod Algebra and its dual, which will be used when we determine the structure of singular homology ring H * (MU; Zp). Finally, I attach an appendix about Hopf algebroides and Hopf algebras, which contains some change of ring isomorphism.

El objetivo principal de la presente tesis es estudiar la estructura del anillo de Cobordismo Complejo MU*(pt). Milnor y Novikov fueron los primeros en mostrar que este es un anillo polinomial sobre generadores de grado par sobre Z. Este cálculo se realiza utilizando la sucesión espectral de Adams sobre una teoría de homología generalizada. La exposición de este teorema ocupa la parte final de este trabajo. En la primera parte se presenta el teorema de Adams sobre la convergencia de su sucesión espectral. En la segunda parte, se describe el espectro de Thom y la teoría de homología generalizada asociada a este espectro, que en este caso viene a ser el Cobordismo Complejo. También se describe de manera breve la estructura del Álgebra de Steenrod y su dual, que se utilizará al momento de calcular la estructura del anillo de homología H* (MU; Zp). Al final se adjunta un apéndice sobre álgebras y algebroides de Hopf, que incluye algunos isomorfismos de cambio de anillos. / The main objective of the present thesis is to study the structure of the Complex Cobordism Ring MU*(pt). Milnor y Novikov first accomplished this, and they(independently) showed that it is a polynomial ring over Z on generator of every even degree. It is achieved by using the Adams Spectral Sequence over a generalized theory. This theorem is expounded at the end of this work. In the first part, I present the theorem about the convergence of the Adams spectral sequence. In the second, I describe the Thom Spectrum and the generalized homology theory associated to this spectrum, in this case it is the Complex Cobordism. I also describe quickly the Steenrod Algebra and its dual, which will be used when we determine the structure of singular homology ring H * (MU; Zp). Finally, I attach an appendix about Hopf algebroides and Hopf algebras, which contains some change of ring isomorphism.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3380.pdf: 1031040 bytes, checksum: 913068842413dfce36fdd39a6a1be183 (MD5) Previous issue date: 2010-12-15 / Financiadora de Estudos e Projetos / Let Mm a closed and smooth m-dimensional manifold and T : Mm - Mm a smooth involution defined on Mm. It is well known that the fixed point set F of T is a finite and disjoint union of closed submanifolds, with possibly different dimensions. Write F = [n i=0Fi, n _ m, where Fi denotes the union of those components of dimension i. Suppose that F has the form Fn [ Fj , 0 _ j < n, and that F does not bound. From the Five Halves Theorem of J. Boardman, one then has m _ 5 2 n. In this work, our interest is to obtain improvements of this general bound in the case F = Fn [ F3, where n > 3. Results of this nature were obtained by R. E. Stong and P. Pergher for j = 0, S. Kelton for j = 1 and F. Figueira for j = 2. We will see that a general bound in this case is m(n-3)+6, where m(n) is a number discovered by Stong and Pergher which works as a best possible bound for the case F = Fn [ fptog (j = 0). / Sejam Mm uma variedade suave e fechada e T : Mm - Mm uma involução suave definida em Mm. É bem conhecido o fato que o conjunto de pontos fixos F de T é uma união disjunta e finita de subvariedades fechadas de diferentes dimensões. Escrevamos F = [n i=0Fi, n _ m, onde Fi denota a união disjunta das componentes i-dimensionais de F. Suponha que F tem a forma Fn [ Fj , 0 _ j < n, e que Fn [ Fj não borda. Através do famoso Five Halves Theorem of J. Boardman, concluimos então que m _ 5 2 n. Nosso interesse nesse trabalho é determinar o limite superior de m, para cada n, no caso em que j = 3 e n > 3. Resultados dessa natureza foram obtidos por R. E. Stong e P. Pergher para j = 0, S. Kelton para j = 1 e F. Figueira para j = 2. Veremos que o caso j = 3 tem como limitante superior m(n - 3) + 6, onde m(n) é o limitante de Stong e Pergher para o caso j = 0.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 5624.pdf: 789728 bytes, checksum: 0acc0dab0898f84bbbf5e5e8ba99a9f2 (MD5) Previous issue date: 2013-12-13 / Financiadora de Estudos e Projetos / Let M be a closed smooth manifold and T : M ! M be an C1 involution defined on M. It is known that if F is the set of fixed points of T, then it is a finite union of closed submanifolds of M. Given F, a problem in this context is the classification, up to equivariant cobordism, of pairs (M; T) for which the fixed point set is F. In this work we performe the classification, up to equivariant cobordism, of Zk 2 -actions (Mn;&#934;) fixing F with F being one of the following: F = KP2n [ KP2m+1; F = KP2n+1 [ KP2m+1 , where KP is the real, complex or quaternionic projective space. We also perform the classification, up to equivariant cobordism, of Z2 2-action whose fixed point set is KdP2n [ K2m+1 e and d < e, where KjP, j = 1; 2; 4 are respectively the real RP, complex CP and quaternionic HP projective spaces. Given that in this case appeared exotic actions, was important that the improvements that we made from the result of Pedro Pergher done in Theorem 3.4.1, which allowed us to obtain such classification. / Sejam M uma variedade fechada e suave e T : M ! M uma involução C1 definida em M. é conhecido que se F é o conjunto de pontos fixos de T, então F é uma união finita de subvariedades fechadas de M. Dado F, um problema neste contexto é a classificação, a menos de cobordismo equivariante, de pares (M; T) para os quais o conjunto de pontos fixos é F. Neste trabalho nós realizamos a classificação, a menos de cobordismo equivariante, das Zk2 -ações (Mn;&#934;) fixando F, com F sendo um dos seguintes: F = KP2n [ KP2m+1; F = KP2n+1 [ KP2m+1 , onde KP é o espaço projetivo real, complexo ou quaterniônico. Além disso, realizamos a classificação, a menos de cobordismo equivariante, das Z2 2- ações cujo conjunto de pontos fixos é KdP2n [KeP2m+1 e d < e, onde KjP, j = 1; 2; 4 são respectivamente os espaços projetivos real RP, complexo CP e quaterniônico HP. Tendo em vista que neste caso apareceram ações exóticas, foi importante a melhora que obtivemos de um resultado de Pedro Pergher feita no Teorema 3.4.1 a qual permitiu obter tal classificação.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 4150.pdf: 1194001 bytes, checksum: afed3d1198e69a86efd9f7b69562b509 (MD5) Previous issue date: 2012-03-05 / Universidade Federal de Minas Gerais / Let (Mm; T) be a smooth involution on a closed smooth m-dimensional manifold and F = n [j=0 Fj (n < m) its fixed point set, where Fj denotes the union of those components of F having dimension j. The famous Five Halves Theorem of J. Boardman, announced in 1967, establishes that, if F is nonbounding, then m _ 5 2n; further, this estimative is best possible. In this work, we obtain improvements of this theorem, by imposing certain conditions on F. The main result of the work is in Chapter 4, where the improvements in question are obtained by taking into account the decomposability degree of the components of F. Specifically, let ! = (i1; i2; :::; it) be a non-dyadic partition of j, 2 _ j _ n, and s!(x1; x2; :::; xj) the smallest symmetric polynomial over Z2 on degree one variables x1; x2; :::; xj containing the monomial xi1 1 xi2 2 :::xit t . Write s!(Fj) 2 Hj(Fj ;Z2) for the usual cohomology class corresponding to s!(x1; x2; :::; xj). The decomposability degree of Fj , denoted by l(Fj), is the minimum length of a non-dyadic partition ! with s!(Fj) 6= 0 (here, the length of ! = (i1; i2; :::; it) is t). Suppose the fixed point set of (Mm; T) has the form F = ( j [k=0 Fk) [ Fn, where 2 _ j < n < m and Fj is nonbounding. Write n &#56256;&#56320; j = 2pq, where q _ 1 is odd and p _ 0, and set m(n &#56256;&#56320; j) = 2n + p &#56256;&#56320; q + 1 if p _ q and m(n&#56256;&#56320;j) = 2n+2p&#56256;&#56320;q if p _ q. Then we prove that m _ m(n&#56256;&#56320;j)+2j +l(Fj). In addition, given a non-dyadic partition ! = (i1; i2; : : : ; it) of j, 2 _ j < n, we develop a method to construct involutions (Mm; T) with F of the form F = ([k<j Fk)[Fj[Fn, where m = m(n &#56256;&#56320; j) + 2j + t and s![Fj ] 6= 0, for special values of n; j and !. In some special cases, this method shows that the above bound is best possible. For example, this gives the following improvement of the Five Halves Theorem: if the fixed point set F = n [j=0 Fj of (Mm; T) has Fn&#56256;&#56320;1 and Fn nonbounding, then m _ minf2n + l(Fn&#56256;&#56320;1); 2n + l(Fn)g; further, the bounds m _ 2n + l(Fn&#56256;&#56320;1) and m _ 2n + l(Fn) are separately best possible. Other consequence: if the fixed point set F = n [j=0 Fj of (Mm; T) has n = 2k, k _ 3 and vii Fn&#56256;&#56320;1 nonbounding, then m _ 5k &#56256;&#56320; 2, and this bound is best possible (the Five Halves Theorem says that m _ 5k). We also deal with the low codimension phenomenon, which is expressed by the fact that for certain F the codimension m &#56256;&#56320; n is too small; here, the advances obtained are concerned with the fact that, in the considered cases, the number of components of F is not limited as a function of n (in the literature one finds results of this nature with F having two, three or four components). For example, among the results obtained one has: if F has the form F = F3 [ ( n [j=0 j even Fj), with n _ 4 even, and all involved normal bundles are nonbounding, then m _ n + 4; further, this estimative is best possible. Finally, we also study bounds for the case F = Fn [ F4, considering that in the literature one has results involving F = Fn [ Fi for i = 0; 1; 2; 3. For example, we show that if the fixed set of (Mm; T) has the form F = Fn [ F4, n is odd and the normal bundle over F4 is not a boundary, then m _ n + 5; further, this bound is best possible. / Sejam (Mm; T) uma involução suave em uma variedade m-dimensional, fechada e suave Mm e F = n [j=0 Fj (n < m) o seu conjunto de pontos fixos, onde Fj denota a união das componentes de F com dimensão j. O famoso 5=2-Teorema de J. Boardman, anunciado em 1967, estabelece que, se F é não bordante, então m _ 5 2n; além disso, esta estimativa é a melhor possível. Neste trabalho, nós obtemos melhorias para este teorema, impondo certas condições sobre F. O resultado principal se encontra no Capítulo 4, onde as melhorias em questão são obtidas levando-se em conta o grau de decomponibilidade das componentes de F. Especificamente, seja ! = (i1; i2; :::; it) uma partição não diádica de j, 2 _ j _ n, e seja s!(x1; x2; :::; xj) a menor polinomial simétrica sobre Z2, nas variáveis de grau um x1; x2; :::; xj , contendo o monômio xi1 1 xi2 2 :::xit t . Escreva s!(Fj) 2 Hj(Fj ;Z2) para a classe usual de cohomologia correspondente a s!(x1; x2; :::; xj). O grau de decomponibilidade de Fj , denotado por l(Fj), é o menor comprimento de uma partição não diádica ! com s!(Fj) 6= 0 (aqui, o comprimento de ! = (i1; i2; :::; it) é t). Suponhamos que o conjunto de pontos fixos de (Mm; T) tem a forma F = ( j [k=0 Fk) [ Fn, onde 2 _ j < n < m e Fj é não bordante. Escreva n &#56256;&#56320; j = 2pq, onde q _ 1 é ímpar e p _ 0, e tome m(n&#56256;&#56320;j) = 2n+p&#56256;&#56320;q+1, se p _ q, e m(n&#56256;&#56320;j) = 2n+2p&#56256;&#56320;q, se p _ q. Então, provamos que m _ m(n&#56256;&#56320;j)+2j +l(Fj). Em adição, dada uma partição não diádica ! = (i1; i2; : : : ; it) de j, 2 _ j < n, desenvolvemos um método para construir involuções (Mm; T) com F da forma F = ([k<j Fk) [ Fj [ Fn, onde m = m(n &#56256;&#56320; j) + 2j + t e s![Fj ] 6= 0, para valores especiais de n, j e !. Em alguns casos específicos, este método mostra que o limitante acima é o melhor possível. Por exemplo, tal método fornece a seguinte melhoria para o 5=2-Teorema de J. Boardman: se o conjunto de pontos fixos F = n [j=0 Fj de (Mm; T) possui Fn&#56256;&#56320;1 e Fn não bordantes, então m _ minf2n+l(Fn&#56256;&#56320;1); 2n+l(Fn)g; além disso, os limitantes m _ 2n + l(Fn&#56256;&#56320;1) e m _ 2n + l(Fn) são separadamente os melhores possíveis. Outra consequência: se o conjunto de pontos fixos F = n [j=0 Fj de (Mm; T) tem n = 2k, k _ 3 e Fn&#56256;&#56320;1 não bordante, então m _ 5k &#56256;&#56320; 2, e este limitante é o melhor possível (o 5=2-Teorema diz que m _ 5k, nesse caso). Nós também trabalhamos com alguns casos envolvendo fenômenos de baixa codimensão, caracterizados pelo fato que, para específicos conjuntos de pontos fixos F, a codimensão m &#56256;&#56320; n é muito pequena; aqui, os avanços obtidos nos casos considerados relacionam-se à circunstância do número de componentes de F não ser limitado como uma função de n (na literatura, encontramos resultados dessa natureza onde F possui 2, 3 ou 4 componentes). Como exemplo dos resultados obtidos, temos o seguinte: se F tem a forma F = F3 [( n [j=0 j par Fj), com n _ 4 par, e tal que todos os fibrados normais envolvidos são não bordantes, então m _ n + 4; além disso, esta estimativa é a melhor possível. Finalmente, trabalhamos com limitantes para o caso F = Fn [F4, considerandose que na literatura atual temos alguns resultados envolvendo F = Fn [ Fi, para i = 0; 1; 2; 3. Por exemplo, nós mostramos que se o conjunto de pontos fixos de (Mm; T) tem a forma F = Fn [ F4, com n ímpar, e o fibrado normal sobre F4 é não bordante, então m _ n + 5; além disso, esse limitante é o melhor possível.

James W. Alexander, no artigo[1],mostra que se tivermos um mergulho PL f : \'S POT. 1\' × \'S POT. 1\' \'S POT. 3\', então o fecho de uma das componentes conexas de \'S POT. 3\' f(\'S POT. 1\' × \'S POT. 1\') é homeomorfo a um toro sólido, isto é, homeomorfo a \'S POT. 1\' × \'D POT. 2\'. Este teorema ficou conhecido por Teorema do toro de Alexander. Nesta dissertação, estamos detalhando a demonstração deste teorema feita em[25] que é diferente da demonstração apresentada em [1]. Mais geralmente, para um mergulho diferenciável f : \'S POT. p\' × \'S POT. q\' \'S POT. p + q+1\' , demonstra-se que o fecho de uma das componentes conexasde \'S POT. p +q + 1\' f(\'S POT. p\' × \'S POT. q\') é difeomorfo a \'S POT. p\' × \'D POT. q + 1\' se p q 1 e p + q \'DIFERENTE DE\' 3 ou se p = 2 e q = 1 um dos fechos será homeomorfo a \'S POT. 2\' × \'D POT. 2\' , nesta dissertação estaremos também detalhando estas demonstrações feita em [20] / James W. Alexander shows in[1] that the closure of one of the two connected components of \'S POT. 3\'f( \'S POT. 1 × \'S POT. 1\') is homeomorphic to a solid torus \'S POT. 1\' × \'D POT. 2\' , where f : \'S POT. 1\' ×\' SPOT. 1\' \'S POT. 3\' is a PL embedding. This result became known as Alexanders torus theorem. In this dissertation we are detailing the proof of this theorem made in[25] which is different from the demonstration presented in[1]. More generally, when considering a smooth embeding f : \'S POT. p\' × \'S POT. q\' \' SPOT. p+q+1\' , it is demonstrated that the closure of one of the two connected components \'S POT. p+q+1\' f (\'S POT. p\' × \'S POT. q\' ) is diffeomorphic to \'S POT. p\' × \'D POT. q+1\' if p q 1 and p+q \'DIFFERENT OF\' 3 or if p = 2 and q = 1 one of the closures will be homeomorphic to \'S POT. 2\' × \'D POT. 2\'. In this work we are also detailing the proves made in[20]

Neste trabalho, estudamos coincidências entre duas aplicações contínuas f e g, de X em Y, onde X e Y são variedades diferenciáveis, conexas, sendo X fechada (n+1)-dimensional e Y sem bordo n-dimensional. Quando o domínio é a esfera e g é constante, consideramos homomorfismos w\' e w\'\' que juntos determinam o invariante de bordismo normal do par (f,g). Calculamos w\'\' para vários espaços e, em particular, para fibrados esféricos sobre esferas, obtemos que w\'\' é identicamente nulo se, e somente se, Y é trivial ou Y não é um S&#178-fibrado sobre S&#8308. Finalmente, obtemos resultados tipo Wecken quando X é a esfera, e quando X é o espaço projetivo real de dimensão 3 e Y é a esfera de dimensão 2. / In this work, we study coincidences between two maps f and g, from X to Y, where X and Y are smooth manifolds, connected, being X closed (n+1)-dimensional and Y without boundary n-dimensional. When the domain is the sphere and g is constant, we consider homomorphisms w\' and w\'\' which together determine the normal bordism invariant of the pair (f,g). We calculate w\'\' for several spaces and, in particular, for sphere bundles over spheres, we obtain that w\'\' is identically null if and only if Y is trivial or Y is not an S&#178-bundle over S&#8308. Finally, we obtain Wecken type results when X is the sphere, and when X is the 3-dimensional real projective space and Y is the 2-dimensional sphere.

Neste trabalho, estudamos coincidências entre duas aplicações contínuas f e g, de X em Y, onde X e Y são variedades diferenciáveis, conexas, sendo X fechada (n+1)-dimensional e Y sem bordo n-dimensional. Quando o domínio é a esfera e g é constante, consideramos homomorfismos w\' e w\'\' que juntos determinam o invariante de bordismo normal do par (f,g). Calculamos w\'\' para vários espaços e, em particular, para fibrados esféricos sobre esferas, obtemos que w\'\' é identicamente nulo se, e somente se, Y é trivial ou Y não é um S&#178-fibrado sobre S&#8308. Finalmente, obtemos resultados tipo Wecken quando X é a esfera, e quando X é o espaço projetivo real de dimensão 3 e Y é a esfera de dimensão 2. / In this work, we study coincidences between two maps f and g, from X to Y, where X and Y are smooth manifolds, connected, being X closed (n+1)-dimensional and Y without boundary n-dimensional. When the domain is the sphere and g is constant, we consider homomorphisms w\' and w\'\' which together determine the normal bordism invariant of the pair (f,g). We calculate w\'\' for several spaces and, in particular, for sphere bundles over spheres, we obtain that w\'\' is identically null if and only if Y is trivial or Y is not an S&#178-bundle over S&#8308. Finally, we obtain Wecken type results when X is the sphere, and when X is the 3-dimensional real projective space and Y is the 2-dimensional sphere.